Kinematika Gerak Dengan Analisis Vektor

FIS 2
materi78.co.nr
Kinematika Gerak Dengan Analisis Vektor
A.
PENDAHULUAN
v
Dalam vektor terdapat dua komponen utama,
yaitu komponen horizontal (sumbu x) dan
komponen vertikal (sumbu y).
Kedua komponen vektor tersebut memiliki
resultan yang memiliki arah yang merupakan
akar dari jumlah kuadrat komponen x dan y.
∆r
y
x
tan θ =
B.
y
x
POSISI DAN PERPINDAHAN PARTIKEL
Posisi (r) merupakan kedudukan benda terhadap
titik acuan.
Posisi dapat dinyatakan dengan vektor-vektor
satuan, pada sumbu x ditulis i, dan sumbu y
ditulis j.
r=xi+yj
t
v diperlambat
Kecepatan rata-rata (v) adalah hasil bagi
perpindahan dengan waktu tempuhnya.
∆r
v = v x i + vy j
∆t
v = √vx 2 +vy 2
dengan arah kecepatan:
tanθ =
vy
vx
Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata
untuk ∆t mendekati nol.
v = lim v̅
∆t→0
Kecepatan sesaat dengan pendekatan grafik:
Contoh:
r = √x2 +y2
v
Perpindahan (∆r) adalah perubahan posisi
benda dalam waktu tertentu.
Perpindahan dapat dirumuskan:
5
A
B
∆r = ∆x i + ∆y j
∆r = r2 – r1
∆r = √∆x2 +∆y2
O
dengan arah perpindahan:
tanθ =
∆r
KECEPATAN PARTIKEL
v=
R = √x2 +y2
θ
C.
y = R sin θ
R
t
v dipercepat
Cara menentukan komponen-komponen vektor:
x = R cos θ
v
6
2
C
t
10
Untuk 0 ≤ t ≤ 2 (garis OA):
∆x
xA -x0
v=
=
∆t
tA -t0
∆y
∆x
Grafik perpindahan dalam berbagai macam
gerak terhadap kecepatan dan waktu:
Untuk 2 ≤ t ≤ 6 (garis AB):
∆x
xB -xA
v=
=
∆t
tB -tA
Untuk 6 ≤ t ≤ 10 (garis BC):
∆x
xC -xB
v=
=
∆t
tC -tB
v
∆r
t
v konstan
Kecepatan sesaat merupakan turunan pertama
fungsi posisi.
v = r’ =
dr
dt
Turunan sederhana:
r = xn
r’ = n.xn-1
KINEMATIKA GERAK (II)
1
FIS 2
materi78.co.nr
Contoh:
Kecepatan dapat ditentukan
integral dari fungsi percepatan.
Tentukan fungsi kecepatan sesaat dari fungsi r =
4r2 + 5r + 1!
a=
Jawab:
r’ = 2.4.r(2-1) + 1.5.r(1-1) + 0.1
x
∫x dv
0
v = 8r + 5 m/s
x
∫x dx
0
dx
vy =
dt
t
=∫0 vx .dt
y
∫y dy
0
E.
t
y = y0 + ∫0 vy .dt
t
t
PERCEPATAN PARTIKEL
Percepatan rata-rata (a) adalah perubahan
kecepatan dalam waktu tertentu.
∆v
a = ax i + ay j
∆t
a = √ ax
GERAK LURUS DAN GERAK MELINGKAR
Gerak lurus adalah gerak yang dipengaruhi oleh
kecepatan linear, sedangkan gerak melingkar
dipengaruhi oleh kecepatan sudut.
t
r = r0 + ∫0 v.dt
a=
Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah
gerak yang dipengaruhi oleh kecepatan linear
dan percepatan linear konstan, sedangkan gerak
melingkar
berubah
beraturan
(GMBB)
dipengaruhi oleh kecepatan sudut dan
percepatan sudut konstan.
Hubungan gerak lurus (translasi/linear) dengan
gerak melingkar (rotasi):
Besaran
r
(m)
v
(m/s)
a
(m/s2)
θ
(rad)
ω
(rad/s)
α
(rad/s2)
Kecepatan
Percepatan
ax
Percepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata
untuk ∆t mendekati nol.
∆t→0
Percepatan sesaat merupakan turunan pertama
fungsi kecepatan dan turunan kedua fungsi
posisi.
dv
dt
=
dr'
dt
r’’ = 1.4(1-1) + 0.3
a = α.R
GMBB
v = v0 + a.t
s = v0.t + 1/2a.t2
vt2 – v02 = 2as
ω = ω0 + a.t
θ = ω0.t + ½α.t2
ωt2 – ω02 = 2αθ
v=
a=
GMBB
dr
ω=
dt
dv
α=
dt
t
r = r0 + ∫0 r.dt
t
v = v0 + ∫0 a.dt
Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan dari
fungsi r = 2r2 + 3r - 5!
v = 4r + 3 m/s
v = ω.R
GLBB
GLBB
Contoh:
r’ = 2.2.r(2-1) + 1.3.r(1-1) + 0.1
r = θ.R
Hubungan GLBB dengan GMBB dengan analisis
vektor:
Turunan sederhana:
r = xn
r” = n(n-1).xn-2
Jawab:
Hub.
