07 Amanto - Jurnal FMIPA Unila

J. Sains Tek., Desember 2004, Vol. 10, No. 3
Kekontinuan dan Derivatif Primitif untuk Fungsi Terintegral
Henstock dari Ruang Euclide Rn ke Ruang Euclide Rm
Amanto
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Lampung
Jl. Sumatri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung 35145
Email : [email protected]
Abstract
In this paper, we investigated characteristic of the primitive of a Henstock integrable
function from the Eucledean space Rn to the Eucledean space Rm with respect to αvolume in terms of derivatives. This characteristic is generalizations of the Henstock
integral on the real line. The main tool in the proof of the above characterization on the
real line relies on the Vitali covering theorem. However, in the higher dimensional
Eucledean space, the Vitali covering theorem requires regularity. The resuts showed
that the primitive of a Henstock integrable function from the Eucledean space Rn to the
Eucledean space Rm with respect to α-volume is differentiable almost everywhere.
Keywords: Primitive function, continuous-α, derivative-α.
Pendahuluan
Definisi deskriptif dari integral Henstock
pada garis lurus telah dikenal dengan
baik. Lebih tepatnya, fungsi f terintegral
Henstock pada interval tertutup [a, b] jika
dan hanya jika terdapat fungsi F yang
kontinu mutlak kuat teritlak pada [a, b]
sehingga F ' ( x ) = f ( x ) hampir di manamana pada [a, b] .5 Jadi, sifat primitif dari
fungsi terintegral Henstock pada garis
lurus telah dibahas secara lengkap.
Namun, penelitian pada ruang Euclide Rn
masih
jauh
dari
kesempurnaan10.
Penelitian tentang Teorema Rapat Terkendali dan syarat cukup integral
Henstock pada ruang Euclide Rn
terintegral mutlak dilakukan oleh Indrati
dan Darmawijaya3,4.
Berdasarkan hal di atas, muncul suatu
pertanyaan “ Apakah sifat-sifat primitif di
atas masih berlaku untuk fungsi yang
terintegral Henstock dari ruang Euclide
Rn ke ruang Euclide Rm ? “. Tetapi perlu
dicermati bahwa teorema Liput Vitali
pada ruang Euclide Rn memerlukan
konsep shape10. Oleh karena itu, pada
 2004 FMIPA Universitas Lampung
pembahasan tentang derivatif fungsi
primitif memerlukan pendekatan baru
atau kecermatan, yaitu konsep shape.
Pfeffer telah membahas hal ini untuk
integral McShane pada ruang Euclide Rn
(bernilai real)11. Pada tulisan ini dibahas
sifat kontinu dan derivatif dari primitif
fungsi terintegral Henstock dari ruang
Euclide Rn ke ruang Euclide Rm terhadap
fungsi volume- α . Konsep shape dan
fungsi volume- α dikaji oleh Bullen
(1996)2.
Dasar Teori
Penelitian ini memanfaatkan hasil
penelitian mengenai primitif dari fungsi
terintegral Henstock dari ruang Euclide
Rn ke ruang Euclide Rm bersifat kontinu
mutlak terilak.
Himpunan semua bilangan real dituliskan
dengan R. Untuk bilangan asli n, Rn
menyatakan himpunan semua n-pasangan
berurutan atas bilangan real, yaitu
