Integrasi pada Vektor

Integrasi pada Vektor
Elektromagnetika 1
Pertemuan ke-5
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (1) - Besaran skalar
• Integral adalah penjumlahan
yg dapat melibatkan besaran
skalar dan vektor
 Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat besaran skalar
A(l )
 Untuk menghitung jumlah total dari besaran A pada
lintasan c dilakukan integrasi:
N
Lim  A i  i   A d
 i 0
i 1
N 
c
2
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (2) – Besaran vektor
• Sepanjang lintasan c
terdapat vektor-vektor kecil

N

 d  Lim   
c
 i 0
i
i 1
 Integrasi vektor pada lintasan c menghasilkan vektor
lurus dari titik a ke b
3
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (3) - Besaran vektor
• Salah satu aplikasi penting dari konsep integral garis pada
besaran vektor di bidang ilmu elektromagnetik adalah : Integral
garis dari komponen vektor yang arahnya tangential terhadap
lintasan
• Notasi :
 Ax, y, z  tx, y, z  d
c
• t merupakan vektor satuan yang arahnya
tangential/paralel/sejajar terhadap lintasan integrasi
4
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (4) - Besaran vektor
• Contoh kasus :
• Berapa besar daya yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan
dari titik a ke b sepanjang lintasan c jika diberikan medan listrik
seperti diatas ???
5
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (5) - Besaran vektor
• Rumus dasar daya : W = F . s = q E . S
• Karena arah medan listrik tidak searah dengan arah lintasan
yang akan ditempuh oleh muatan, maka utk menghitung
daya total dibutuhkan interasi garis yang melibatkan besaran
vektor
6
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral garis (6) - Besaran vektor
• Solusinya adalah dengan menghitung daya di setiap segmen
lintasan
N
Wi  q Ei cos  i  i 
W  q  E i cos  i  i
i 1
Komponen E
yang searah
dengan lintasan
N
W  Lim q  Ei  t  i
 i 0
N 
i 1
 q  E  t d
c
7
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral Garis untuk Besaran Vektor
pada sistem koordinat (1)
A

t
d


A

d



c
c
d  dx a x  dy a y  dz a z
 d a   d a   dz a z
 dr a r  rd a   r sin  d a 
8
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral Garis untuk Besaran Vektor
pada sistem koordinat (2)
• Cartesian
– A = Ax ax + Ay ay + Az az
– dl = dx ax + dy ay + dz az
 A  d   A a  A a  A a  dxa
  A dx  A dy  A dz 
x
x
y
y
z
z
x
 dya y  dza z 
c
x
y
z
x2
y2
z2
x1
y1
z1
  Ax dx   Ay dy   Az dz
9
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral Garis untuk Besaran Vektor
pada sistem koordinat (3)
• Silinder
– A = A a + A a + Az az
– dl = d a +  d a + dz az
 A  d   A a  A a  A a  da
  A d  A dφ  A dz 
 
 


z
z

 da   dza z 
c
z
2
2
z2
1
1
z1
  A d   Adφ   Az dz
10
Dr. Ir. Chairunnisa
Integral Garis untuk Besaran Vektor
pada sistem koordinat (4)
• Bola
– A = Ar ar + A a +A a
– dl = dr ar + r d a + r sin  d a
 A  d   A a  A a  A a  dra  rda
  A dr  A rd  A r sin d
r
 
r
 
r

 r sin da  
c

r

r2
2
2
r1
1
1
  Ar dr   A rd   A r sin d
11
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi Luas untuk Besaran Vektor (1)
• Penerapan : menghitung vektor yang menembus
suatu bidang dengan tegak lurus
• Pada integrasi luas ini dikenal besaran differensial
area si yang terletak pada bidang s
• Distribusi garis vektor pada seluruh permukaan
bidang s dapat uniform dan atau nonuniform
• Distribusi garis vektor pada differensial area si
dapat diasumsikan uniform
12
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi Luas untuk Besaran Vektor (2)
• Flux yang dihitung adalah yang arahnya normal (tegak lurus)
terhadap bidang si
Tembus semua
Tidak ada yang
tembus
 F cos  s  F s cos 
 F  ns
13
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (3)
 F cos  s  F s cos 
 F  ns
n = vektor satuan dengan arah
tegak lurus terhadap bidang si
N
Jumlah tot al garis fluks listrik   Fi cos  i si
i 1
Jumlah tot al garis fluks listrik yg tembus area s   F  ds
s
14
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (4)
• Contoh: Diketahui vektor B pada suatu sistem
koordinat cartesian dimana
B = (x + 2) ax + (1 – 3y) ay + 2z az
• Hitunglah jumlah vektor B yang menembus keluar
kubus dengan batas
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1
15
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (5)
z
c
d
g
h
a
e
b
• Jawab : Jumlah vektor B
yang menembus bidang
kubus adalah vektor B
yang tegak lurus terhadap
Y
bidang yang ditembus
f
X
 Untuk perhitungan digunakan persamaan sbb :
B yang tembus   B  ds
S
16
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (6)
 B  ds   B  ds   B  ds   B  ds 
s
abcd
efgh
aehd
 B  ds   B  ds   B  ds 
bfgc
aefb
dhgc
 Bidang abcd, x = 0, ds = dsx = - dy dz ax
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
abcd
y

 2 za z 
z 0 y 0
1
 dy dz a x 
1
   2dy dz  2
z 0 y 0
17
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (7)
 Bidang efgh, x = 1, ds = dsx = dy dz ax
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
efgh
y

 2 za z 
z 0 y 0
1
dy dz a x 
1
  3dy dz  3
z 0 y 0
18
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (8)
 Bidang aehd, y = 0, ds = dsy = - dx dz ay
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
aehd
y

 2 za z 
x 0 z 0
1
- dx dz a y 
1
   1dx dz  1
x 0 z 0
19
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (9)
 Bidang bfgc, y = 1, ds = dsy = -dx dz ay
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
bfgc
y

 2 za z 
x 0 z 0
1
dx dz a y 
1
   2dx dz  2
x 0 z 0
20
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (10)
 Bidang aefb, z = 0, ds = dsz = -dx dy az
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
aefb
y

 2 za z 
x 0 y 0
1
- dx dy a z 
1
  0dx dy  0
x 0 y 0
21
Dr. Ir. Chairunnisa
Integrasi luas untuk besaran vektor (11)
 Bidang dhgc, z = 1, ds = dsz = dx dy az
 B  ds    x  2a  1  3 y a
1
1
x
dhgc
y

 2 za z 
x 0 y 0
1
dx dy a z 
1
  2dx dy  2
x 0 y 0
 Total
 B  ds  2  3  1  0  2  2  0
s
22