Persamaan Diferensial Parsial - Digilib ITS

Sidang Tugas Akhir - Juli 2013
STUDI PERBANDINGAN PERPINDAHAN PANAS
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA DAN
CRANK-NICHOLSON
COMPARATIVE STUDY OF HEAT TRANSFER USING FINITE
DIFFERENCE AND CRANK-NICHOLSON METHOD
DOSEN PEMBIMBING
Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
MAHASISWA
Durmin (1206 100 701)
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
PENDAHULUAN
2
Latar Belakang

Perpindahan panas yang terjadi di dalam bumi merupakan persoalan
kompleks karena melibatkan banyak parameter. Sehingga penyelesaian
persoalan perpindahan panas di alam ini memerlukan asumsi-asumsi untuk
menyederhanakan permasalahan.

Perpindahan panas (heat transfer)
adalah ilmu untuk mengamati
perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu diantara
benda atau material. Energi ini tidak dapat diukur atau diamati secara
langsung tetapi arah perpindahannya dan pengaruhnya dapat diamati dan
diukur.

Banyak model matematika perpindahan panas yang merupakan persamaan
diferensial parsial. Penyelesaian persamaan diferensial parsial dapat
dilakukan dengan beberapa metode. Pemilihan metode pendekatan
berdasarkan pada tujuan dan kompleksitas masalah.
3
Latar Belakang (lanjut)

Pada Tugas Akhir ini akan dikaji proses perpindahan panas satu dimensi
dimana objek penelitiannya adalah suatu simulasi domain bidang yang
pada batas-batas dan titik-titik tertentu diketahui temperaturnya.
Pendekatan yang dipakai adalah dengan membandingkan metode Beda
Hingga dan metode Crank-Nicholson.
4
Perumusan Masalah

Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode beda
hingga.

Bagaimana proses perpindahan panas dengan metode CrankNicholson.

Bagaimana perbandingan ketelitian metode beda hingga dan
Crank-Nicholson pada persamaan panas.
5
Batasan Masalah

Bentuk model matematis perpindahan panas yang diambil
adalah persamaan panas satu dimensi.

Metode beda hingga yang dipakai adalah metode beda hingga
maju skema Eksplisit.

Proses perpindahan panas
menggunakan Software Matlab.
ini
akan
disimulasikan
6
Tujuan

Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode beda
hingga.

Mengetahui proses perpindahan panas dengan metode CrankNicholson.