Rn = R x R x … x R ( n faktor)
= { x ; x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) : xi ∈ R,
1 ≤ i ≤ n}
157
Amanto, Kekontinuan dan Derivatif Primitif
Jika x ∈R n berarti x = ( x1 , x 2 ,..., x n )
dengan xi ∈ R untuk setiap i dengan
1 ≤ i ≤ n.
Norma-norma pada Rn
secara topologis saling ekuivalen. Oleh
karena itu, dalam hal ini dipilih norma
x = maks{ xi : 1 ≤ i ≤ n} dimaksudkan
agar eksistensi partisi mudah dibuktikan
dan memudahkan dalam perhitungan.
Jika A himpunan bagian tak kosong di
dalam Rn, diameter himpunan A
didefinisikan sebagai
diam( A) = sup{ x − y : x , y ∈ A}
Suatu selang tertutup di dalam R
dituliskan dengan [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x
≤ b }. Selang [a,b]
dikatakan
degenerate jika b ≤ a dan dikatakan
nondegenerate jika a < b. Selang [a,b]
disebut sel jika ia merupakan selang yang
nondegenerate. Jadi, himpunan E ⊂ Rn
disebut selang tertutup nondegenerate
atau sel jika
n
E=
i =1
= [a1,b1] x [a2,b2] x … x [an,bn]
= { x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈Rn : ai ≤ xi ≤ bi,
untuk setiap 1 ≤ i ≤ n}
dengan [ai , bi ] merupakan sel di dalam R
untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.
Definisi 1
Diberikan sel E ⊂ R .
(i) Divisi pada sel E adalah koleksi sel
berhingga D yang tidak saling
n
tumpang tindih dengan
U D = E.
D∈D
(ii) Partisi
pada sel
E adalah
pasangan sel-titik berhingga
D = {( D, x )}
{(D1 , x1 ), (D1 , x2 ),..., D1 , xr }
r
dengan
UD
i
i =1
160
termuat di dalam C ∈ C sehingga
{D ∈ D : D ⊂ C} adalah partisi pada
C.
Diberikan himpunan E ⊂ Rn dan I(E) =
koleksi semua sel-sel bagian di dalam E
termasuk φ dan E sendiri, jika E berupa
sel. Fungsi F : I(E) → R dikatakan aditif
(additive) pada E, jika berlaku
F ( A ∪ B ) = F ( A) + F ( B )
untuk setiap dua sel A, B ⊂ E dengan
A o ∩ B o = φ dan A ∪ B sel.
Definisi 211
Fungsi aditif tak negatif α pada sel E ⊂
Rn disebut volume pada sel E.
Jika A sel bagian di dalam E maka
bilangan α(A) disebut volume-α sel A.
∏ [a , b ]
=
(iii) Segmentasi pada koleksi sel-sel C
adalah koleksi berhingga sel-sel D
yang tak saling tumpang tindih
sehingga untuk setiap D ∈ D
= E dan
x i ∈ Di .
Definisi 3
Diberikan fungsi volume α pada sel E ⊂
Rn. Fungsi α : I(E) → R, dengan I(E)
koleksi semua sel bagian di dalam E
dikatakan kontinu di I ∈ I(E) jika dan
hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0
terdapat bilangan δ = δ(ε) > 0 sehingga
jika sel J, K ∈ I(E) dengan J ⊂ I ⊂ K ,
maka
(i) untuk J ⊂ I dan I − J < δ berlaku
α (I − J ) < ε dan
(ii) untuk I ⊂ J dan J − I < δ berlaku
α (J − I ) < ε
n
dengan
[ ]
I = ∏ (bi − ai )
untuk
i =1
I = a , b = [a1 , b1 ] x [a 2 , b2 ] x ... x [a n , bn ].
 2004 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2004, Vol. 10, No. 3
Selanjutnya diberikan pengertian ukuran
yang dibangkitkan oleh volume-α
Definisi 4
Diberikan E ⊂ Rn dan fungsi
α : I(Rn ) → R kontinu.
Bilangan
∞
∞

