Ukuran Data Statistik - Official Site of Srava Chrisdes Antoro

UKURAN DATA STATISTIK
1. Konsep dasar statistika.
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan data,
menyajikan data, mengolah data, menganalisis data, dan menarik kesimpulan berdasarkan
kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.
Data adalah catatan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu penelitian.
Cara menyajikan data antara lain dengan tabel, grafik: diagram batang, diagram lingkaran,
histogram, poligon frekuensi, atau poligon frekuensi kumulatif (ogive).
2. Ukuran pemusatan data.
2.1. Mean (𝑥)
n
Untuk data tunggal: x 
x
i 1
i
n
x1  x2  x3  ...  xn
n

n
dimana:
x
= jumlah seluruh data dari i = 1 sampai i = n
n
= banyaknya data
i 1
i
n
Untuk data berkelompok: x 
 f x
i
i 1
n
f
i 1
dimana: xi
i

f1  x1  f 2  x2  f3  x3  ...  f n  xn
f1  f 2  f3  ...  f n
i
= titik tengah kelas interval ke-i
n
 f x =
i 1
jumlah seluruh hasil kali frekuensi dan titik tengah
i
i
i
= jumlah seluruh frekuensi
n
f
i 1
n
= banyaknya data
2.2. Modus (Mo)
Modus adalah nilai data yang sering muncul, atau nilai data yang mempunyai frekuensi
terbanyak.
 1 
Untuk data berkelompok: M o  L  
c
 1   2 
dimana: L
= tepi bawah kelas modus
δ1
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
δ2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c
= panjang kelas modus
3. Ukuran letak data.
3.1. Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyaknya setelah
data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
1
Q1: kuartil bawah
Q2: kuartil tengah atau median
Q3: kuartil atas
Untuk data tunggal, letak kuartil dapat ditentukan dengan rumus:
i (n  1)
Letak Qi 
4
dimana: Qi
= kuartil ke-i
n
= banyaknya data
i
= 1, 2, atau 3
Jika letak urutan kuartil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung kuartil
diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika kuartil terletak pada nilai urutan antara k dan
k  1 , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai kuartilnya adalah:
Qk  xk  d ( xk 1  xx )
 in

 4  FQi 
Untuk data berkelompok: Qi  Li  
c
f
i




dimana: Qi
= kuartil ke-i
Li
= tepi bawah kelas kuartil ke-i
= jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas kuartil ke-i
FQi
fi
n
c
i
=
=
=
=
frekuensi kelas kuartil ke-i
banyaknya data
panjang kelas
1, 2, atau 3
3.2. Desil
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyaknya setelah
data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Untuk data tunggal, letak desil dapat ditentukan dengan rumus:
i(n  1)
Letak Di 
10
dimana: Di
= desil ke-i
n
= banyaknya data
i
= 1, 2, 3, ..., 8, atau 9
Jika letak urutan desil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil
diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika desil terletak pada nilai urutan antara k dan
k  1 , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai desilnya adalah:
Dk  xk  d ( xk 1  xx )
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
2
 in

 10  FDi 
Untuk data berkelompok: Di  Li  
c
fi




dimana: Di
= desil ke-i
Li
= tepi bawah kelas desil ke-i
= jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas desil ke-i
FDi
fi
n
c
i
=
=
=
=
frekuensi kelas desil ke-i
banyaknya data
panjang kelas
1, 2, 3, ..., 8, atau 9
3.3. Persentil
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyaknya
setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.
Untuk data tunggal, letak persentil dapat ditentukan dengan rumus:
i (n  1)
Letak Pi 
100
dimana: Pi
= persentil ke-i
n
= banyaknya data
i
= 1, 2, 3, ..., 98, atau 99
Jika letak urutan persentil yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung
persentil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika persentil terletak pada nilai urutan
antara k dan k  1 , serta d adalah bagian desimal dari urutan tersebut, maka nilai persentilnya
adalah:
Pk  xk  d ( xk 1  xx )
 in