Mengetahui perbandingan ketelitian metode beda hingga dan
Crank-Nicholson pada persamaan panas.
7
Manfaat
Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah dapat
mengetahui arah dan pola perpindahan panas pada objek yang
diteliti, yaitu pada batang logam panjang pada bentuk model satu
dimensinya.
8
TINJAUAN PUSTAKA
9
Perpindahan Panas
Panas mengalir dari benda bertemperatur lebih tinggi ke benda
bertemperatur lebih rendah. Laju perpindahan panas yang melewati benda
padat sebanding dengan gradien temperatur atau beda temperatur persatuan
panjang.
Mekanisme perpindahan panas sendiri dapat terjadi secara konduksi,
konveksi, dan radiasi.
Perpindahan panas secara konduksi adalah proses perpindahan panas dari
daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah dalam satu medium (padat,
cair atau gas), atau antara medium–medium yang berlainan yang
bersinggungan secara langsung.
Dinyatakan dengan:
10
Perpindahan Panas
Perpindahan panas secara konveksi adalah perpindahan energi dengan kerja
gabungan dari konduksi panas, penyimpanan, energi dan gerakan
mencampur. Proses terjadi pada permukaan padat (lebih panas atau dingin)
terhadap cairan atau gas (lebih dingin atau panas).
Dinyatakan dengan:
11
Perpindahan Panas
Perpindahan panas secara radiasi adalah proses perpindahan panas dari
benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah, bila benda–
benda itu terpisah didalam ruang (bahkan dalam ruang hampa sekalipun).
Dinyatakan dengan:
12
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya
terdapat suku-suku diferensial parsial yang dalam matematika diartikan
sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui,
yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunanturunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.
Banyak permasalahan dalam bidang ilmu terapan, fisika, dan teknik
dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan deferensial
parsial.
Persamaan deferensial parsial memiliki bentuk umum:
dimana A, B dan C adalah konstan yang disebut dengan quasilinear.
13
Persamaan Diferensial Parsial
Terdapat tiga tipe dari persamaan quasilinear yaitu:
jika
, persamaan disebut dengan persamaan elips.
jika
, persamaan disebut dengan persamaan parabolik.
jika
, persamaan disebut dengan persamaan
hiperbolik.
Salah satu persamaan parabolik adalah model satu dimensi untuk perpindahan
panas pada sebuah batang yang diisolasi dengan panjang L.
14
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan panas dengan temperatur u(x,t) dalam batang pada posisi x dan
waktu t dinyatakan dengan:
dengan distribusi temperatur awal pada t = 0 adalah
dan nilai batas pada ujung-ujung batang
Konstanta K adalah koefisien dari konduktifitas thermal bahan, σ adalah panas
spesifik, ρ berat jenis material batang, dan c konstan.
15
Persamaan Diferensial Parsial
Untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial jenis parabolik ini
persamaan perpindahan panas berdimensi satu diatas disederhanakan menjadi:
(1)
berlaku untuk 0 ≤ x ≤ L waktu t ≥ 0
dengan syarat-syarat batasnya adalah
16
Metode Beda Hingga
Untuk dapat menggunakan metode beda hingga dibutuhkan Deret Taylor.
Deret Taylor fungsi satu variabel disekitar x diberikan sebagai:
Deret Taylor inilah yang merupakan dasar pemikiran metode beda hingga
untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial secara numerik.
17
Metode Beda Hingga
Dari deret Taylor ini dikenal tiga pendekatan beda hingga.
Pendekatan beda maju (forward difference):
Pendekatan beda mundur (backward difference):
Pendekatan beda pusat (center difference):
18
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
Penyelesaian dengan metode beda hingga dapat dijelaskan dengan meninjau
suatu luasan yang merupakan hasil dari persamaan diferensial parsial yang
mempunyai satu variable tak bebas u dan dua variable bebas x dan t. Setiap
persamaan diferensial yang berlaku pada luasan tersebut menyatakan keadaan
suatu titik atau pias yang cukup kecil di luasan tersebut.
Metode Beda Hingga sangat sering dipakai untuk mencari solusi suatu
persamaan diferensial parsial (PDP). Hal ini disebabkan mudahnya mendekati
PDP dengan pendekatan deret Taylor-nya dan diperoleh persamaan beda.
Idenya adalah membawa domain PDP ke dalam domain komputasi yang
berupa grid.
19
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
1. Metode FTCS (Forward Time Center Space)
Metode FTCS sering disebut dengan metode Eksplisit
∆x = h dan ∆t = k.
Penerapan Beda Maju terhadap
(pers. (1)) di titik i,j, diperoreh
20
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
1. Metode FTCS (Forward Time Center Space)
penerapan Beda Pusat terhadap
diperoleh
sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut:
dengan substitusi
menjadi
(2)
Metode Eksplisit konvergen dan stabil jika
21
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space)
∆x = h dan ∆t = k.
Penerapan Beda Mundur terhadap
(pers. (1)) di titik i,j+1,
diperoreh
22
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
2. Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space)
penerapan Beda Pusat terhadap
diperoleh
sehingga dari persamaan (1) diperoleh persamaan beda berikut:
dengan substitusi
menjadi
(3)
23
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
3. Metode Crank-Nicholson
∆x = h dan ∆t = k.
Penerapan Beda Pusat terhadap
(pers. (1)) di titik i,(j + ½),
diperoreh
24
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
3. Metode Crank-Nicholson
Sedangkan
di titik grid i,(j+½), dihampiri dengan pendekatan
suku derivatif ruang pada waktu j+½ dianggap sebagai nilai rata-rata
derivatif pada waktu j dan j+1
Dengan menerapkan Beda Pusat terhadap
waktu j+1) diperoleh
dan untuk
dititik i,j+1 (pada
di titik i,j (pada waktu j)
25
Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas
3. Metode Crank-Nicholson
Sehingga persamaan beda untuk metode Crank-Nicholson (untuk
persamaan (1)) yaitu
dengan substitusi
menjadi
(4)
26
PEMBAHASAN
27
kondisi awal
kondisi batas
,
,
Dengan mengambil ukuran ∆x = h = 0.2 dan ∆t = k = 0.02 dan c = 1 maka
r = 0.5,
28
29
Penyelesaian dengan Metode Eksplisit
Pada skema eksplisit, variabel pada waktu j+1 dihitung berdasarkan variabel
pada waktu j yang sudah diketahui.
Penerapan metode Eksplisit, dengan menggunakan persamaan (2) dengan
r=0.5, menghasilkan
Hitungan dilakukan dengan memasukan nilai dari titik-titik yang sudah
diketahui ke persamaan diatas
30
Penyelesaian dengan Metode Eksplisit
Dari perhitungan keseluruhan dengan Metode Eksplisit didapat tabel
31
Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson
Penerapan metode Crank-Nicholson, dengan menggunakan persamaan (4)
dengan r=0.5, menghasilkan
perhitungan dilakukan dengan memasukan nilai awal dan nilai batas pada
persamaan diatas
Misal untuk j=1 dan i=1,2,3,4 diperoleh sistem persamaan, empat persamaan
dengan empat variabel yang tidak diketahui:
Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks tridiagonal, yang
kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode sapuan ganda Choleski
32
Penyelesaian dengan Metode Crank-Nicholson
Hasil perhitungan keseluruhan disajikan pada Tabel
33
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson
34
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson
keterangan: * : dengan Metode Eksplisit
o : dengan Metode Crank-Nicholson
35
grafik perbandingan metode Eksplisit dan Crank-Nicholson
keterangan: * : dengan Metode Eksplisit
o : dengan Metode Crank-Nicholson
36
Kesimpulan dan Saran
Kesimpulan
Metode beda hingga skema Eksplisit lebih mudah penyelesaiannya daripada
metode beda hingga skema Crank-Nicholson, karena untuk mendapatkan nilai
suatu titik
dapat diketahui secara langsung dengan memasukan nilainilai dari kondisi awal, dan kondisi batasnya, berbeda dengan metode beda
hingga skema Crank-Nicholson yang harus menyelesaikan sistem persamaan
yang terbentuk yang berbentuk matriks tridiagonal, sehingga diperlukan
metode lagi untuk penyelesaian dari matriks tridiagonal tersebut
Metode beda hingga skema Crank-Nicholson memiliki akurasi perhitungan
yang lebih baik daripada metode beda hingga skema Eksplisit.
37
Kesimpulan dan Saran
Saran
Tugas Akhir ini merupakan penelitian dengan kajian literatur tentang metode
beda hingga skema Eksplisit dan Crank-Nicholson untuk mencari solusi dari
persamaan panas satu dimensi, maka penulis menyarankan agar penelitian ini
dilanjutkan untuk kasus perpindahan panas dua dimensi.
38
Daftar Pustaka
39
TERIMA KASIH
40