PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( 12 θ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ12 ) TERHADAP
BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
Skripsi
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
THOMAS JOKO KRISMANTO
NIM: 003214016
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
INTER PLANET ANGLE ( θ12 ) EFFECT ON THE
TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
Scription
Presented as Partial Fulfillment of the requirements
to obtain the Sarjana Sains Degree
In Physics
By:
THOMAS JOKO KRISMANTO
NIM: 003214016
PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kehidupan ini adalah belajar
dari waktu ke waktu
sampai kita tak dapat merasakan
panas dinginnya dunia.
Semua begitu mudah bagi kemauan dan tekat
yang kuat.
Ku persembahkan skripsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku
Isbandini,Heriyanto dan Sri Astuti
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ12 ) TERHADAP
BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET
ABSTRAK
Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut ( θ12 ) untuk sistem dua planet
yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket program Maple
10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet ( θ 12 )
menentukan bentuk lintasan planet.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
INTER PLANET ANGLE ( θ12 ) EFFECT TO THE
TRAJECTORY FORM OF TWO
PLANETS SYSTEM
ABSTRACT
Inter planet angle ( θ12 ) effect to the trajectory form of two planets system
which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10
program packet. The obtained results show that the inter planet angle ( θ12 ) value
determine the planet trajectory form.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap
detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar
bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya
tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.
Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan
rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:
1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing
yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di
saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya
terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil
pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak
ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.
2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi
dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi
saya.
3. Dekan
Fakultas
Sains
dan
Teknologi
Ir.G.Heliarko,S.J
S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.
4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA.
Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si
(almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati,
S.Si.
5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang
banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi.
6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.
7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.
8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama
berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam
menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu.
Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.
9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur.
10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit
komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik
materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES
untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama.
11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti
menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi
dukungan dan semangat bagi saya.
12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan
satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena
itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.
Yoyakarta,
Januari 2008
Penulis
Th. Joko Krismanto
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak
memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka,
sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta,
Januari 2008
Penulis
Th. Joko Krismanto
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………..…..
iii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………..…..
iv
HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN ……………………………..........
v
HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ...
vi
ABSTRAK ………………………………………………………….……….
vii
ABSTRACT ………………………………………………………………… viii
KATA PENGANTAR ………………………………………………............
ix
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………...
xii
DAFTAR ISI ……………………………………………………….............. xiii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... xv
BAB I. PENDAHULUAN ………………………………………………….
1
1.1. Latar Belakang ………………………………….………....….
1
1.2. Perumusan Masalah …………………………………………..
2
1.3. Batasan Masalah ……………………………………………...
2
1.4. Tujuan Penelitian ……………………………………………..
3
1.5. Manfaat Penelitian ………… .……………………………......
3
1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………......
3
BAB II. DASAR TEORI ……………………………………………….......
5
2.1. Hukum Kepler ………………………………………………... 5
2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………………………......
8
2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13
2.4. Sistem Gerak Dua Planet ......................................................... 18
2.5. Polinomial Legendre …………………………………………. 20
BAB III. METODE PENELITIAN …………………………………………
xiii
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3.1. Jenis Penelitian ……………………………………………….. 22
3.2. Sarana Penelitihan ……………………………………………. 22
3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……………………………….. 22
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……………………….... 23
4.1. Sistem Dua Planet …………………………………………….. 23
4.2. Bentuk Lintasan Planet ……………………………………..... 34
4.3. Pembahasan …………………………………………………..
41
BAB V. PENUTUP ……………………………………………………........ 44
5.1 Kesimpulan …………………………………………………..... 44
5.2 Saran …………………………………………………………... 44
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………... 45
LAMPIRAN
Lampiran A
………………………………………………………. 46
Lampiran B
. ……………………………………………………... 55
Lampiran C
………………………………………………………. 56
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Bentuk lintasan (orbit) planet
5
Gambar 2.2
Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t
6
Gambar 2.3
Interaksi sistem dua planet
19
Gambar 4.1
Dua planet berinteraksi
23
Gambar 4.2
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 00
Gambar 4.3
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 300
Gambar 4.4
37
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1800
Gambar 4.9
37
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1500
Gambar 4.8
36
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1200
Gambar 4.7
36
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 900
Gambar 4.6
35
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 600
Gambar 4.5
35
38
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2100
xv
38
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2400
39
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2700
39
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3000
40
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3300
40
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3600
xvi
41
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat
jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet
yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum
Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu
sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah
berbentuk elips (Sears dkk, 1987).
Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan
antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes
Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan
data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara
matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.
Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan
gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara
tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet
terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips
(Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari
menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai
posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut
aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang
interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan
planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan
menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang
mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.
1.2.
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet
yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut
antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan
dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk
lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).
1.3.
Batasan Masalah
Masalah yang diteliti dibatasi pada
1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama.
2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan
energi potensial gravitasi.
3. Sistem dua planet yang berinteraksi.
4. Bentuk lintasan gerak planet sebagai fungsi sudut antar planet.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1.4.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk
1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik
pusat massa yang sama.
2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh
bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet
dengan menggunakan paket program Maple 10.
1.5.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk:
Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua
planet yang mengorbit titik pusat yang sama.
1.6.
Sistematika Penulisan Laporan Penelitian
Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:
BAB I. PENDAHULUAN
Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan
masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika
penulisan laporan
penelitian.
BAB II. DASAR TEORI
Dalam Bab II
dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak
planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua
planet dan
polinomial Legendre.
BAB III. METODE PENELITIAN
Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam
penelitian ini.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk
lintasan planet dan pembahasan.
BAB V. PENUTUP
Bab V menyajikan kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
2.1.
HUKUM KEPLER
Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang
kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga
dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan
Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya
secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang
kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).
Hukum Kepler tersebut adalah:
1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan
matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti
kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh
dari
matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut
perihelium.
D
b
C
A
B
a
M
E
Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang
sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan
AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas
A M B sama dengan C M D.
∆t
r
r
r + ∆r
∆t
∆A
∆A
θ
M
r
v
r
r
m
Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t .
Jika jari-jari lintasan planet adalah r dan sudut yang dibentuk selama waktu
∆t adalah ∆θ , maka
∆A =
1
r ⋅ ∆s
2
=
1
r ⋅ r ⋅ ∆θ
2
=
1 2
r ∆θ .
2
(2.1)
Jika ∆t → 0 , maka ∆θ → 0 , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi
lim
∆θ → 0
∆A 1 2
= r ,
∆θ 2
atau
dA =
1 2
r dθ .
2
(2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
3. Rasio kuadrat periode revolusi planet ( T ) terhadap kubik dari sumbu elips
( r ) adalah sama untuk seluruh planet :
T2
=C.
r3
(2.3)
Nilai tetapan C dapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang
gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral.
Jika suatu benda bermassa m bergerak melingkar dengan jari-jari r , maka
periode ( T ) adalah
T=
2πr
,
v
(2.4)
dengan v adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan
gaya sentrifugal
F =m
Jika F = G
v2
.
r
(2.5)
Mm
dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh
r2
GM
= v2 ,
r
(2.6)
dengan G adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan
(2.6) akhirnya diperoleh
T 2 4π 2
=
,
r 3 GM
dengan G = 6,673.10 −11
Nm 2
.
kg 2
Jadi nilai konstanta (tetapan) C pada persamaan (2.3) adalah
(2.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
C=
2.2.
4π 2
.
GM
(2.8)
Gerak Benda dengan Gaya Sentral
Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem
aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah
hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda m1
r
dan m2 , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua ( F12 ) akan
r
menimbulkan reaksi pada benda kedua ( F21 ) yang besarnya sama dan berlawanan
r
arah dengan ( F12 ) . Jadi dapat dituliskan
r
r
Faksi = − Freaksi .
Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik
antar dua buah benda bermassa m1 dan m2 berbanding lurus dengan massa m1 dan
m2 serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( r ) antar m1 dan m2 .