 100  FPi 
Untuk data berkelompok: Pi  Li  
c
f
i




dimana: Pi
= persentil ke-i
Li
= tepi bawah kelas persentil ke-i
= jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas persentil ke-i
FDi
fi
n
c
i
=
=
=
=
frekuensi kelas persentil ke-i
banyaknya data
panjang kelas
1, 2, 3, ..., 98, atau 99
4. Ukuran dispersi (penyebaran) data.
Ukuran penyebaran data menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data
memiliki nilai yang berbeda. Ukuran penyebaran data terdiri dari: range (jangkauan), deviasi
mean (simpangan rata-rata), hamparan (jangkauan antarkuartil), deviasi kuartil (simpangan
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
3
kuartil), variansi (ragam), dan deviasi standar (simpangan baku), kemencengan (skewness),
dan keruncingan (kurtosis).
4.1. Range (jangkauan)
Range suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
R  xmax  xmin
4.2. Deviasi mean (simpangan rata-rata)
Deviasi mean mengukur jumlat rata-rata dari nilai-nilai populasi (atau sampel) yang berbedabeda dari rata-ratanya.
Deviasi mean didefinisikan sebagai rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi dengan rata-rata
hitungnya.
1 n
Untuk data tunggal: MD   xi  x
n i 1
MD 
Untuk data berkelompok:
Keterangan:
1 r
 fi  xi  x
n i 1
MD = deviasi mean
xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
𝑥
= nilai rataan (mean) sampel
fi
= frekuensi kelas ke-i
r
= banyaknya kelas
n
= banyaknya data (ukuran data)
4.3. Hamparan (jangkauan antarkuartil)
Hamparan didefinisikan sebagai selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah.
H  Q3  Q1
4.4. Deviasi kuartil (simpangan kuartil)
Deviasi kuartil suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan.
Qd  12 H  12 (Q3  Q1 )
4.5. Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk populasi
Variansi adalah rata-rata kuadrat jarak suatu data terhadap rataannya, sedangkan deviasi
standar adalah akar dari variansi.
Untuk data tunggal:  2 
Untuk data berkelompok:
1
N
N
 ( xi   )2
;
  2 
i 1
2 
1 r
fi ( xi   )2

N i 1
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
;
1 N
( xi   )2

N i 1
  2 
1 r
fi ( xi   )2

N i 1
4
Keterangan:
2

= variansi populasi
= deviasi standar populasi
xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
= nilai rataan (mean) populasi

fi
= frekuensi kelas ke-i
r
= banyaknya kelas
N
= banyaknya data (ukuran data) pada populasi
4.6. Variansi (ragam) dan deviasi standar (simpangan baku) untuk sampel
1 n
Untuk data tunggal: S 2 
( xi  x)2

n  1 i 1
S  S2 
Untuk data berkelompok:
S2 
1 n
 ( xi  x)2
n  1 i 1
1 r
fi ( xi  x)2

n  1 i 1
S  S2 
Keterangan:
1 r
fi ( xi  x)2

n  1 i 1
S2
= variansi sampel
S
= deviasi standar sampel
xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
𝑥
= nilai rataan (mean) sampel
fi
= frekuensi kelas ke-i
r
= banyaknya kelas
n
= banyaknya data (ukuran data) sampel
4.7. Kemencengan (skewness)
Untuk menghitung kemencengan suatu data, salah satu caranya adalah dengan menggunakan
koefisien kemencengan Pearson:
( x  modus)
3  ( x  median)
sk 
atau sk 
S
S
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
5
Keterangan:
sk
𝑥
S
= koefisien kemencengan
= nilai rataan (mean) sampel
= deviasi standar sampel
4.8. Keruncingan (kurtosis)
Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang biasanya diambil secara
relatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi normal dapat dibagi menjadi 3 macam:
1)
LEPTOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi
(nilai keruncingan > 3)
2)
PLATIKURTIK, distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
(nilai keruncingan < 3)
3)
MESOKURTIK, distribusi yang memiliki puncak sedang dan tidak mendatar
(nilai keruncingan = 3)
Untuk menghitung keruncingan suatu distribusi data, digunakanlah koefisien kurtosis:
Untuk data tunggal:  4 
Untuk data berkelompok:
Keterangan:
1
N S4
N
 ( x  x)
4 
i 1
4
i
1
N S4
r
 f ( x  x)
i 1
i
4
i
𝛼4
= nilai keruncingan
S
= deviasi standar sampel
xi (untuk data tunggal) = nilai data ke-i
xi (untuk data berkelompok) = titik tengah kelas ke-i
𝑥
= nilai rataan (mean) sampel
fi
= frekuensi kelas ke-i
r
= banyaknya kelas
N
= banyaknya data (ukuran data)
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
6
LATIHAN SOAL
1.
Program Apollo berlangsung dari 1967 sampai 1972 dan terdiri dari 13 misi. Misinya
berlangsung sedikitnya 7 jam hingga selama 301 jam. Lama setiap penerbangan adalah
sebagai berikut.
9
244
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2.
195
192
241
147
301
10
216
295
260
142
7
Jelaskan mengapa data di atas merupakan suatu populasi.
Tentukan rata-rata dan median dari waktu penerbangannya.
Tentukan simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku dari waktu
penerbangan tersebut.
Hitunglah Q1 , D6 , dan P40 .
Tentukan nilai skewness dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis
kemencengannya?
Tentukan nilai kurtosis dari waktu penerbangan tersebut. Termasuk apakah jenis
kurva distribusi normalnya?
PT Komputer Jaya, penyedia layanan internet pada suatu daerah di Semarang, membuat
distribusi frekuensi berikut mengenai usia dari pengguna internet yang diambil secara
acak.
Usia (dalam tahun)
11 – 20
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
Frekuensi
7
18
20
12
3
Hitunglah:
a. rata-rata, median, dan modus
b. kuartil bawah dan kuartil atas
c. desil ke-3 dan desil ke-8
d. persentil ke-33 dan persentil ke-88
e. variansi dan simpangan baku
f. simpangan rata-rata dan simpangan kuartil
g. koefisien kemencengan Pearson
h. koefisien kurtosis
Ukuran Data Statistik - Srava Chrisdes Antoro, M.Si.
7