µ ∗ ( E ) = inf  ∑ α ( I n ) : I n sel, U I n ⊃ E 
 n =1
n =1

disebut ukuran luar himpunan E.
Sel E ⊂ Rn dikatakan terukur-α jika
untuk setiap sel A ⊂ Rn berlaku
µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( A ∩ E C )
Jika Ω koleksi semua himpunan di dalam
Rn yang terukur-α maka Ω merupakan
aljabar-σ . Selanjutnya, fungsi µ : Ω →
R* dengan
µ ( I ) = µ ∗ ( I ),
untuk setiap I ∈ Ω disebut ukuran pada
Rn. Jadi, (Rn,Ω,µ) merupakan ruang
ukuran.
Definisi 511
Diberikan I1, I2,…,Ir sel-sel yang tidak
saling tumpang tindih di dalam sel E ⊂
Rn dan x1 , x 2 ,..., x r di dalam E ⊂ Rn.
Koleksi
pasangan
sel-titik
P = {( I , x )} = {( I 1 , x1 ),..., ( I r , x r )} disebut
(i) partisi Perron δ-fine pada E ⊂ Rn,
jika I i ⊂ B( xi , δ ( xi )) dan
xi ∈ I i
untuk
i
=
1,2,…,r
r
dengan I i0 ∩ I 0j = φ dan U I i = E .
i =1
(ii) partisi Perron δ-fine di dalam E ⊂ Rn,
jika I i ⊂ B ( xi , δ ( xi )) dan
xi ∈ I i
untuk
i
=
1,2,…,r
dengan
r
I i0 ∩ I 0j = φ dan U I i ⊂ E.
Selanjutnya eksistensi partisi Perron δfine pada sel E ⊂ Rn dijamin oleh
teorema berikut.
Teorema 3.111
Untuk setiap fungsi positif δ pada sel E ⊂
Rn, maka terdapat partisi Perron δ-fine P
pada E.
Teorema 211
Jika δ1 dan δ2 fungsi positif pada sel
E ⊂ Rn dan δ1 < δ2 maka setiap partisi
Perron δ1-fine pada E merupakan partisi
Perron δ2-fine pada E.
Definisi 6
Diberikan fungsi volume α pada sel
E ⊂ Rn. Fungsi f : E → Rm dikatakan
terintegral Henstock pada E terhadap α,
ditulis singkat dengan f ∈ R*(E,Rm,α)
jika terdapat vektor a ∈ Rm sehingga
untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat
fungsi positif δ pada E dan untuk setiap
partisi Perron δ-fine P = {( I , x )} pada E
berlaku
P ∑ f ( x )α ( I ) − a
=
r
∑ f (x
k =1
k
)α ( I k ) − a
<ε
Vektor a = ( a1, a2, … , am ) yang
dimaksud pada Definisi 6 adalah tunggal
dan disebut nilai integral-α fungsi f
pada E. Jika f ∈ R*(E,Rm,α) maka
vektor a = ( a1, a2, … , am ) yang terkait
pada Definisi6 disebut nilai integral
Henstock fungsi f pada E terhadap α
dan dituliskan dengan a = (R*) ∫ f dα .
E
Himpunan semua fungsi yang terintegral
Henstock pada E terhadap α dinotasikan
dengan R*(E,Rm,α).
i =1
Teorema 3
xi disebut titik terkait
Selanjutnya,
dengan Ii (associated point of Ii).
 2004 FMIPA Universitas Lampung
161
Amanto, Kekontinuan dan Derivatif Primitif
Diberikan fungsi volume α pada sel E ⊂
Rn. Fungsi f = ( f1 , f 2 ,..., f m ) : E → Rm
terintegral Henstock pada E terhadap
α jika dan hanya jika untuk setiap
fungsi fk : E → R ( k = 1,2, …, m)
terintegral Henstock terhadap α pada E
dan
(R*) ∫ f dα = (R*) ∫ ( f1 , f 2 ,..., f m ) dα =
E
E
 *