Jika benda bermassa m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik
yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu
menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya
yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang
mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton,
r
r
gaya F yang dialami suatu benda bermassa m dengan percepatan a adalah
r
r
F = ma
(2.9)
Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis
r
r = rrˆ ,
(2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
r
θ = θθˆ .
(2.11)
Perubahan r̂ dan θˆ terhadap waktu di tulis sebagai berikut
drˆ ˆ dθ
,
=θ
dt
dt
(2.12)
dθˆ
dθ
,
= − rˆ
dt
dt
(2.13)
r
r
drˆ
dr dr
=
rˆ + r .
vr =
dt
dt dt
(2.14)
Kecepatan radial planet
Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh
r
dr dr
dθ ˆ
=
rˆ + r
θ.
dt dt
dt
(2.15)
Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh percepatan
planet
r
2
r
d 2θ ⎤ ˆ
d 2r ⎡ d 2r
⎛ dθ ⎞ ⎤ ⎡ dr dθ dr dθ
ˆ
+
+
+
r
r
ar = 2 = ⎢ 2 − r⎜
⎟ ⎥ ⎢
⎥θ .
dt 2 ⎦
dt
⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎣ dt dt dt dt
⎢⎣ dt
(2.16)
Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai
r
f (r )rˆ = ma r .
(2.17)
Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh
2
⎧⎪⎡ d 2 r
d 2θ ⎤ ⎫⎪
⎛ dθ ⎞ ⎤ ⎡ dr dθ dr dθ
+
+ r 2 ⎥θˆ⎬ .
f (r )rˆ = m⎨⎢ 2 − r ⎜
⎟ ⎥ rˆ + ⎢
dt ⎦ ⎪⎭
⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎣ dt dt dt dt
⎪⎩⎢⎣ dt
(2.18)
Dari persamaan (2.18) terikat bahwa
2
⎡d 2r
⎛ dθ ⎞ ⎤
f ( r ) = m. ⎢ 2 − r ⎜
⎟ ⎥ ,
⎝ dt ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ dt
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
dan
⎡ dr dθ dr dθ
d 2θ ⎤
+
+r 2 ⎥.
0 = m⋅⎢
dt ⎦
⎣ dt dt dt dt
(2.20)
Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan
r
hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial ( a r )
r
sedangkan percepatan sudut ( aθ ) sama dengan nol.
r
Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut ( l ) yang
diberikan oleh
r r r
l =r×p ,
(2.21)
r
r
dengan p = mvr adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke
persamaan (2.21), maka diperoleh
r r
dθ ˆ ⎤
⎡ dr
θ
l = r × m.⎢ rˆ + r
dt ⎥⎦
⎣ dt
= mr
dθ
dr
rˆ × θˆ
rˆ × rˆ + mr 2
dt
dt
= mr 2
dθ
k̂ ,
dt
(2.22)
sebab rˆ × rˆ = 0 dan rˆ × θˆ = kˆ .
r
Jika nilai mutlak l pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan
(2.19), maka diperoleh
⎡d 2r
l2 ⎤
f ( r ) = m. ⎢ 2 − 2 3 ⎥ .
m r ⎦
⎣ dt
Kecepatan planet sebagai fungsi dari kecepatan sudut diberikan oleh
(2.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
dr dr dθ
,
=
dt dθ dt
(2.24)
memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan
dr
l dr
.
=
dt mr 2 dθ
(2.25)
Dengan memisalkan
1
,
r
u=
(2.26.a)
maka
dr = −
1
du ,
u2
(2.26.b)
sehingga
dr l 2 ⎛ 1 du ⎞
= u ⎜−
⎟
dt m ⎝ u 2 dθ ⎠
=−
l du
.
m dθ
(2.27)
Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh
d 2 r d ⎛ dr ⎞
= ⎜ ⎟
dt 2 dt ⎝ dt ⎠
=
d ⎛ l du ⎞ dθ
⎜−
⎟
dt ⎝ m dθ ⎠ dθ
=
d ⎛ l du ⎞ dθ
⎜−
⎟
dθ ⎝ m dθ ⎠ dt
=−
l 2 d 2u
.
m 2 r 2 dθ 2
Jika persamaan (2.28) dimasukkan ke persamaan (2.23), maka diperoleh
(2.28)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
f (r )
l 2 d 2u
l2
.
=− 2 2
−
m
m r dθ 2 m 2 r 3
Dengan mengganti r =
(2.29)
1
, maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua
u
pada persamaan (2.29) menjadi
1
m
d 2u
+u = − 2 2 f( ) .
2
u
l u
dθ
(2.30)
Sebuah benda bermassa m yang berada dalam medan gravitasi mempunyai
energi potensial
V =−
k
,
r
(2.31)
dengan k = GMm .
Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara
matematis
f (r ) = −
dV
dr
k
,
r2
(2.32)
1
f ( ) = − ku 2 ,
u
(2.33)
=−
atau
memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan
mk
d 2u
+u = 2 .
2
l
dθ
(2.34)
Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian
berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
u = A cos(θ − θ 0 ) +
dengan A tetapan. Karena u =
mk
,
l2
(2.35)
1
dan θ 0 = 0 0 , maka persamaan (2.35) dapat ditulis
r
menjadi
l2
mk
.
r=
2
l A
1+
. cos θ
mk
(2.36)
Jika didefinisikan eksentrisitas
l2A
,
e=
mk
(2.37)
l2
,
mk
(2.38)
dan
r0 =
maka
r=
2.3.
r0
.
1 + e ⋅ cos θ
(2.39)
Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet
Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum
kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi
kinetik ( T ) dan energi potensial ( V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan
E = T +V .
(2.40)
Energi kinetik ( T ) suatu benda (planet) bermassa ( m ) yang mengorbit
benda lain sejauh r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
T=
1 2 1 l2
mr& +
,
2
2 mr 2
(2.41)
dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan
(2.40) menghasilkan
1 2 1 l2
E = mr& +
+V .
2
2 mr 2
(2.42)
Jadi kecepatan planet ke arah r adalah
2⎛
l2
⎜⎜ E − V −
m⎝
2mr 2
r& =
⎞
⎟⎟ .
⎠
(2.43)
Dari kecepatan diperoleh waktu (t ) tempuh planet sebagai fungsi dari posisi ( r )
dr
dt =
dt =
t=
(2.44.a)
2 E 2GM
l2
+
− 2 2
m
r
m r
dr
(2.44.b)
2
1 2 Er
l2
+ 2GMr − 2
r
m
m
rmak
∫
rmin
r.dr
2
l2
2 Er
+ 2GMr − 2
m
m
.
(2.44.c)
Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk
persamaan (2.44.c) dengan memisalkan a =
integral persamaan (2.44.c) adalah
l2
2E
, b = 2GM , dan c = − 2 . Hasil
m
m
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
⎧ ⎛ 2 Er 2
l2
⎪⎜
+ 2GMr − 2
m
⎪ ⎜⎝ m
t=⎨
2E
⎪
m
⎪
⎩
⎞
⎟⎟
⎠
1
2
−
GMm
⎛2⎞
E ⎜ ⎟
⎝m⎠
3
1
2
2
⎡ 4 Er
+ 2GM
log ⎢ m
⎢
⎣
⎛ 4E r
EGMr 2 El
+ 2⎜⎜
+4
− 3
2
m
m
⎝ m
2
2
2
⎞
⎟⎟
⎠
1
2
⎤⎫
⎥ ⎪⎬
⎥⎪
⎦⎭
r mak
.
(2.45)
rmin
Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari
persamaan (2.22), yaitu
dθ =
Dengan mengganti dt =
ldt
.
mr 2
(2.46)
dr
, persamaan (2.46) menjadi
r&
l dr
.
dθ =
mr 2 r&
(2.47)
Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan
maka diperoleh
dr
θ =∫
r
.
2mE 2mV 1
− 2 − 2
l2
l
r
2
(2.48)
Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48),
menjadi
θ = −∫
Dengan memisalkan
y = −1 ,
du
2mE 2mku
+ 2 − u2
2
l
l
f =
2mk
,
l2
g=
.
