kesebangunan oleh

Rasio
Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan
besaran dengan pembagian.
Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah
satu sisinya yang seletak memiliki panjang 20 cm dan 10 cm, kita dapat
20
membandingkan panjangnya dalam pengertian rasio, yaitu 10 atau 20 : 10.
Contoh:
Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika:
(a) Sudut pertama dan ketiga adalah sudut pelurus
(b) Sudut-sudut dari ketiga sudut dalam segitiga
Jawab:
Misal, sudut dijadikan 4x, 3x, dan 2x
a) 4x + 2x = 180, sehingga 6x = 180, dan didapat x = 30. Sehingga ukuran setiap
sudutnya berturut-turut adalah 120, 90, dan 60.
b) 4x + 3x + 2x = 180, sehingga 9x = 180, kemudian x = 20. Sehingga setiap
ukuran sudutnya adalah 80, 60, dan 40.
Perbandingan
Perbandingan adalah kesamaan yang menyatakan bahwa dua rasio sama.
Contoh:
12
3
Rasio 12 : 16 adalah sama dengan rasio 3 : 4, kita dapat menuliskan 16 = 4, nah,
itu yang disebut perbandingan (proporsi), dapat juga kita tuliskan 12 : 16 = 3 : 4.
Prinsip-prinsip Proporsi
Prinsip 1:
Dalam sebuah proporsi, hasil kali dari mean sama dengan hasil kali dari ekstrem.
Maka, a : b = c : d, b  0 dan d  0, sehingga, ad = bc
Pembuktian:
Misal 12 : 16 = 3 : 4
12.4 = 16. 3
48 = 48 >>> terbukti
Prinsip 2:
Jika hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, maka
yang satu berasal dari pasangan suku tengah dan yang lainnya dari pasangan
ujung-ujungnya.
(misal, 3x : 5y, maka dapat berasal dari x : y = 5 : 3 atau y : x = 3 : 5 atau 3 : y = 5
: x atau 5 : x = 3 : y)
Metode atau cara mengubah suatu proporsi menjadi suatu proporsi baru
Prinsip 3: metode inversi (membalik), suatu proporsi dapat diubah menjadi
1
4
proporsi baru dengan membalik masing-masing rasio. (misal, jika 𝑥 = 5, maka
𝑥
1
5
= 4)
Prinsip 4: metode alternasi (mengganti silang), suatu proporsi dapat diubah
menjadi proporsi baru dengan cara mengganti bersilangan unsur tengahnya atau
unsur ujung-ujungnya.
𝑥
𝑦
𝑥
3
2
𝑦
(misal, jika 3 = 2 , maka 𝑦 = 2 atau 3 = 𝑥 )
Prinsip 5: metode adisi (penambahan), suatu proporsi dapat diubah menjadi
proporsi baru dengan cara menambahkan suku masing-masing rasio pada suku
𝑎
𝑐
𝑎:𝑏
𝑐:𝑑
𝑥;2
9
pertama dan suku ketiga. (misal, 𝑏 = 𝑑 , kemudian 𝑏 = 𝑑 , jika 2 = 1 ,
kemudian
𝑥
2
=
10
)
1
Prinsip 6: metode substraksi (pengurangan), suatu proporsi dapat diubah menjadi
proporsi baru dengan cara mengurangi suku pertama dan suku ketiga dengan
𝑎
𝑐 𝑎;𝑏
𝑐;𝑑
𝑥:3
9
𝑥
8
masing-masing rasionya. (misal, jika, 𝑏 = 𝑑, 𝑏 = 𝑑 jika 3 = 1, kemudian 3 = 1)
Prinsip 7: jika sembarang tiga suku dari suatu proporsi sama dengan tiga suku
proporsi lainnya, maka suku sisanya juga sama.
𝑥
3
𝑥
3
(misal, jika 𝑦 = 2 dan 5 = 2, maka y = 5)
Prinsip 8: dalam suatu deretan rasio yang sama, rasio jumlah pembilangnya
terhadap jumlah penyebutnya yang bersesuaian sama dengan rasio salah satu
pembilang dan penyebutnya.
(misal, jika
𝑥
3
atau 11 = 2)
𝑎
𝑏
𝑐
𝑒
= 𝑑 = 𝑓, maka =
𝑎:𝑐:𝑒
𝑏:𝑑:𝑓
𝑐
= 𝑑. Jika
𝑥;𝑦
4
=
𝑦;3
5
3
= 2, maka
𝑥;𝑦:𝑦;3:3
4:5:2
3
=2
Contoh:
Ubahlah proporsi berikut menjadi proporsi yang baru!
15
3
=
𝑥
4
𝑥;6
5
(b)
=
6
3
𝑥:8
4
(c)
=
8
3
5
15
(d) =
2
𝑥
(a)
Jawab:
𝑥
4
Prinsip 3: 15 = 3
𝑥
8
𝑥
1
𝑥
15
,
5
Prinsip 5: 6 = 3
Prinsip 6: 8 = 3
Prinsip 4: 2 =
𝑥
3
maka 2 = 1
Mean dan Ekstrem
Mean dalam proporsi adalah suku-suku tengah, yaitu suku kedua dan ketiga
Sedangkan ekstrem dari sebuah proporsi adalah suku yang terletak di luar.
Contohnya a : b = c : d, mean dari proporsi tersebut adalah b dan c, sedangkan
ekstremnya yaitu a dan d.
Ekstrem
𝑎∶𝑏=𝑐∶𝑑
Mean
Jika dua mean dalam sebuah proporsi sama, salah satu dari mean adalah mean
proporsional antara suku pertama dan keempat. Jadi, 9 : 3 = 3 : 1, 3 adalah mean
proporsional antara 9 dan 1.
Contoh 1:
1
2
Carilah mean proporsional dari (a) 5 dan 20; (b) =
8
9
Jawab:
5 : x = x : 20, 𝑥 2 = 100, jadi x = 10
1
.𝑥
2
8
4
2
= 𝑥. 9, sehingga 𝑥 2 = 9, 𝑥 = 3
Contoh 2:
1
Temukan suku ke empat dari proporsi untuk (a) 2, 4, 6; (b) 4, 2, 6; (c) 2, 3, 4; (d) b,
d, c
Jawab:
(a) 2 : 4 = 6 : x
2x = 24
x = 12
(b) 4 : 2 = 6 : x
4x = 12
x=3
1
1
(c) 2 . 3 = 4 ∶ 𝑥, sehingga 2 𝑥 = 12, dan x = 24
(d) 𝑏 ∶ 𝑑 = 𝑐 ∶ 𝑥 maka bx = cd, dan x =
𝑐𝑑
𝑏
Sifat-Sifat Perbandingan