Hubungan GLBB dengan GMBB:
a = lim a̅
a = 4 m/s2
Rotasi
y
ay
a = r” =
Linear
Perpindahan
2 +a 2
dengan arah percepatan:
tanθ =
t
lalu dapat dicari resultannya.
t
=∫0 vy .dt
lalu dapat dicari resultannya, atau:
D.
t
=∫0 a.dt
t
dt
y – y0 =∫0 vy .dt
x = x0 + ∫0 vx .dt
dt
v = v0 + ∫0 a.dt
dy
t
x – x0 =∫0 vx .dt
dv
v – v0 =∫0 a.dt
Posisi partikel dapat ditentukan menggunakan
integral dari fungsi kecepatan.
vx =
menggunakan
Gerak
melingkar
dipengaruhi oleh:
a.
dθ
dt
dω
dt
t
θ = θ0 + ∫0 θ.dt
t
ω = ω0 + ∫0 α.dt
berubah
beraturan
Kecepatan linear
b. Kecepatan angular/sudut
c.
Percepatan tangensial/linear
d. Percepatan sentripetal
KINEMATIKA GERAK (II)
2
FIS 2
materi78.co.nr
dapat dirumuskan:
v
v
as =
ω
r
θ
dapat dirumuskan:
v=
∆s
∆t
v=
as = ω2.r
r
menghasilkan gaya sentripetal:
Fs =
Kecepatan linear pada GMBB arahnya menuju
arah gerak benda (lurus) yaitu menyinggung
lintasan gerakan, dimana lintasannya berupa
busur/keliling lingkaran.
v2
mv2
Fs = m.ω2.r
r
Percepatan total adalah perpaduan antara
percepatan
tangensial
dan
percepatan
sentripetal, dapat dirumuskan:
a = √at 2 +as 2
dengan arah percepatan total:
2πr
T
v = 2πrf
r = jari-jari lingkaran (m)
T = periode (s)
f = frekuensi (1/s)
tanθ =
at
as
Beberapa contoh gerak melingkar:
G.M. horizontal dengan tali
Kecepatan angular/sudut pada GMBB arahnya
menuju arah putaran benda (melingkar) yaitu
berupa perubahan besar sudut busur lingkaran.
Fs = T
r
dapat dirumuskan:
ω=
∆𝛉
ω=
∆t
2π
ω = 2πf
T
at
at
a
a
as
Gaya sentripetal pada gerak ini berupa
tegangan tali yang menahan benda agar tetap
berada pada lintasannya.
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
T=
Fs = T
mv2
r
as
Kecepatan maksimum agar tali tidak putus:
Tmaks .r
vmaks = √
Percepatan tangensial/linear pada GMBB:
a.
Arahnya searah dengan garis singgung
lingkaran.
G.M. horizontal tanpa tali
F s = fs
b. Arahnya sejajar dengan kecepatan linear.
c.
Arahnya tegak lurus dengan percepatan
sentripetal.
d. Mengubah besar kecepatan total benda.
dapat dirumuskan:
at = α.r
at =
dv
a.
Arahnya menuju pusat lingkaran.
b. Arahnya tegak lurus dengan percepatan
tangensial.
c.
r
Gaya sentripetal pada gerak ini berupa gaya
gesek statis yang menahan benda agar tidak
tergelincir sewaktu berputar.
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
dt
Percepatan sentripetal pada GMBB:
Mengubah arah kecepatan total benda
(menuju pusat).
m
Fs = fs
mv2
r
= μs.N
Kecepatan maksimum
meninggalkan lintasan:
agar
benda
Vmaks = √μs .g.r
KINEMATIKA GERAK (II)
3
tidak
FIS 2
materi78.co.nr
G.M. vertikal dengan tali
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
N - Wsinθ = -Fs
T
Kecepatan minimum
meninggalkan lintasan:
W
T
T
θ
W
agar
benda
tidak
Vmaks = √g.r
Ayunan konis
Wcosθ W
T
θ
W
L
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
Lcosθ
Tcosθ
T
T ± Wcosθ = Fs
Fs = Tsinθ
Kecepatan minimum yang dibutuhkan agar
benda dapat mencapai titik B dari A adalah:
r = Lsinθ
W
vmin = √2.g.r
Kecepatan minimum yang dibutuhkan agar
benda berputar satu lingkaran penuh:
vmin = √5.g.r
G.M. vertikal di dalam bidang lingkaran
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
W= Tcosθ
T=√
Fs = Tsinθ
L cosθ
g
Kecepatan maksimum agar tali tidak putus:
N
Vmaks = √g.r. tan θ
W
G.M. pada bidang miring atau velodrom
N
Ncosθ
θ
N
N
Wcosθ
N
W
W
Fs = Nsinθ
W
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
N ± Wcosθ = Fs
θ
W
Kecepatan minimum pada C agar benda tidak
meninggalkan lintasan:
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
N=
Vmin = √g.r
G.M. vertikal di luar bidang lingkaran
N
N
mg
cos θ
Fs = mg tanθ
Kecepatan maksimum agar benda tidak
meninggalkan lintasan dapat dirumuskan:
vmaks = √g.r. tan θ
vmaks = √μs .g.r
W
W.sinθ
θ
W
KINEMATIKA GERAK (II)
4