(2.49)
2mE
, dan k = GMm , serta
l2
menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
⎛ ul 2
⎜
−1
⎜ mk
sin(γ − θ ) = ⎜
2
⎜ 1 + 2 El
⎜
mk 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟ ,
⎟
⎟
⎠
(2.50)
dengan γ adalah tetapan integral (konstanta).
Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi
⎛ ul 2
⎜
−1
⎜
cos θ = ⎜ mk
2
⎜ 1 + 2 El
⎜
mk 2
⎝
Dengan mengganti kembali u =
⎞
⎟
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
(2.51)
1
, persamaan (2.51) menjadi
r
⎞
1 mk ⎛⎜
2 El 2
= 2 1+ 1+
. cos θ ⎟ ,
2
⎟
r l ⎜⎝
mk
⎠
(2.52)
atau
l2
m.k
r=
.
2 El 2
1+ 1+
. cos θ
mk 2
(2.53)
Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah
e = 1+
2 El 2
.
mk 2
(2.54)
Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka e = 0 , sehingga
1+
atau
2 El 2
=0,
mk 2
(2.55)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
E=−
k
.
2r0
(2.56)
Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh
1
E= V.
2
(2.57)
Jadi energi total ( E ) setengah dari nilai energi potensial ( V ) untuk planet
yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.
Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh
m 2 k 2 2 Em
+ 2 ,
l4
l
sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54)
A=
e = 1+
(2.58)
2 El 2
.
mk 2
Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah
0< e <1
(Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa m yang
bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya
gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah
T=
1 2
mv .
2
(2.59)
Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh
T=
1 GMm
.
2 r
(2.60)
Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40),
maka energi total ( E ) sistem lintasan planet
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
E=−
1 GMm
.
2 r
(2.61)
Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem
dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain
(Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi
e = 1−
2.4
2 El 2
.
mk 2
(2.62)
Sistem Gerak Dua Planet
Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi
planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu
adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa m1
r
r
dan m2 yang masing-masing planet terletak di r1 dan r2 , dengan matahari sebagai
pusat dengan massa M . Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu
massa m1 dan m2 terhadap matahari dengan massa M ditulis
r
d 2 r1 r
m1 2 = F1 ,
dt
(2.63)
r
r
d 2 r2
m2 2 = F2 ,
dt
(2.64)
r
Untuk gaya interaksi F yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu
berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa
M mempunyai gaya sebagai berikut:
r
Gm1 M
F1 = −
r̂1 ,
r12
(2.65)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
r
Gm2 M
F2 = −
r̂2 ,
r22
(2.66)
Jadi momentum sudut gerak relatif massa m1 mengelilingi M (pusat gaya) bernilai
tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).
Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu
timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung
pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya
yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.
Ditinjau dua planet m1 dan m2 yang mengelilingi pusat massa M yang sama,
r
r
kedudukan masing-masing adalah r1 dan r2 , kedudukan m1 relatif terhadap
r
m2 adalah r21 , maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet
r r r
dengan r2 = r1 + r21 , θ 2 = θ1 + θ12 , dan
r
rr
r21 = r22 + r12 − 2r2 r1 . cosθ 12 ,
(2.67)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh
r
d 2 r1 r r
m1 2 = F1 + F12 ,
dt
(2.68)
r
r
r
d 2 r2
m2 2 = F2 + F21 ,
dt
(2.69)
r
r
dengan F12 dan F21 adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara
r
r
F21 dengan r21 berlawanan arah maka F12 = − F21 , (Halliday dan Resnick, 1984).
2.5
Polinomial Legendre
Polinomial Legendre didefinisikan sebagai
Pj ( x) =
⎫
j ( j − 1) j − 2 j ( j − 1)( j − 2)( j − 3) j − 4
(2 j − 1)(2 j − 3) ⋅ ⋅ ⋅ 1 ⎧ j
x +
x − ⋅ ⋅ ⋅⎬ .
⎨x −
j!
2(2 j − 1)
2 ⋅ 4(2 j − 1)(2 j − 3)
⎩
⎭
(2.70)
Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:
1
1 − 2 xh + h 2
∞
= ∑ h j Pj ( x) , h < 1.
(2.71)
j =0
Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna
untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa
Pj (x ) adalah polinomial dengan derajat
j (Boas, 1966). Beberapa polinomial
Legendre pertama ditulis sebagai berikut:
1
(5 x 3 − 3 x) ,
2
P0 ( x) = 1 ,
P3 ( x) =
P1 ( x) = x ,
1
P4 ( x) = (35 x 4 − 30 x 2 + 3) ,
8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
P2 ( x) =
1
(3 x 2 − 1) ,
2
1
P5 ( x) = (63 x 5 − 70 x 3 + 15 x) .
8
(2.72)
Untuk kasus diatas Pj (1) = 1, Pj (−1) = (−1) j .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1
Jenis Penelitian
Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian
studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .
3.2
Sarana Penelitian
Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan
internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum
Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.
3.3
Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan
gerak planet.
2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar
planet.
3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung r2 (jarak
planet m2 ke M ).
4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik.
5. Menarik kesimpulan.
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Sistem Dua Planet
Persamaan energi dua massa planet m1 dan m2 berinteraksi:
Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi
Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis
T1 =
1
1 l12
m1r&12 +
,
2
2 m1r12
k1
,
r1
(4.2)
1
1 l22
m2r&22 +
,
2
2 m2r22
(4.3)
V1 = −
T2 =
(4.1)
V2 = −
k2
,
r2
(4.4)
V21 = −
k 21
.
r21
(4.5)
Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis
E = T1 + V1 + T2 + V 2 + V 21 .
23
(4.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6),
maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi
E=
Gm1 M Gm2 M Gm2 m1
1
1 l12
1
1 l 22
2
&
m1 r&12 +
+
m
r
+
−
−
−
. (4.7)
2 2
2
2
2
2 m1 r1
2
2 m2 r2
r1
r2
r21
Jika jarak relatif antara m1 dengan m2 dari persamaan (2.67) dimasukkan ke
persamaan (4.7), maka diperoleh
E=
Gm1 M Gm2 M
1
1 l12
1
1 l 22
2
&
m1 r&12 +
+
m
r
+
−
−
2 2
2
2
2
2 m1 r1
2
2 m2 r2
r1
r2
−
Gm1 m2
r + r − 2r1 r2 . cos θ12
2
1
2
2
.
(4.8)
Dengan mengeluarkan r2 pada energi potensial relatif antara m1 dengan m2 maka
diperoleh
Gm1 M Gm2 M
1
1 l12
1
1 l 22
2
2
E = m1 r&1 +
+ m2 r&2 +
−
−
2
2
2
2 m1 r1
2
2 m2 r2
r1
r2
Gm1 m 2
−
⎛r
r2 ⎜⎜ 1
⎝ r2
Jika dimisalkan
2
.
(4.9)
⎞
2r
⎟⎟ + 1 − 1 . cos θ 12
r2
⎠
r1
= h , maka persamaan (4.9) menjadi
r2
Gm1 M Gm2 M
1
1 l12
1
1 l 22
2
2
E = m1 r&1 +
+ m2 r&2 +
−
−
2
2
2
2 m1 r1
2
2 m2 r2
r1
r2
−
[
Gm1 m2 2
h + 1 − 2h. cos θ12
r2
]
−1
2
.
(4.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa m1 dan m2 dalam bentuk
polinomial Legendre
Gm1 M Gm2 M
1
1 l12
1
1 l 22
2
2
E = m1 r&1 +
+ m2 r&2 +
−
−
2
2
2
2 m1 r1
2
2 m2 r2
r1
r2
−
⎤
Gm1 m2 ⎡ n j
⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ .
r2 ⎣ j =0
⎦
(4.11)
Dari memisalkan rasio jarak antara massa m1 dan m2 terhadap pusat massa M
diperoleh
r1 = hr2 ,
(4.12)
r&1 = hr&2 ,
(4.13)
sehingga
Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka
diperoleh bentuk kekekalan energi
Gm1 M Gm2 M
1
1 l12
1
1 l 22
2
2 2
&
&
E = m1 h r2 +
+ m2 r2 +
−
−
2
2 2
2
2 m1 h r2 2
2 m2 r2
hr2
r2
−
⎤
Gm1 m2 ⎡ n j
⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ .
r2 ⎣ j =0
⎦
(4.14)
Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa m2 dan kita dapat
mencari kecepatan dari planet untuk massa m2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
r&22 =
⎧⎪
⎡ 1 l12
1 l22 ⎤ 1 ⎡ GMm1
+
+ GMm2
⎨E − ⎢
⎥ +
1 ⎤ ⎪⎩
⎡1
2 m1h 2 2 m2 ⎦ r22 ⎢⎣ h
2
⎣
⎢ 2 m1h + 2 m2 ⎥
⎣
⎦
1
⎡ n
⎤ ⎤ 1 ⎫⎪
+ Gm1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎬ .
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦ r2 ⎪⎭
(4.15)
Diperoleh kecepatan planet dengan massa m2 dari persamaan energi yaitu interaksi
antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:
r&2 =
1
1 ⎤
⎡1
2
⎢ 2 m1h + 2 m2 ⎥
⎦
⎣
1
2
⎧⎪
⎡ 1 l12
1 l22 ⎤ 1 ⎡ GMm1
+
+ GMm2
⎨E − ⎢
⎥ +
2
2 m2 ⎦ r22 ⎢⎣ h
⎪⎩
⎣ 2 m1h
1
2
⎡n j
⎤ ⎤ 1 ⎫⎪
+ Gm1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎬ .
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦ r2 ⎪⎭
(4.16)
⎡ GMm1
⎡ n
⎤⎤
Dengan memisalkan p = E , q = ⎢
+ GMm2 + Gm1m2 ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ,
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎣⎢ h
1
⎡ 1 l12
1 ⎤ 2
1 l22 ⎤
⎡1
2
s=⎢
z
=
m
h
+
m2 ⎥ , maka bentuk sederhana persamaan
+
,
dan
1
⎥
2
⎢2
2
2
m
h
2
m
⎣
⎦
1
2⎦
⎣
(4.16) menjadi
dr 2
1⎧
1
1 ⎫
= ⎨p + q
−s 2⎬
dt
z⎩
r2
r2 ⎭
1
2
.
(4.17)
Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu t (r ) menjadi
t = z.∫
rmak
rmin
r2 dr2
pr + qr2 − s
2
2
.
(4.18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan
(4.18) adalah
[
]
mak
⎧⎪ pr 2 + qr − s q 1
⎫⎪
2
1
2
t = z⎨
.
log 2 pr2 + q + 2 p . pr2 + qr2 − s ⎬ .(4.19)
−
p
2p p
⎪⎭ r
⎪⎩
min
r
Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa m2
ditulis
dθ 2 =
Dengan mengganti dt =
l 2 dt
.
m 2 r22
(4.20)
dr2
, persamaan (4.20) menjadi
r&2
dθ 2 =
l 2 dr2
.
m 2 r22 r&2
(4.21)
Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh
⎡
1 ⎢
1 ⎤ 2⎢
⎡1
2
dθ 2 = ⎢ m1 h + m2 ⎥ .⎢
2
2 ⎦
⎣2
⎢ r2 m2
⎢ l2
⎣
dr2
⎧⎪
⎡1 l
1 l 22 ⎤ 1 ⎡ GMm1
+
+ GMm2
⎨E − ⎢
⎥ +
2
2 m 2 ⎦ r22 ⎢⎣ h
⎪⎩
⎣ 2 m1 h
2
1
⎤
⎥
⎥
⎥.
1
⎥
2
⎡n j
⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ ⎥
+ Gm1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎬
⎥
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥ r2 ⎭⎪ ⎦
(4.22)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Dengan memisalkan
u2 =
1
,
r2
(4.23.a)
maka
1
dr2 ,
r22
(4.23.b)
dr2 = −r22 du 2 .
(4.23.c)
du 2 = −
Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh
⎡
⎢
1 ⎤ 2⎢
− du2
⎡1
2
dθ2 = ⎢ m1h + m2 ⎥ .⎢ 2
2
2
2 ⎦ ⎧⎪ m2 E m2 ⎡ 1 l1
⎣2
1 l22 ⎤ 1 m22 ⎡ GMm1
⎢⎨
+ GMm2
− 2 ⎢
+
⎥ +
⎢⎣ ⎪⎩ l22
l2 ⎣ 2 m1h2 2 m2 ⎦ r22 l22 ⎢⎣ h
1
⎤
⎥
⎥
⎥.
1
⎥
2
⎡n j
⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ ⎥
+ Gm1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎬
⎥
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥ r2 ⎭⎪ ⎦
(4.24)
Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian diintegralkan, maka diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
⎡
1 ⎢
1 ⎤ 2⎢
⎡1
2
θ 2 = − ⎢ m1 h + m 2 ⎥ .⎢ ∫
2
2
2 ⎦
⎣2
⎢ ⎧⎪ m 2 E − m 2
⎢ ⎨⎪ l 22
l 22
⎣ ⎩
du 2
⎡1 l
1 l 22 ⎤ 2 m 22 G ⎡ Mm1
+ Mm2
+
⎥u 2 + 2 ⎢
⎢
2
2 m2 ⎦
l2 ⎣ h
⎣ 2 m1 h
2
1
⎤
⎥
⎥
⎥.
1
2 ⎥
n
⎡
⎤ ⎤ ⎫⎪
+ m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥u 2 ⎬ ⎥
⎥
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎦
(4.25)
Dengan memisalkan
A=−
⎡ n j
⎤⎤
m22 ⎡ 1 l12
1 l22 ⎤
m 22 G ⎡ Mm1
+
,
=
+
+
Mm
m
m
h
P
(cos
θ
)
B
⎢
⎢
⎥⎥ ,
∑
2
1
2
j
12
⎢
⎥
l22 ⎣ 2 m1h 2 2 m2 ⎦
l 22 ⎢⎣ h
j
=
0
⎣
⎦ ⎥⎦
dan C =
m22 E
. Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi
l 22
1 ⎤
⎡1
θ2 = −⎢ m1h2 + m2 ⎥
2 ⎦
⎣2
1
2
⎧
⎫⎪
du2
⎪
⎨∫
⎬.