Sifat 1
Jika a : b = c : d, maka ad = bc

Sifat 2
Jika ad = bc, maka a : b = c : d
Dari sifat 1 yaitu bahwa a : b = c : d maka ad = bc, bentuk a : b = c : d dapat
𝑎
𝑐
dinyatakan sebagai bentuk pecahan, yaitu 𝑏 = 𝑑, sehingga bentuk umumnya
seperti berikut ini.
𝑎
𝑐
Jika 𝑏 = 𝑑, maka ad = bc
Contoh:
Hitunglah nilai x berikut.
a. 2 : x = 8 : 20
b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5
c. 3/x = 6/24
Penyelesaian:
a. 2 : x = 8 : 20
Dengan menggunakan sifat:
a : b = c : d, maka
a × d = b × c, kita peroleh
2 × 20 = 8x
40 = 8x
40/8 = x
5=x
b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5
Dengan menggunakan sifat a : b = c :
d,
maka a × d = b × c kita peroleh:
5(3x + 1) = 3(4x + 2)
15x + 5 = 12x + 6
15x – 12x = 6 – 5
3x = 1
x = 1/3
c. 3/x = 6/24
6x = 3 × 24
6x = 72
x = 72/6
x = 12
Segi Banyak Sebangun
Dua segibanyak (polygon) dikatakan sebangun jika ada korespondensi satu-satu
antar titik-titik sudut kedua segibanyak tersebut sedemikian hingga berlaku:
1. Sudut-sudut yang bersesuaian (berkorespondensi) sama besar, dan
2. Semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (berkorespondensi)
sebanding/senilai.
Kesebangunan dilambangkan dengan simbol “~”.
Contoh 1:
P
A
B
4
3
3
Q
8
6
6
4
8
D
C
S
R
Dua obyek persegi-empat, yaitu persegi-empat ABCD dan PQRS, perhatikan
bahwa kedua obyek tersebut sebangun, sebab:
1. Sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama, yaitu masing-masing
bersudut 90
2.
Sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding, yaitu:
AB : PQ = 4 : 8 = 1 : 2
BC : QR = 3 : 6 = 1: 2
CD : RS = 4 : 8 = 1: 2
DA : SP = 3 : 6 = 1: 2
Karena memenuhi kedua syarat di atas, maka kedua obyek tersebut
sebangun.
Contoh 2:
Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah
sebangun, tentukan besar R dan S!
Penyelesaian :
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang
bersesuaian sama besar sehingga P = 125° dan Q = 80°
1. Amati layang-layang PQRS
Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar
sehingga R = P = 125°
2. Oleh karena sudut-sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka:
P + Q + R + S = 360°
125° + 80° + 125° + S = 360°
S = 360° – 330° = 30°
Segitiga sebangun
Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
dan semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding/senilai.
Teorema:
1. Dua segitiga sebangun jika dua sudut yang berkorespondensi ukurannya sama
(sudut-sudut)
2. Dua segitiga sebangun jika diketahui ukuran-ukuran sisi-sisi yang
berkorespondensi sebanding (sisi-sisi-sisi)
3. Dua segitiga sebangun jika diketahui dua pasang sisi yang berkorespondensi
