BAB I PENDAHULUAN A. Latar Balakang Masalah Sistem dinamik

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Balakang Masalah
Sistem dinamik merupakan sistem yang mengalami perubahan keadaan.
Perubahan keadaan tersebut dapat diturunkan sebagai fungsi dari waktu. Sistem
dinamik banyak terdapat di kehidupan sehari-hari, misalnya pada sistem mangsapemangsa. Pada sistem ini, banyaknya mangsa dan banyaknya pemangsa
bergantung pada waktu.
Masalah yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan
dalam bentuk model matematika. Sebagian besar model matematika yang muncul
berbentuk non linear. Untuk mendapatkan solusi masalah yang berbentuk sistem
non linear tidaklah mudah. Namun demikian, hal ini tidak menjadi masalah
karena bentuk model matematika khususnya yang berbentuk sistem persamaan
diferensial non linear dapat dilihat perilaku solusinya melalui sistem persamaan
diferensial linear, yaitu dengan linearisasi. Linearisasi dilakukan untuk
mendapatkan sistem linear dari sistem non linear.
Solusi dari persamaan diferensial mempunyai sifat khusus, yaitu stabil
atau tidak stabil. Berdasar sifat kestabilan, dapat diketahui apa yang akan terjadi
pada sistem untuk masa-masa berikutnya. Oleh karena itu, dalam mempelajari
sistem dinamik, masalah kestabilan merupakan hal mendasar yang perlu
diketahui.
Sifat kestabilan dari suatu sistem dinamik 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇), dengan 𝑥 ∈ ℝ𝑛 dan
𝜇 ∈ ℝ𝑚 , dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobiannya.
1
2
Matriks Jacobian pada prinsipnya adalah matriks yang entri-entrinya adalah
turunan parsial pertama dari fungsi f yang dieksekusi pada titik ekuilibrium dari
sistem 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇). Jika semua nilai eigen dari matriks Jacobian mempunyai
bagian real bernilai negatif, maka titik ekuilibrium dari sistem dikatakan stabil.
Namun jika ada nilai eigen dari matriks Jacobian yang mempunyai bagian real
bernilai positif, maka titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil. (Olsder, 2004:58).
Teorema tersebut tentulah memunculkan pertanyaan “Bagaimana kondisi
titik ekuilibrium apabila mempunyai nilai eigen nol pada bagian realnya?”. Pada
kenyataannya nilai eigen nol merupakan kondisi yang rentan terhadap gangguan,
apabila sedikit saja sistem terganggu, maka nilai eigen dapat berubah ke daerah
positif yang artinya titik ekuilibrium tidak stabil atau nilai eigen dapat berubah ke
daerah negatif yang artinya titik ekuilibrium stabil. Rentannya nilai eigen nol
memungkinkan terjadinya bifurkasi. Bifurkasi adalah perbedaan keadaan dinamik
seiring dengan perubahan parameter.
Jenis bifurkasi yang terjadi pada sistem dinamik adalah bifurkasi hopf,
bifurkasi saddle-node, bifurkasi pitchfork, dan bifurkasi transkritikal. Terjadinya
bifurkasi hopf ditandai dengan munculnya limit cycle pada solusi sistem dinamik.
Limit cycle adalah suatu solusi yang bersifat periodik, sedangkan pada bifurkasi
saddle-node dan pitchfork, terjadinya bifurkasi ditandai dengan bertambahnya dua
titik ekuilibrium (Perko, 1991).
Secara khusus, pada skripsi ini akan dibahas mengenai bifurkasi
transkritikal. Sifat-sifat bifurkasi ini akan diselidiki dari suatu sistem yang
mengalami bifurkasi transkritikal. Selanjutnya, syarat-syarat terjadinya bifurkasi
3
transkritikal juga akan diberikan dalam suatu teorema. Bifurkasi transkritikal
hanya dibatasi pada sistem dinamik dengan satu parameter. Dengan kata lain,
parameter 𝜇 pada sistem 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇) adalah parameter dimensi satu (𝜇 ∈ ℝ).
Bentuk sistem dinamik yang mengalami bifurkasi transkritikal dapat
diterapkan dalam kehidupan nyata. Contohnya, pada masalah konsumen-produsen
ketika konsumsi sebanding dengan sumber daya. Selain itu dalam bidang
kesehatan, yaitu untuk mengetahui penyebaran penyakit menular maupun tidak
menular. Beberapa penyakit seperti AIDS, H1N1, dan TBC mempunyai periode
laten, artinya ada selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai
munculnya penyakit. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik mengambil judul
ini.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan diatas, maka
rumusan masalahnya:
1. Apakah pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik yang
menyebabkan bifurkasi transkritikal.
2. Bagaimanakah bentuk sistem yang dapat mengalami bifurkasi transkritikal.
C. Tujuan Penulisan
Memperhatikan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini
adalah sebagai berikut:
1. Untuk memahami pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem
dinamik yang menyebabkan bifurkasi transkritikal.
4
2. Untuk memahami bentuk sistem yang dapat mengalami bifurkasi transkritikal.
D. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah:
1. Mampu memahami perluasan persamaan diferensial khususnya dalam teori
bifurkasi pada sistem dinamik.
2. Memperkaya pengetahuan tentang persamaan diferensial.