2
Au
Bu
C
+
+
⎪⎭
⎪⎩
2
2
(4.26)
Jika digunakan Lampiran B (B.3), maka penyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah
1 ⎤
⎡1
θ2 = −⎢ m1h2 + m2 ⎥
2 ⎦
⎣2
1
2
⎧⎪ −1
⎫
2Ax + B
+ γ ⎬,
sin−1
⎨
⎪⎩ − A
B2 − 4AC ⎭
(4.27)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
⎧
⎡
⎡ 1 m 22 l12
1 ⎤
⎪
m2 ⎥.u 2
− 2.⎢
+
⎢
1
2 m1l 22 h 2 2 ⎦
1 ⎤ 2 ⎪⎪
−1
⎡1
⎣
2
−1 ⎢
. sin
θ 2 = − ⎢ m1 h + m 2 ⎥ ⎨
1
⎢ ⎧ G 2 m 4 ⎡ Mm
2 ⎦ ⎪ ⎡ 1 m 2l 2
2
⎣2
1
⎤
1
⎢ ⎨ 4 2 ⎢
2 1
+ Mm2
+ m2 ⎥
⎪⎢
2 2
h
l
⎢
2 ⎦
⎣ ⎩ 2 ⎣
⎪⎩ ⎣ 2 m1l 2 h
⎤⎫
⎥⎪
⎥ ⎪⎪
+γ ,
1 ⎥⎬
2
2⎥
2
⎪
⎫
⎡n j
⎤⎤
⎤
⎡ 1 m22l12
1
m E⎪
+ m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 4.⎢
+ m2 ⎥ 22 ⎬ ⎥ ⎪
2 2
2 ⎦ l2 ⎪⎭ ⎦⎥ ⎪
⎣ 2 m1l2 h
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎭
⎤⎤
⎡n
Gm 2 ⎡ Mm1
+ 22 ⎢
+ Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
l2 ⎣⎢ h
⎦ ⎦⎥
⎣ j =0
(4.28)
⎧
⎡
⎡ 1 m 22 l12
1 ⎤
⎪
− 2.⎢
+ m2 ⎥.u 2
⎢
1
2
2
2 ⎦
1 ⎤ 2 ⎪⎪
1
⎡1
⎣ 2 m1l 2 h
. sin −1 ⎢
θ 2 = ⎢ m1 h 2 + m 2 ⎥ ⎨
1
⎢ ⎧ G 2 m 4 ⎡ Mm
2 ⎦ ⎪ ⎡ 1 m 2l 2
⎣2
1
1 ⎤ 2
⎢ ⎨ 4 2 ⎢
2 1
+ Mm2
+ m2 ⎥
⎪⎢
2 2
h
l
2 ⎦
⎣⎢ ⎩ 2 ⎣
⎪⎩ ⎣ 2 m1l 2 h
⎤⎫
⎥⎪
⎥ ⎪⎪
+γ ,
1 ⎥⎬
2
2⎥
⎪
⎫
⎤ ⎤ 2m22 E ⎡ m22l12
⎡n j
⎤⎪
+ m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 2 .⎢ 2 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥ ⎪
l2 ⎣ m1l2 h
⎦ ⎪⎭ ⎦⎥ ⎪⎭
⎦ ⎦⎥
⎣ j =0
⎡n
⎤⎤
Gm 2 ⎡ Mm1
+ 22 ⎢
+ Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
l2 ⎢⎣ h
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦
1
1 ⎤
⎡1
2
⎢⎣ 2 m1 h + 2 m 2 ⎥⎦
θ2 =
1
⎡ 1 m22 l12
1 ⎤ 2
+ m2 ⎥
⎢
2 2
2 ⎦
⎣ 2 m1l 2 h
2
(4.29)
⎡
⎢
⎡ 1 m 22 l12
Gm22 ⎡ Mm1
1 ⎤
+ m2 ⎥.u 2 + 2 ⎢
+ Mm2
⎢ − 2.⎢
2 m1l 22 h 2 2 ⎦
l2 ⎣ h
⎣
−1 ⎢
. sin
⎢⎧ 2 4 ⎡
2
⎡n j
⎤⎤
⎢ ⎪ G m 2 ⎢ Mm1
⎢ ⎨ l 4 ⎢ h + Mm2 + m1 m 2 ⎢∑ h Pj (cos θ 12 )⎥ ⎥
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦
⎢⎣ ⎪⎩ 2 ⎣
⎤⎤ ⎤
⎡ n
+ m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎥⎦ ⎥
⎣ j =0
+γ ,
1 ⎥
2⎥
2 2
2
⎫
⎤⎪
2m E ⎡ m l
+ 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥
l2 ⎣ m1l2 h
⎦ ⎪⎭ ⎦⎥
(4.30)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
1
⎡ ⎡ 1 m22 l12
Gm22 ⎡ Mm1
1 ⎤
1 ⎤ 2
⎡1
2
+ m2 ⎥.u 2 − 2 ⎢
+ Mm2
⎢ 2.⎢
⎢⎣ 2 m1 h + 2 m2 ⎥⎦
2 m1l 22 h 2 2 ⎦
l2 ⎣ h
−1 ⎢ ⎣
−θ2 =
. sin
1
⎢
2 2
2
⎧ G 2 m24 ⎡ Mm1
⎡ 1 m2 l1
1 ⎤
⎢
+ Mm2
⎨ 4 ⎢
+ m2 ⎥
⎢
2 2
l2 ⎣ h
⎢⎣
⎩
2
2
m
l
h
1 2
⎣
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥ −γ ,
1
2
2⎥
2
2
2
n
⎤ ⎤ 2m E ⎡ m l
⎡
⎤ ⎫⎪
+ m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥
l2 ⎣ m1l2 h
⎦ ⎪⎭ ⎥⎦
⎦ ⎥⎦
⎣ j =0
⎤⎤
⎡n
+ m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎦ ⎥⎦
⎣ j =0
(4.31)
1
⎡ ⎡ 1 m22l12
Gm22 ⎡ Mm1
1 ⎤
1 ⎤ 2
⎡1
2
m
u
+
−
2
.
.
+
m
h
m
⎢ ⎢
2⎥ 2
2 2
2
⎢2 1
l22 ⎢⎣ h
2 ⎦
2 ⎥⎦
−1 ⎢ ⎣ 2 m1l2 h
.
sin
γ − θ2 = ⎣
1
⎢
⎧ G 2 m24 ⎡ Mm1
⎡ 1 m22l12
1 ⎤ 2
+ Mm2
⎢
⎨ 4 ⎢
+ m2 ⎥
⎢
2 2
l2 ⎣ h
⎢
⎩
⎣
m
l
h
2
2
1 2
⎦
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥.
1
2 ⎥
2
2 2
⎤ ⎫⎪
2m E ⎡ m l
+ 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥
l 2 ⎣ m1l 2 h
⎦ ⎪⎭ ⎥⎦
⎤⎤
⎡n
+ Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎦ ⎥⎦
⎣ j =0
⎤⎤
⎡
+ m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎦ ⎥⎦
⎣ j =0
n
2
(4.32)
dengan γ adalah tetapan integral (konstanta).
Dengan memisalkan
⎡1
1
⎤
α = ⎢ m1 h 2 + m 2 ⎥ ,
2 ⎦
⎣2
⎡ 1 m22 l12
1 ⎤
+ m2 ⎥ ,
2 2
2 ⎦
⎣ 2 m1l 2 h
β =⎢
(4.33)
(4.34)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
maka persamaan (4.32) menjadi
2β
sin(γ − θ 2 ) =
α
.
β
⎡ n j
⎤⎤
Gm22 ⎡ Mm1
+
+
Mm
m
m
2
1 2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 ) ⎥ ⎥
2 ⎢
l2 ⎣ h
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦
.u2 − 1
β
4l 2 E
1 + 22 2 .
2
G m2 ⎡ Mm
⎡n j
⎤⎤
1
⎢
+ Mm2 + m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎢ h
⎣ j =0
⎦ ⎥⎦
⎣
.
(4.35)
Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi
2.β
cos θ 2 =
Jika u 2 =
α
⋅
β
Gm22
l 22
⎡ Mm1
⎡n
⎤⎤
+ Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥
⎢
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎣⎢ h
⋅ u2 − 1
4l 22 E
β
1+ 2 2
2
G m2 ⎡ Mm
⎡ n j
⎤⎤
1
⎢
+ Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥
⎢ h
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎣
.
(4.36)
1
, maka persamaan (4.36) menjadi
r2
r2 =
1+
2l22 β
Gm22
⎡ Mm1
⎤⎤
⎡n
+ Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎢
⎢⎣ h
⎦ ⎦⎥
⎣ j =0
.
2
β 4l2 Eβ
⋅
β
α G 2 m22
+
⋅ cosθ 2
2
α ⎡ Mm
n
⎤
⎤
⎡
1
⎢
+ Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎢ h
⎦ ⎦⎥
⎣ j =0
⎣
(4.37)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Dengan memisalkan N =
Mm1
2β .l 22
β 4l22 Eβ
β
+ Mm2 , dan
,K =
,
=
⋅ 2 2 , W=
L
2
h
α
α G m2
Gm2
X = m1m2 , diperoleh
K
r2 =
1+
⎤
⎡n
W + X ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥
⎦
⎣ j =0
,
L
N+
⋅ cos θ 2
2
⎡
n
⎤
⎤
⎡
⎢W + X ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥
⎢
⎦ ⎦⎥
⎣ j =0
⎣
K
1+
r2 =
1+
Dengan memisalkan R =
N+
(4.38)
W
⎤
X ⎡
j
⎢∑ h Pj (cos θ 12 )⎥
W ⎣ j =0
⎦
L 2
W
n
2
⎡ X ⎡ n
⎤⎤
j
⎢1+ ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥
⎢ W ⎣ j =0
⎦ ⎥⎦
⎣
.