sebanding dan pasangan sudut yang diapit kedua sisi yang berkorespondensi
tersebut kongruen (sisi-sudut-sisi)
Contoh 1:
Perhatikan gambar berikut, dua segitiga sebangun , yaitu ∆ ABC ~ ∆ PQR, carilah
panjang sisi BC pada segitiga ABC dan panjang sisi RP pada segitiga PQR!
Jawab:
Karena kedua segitiga sebangun, maka ketiga sisinya sebanding, yaitu:
𝐴𝐵
𝑃𝑄
𝐵𝐶
𝐶𝐴
1
𝐵𝐶
10
= 𝑅𝑃 = 2
4
1
= 𝑄𝑅 = 𝑅𝑃 = 2
Atau
6
12
=
Jadi panjang sisi BC = 5 dan panjang sisi RP = 8.
1. Garis sejajar pada segitiga
Jika sebuah segitiga dilukis garis yang sejajar pada salah satu sisinya maka
terjadi dua segitiga yang sebangun.
2. Garis tinggi pada segitiga
Jika sebuah segitiga siku-siku dilukis garis tinggi pada sisi miringnya maka terjadi
tiga segitiga yang sebangun.
Contoh 2:
Dalam sebuah segitiga PQR, S adalah titik tengah dari 𝑅𝑄 dan T adalah titik
tengah dari 𝑃𝑄.
RP = 7x + 5, ST = 4x – 2, SR = 2x + 1, PQ = 9x + 1
Carilah panjang ST, RP, SR, RQ, PQ, dan TQ.
Jawab:
Solusi: ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga sejajar
dengan sisi yang ketiga dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi yang
ketiga. (teorema titik tengah)
1
4x – 2 = 2 (7x + 5)
2 (4x - 2) = 7x + 5
8x – 4 = 7x + 5
x=9
𝑆𝑇 = 4 9 − 2 = 36 − 2 = 34
𝑅𝑃 = 7 9 + 5 = 63 + 5 = 68
𝑆𝑅 = 2 9 + 1 = 18 + 1 = 19
𝑅𝑄 = 2𝑆𝑅 = 2 19 = 38
𝑃𝑄 = 9 9 + 1 = 81 + 1 = 82
1
1
𝑇𝑄 = 𝑃𝑄 = 82 = 41
2
2
Bagian-Bagian Sebanding Segitiga
Teorema kesebandingan:
Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong kedua sisi
yang lain pada dua titik berbeda, maka garis itu membagi sisi-sisi terpotong itu
menjadi bagian-bagian yang panjangnya sebanding.
Bagian-Bagian Sebanding Segitiga Sebangun
Contoh 1:
Apakah pasangan segitiga dibawah ini sebangun? Mengapa demikian?
Jawab:
Akan diselidiki apakah sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga ABC dan segitiga
DEF sebanding.
𝐴𝐵 12
=
=3
𝐷𝐸
4
𝐵𝐶 5
𝐴𝐶 13
=
→
=
𝐸𝐹 3
𝐷𝐹
5
Ternyata sisi-sisi yang bersesuaian tidak sebanding, jadi gambar tersebut
merupakan pasangan bangun datar yang tidak sebangun.
Contoh 2:
Di antara gambar-gambar berikut manakah yang sebangun?
Jawab:
Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang
diapitnya, gunakan syarat kesebangunan yaitu sisi-sudut-sisi.
 Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar yaitu 50° .
 Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut.
Untuk segitiga (a) dan (b) :
Untuk segitiga (a) dan (c) :
Untuk segitiga (b) dan (c) :
3
6
=
0,3
𝑑𝑎𝑛
= 0,46
10
13
3
6
=
= 0,6
5
10
10
13
=
2
𝑑𝑎𝑛
= 1,3
5
10
Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)
Keliling dan Luas Segitiga Sebangun