 ( R ) ∫ f1dα ,( R∗ ) ∫ f 2 dα ,..., ( R* ) ∫ f m dα 




E
E
E
Teorema 4
Diberikan fungsi volume α pada sel
E ⊂. Rn. Jika f ∈ R*(E,Rm,α), maka
Definisi 7
Jika f ∈ R*(E,Rm,α) dan I(E) koleksi
semua sel bagian di dalam E maka fungsi
F : I ( E ) → Rm dengan rumus
( )∫ f dα
F (I ) = R∗
dan F (φ ) = 0
I
untuk setiap sel I ∈ I(E) disebut R*primitif-α fungsi f pada I(E) .
Fungsi F merupakan fungsi sel yang
aditif.
Oleh
karena
itu,
jika
D = {D1 , D2 ,..., Dr } partisi pada E maka
f ∈ R*(B,Rm,α), untuk setiap sel B ⊂ E.
r
r
k =1
k =1
D∑ F ( D) = ∑ F ( Dk ) = ∑ ( R ∗ ) ∫ f dα = ( R ∗ ) ∫ f dα = F ( E ).
Dk
E
δ-fine P = {( I , x )}
Dengan adanya fungsi primitif di atas,
maka definisi integral Henstock fungsi f
terhadap α pada E dapat dinyatakan
sebagai berikut berikut.
setiap partisi Perron
pada E berlaku
Fungsi f ∈ R*(E,Rm,α) jika dan hanya
Teorema 6 (Lemma Henstock )
jika terdapat fungsi aditif F sehingga
untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat
fungsi positif δ pada E dan untuk setiap
partisi Perron δ-fine P = {( I , x )} berlaku
Diberikan fungsi volume α pada sel E ⊂
Rn. Jika f ∈ R*(E,Rm,α) dengan primitif
P ∑ f ( x )α ( I ) − F ( E ) < ε
atau
P ∑ f ( x )α ( I ) − F ( I ) < ε .
F , yaitu untuk setiap bilangan ε > 0
terdapat fungsi positif δ pada E sehingga
untuk setiap partisi Perron δ-fine
P = {( I , x )} pada E berlaku
P ∑ [ f ( x )α ( I ) − F ( I )] < ε
Teorema 5
Diberikan fungsi volume α pada sel E ⊂
Rn. Fungsi f ∈ R*(E,Rm,α) dengan
primitif F jika dan hanya jika untuk
setiap bilangan ε > 0 terdapat fungsi
positif δ pada E dengan sifat untuk
162
P ∑ f ( x )α ( I ) − F ( I ) < ε
maka untuk setiap jumlah bagian ∑1 dari
P ∑ atas partisi Perron δ-fine P pada E
berlaku
∑1
f ( x )α ( I ) − F ( I ) < 2ε .
Metode Penelitian
 2004 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2004, Vol. 10, No. 3
Karakteristik
primitif
dari
fungsi
terintegral Henstock dari ruang Euclide
Rn ke ruang Euclide Rm diturunkan dari
karakteristik integral Henstock pada real
line.Disamping itu untuk pembahasan
integral Henstock pada ruang Euclide Rn,
untuk
teorema
Liput
Vitalinya
memerlukan konsep shape.
Hasil dan Pembahasan
Diberikan fungsi volume α pada sel E ⊂
Rn dan fungsi aditif F : I(E) → Rm,
I(E) adalah koleksi semua sel bagian
di dalam E. Fungsi F dikatakan
kontinu-α
di I1 ∈ I(E)
jika untuk
setiap ε > 0 terdapat bilangan η >
0 sehingga jika I 2 ∈ I(E), maka
(i) untuk I1 ⊂ I 2 dan α ( I 2 − I1 ) < η
berlaku
F ( I 2 ) − F ( I 1 ) < ε , dan
(ii) untuk I 2 ⊂ I 1 dan α (I1 − I 2 ) < ε
berlaku
F ( I1 ) − F ( I 2 ) < ε .
Teorema 7
Diberikan fungsi volume α pada sel
E ⊂ Rn. Jika fungsi f ∈ R*(E,Rm,α)
dengan primitif F maka F kontinu-α
pada E.
Bukti : Diberikan sebarang bilangan ε >
0. Karena f ∈ R*(E,Rm,α) maka terdapat
fungsi positif δ pada E dengan sifat
untuk setiap partisi Perron δ-fine
P = {( I , x )} pada E berlaku
ε
4
(1)
(2)
I 2 ⊂ I 1 ( I 1 ⊂ I 2 ) dan