(4.39)
⋅ cos θ 2
L
K
X
, Y = 2 , dan H =
sehingga
W
W
W
R
r2 =
1+
⎡ n
⎤
1 + H ⎢∑ h j Pj (cos θ 12 )⎥
⎣ j =0
⎦
,
Y
⋅ cos θ 2
N +
2
⎡
n
⎤
⎡
⎤
⎢1+ H ⎢∑ h j Pj (cos θ 12 )⎥ ⎥
⎢
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎣
(4.40)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
dengan eksentrisitas
e=
N+
Y
.
n
[1 + H [∑ h Pj (cos θ12 )]]
j
(4.41)
2
j =0
Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada
orbit tertutup dimana energi total sistem ( E < 0 ). Maka eksentrisitas diperoleh
e=
N−
Y
.
n
[1 + H [∑ h Pj (cos θ12 )]]
j
(4.42)
2
j =0
Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka
persamaan (4.40) menjadi
R
r2 =
1+
4.2
⎡ n
⎤
1 + H ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥
⎣ j =0
⎦
Y
⋅ cosθ 2
N−
2
⎡
n
⎤
⎡
⎤
⎢1+ H ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥
⎢
⎣ j =0
⎦ ⎦⎥
⎣
.
(4.43)
Bentuk Lintasan Planet
Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka
jika dihitung r2 dan r1 dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut
θ12 diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya
maka diperoleh hasil:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 4.2
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 00
Gambar 4.3
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 300
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 4.4
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 600
Gambar 4.5
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 900
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 4.6
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1200
Gambar 4.7
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1500
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 4.8
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 1800
Gambar 4.9
Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2100
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2400
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2700
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3000
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3300
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 3600
4.3
Pembahasan
Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik
memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C
diperoleh nilai r2 pada Lampiran A ( Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai
gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang
berinteraksi untuk berbagai sudut θ12 dengan interval 300 .
Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 00 dan sudut θ12 = 3600 , nilai
jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00
sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Pada gambar 4.3 dan gambar 4.13 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 300 dan sudut θ12 = 3300 , nilai
jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00
sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.4 dan gambar 4.12 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 600 dan θ12 = 3000 , nilai jarak
kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ2 dari 00 sampai
180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.5 dan gambar 4.11 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 900 dan sudut θ12 = 2700 , nilai
jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00
sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.6 dan gambar 4.10 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 1200 dan sudut θ12 = 2400 , nilai
jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00
sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.7 dan gambar 4.9 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik
lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 1500 dan sudut θ12 = 2100 , nilai
jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00
sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut θ12 = 1800 , nilai jarak
kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ2 dari 00 sampai
180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar
4.7
dan
gambar
4.8,
sesuai
Tabel
A,
dengan
nilai
θ12 = 00 ,300 ,600 ,900 ,1200 ,1500 , 180 0 . Nilai jarak kedua planet yaitu
sudut
r2 dan
r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 130 0 dan mengalami
penurunan untuk sudut θ 2 dari 1350 sampai 2250 serta mengalami kenaikan
kembali untuk sudut θ2 dari 230 0 sampai 3600 .
Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan
gambar
4.14,
sesuai
Tabel
A,
dengan
nilai
θ12 = 2100 ,2400 ,2700 ,3000 ,3300 ,3600 . Nilai jarak kedua planet yaitu
sudut
r2 dan
r1 mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 130 0 dan mengalami
penurunan untuk sudut θ 2 dari 1350 sampai 230 0 serta mengalami kenaikan
kembali untuk sudut θ2 dari 2350 sampai 3600 .
Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup.
Perubahan sudut ( θ12 ) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan
perubahan pada nilai jarak planet r2 dan r1 dengan pusat massa M .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah
sebagai berikut:
1. Sudut ( θ12 )yang terbentuk antar dua planet m1 dan m2 menyebabkan nilai
eksentrisitas lintasan planet
berubah yaitu maksimum saat sudut
( θ12 = 00 ) dan sudut ( θ12 = 3600 ) dan minimum saat sudut ( θ12 = 1800 ).
2. Jarak planet dengan pusat massa M terjauh pada sudut ( θ12 = 00 ) saat
sudut ( θ 2 = 1800 ).
3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.
5.2
Saran
Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan
tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut
( θ 2 ) terhadap jarak planet ( r ) dengan pusat massa M terkait dengan perubahan
sudut ( θ12 ).
44
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2,
Jakarta: Erlangga.
Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York:
McGraw-Hill Book Company.
Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing
Company.
Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.
Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1,
Edisi 6, Jakarta: Erlangga.
Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu
/kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).
Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu
Pendidikan Negeri Singaraja.
Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta:
Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.
45
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN A
No. θ2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
r2 (θ12)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
TABEL A
r2 (0)
4.078497889
4.08552778
4.106709465
4.142321367
4.19283564
4.258930659
4.34150927
4.441723511
4.561006921
4.701115815
4.864181381
5.052775021
5.269989917
5.519542733
5.805900318
6.134437472
6.511633281
6.945314998
7.444959862
8.022066026
8.690602905
9.467546588
10.37349329
11.43331608
12.67677228
14.13885817
15.85950301
17.88183897
20.24771642
22.98835482
26.10729432
29.55310351
33.18285764
36.72745662
39.78648761
r2 (30)
r2 (60)
4.208437347
4.215617006
4.237248423
4.273611275
4.392634147
4.392634147
4.476879959
4.579070706
4.700639946
4.843341152
5.009297949
5.201066861
5.421715149
5.674917308
5.965074261
6.29746051
6.678405247
7.115514372
7.617940941
8.196710803
8.865107716
9.639114784
10.53789332
11.58424882
12.80497352
14.23084654
15.89588533
17.83513762
20.07986057
22.64840902
25.53085987
28.66618983
31.9143537
35.03364099
37.68476523
4.376425342
4.383788355
4.405970102
4.443250971
4.496105975
4.565216547
4.651487732
4.756071355
4.880396069
5.026205481
5.195605802
5.391124884
5.615784995
5.873192085
6.167644982
6.504268322
6.889173728
7.329653592
7.834411572
8.413831682
9.080283407
9.848450568
10.73565313
11.76209773
12.95093298
14.32788652
15.92010079
17.75354968
19.84811939
22.20917263
24.81449359
27.59659831
30.42350426
33.08675546
35.31168511
46
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
No. θ2
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
r2 (θ12 )
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
r2 (0)
41.89060808
42.64427177
41.89060808
39.78648761
36.72745662
33.18285764
29.55310351
26.10729432
22.98835482
20.24771642
17.88183897
15.85950301
14.13885817
12.67677228
11.43331608
10.37349329
9.467546588
8.690602905
8.022066026
7.444959862
6.945314998
6.511633281
6.134437472
5.805900318
5.519542733
5.269989917
5.052775021
4.864181381
4.701115815
4.561006921
4.441723511
4.34150927
4.258930659
4.19283564
4.142321367
4.106709465
4.08552778
4.078497889
r2 (30)
39.48677608
40.12801694
39.48677608
37.68476523
35.03364099
31.9143537
28.66618983
25.53085987
22.64840902
20.07986057
17.83513762
15.89588533
14.23084654
12.80497352
11.58424882
10.53789332
9.639114784
8.865107716
8.196710803
7.617940941
7.115514372
6.678405247
6.29746051
5.965074261
5.674917308
5.421715149
5.201066861
5.009297949
4.843341152
4.700639946
4.579070706
4.476879959
4.392634147
4.325179623
4.273611275
4.237248423
4.215617006
4.208437347
r2 (60)
36.8042062
37.33150826
36.8042062
35.31168511
33.08675546
30.42350426
27.59659831
24.81449359
22.20917263
19.84811939
17.75354968
15.92010079
14.32788652
12.95093298
11.76209773
10.73565313
9.848450568
9.080283407
8.413831682
7.834411572
7.329653592
6.889173728
6.504268322
6.167644982
5.873192085
5.615784995
5.391124884
5.195605802
5.026205481
4.880396069
4.756071355
4.651487732
4.565216547
4.496105975
4.443250971
4.405970102
4.383788355
4.376425342
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
θ2
r2 (θ12 )
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
r2 (90)
4.479057202
4.486526364
4.509026562
4.546838125
4.600435791
4.670500228
4.757934778
4.863888005
4.989782847
5.137353516
5.308691408
5.506301789
5.733173249
5.99286246
6.289596989
6.628399481
7.015236574
7.457195618
7.962691325
8.541701687
9.206027019
9.969555343
10.84849792
11.86152509
13.02967518
14.37581736
15.92330827
17.69328821
19.69983911
21.9420854
24.39254248
26.98215577
29.58523203
32.01198151
34.02054802
r2 (120)
4.536093318
4.543619503
4.566290709
4.604387077
4.658382914
4.728958055
4.817014354
4.923697868
5.050427481
5.198931082
5.371290507
5.569996831
5.798017987
6.0588809
6.35677079
6.696650409
7.084402183
7.526995522
8.032680495
8.611205798
9.2740532
10.03466948
10.90865715
11.91385208
13.07015993
14.39893647
15.92156619
17.65672074
19.61559383
21.79432394
24.16310011
26.65258208
29.14082162
31.44781024
33.348053
r2 (150)
4.564954707
4.572509203
4.595265301
4.633502994
4.6876963
4.758524524
4.846888624
4.95393319
5.081074818
5.230037915
5.402899101
5.60214185
5.830723109
6.092154142
6.390597994
6.73098629
7.119157892
7.562021514
8.067742902
8.645953873
9.307974587
10.06702905
10.93841407
11.93954882
13.08977699
14.409709
15.91976644
17.63742864
19.57251407
21.71977035
24.04835506
26.48891857
28.92145247
31.17073415
33.01908191
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
No.