Teorema 1:
Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya
bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.

Teorema 2:
Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding
seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

Teorema 3:
Perbandingan luas dua segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat
dari perbandingan sepasang sisi seletak.

Teorema 4:
i. Perbandingan keliling dari dua segi banyak yang serupa adalah sama
dengan perbandingan panjang dari sisi yang sepasang.
ii. Perbandingan luas dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan
kuadrat perbandingan panjang dari yang sepasang.
Contoh:
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF, sisi-sisi yang bersesuaian memiliki
rasio 3 : 2. Carilah luas dan keliling dari ∆ DEF (dalam cm)!
Jawab:
a.
𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹
𝐾 ∆𝐴𝐵𝐶
𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹
𝐾 ∆𝐴𝐵𝐶
3
=2
=
𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹
32
3
=2
2𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹 = 96
𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹 = 48 𝑐𝑚
Atau dengan cara mencari panjang masing-masing sisi yang belum diketahui dari
∆DEF menggunakan perbandingan.
3
𝑚
𝑚′
3
𝑚
4
𝐸𝐹
𝐵𝐶
=2
3
𝐷𝐹
𝐴𝐶
=2
𝐸𝐹
12
=2
3
𝐷𝐹
14
=2
𝐸𝐹 =
3.12
2
𝐸𝐹 = 18 𝑐𝑚
𝐷𝐹 =
14.3
2
𝐷𝐹 = 21 𝑐𝑚
3
=2
3
=2
𝑚=
4.3
2
𝑚 = 6 𝑐𝑚
K ∆DEF = DE + EF + DF
= 9 cm + 18 cm + 21 cm
= 48 cm
1
b. 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐷𝐸𝐹 = 2 𝑎𝑡
1
= 2 . 21 𝑐𝑚. 6 𝑐𝑚
=
126
2
= 63 𝑐𝑚2
E:\GEOMETRI nw\geometri\SimilarRightTriangles.cdf

Gracias