Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR

Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
June 6, 2014
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
1 / 15
Outline
Outline
1
PDL Bagian I
Contoh
Soal-Soal Latihan
2
PDL Bagian II
Contoh
Soal-Soal Latihan
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
2 / 15
PDL Bagian I
Definisi
Yang dimaksud dengan persamaan diophantine linear (disingkat dengan
PDL) adalah persamaan linear berbentuk
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = m
dengan m dan ai , i = 1, 2, . . . , n merupakan bilangan bulat dengan solusi
xi (i = 1, 2, . . . , n) dalam bilangan bulat.
Catatan
PDL yang akan kita bahas terlebih dulu adalah PDL dengan ai = 1 yaitu
PDL dengan bentuk
x1 + x2 + . . . + xn = m
dengan solusi dalam bilangan bulat positif dan dengan solusi bilangan
bulat nonnegatif.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
3 / 15
PDL Bagian I
I. PDL x1 + x2 + . . . + xn = m dengan xi ∈ Z+
PDL
x1 + x2 + . . . + xn = m
dengan
solusi
dalam bilangan bulat positif mempunyai solusi sebanyak
m−1
.
n−1
Bukti:
Permasalahan persamaan diophantine linear di atas identik dengan
permasalahan penempatan n − 1 tanda ⊕ sebagai ganti tanda + pada
bentuk
1 + 1 + ... + 1
(sebanyak m suku) sehingga banyaknya angka 1 di depan tanda ⊕
pertama menyatakan nilai x1 , banyaknya angka 1 di antara tanda ⊕
pertama dan kedua menyatakan nilai x2 , dan seterusnya sampai dengan
banyaknya angka 1 setelah tanda ⊕ terakhir menyatakan nilai xn .
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
4 / 15
PDL Bagian I
Lanjutan Bukti:
Dengan demikian terlihat bahwa xi > 1 untuk setiap i. Banyaknya cara
menempatkan tanda ⊕ sebagai ganti tanda + pada bentuk
1
|+1+
{z. . . + 1}
sama dengan
m−1
n−1
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
.
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
5 / 15
PDL Bagian I
II. PDL x1 + x2 + . . . + xn = m dengan xi ∈ Z+
PDL
x1 + x2 + . . . + xn = m
dengan
solusi dalam
bilangan bulat nonnegatif mempunyai solusi sebanyak
m+n−1
.
n−1
Bukti:
Permasalahan persamaan diophantine linear di atas identik dengan
permasalahan penempatan n − 1 tanda + dan m angka 1. Banyaknya
angka 1 di depan tanda + pertama menyatakan nilai x1 , banyaknya angka
1 di antara tanda + pertama dan kedua menyatakan nilai x2 , dan
seterusnya sampai dengan banyaknya angka 1 setelah tanda + terakhir
menyatakan nilai xn .
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
6 / 15
PDL Bagian I
Lanjutan Bukti:
Dengan demikian terlihat bahwa xi ≥ 1 untuk setiap i.
Banyaknya cara
m+n−1
menempatkan tanda + dan m angka 1 sama dengan
.
n−1
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
7 / 15
PDL Bagian I
Contoh
Contoh
1. Banyaknya solusi persamaan Diophantine linear
x1 + x2 +
xi bilangan bulat positif sama
x3 + x4 +
x5 =
11 dengan
11 − 1
10
10!
= 210.
dengan
=
= 6!4!
5−1
4
2. Banyaknya solusi persamaan Diophantine linear
x1 + x2 +
= 11dengan
x3 + x4 + x5 xi bilangan bulat nonnegatif sama
11 + 5 − 1
15
15!
= 1365.
dengan
=
= 11!4!
5−1
4
3. Berapa banyaknya cara meletakkan 15 bola identik ke dalam 4 kotak
berbeda jika tidak boleh ada kotak yang kosong? Banyaknya solusi
permasalahan ini sama dengan banyaknya solusi persamaan
Diophantine linear x1 + x2 + x3 +x4 = 15 dengan xi > 0 untuk setiap
14
i = 1, 2, 3, 4, yaitu sama dengan
= 364.
3
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
8 / 15
PDL Bagian I
Soal-Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
1. Tentukan banyaknya solusi persamaan Diophantine linear
x1 + x2 + x3 = 19 dengan x1 ≥ 2, x2 ≥ 4 dan x3 > 0!
3. Berapa banyaknya cara meletakkan 20 bola identik ke dalam 5 kotak
berbeda jika kotak pertama harus terisi minimal 6 bola!
3. Tentukan koefisien x n pada perkalian
(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . .)(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . .)(1 + x + x 2 +
x 3 + x 4 + . . .)(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . .)!
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
9 / 15
PDL Bagian II
Lemma
Jika a > b > 0 dan a = bq + r maka gcd{a, b} = gcd{b, r }.
Lemma
Jika gcd{a, b} = d maka dapat ditemukan bilangan-bilangan bulat u dan
v sehingga d = gcd{a, b} = au + bv .
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
10 / 15
PDL Bagian II
TEOREMA
(i) PDL berbentuk ax + by = c mempunyai solusi jika dan hanya jika
gcd{a, b} membagi habis c.
(ii) Jika d = gcd{a, b} = au + bv maka
x0 =
uc
d
dan
vc
d
merupakan solusi (inisial) PDL ax + by = c. Lebih lanjut,
penyelesaian umum PDL ax + by = c adalah
y0 =
x = x0 +
b
t
d
y = y0 −
a
t.
d
dan
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
11 / 15
PDL Bagian II
BUKTI Teorema Bagian (i)
⇒ Misalkan PDL berbentuk ax + by = c mempunyai solusi. Maka
terdapat x0 dan y0 sehingga ax0 + by0 = c. Karena d = gcd{a, b}|a dan
d = gcd{a, b}|b maka d = gcd{a, b}|ax0 + by0 = c.
⇐ Sebaliknya, misalkan d = gcd{a, b}|c, maka terdapat bilagan bulat z
sehingga c = dz. Di sisi lain, terdapat bilangan-bilangan bulat u dan v
sehingga d = gcd{a, b} = au + bv . Sehingga
c = dz = (au + bv )z = a(uz) + b(vz).
Jadi, PDL ax + by = c mempunyai solusi.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
12 / 15
PDL Bagian II
BUKTI Teorema Bagian (ii)
Lebih lanjut,
dc = (au+bv )c = (uc)a+(vc)b = uca+vcb+abt−abt = (uc+bt)a+(vc−at)
untuk setiap bilangan bulat t. Sehingga
c=(
bt
vc
at
uc
+ )a + ( − )b
d
d
d
d
dan
x = x0 +
bt
d
y = y0 −
at
d
dan
merupakan solusi.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
13 / 15
PDL Bagian II
Contoh
Contoh
Tentukan semua solusi PDL 3x + 4y = 7.
Jawaban:
Karena 1 = gcd{3, 4}|7 maka PDL tersebut mempunyai solusi. Lebih
lanjut, terdapat u = −1 dan v = 1 sehingga 1 = gcd{3, 4} = 3u + 4v .
Sehingga diperoleh solusi umumnya adalah :
x=
−7 4t
+
= −7 + 4t
1
1
dan
7 3t
−
= 7 − 3t
1
1
dengan t sebarang bilangan bulat.
y=
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
14 / 15
PDL Bagian II
Soal-Soal Latihan
SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukan semua solusi PDL berikut:
1. 6x + 4y = 32
2. 2x + 3x + 4z = 17
3. 5x + 6y = 20
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu I PERSAMAAN DIOPHANTNE LINEAR
June 6, 2014
15 / 15