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
θ2
r2 (θ12 )
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
r2 (90)
35.35846121
35.82933802
35.35846121
34.02054802
32.01198151
29.58523203
26.98215577
24.39254248
21.9420854
19.69983911
17.69328821
15.92330827
14.37581736
13.02967518
11.86152509
10.84849792
9.969555343
9.206027019
8.541701687
7.962691325
7.457195618
7.015236574
6.628399481
6.289596989
5.99286246
5.733173249
5.506301789
5.308691408
5.137353516
4.989782847
4.863888005
4.757934778
4.670500228
4.600435791
4.546838125
4.509026562
4.486526364
4.479057202
r2 (120)
34.60921642
35.05221077
34.60921642
33.348053
31.44781024
29.14082162
26.65258208
24.16310011
21.79432394
19.61559383
17.65672074
15.92156619
14.39893647
13.07015993
11.91385208
10.90865715
10.03466948
9.2740532
8.611205798
8.032680495
7.526995522
7.084402183
6.696650409
6.35677079
6.0588809
5.798017987
5.569996831
5.371290507
5.198931082
5.050427481
4.923697868
4.817014354
4.728958055
4.658382914
4.604387077
4.566290709
4.543619503
4.536093318
r2 (150)
34.24363447
34.67335909
34.24363447
33.01908191
31.17073415
28.92145247
26.48891857
24.04835506
21.71977035
19.57251407
17.63742864
15.91976644
14.409709
13.08977699
11.93954882
10.93841407
10.06702905
9.307974587
8.645953873
8.067742902
7.562021514
7.119157892
6.73098629
6.390597994
6.092154142
5.830723109
5.60214185
5.402899101
5.230037915
5.081074818
4.95393319
4.846888624
4.758524524
4.6876963
4.633502994
4.595265301
4.572509203
4.564954707
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
r2 (θ12 )
θ2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
r2 (180)
4.573778766
4.581341845
4.604123674
4.6424042
4.696657337
4.767562219
4.856019503
4.963173312
5.090439513
5.239541394
5.412553954
5.611958265
5.840707862
6.102309124
6.400918237
6.741457178
7.129751382
7.572690868
8.078415482
8.656521191
9.318278702
10.076844
10.94742076
11.9473015
13.09565964
14.41288043
15.91909574
17.63142779
19.55928582
21.69700762
24.01345384
26.4392886
28.85510126
31.0871105
32.91996369
r2 ( 210)
4.564954707
4.572509203
4.595265301
4.633502994
4.6876963
4.758524524
4.846888624
4.95393319
5.081074818
5.230037915
5.402899101
5.60214185
5.830723109
6.092154142
6.390597994
6.73098629
7.119157892
7.562021514
8.067742902
8.645953873
9.307974587
10.06702905
10.93841407
11.93954882
13.08977699
14.409709
15.91976644
17.63742864
19.57251407
21.71977035
24.04835506
26.48891857
28.92145247
31.17073415
33.01908191
r2 ( 240)
4.536093318
4.543619503
4.566290709
4.604387077
4.658382914
4.728958055
4.817014354
4.923697868
5.050427481
5.198931082
5.371290507
5.569996831
5.798017987
6.0588809
6.35677079
6.696650409
7.084402183
7.526995522
8.032680495
8.611205798
9.2740532
10.03466948
10.90865715
11.91385208
13.07015993
14.39893647
15.92156619
17.65672074
19.61559383
21.79432394
24.16310011
26.65258208
29.14082162
31.44781024
33.348053
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
No.
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
θ2
r2 (θ12 )
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
r2 (180)
34.13360513
34.55937887
34.13360513
32.91996369
31.0871105
28.85510126
26.4392886
24.01345384
21.69700762
19.55928582
17.63142779
15.91909574
14.41288043
13.09565964
11.9473015
10.94742076
10.076844
9.318278702
8.656521191
8.078415482
7.572690868
7.129751382
6.741457178
6.400918237
6.102309124
5.840707862
5.611958265
5.412553954
5.239541394
5.090439513
4.963173312
4.856019503
4.767562219
4.696657337
4.6424042
4.604123674
4.581341845
4.573778766
r2 ( 210)
34.24363447
34.67335909
34.24363447
33.01908191
31.17073415
28.92145247
26.48891857
24.04835506
21.71977035
19.57251407
17.63742864
15.91976644
14.409709
13.08977699
11.93954882
10.93841407
10.06702905
9.307974587
8.645953873
8.067742902
7.562021514
7.119157892
6.73098629
6.390597994
6.092154142
5.830723109
5.60214185
5.402899101
5.230037915
5.081074818
4.95393319
4.846888624
4.758524524
4.6876963
4.633502994
4.595265301
4.572509203
4.564954707
r2 ( 240)
34.60921642
35.05221077
34.60921642
33.348053
31.44781024
29.14082162
26.65258208
24.16310011
21.79432394
19.61559383
17.65672074
15.92156619
14.39893647
13.07015993
11.91385208
10.90865715
10.03466948
9.2740532
8.611205798
8.032680495
7.526995522
7.084402183
6.696650409
6.35677079
6.0588809
5.798017987
5.569996831
5.371290507
5.198931082
5.050427481
4.923697868
4.817014354
4.728958055
4.658382914
4.604387077
4.566290709
4.543619503
4.536093318
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
θ2
r2 (θ12 )
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
r2 ( 270)
4.479057202
4.486526364
4.509026562
4.546838125
4.600435791
4.670500228
4.757934778
4.863888005
4.989782847
5.137353516
5.308691408
5.506301789
5.733173249
5.99286246
6.289596989
6.628399481
7.015236574
7.457195618
7.962691325
8.541701687
9.206027019
9.969555343
10.84849792
11.86152509
13.02967518
14.37581736
15.92330827
17.69328821
19.69983911
21.9420854
24.39254248
26.98215577
29.58523203
32.01198151
34.02054802
r2 (300)
r2 (330)
4.376425342
4.383788355
4.405970102
4.443250971
4.496105975
4.565216547
4.651487732
4.756071355
4.880396069
5.026205481
5.195605802
5.391124884
5.615784995
5.873192085
6.167644982
6.504268322
6.889173728
7.329653592
7.834411572
8.413831682
9.080283407
9.848450568
10.73565313
11.76209773
12.95093298
14.32788652
15.92010079
17.75354968
19.84811939
22.20917263
24.81449359
27.59659831
30.42350426
33.08675546
35.31168511
4.208437347
4.215617006
4.237248423
4.273611275
4.325179623
4.392634147
4.476879959
4.579070706
4.700639946
4.843341152
5.009297949
5.201066861
5.421715149
5.674917308
5.965074261
6.29746051
6.678405247
7.115514372
7.617940941
8.196710803
8.865107716
9.639114784
10.53789332
11.58424882
12.80497352
14.23084654
15.89588533
17.83513762
20.07986057
22.64840902
25.53085987
28.66618983
31.9143537
35.03364099
37.68476523
r2 (360)
4.078497889
4.08552778
4.106709465
4.142321367
4.19283564
4.258930659
4.34150927
4.441723511
4.561006921
4.701115815
4.864181381
5.052775021
5.269989917
5.519542733
5.805900318
6.134437472
6.511633281
6.945314998
7.444959862
8.022066026
8.690602905
9.467546588
10.37349329
11.43331608
12.67677228
14.13885817
15.85950301
17.88183897
20.24771642
22.98835482
26.10729432
29.55310351
33.18285764
36.72745662
39.78648761
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
No.