α ( B) < η = min δ ( x ),



,
2 f (x) + 1 

(
ε
)
Berdasarkan (2) diperoleh
f ( x )α ( B ) − F ( B ) <
ε
(3)
2
Jadi, berdasarkan (3), diperoleh
F ( B) = F ( B ) − f ( x )α ( B ) + f ( x )α ( B)
≤ F ( B) − f ( x )α ( B) + f ( x )α ( B)
<
ε
2
ε
+ f ( x ) α ( B)
ε
= ε.
2 2
Jadi terbukti F kontinu-α pada E.
<
+
Untuk membahas sifat derivatif fungsi
primitif F cukup dibuktikan derivatif
suku-suku dari F (bernilai real) , sebab
Fungsi F = ( F1 , F2 ,..., Fm ) : E →
Rm
mempunyai derivatif di x ∈ E jika dan
hanya jika untuk setiap k (k = 1,2,…,m)
Fk : E → R mempunyai derivatif-α di
x ∈ E dan
DFα ( x ) = Fα' ( x )
= (Fα 1 , Fα 2 ,..., Fαm ) ( x )
'
(
= Fα' 1 ( x ), Fα' 2 ( x ),..., Fα'm ( x )
Selanjutnya pada (1) di atas diambil satu
suku saja sehingga berdasarkan Teorema
6 diperoleh
 2004 FMIPA Universitas Lampung
ε
2
Diambil sebarang koleksi sel
(segmentasi) B = I 1 − I 2 ( I 2 − I 1 ) ⊂ E
dengan
untuk setiap x ∈ B.
Definisi 8
P ∑ f ( x )α ( I ) − F ( I ) <
f ( x )α ( I ) − F ( I ) <
)
Diberikan fungsi F : I(E) → R , dengan
I(E) adalah koleksi semua sel bagian di
163
Amanto, Kekontinuan dan Derivatif Primitif
n


5
5
A ∗ = ∏ c i −
ri , ci +
ri 
sh( A)
sh( A) 
i =1 
dan perhatikan bahwa
(2 R A ) n
5
rA∗ =
rA = 5
rA
sh( A)
(2r1 )...(2rn )
n
dalam E. Untuk sel A = ∏ [ai , bi ] ,
i =1
didefinisikan bilangan
sh( A) =
λ ( A)
[diam( A)]n
dengan diam(A) menyatakan diameter A
dan λ = A =
n
∏ (bi − ai )
volume A.
i =1
Jelas
bahwa
0 < sh( A) ≤ 1.
n
Jika
n
A = ∏ [a i , bi ] , didefinisikan
i =1
(a + bi )
( b − ai )
ri = i
, ci = i
, 1≤ i ≤ n,
2
2
maka secara berturut-turut vektor
c A = (c1 , c 2 ,..., c n )
dan
bilangan
rA = min{r1 , r2 ,..., rn } dan
R A = maks{r1 , r2 ,..., rn } disebut pusat dan
jari-jari dalam dan jari-jari luar A.
Berdasarkan notasi tersebut, jelas bahwa
diam( A) = 2 R A , B( c A , rA ) ⊂ A ⊂ B( c A , R A ).
Selanjutnya, dibentuk himpunan
DFα ( x ) = inf
sup
γ (x) > 0δ > 0
(RA ) n
≥5
rA = 5 R A
rA ( R A ) n −1
 5 
 λ ( A) .
dan λ ( A ) = 
 sh( A) 
*
Jika δ : E → R fungsi positif dan γ (x ) >
0 , didefinisikan
 A ; A sel ⊂ E ∩ B ( x , δ ( x ), x ∈ A,
Eδ ,γ = 

sh( A) > γ ( x )

.
Lebih lanjut, jika F : I(E) → R fungsi
aditif dan α fungsi volume yang kontinu
pada E, maka didefinisikan bilanganbilangan
 F ( A)

: x ∈ A ⊂ E ∩ B ( x , δ ( x )), sh( A) > γ ( x ) 

 α ( A)

dan
D F α ( x ) = − D (− F α ( x ) )
=
sup
inf
 F ( A)

sup 
: x ∈ A ⊂ E ∩ B ( x , δ ( x )), sh ( A ) > γ ( x ) 
 α ( A)

