matriks dan vektor - Teknik Industri UMS

MATRIKS DAN VEKTOR
Operasi baris elemnter dan rank suatu
matriks
Hafidh munawir
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
• Melakukan operasi perkalian dan pertukaran pada baris-
baris di dalam matriks
• Contoh:
Baris 1 ditukar dengan baris 3
• 1. Oij(I) = Eij 
Baris 2 dikalikan -2
• 2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠0) 
• 3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠0) 
Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3
MATRIKS ELEMENTER
 Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks
elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari
matriks identitas In dengan melakukan operasi baris
elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris
elementers sebanyak 1 kali)
CONTOH MATRIKS ELEMENTER
SIFAT MATRIKS ELEMENTER
 Eij . Eij = I
 Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya,
ternyata nilainya sama dengan matriks elementer
yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan
dengan matriks A
 Oij(A) = Eij . A
 Oi(λ)(A) = Ei(λ≠0) . A
 Oij(λ)(A) = Eij(λ≠0) . A
CONTOH
 O12(A) = E12 . A
Sistem Persamaan Linier
Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank
matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk]
disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara
baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks.
Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu
sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir
eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
0
1  1 0
0 3  2 0 


0 0 11  6


0
0
0
16


dan
0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 16
0 0
8
| 8 
| 16

| 16
|
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks
gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
1  1 0 
0 3  2 


0 0
0 
dan
1  1 0 | 8
0 3  2 | 8 


0 0
0 | 0
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank
matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
Sistem Persamaan Linier
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
1  1 0 
0 3  2 


0 0
0 
dan
1  1 0 | 8 
0 3  2 | 8 


0 0
0 |  2
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan
rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2
sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak
samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
Sistem Persamaan Linier
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas
ternyata berlaku umum.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank
matriks koefisien harus sama dengan rank matriks
gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank
matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak
diketahui;
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang
tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.