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
θ2
r2 (θ12 )
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
r2 ( 270)
r2 (300)
r2 (330)
35.35846121
35.82933802
35.35846121
34.02054802
32.01198151
29.58523203
26.98215577
24.39254248
21.9420854
19.69983911
17.69328821
15.92330827
14.37581736
13.02967518
11.86152509
10.84849792
9.969555343
9.206027019
8.541701687
7.962691325
7.457195618
7.015236574
6.628399481
6.289596989
5.99286246
5.733173249
5.506301789
5.308691408
5.137353516
4.989782847
4.863888005
4.757934778
4.670500228
4.600435791
4.546838125
4.509026562
4.486526364
4.479057202
36.8042062
37.33150826
36.8042062
35.31168511
33.08675546
30.42350426
27.59659831
24.81449359
22.20917263
19.84811939
17.75354968
15.92010079
14.32788652
12.95093298
11.76209773
10.73565313
9.848450568
9.080283407
8.413831682
7.834411572
7.329653592
6.889173728
6.504268322
6.167644982
5.873192085
5.615784995
5.391124884
5.195605802
5.026205481
4.880396069
4.756071355
4.651487732
4.565216547
4.496105975
4.443250971
4.405970102
4.383788355
4.376425342
39.48677608
40.12801694
39.48677608
37.68476523
35.03364099
31.9143537
28.66618983
25.53085987
22.64840902
20.07986057
17.83513762
15.89588533
14.23084654
12.80497352
11.58424882
10.53789332
9.639114784
8.865107716
8.196710803
7.617940941
7.115514372
6.678405247
6.29746051
5.965074261
5.674917308
5.421715149
5.201066861
5.009297949
4.843341152
4.700639946
4.579070706
4.476879959
4.392634147
4.325179623
4.273611275
4.237248423
4.215617006
4.208437347
r2 (360)
41.89060808
42.64427177
41.89060808
39.78648761
36.72745662
33.18285764
29.55310351
26.10729432
22.98835482
20.24771642
17.88183897
15.85950301
14.13885817
12.67677228
11.43331608
10.37349329
9.467546588
8.690602905
8.022066026
7.444959862
6.945314998
6.511633281
6.134437472
5.805900318
5.519542733
5.269989917
5.052775021
4.864181381
4.701115815
4.561006921
4.441723511
4.34150927
4.258930659
4.19283564
4.142321367
4.106709465
4.08552778
4.078497889
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Tabel B
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
θ12
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
e
0.825417118
0.810159048
0.790139431
0.777760579
0.770836694
0.767321566
0.766245351
0.767321566
0.770836694
0.777760579
0.790139431
0.810159048
0.825417118
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran B
Beberapa bentuk integral yang digunakan dalam perhitungan untuk skripsi
ini (Burington, 1948).
Lampiran B.1
∫
Lampiran B.2
∫
x.dx
ax 2 + bx + c
dx
ax + bx + c
2
=
=
ax 2 + bx + c b
dx
−
.
∫
2
a
2a
ax + bx + c
1
a
log( 2ax + b + 2 a . ax 2 + bx + c ) ,
untuk a >0 .
Lampiran B.3
∫
dx
δ 2 + µx + η
=
−1
−δ
sin −1
2δx + µ
µ 2 − 4δη
+ γ , untuk δ < 1 ,
dengan γ adalah tetapan integral (konstanta).
Lampiran B.4
Rumus Trigonometri
sin( 90 − θ ) = cos θ , sin(θ + 90) = cos θ .
55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN C
“Sintaks sistem dua Planet Berinteraksi”
>
G := 0.0000002 :
M := 150 :
m1 := 20 :
m2 := 40 :
l1 := 0.2 :
l2 := 0.7 :
h := 0.5 :
E := 0.00008 :
⎛
⎛
⎞⎞⎞
⎛ m22 $ l12
print⎜ evalf⎜ b = 0.5 $ ⎜
C
m2
⎟⎟⎟;
⎝
⎝
⎠⎠⎠
⎝ m1$ l22 $ h2
2
print( evalf( a = 0.5 $ ( m1$ h C m2) ) );
print( evalf( X = m1 $ m2) ) ;
M $ m1
print evalf W =
C M $ m2 ;
h
0 0
>
0
b := 33.06122449 :
a := 22.500 :
X := 800 :
W := 12000.00000 :
b
print evalf N =
;
a
⎛
⎛
2 $ b $ l22 ⎞
print⎜ evalf⎜ K =
⎟
⎝
⎝
G $ m22 ⎠
X
print⎛ evalf⎛ H = ⎞ ⎞ ;
⎝
⎝
W⎠ ⎠
0 0
>
1
11
11
⎞
⎟;
⎠
N := 1.469387755 :
K := 1.012500000 105 :
H := 0.06666666667 :
0 0
print evalf
R=
K
W
11;
⎛
⎛
l22 $ E $ b ⎞
print⎜ evalf⎜ L = sqrt( N ) $ 4 $ 2
⎟
⎝
⎝
G $ m22 ⎠
56
⎞
⎟;
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
>
L := 9.818682728 107 :
L
print⎛ evalf⎛ Y = 2 ⎞ ⎞ ;
⎝
⎝
W ⎠⎠
for i from 0 by 5 to 360 do
12
⎛
⎛
0.5j$ LegendreP
print⎜ evalf⎜ Q ( i) =
⎝
⎝
j=0
>
⎞⎞
( j, evalf( cos ( convert( i, units, degrees, radians) ) ) ) ⎟ ⎟ ;
⎠⎠
end do;
>
N := 1.469387755 :
H := 0.06666666667 :
R := 8.437500000 :
Y := 0.6818529672 :
Q ( 0 ) ...Q ( 360 ) :
for i from 0 by 30 to 360 do
for j from 0 by 5 to 360 do
⎛
⎛
⎜
⎜
R
print⎜ evalf⎜ r2 [ i, j] =
( 1 C H$ Q ( i) )
⎜
⎜
⎝
⎝
Y
⎞
sqrt ⎛ sqrt( N ) K
2⎠
⎝
( 1 C H$ Q ( i) )
0
1
⎛1 C
⎝
⎞
⎟
$ evalf( cos ( convert( j, units, degrees, radians) ) ) ⎞ ⎟
⎠⎟
⎠
end do;
end do;
⎞
⎟
⎟;
⎟
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
>
r20, 0...r2360, 360 :
for i from 0
by 30 to 360 do
for j from 0 by 5 to 360 do
print( evalf( B( i, j)
= [ r2 [ i, j ] $ evalf( cos ( convert( j, units, degrees, radians) ) ) ,
r2 [ i, j] $ evalf( sin( convert( j, units, degrees, radians) ) ) ] ) ) ;
end do;
end do;
>
B( 0, 0 ) ...B( 360, 360 ) :
h := 0.5 :
for i from 0 by 30 to 360 do
with( plots) :
a := plot( { [ h$ seq ( B( i, j) , j = 0 ..360, 5 ) ] }
, style= line, color = blue) :
b := plot( { [ seq ( B( i, j) , j = 0 ..360, 5 ) ] }, style= line, color = red )
: display( [ a, b ] , view= [ K43 ..43, K43 ..43 ] ) ;
end do;
>
N := 1.469387755 :
H := 0.06666666667 :
R := 8.437500000 :
Y := 0.6818529672 :
Q ( 0 )...Q ( 360 )
for i from 0 by 30 to 360 do
R
evalf e ( i) =
;
1 C H$ Q ( i)
end do;
0
1