γ (x) > 0 δ > 0
yang berturut-turut disebut derivatif-α
bawah dan derivatif-α atas fungsi sel F
di titik x ∈ E .
Jelas bahwa DFα ( x ) ≤ D Fα ( x ).
Jika DFα ( x ) = D Fα ( x ) ≠ ±∞ maka F
dikatakan mempunyai derivatif-α di titik
x atau Fα, ( x ) ada, dengan
Fα' ( x ) = DFα ( x ) = DFα ( x ) = D Fα ( x ).
Dalam pembahasan selanjutnya dipilih
fungsi volume α = λ.
164
Teorema 811
Jika E koleksi sel-sel bagian di dalam A,
maka terdapat koleksi sel tak saling
tumpang tindih F ∈ E sehingga untuk
setiap B ∈ E
terdapat suatu C∈ F
dengan
B ∩C ≠ φ
dan
B ⊂ C ∗.
Khususnya U E ⊂ U C ∗ : C ∈ F .
{
}
Definisi 911
 2004 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2004, Vol. 10, No. 3
Koleksi sel-sel E disebut liput Vitali
himpunan E ⊂ Rn jika terdapat fungsi
positif γ pada E sehingga untuk setiap
x ∈ E dan η > 0 terdapat B ∈ E dengan
x ∈ B, B ⊂ B ( x ,η ), dan sh( B ) > γ ( x ).
Teorema berikut akan sangat membantu
dalam pembuktian selanjutnya.
Teorema 9 (liput Vitali) 11
Jika koleksi sel-sel E merupakan liput
Vitali himpunan E ⊂ Rn maka terdapat
koleksi sel tak saling tumpang tindih F
(
)
⊂ E sehingga µ E − U F = 0.
Teorema 10
primitif
f ∈ R*(E,R ,λ) dengan
F maka
Fλ' ( x ) ada
dan
Fλ' ( x ) = f ( x ) h.d. pada E.
Bukti: Dibentuk himpunan
(
)
 x ∈ E ; Fλ'k ( x ) tidak ada atau 
X = '
,
 Fλk ( x ) ada dan Fλ'k ( x ) ≠ f k ( x ) 
(
∞
Jadi X = U X n .
n =1
Diberikan sebarang bilangan ε > 0.
Karena f k ∈ R*(E,R, λ ) maka untuk
setiap bilangan ε > 0 di atas terdapat
fungsi positif δ pada E khususnya
1
sh( I ) ≥
sehingga untuk partisi
n
Perronδ-fine
P = {( I 1 , x1 ), ( I 2 , x 2 ),..., ( I r , x r )} pada E
berlaku
r
m
Jika fungsi
1

X n =  x ∈ X ;η ( x ) ≥ 
n

)
dengan k = 1, 2, …, m.Cukup ditunjukkan
µ ( X ) = 0. Berdasarkan definisi X, jika
diberikan
x ∈ X , dapat ditemukan
η ( x ) > 0 sehingga untuk setiap bilangan
β > 0 terdapat
suatu
sel
A ⊂ E ∩ B ( x , β ( x ))
dengan
x ∈ A, sh( A) > η ( x ) , d ( A) < β dan
Fk ( A)
≥ η(x )
λ ( A)
⇔ λ ( A) Fλ'k ( x ) − Fk ( A) ≥ η ( x )λ ( A)
Fλ' k ( x ) −
Atau diperoleh
f k ( x )λ ( A) − Fk ( A) ≥ η ( x )λ ( A)
f k ( xi )λ ( I i ) − Fk ( I i ) <
ε
(5)
n n+1
Mudah dipahami bahwa koleksi E dari
semua sel A ⊂ E sehingga
A ⊂ B( x A , δ ( x A )) untuk setiap titik
1
x A ∈ A ∩ X n , dengan sh( A) ≥ dan
n
d ( A) < δ ( x ) serta
1
f k ( x A )λ ( A) − Fk ( A) ≥ λ ( A) (6)
n
merupakan liput Vitali Xn.
i =1
Berdasarkan Teorema 9 (Teorema Liput
Vitali), maka terdapat koleksi saling
asing F ∈ E sehingga
µ (X n − U F ) = 0.
Berdasarkan Lemma 8 , terdapat koleksi
bagian F di dalam E yang saling asing
sehingga
Xn ⊂ U C ∗ : C ∈ F
{
}
Untuk setiap koleksi berhingga T ⊂ F ,
(4)
Dipilih untuk n ≥ 1 tetap dan dibentuk
himpunan X n ⊂ X sebagai berikut
 2004 FMIPA Universitas Lampung
∑
koleksi
{(C , xC ) : C ∈ T }merupakan
partisi Perron δ-fine pada A dengan
1
sh(C ) > . Oleh karena itu, diperoleh
n
163
Amanto, Kekontinuan dan Derivatif Primitif
∑ λ (C ) ≤ n ∑
C∈T
f k ( xC )λ (C ) − Fk (C )
C∈T
(7)
ε
<
nn
yang berakibat
Daftar Pustaka
µ ( X n ) ≤ ∑ λ (C * )
C∈F
< (5n) n ∑ λ (C ) ≤ 5 n ε .
C∈F
Karena ε dipilih sebarang maka hal ini
menunjukkan µ ( X n ) = 0, dan karena
∞
X = U X n , maka
n =1

∞

∞
≤ ∑ µ ( X n ) = 0.
n =1
Dengan kata lain untuk setiap k (k =
1,2,…,m), Fλ'k ada dan Fλ'k ( x ) = f k ( x )
hampir di mana-mana pada E , dengan
Fλ'k : I ( E ) → R dan fk : E ⊂ Rn→ R.
Jadi terbukti bahwa
Fλ' ( x ) = Fλ' 1 ( x ), Fλ' 2 ..., Fλ'm ( x ) ada dan
(
Fλ' ( x ) = f ( x )
pada E.
1. Amanto dan Darmawijaya, S. 2002.
Primitif Fungsi Terintegral Henstock
dari Ruang Euclide Rn ke Ruang
Euclide Rm Bersifat Kontinu Mutlak
Teritlak,
Jurnal Matematika dan
Pembelajarannya Tahun VIII Edisi
Khusus Juli 2002.

µ ( X ) = µ  U X n 
 n =1
Penelitian ini memperoleh pembiayaan
dari PPD Forum HEDS tahun 2003.
Penulis mengucapkan terima kasih atas
pendanaan tersebut sehingga penelitian
ini dapat terlaksana dengan lancar.
)
hampir di mana-mana
Kesimpulan
Sifat kontinu-α dari primitif fungsi
terintegral Henstock dari R ke R atau
dari Rn ke R ternyata masih berlaku
untuk primitif fungsi terintegral Henstock
dari Rn ke Rm. Sedangkan untuk
primitifnya, derivatif-αnya ada dan
hampir di mana-mana pada E ⊂ Rn juga
masih berlaku untuk fungsi yang
terintegral Henstock dari ruang Euclide
Rn ke ruang Euclide Rm. Tetapi dalam ini
memerlukan kecermatan, sebab pada
ruang Euclide Rn memerlukan konsep
shape.
2. Bullen, P.S. 1996. Notes on Real
Ana-lysis: A Short Course for Ph.D.
Students of the Departement of Mathematics. Gadjah Mada University,
Yogya-karta.
3. Indrati, Ch. R. dan Darmawijaya, S.,
1998. Syarat Cukup Fungsi Terintegral Henstock-Kurzweil Mutlak
Dalam Ruang Euclide Berdimensi-n,
BIMIPA 8 (1) : 24-34.
4. Indrati, Ch. R. dan Darmawijaya, S.
2000, Teorema Rapat Terkendali untuk
Integral
Henstock-Kurzweil
Dalam Ruang Berdimensi-n, MIHMI
6 (3) : 134 – 138.
5. Lee P.Y. 1989. Lanzhou Lectures on
Henstock Integration, World Scientific, Singapore.
6. Lee P.Y. 1995. Measurability and the
Henstock Integral. Proceeding Internat Math. Conference 1994, Kaohsiung, World Scientific.
7. Lee T.Y., Chew T.S. dan Lee P.Y.
1996-1997. On Henstock Integrability
in the Eucledean Space, Real Analysis
Exchange 22 (1) : 382-389.
Ucapan Terimakasih
164
 2004 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2004, Vol. 10, No. 3
8. Lu Jitan dan Lee P.Y. 1999. The Primitive of Henstock Integrabel Functions in the Eucledean Space, Bull
London Math. Soc 31 : 173-180.
9. Lee P.Y. 2000. Some Recent Results
on the Henstock Integral, Calcutta
Society 92nd Foundation Anniversary,
India.
 2004 FMIPA Universitas Lampung
10. Lee P.Y. and Vyborny, R. 2000.
Integral : An Easy Approach after
Kurzweil and Henstock, Cambridge
University Press, UK.
11. Pfeffer, W.F. 1993. The Riemann
Approach to Integration. Cambridge
University Press, New York, USA.
165