BAB II

BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dijelaskan ciri pokok superkonduktor yang
dipandang dari sifat magnetik dan sifat transport listrik secara terpisah serta
perbedaannya dibandingkan konduktor (logam). Untuk memahami fenomena baru
tersebut, selanjutnya akan digunakan model London yang disusul dengan
pengembangan versi kuantum makroskopiknya yang berhasil memperdalam
pengertian arus super dan menunjukkan adanya kuantisasi fluksoid. Pembahasan
selanjutnya mengenai alat-alat dan piranti (device) yang digunakan untuk
pengukuran dan pengendalian medan magnet yang diperlukan pada eksperimen
kuantisasi fluksoid.
2.1 Ciri Pokok Superkonduktor
2.1.1 Diamagnetisme Sempurna
Superkonduktor sempurna adalah bahan yang menunjukkan dua buah
karakteristik, yaitu konduktivitas super dan diamagnetisme sempurna, saat
didinginkan di bawah temperatur tertentu Tc, yang biasa disebut temperatur kritis
atau temperatur saat terjadi transisi keadaan normal menjadi keadaan
superkonduktif. Superkonduktor ini (sekarang dikenal sebagai superkonduktor
tipe I) akan menolak secara total medan magnet dari luar H dan kembali ke
keadaan normal jika dikenai medan magnet yang lebih besar dari nilai medan
2-1
kritisnya (Hc), bahkan saat temperaturnya di bawah temperatur kritisnya. Pada
umumnya Hc bergantung pada suhu seperti ditunjukkan oleh gambar berikut.
H
Hc(0)
Hc(T)
Normal
Meissner
Tc
T
Gambar 2.1. kurva H-T untuk superkonduktor
Karakteristik ini dikenal sebagai efek Meissner. Di bawah kurva Hc(T) medan
magnet induksi B dalam bahan bernilai nol atau magnetisasi bahan memenuhi
persamaan M = - H. Di atas Hc, maka superkonduktor akan kembali ke keadaan
normal.
(Cyrot, M., 1992)
Gambar 2.2. kurva M(H) dan B(H) untuk superkonduktor
Sebenarnya efek perisai dalam bahan superkonduktor tidak berfungsi
sempurna sepenuhnya, yang berarti diamagnetisme sempurna atau efek Meissner
2-2
hanya berlaku ”jauh” di dalam bahan. Hal ini telah dibuktikan oleh Fritz dan
Heinz London (1935) yang mengusulkan dua persamaan yaitu :
( )
d
ΛJ = E
dt
(1)
( )
(2)
∇ × Λ J = −B
dengan ketentuan parameter
ns q 2 1
=
ms
Λ
(3)
Dengan J s , E , ms, ns, dan qs masing-masing adalah rapat arus super,
medan listrik, massa elektron super yang berharga 2me dengan me adalah massa
elektron, rapat elektron super, dan muatan elektron super yang berharga 2e.
Selanjutnya dengan bantuan persamaan Maxwell ∇ × B = μ 0 J , persamaan
London II dapat ditulis dalam ungkapan lain,
∇ 2 B = B / λ2
(4)
dengan λ = Λ / μ 0 = m s / μ 0 n s q s . Seperti tampak dalam gambar, untuk
2
penerapannya pada bahan superkonduktor berbentuk papan dengan ketebalan 2α,
dan berada dalam medan magnet luar H sejajar bidang y-z dengan syarat batas
B = μ 0 H pada x = α dan x = - α , persamaan di atas akan menghasilkan solusi
berbentuk
B( x ) = μ 0 H
cosh ( x / λ )
zˆ
cosh (a / λ )
(5)
2-3
Gambar 2.3. papan superkonduktor dalam medan magnet luar H
Solusi di atas menyatakan bahwa medan magnet luar dapat menerobos
secara efektif ke dalam bahan superkonduktor dengan panjang penetrasi
karakteristik λ (sering juga ditulis dengan notasi λL) seperti ditunjukkan oleh
gambar.
2-4
Gambar 2.4. kedalaman penetrasi λ dalam bahan papan berketebalan 2α
(a) (a/ λ) << 1 dan (b)(a/ λ)>> 1
Sumber : (Orlando, Terry P., 1991)
Kehadiran medan inhomogen tersebut akan mengimbas arus permukaan (super
perisai atau arus screening) superkonduktor yang mengalir sebatas kedalaman
(
)
yang sama sesuai dengan persamaan Maxwell J = ∇ × B / μ 0 . Oleh karena itu,
efek Meissner dalam superkonduktor bergantung pula pada perbandingan
ketebalan bahan terhadap λ. (Orlando, Terry P., 1991)
2.1.2 Resistivitas Nol
2-5
Bahan superkonduktor memiliki ciri transport listrik yang berbeda dari
konduktor (logam). Pertama, resistivitas konduktor tidak pernah menuju nol
karena kontribusi tumbukan elektron dengan impuritas yang menghasilkan
resistivitas residual, kecuali pada bahan konduktor murni (sempurna) yang bebas
impuritas. Namun untuk konduktor murni pun resistivitas hanya dapat menjadi
nol pada suhu mutlak 0 K. Di pihak lain superkonduktor dapat memperlihatkan
transisi tajam menuju resistivitas nol pada suhu kritis Tc, di atas suhu mutlak 0 K,
seperti pada gambar berikut.
(Cyrot, M., 1992)
Gambar 2.5. kurva resistivitas terhadap suhu untuk konduktor
Kedua, hubungan konstitutif yang melandasi sifat bahan konduktor
adalah berdasarkan hukum Ohm, yaitu
J = σ E , sedangkan untuk bahan
superkonduktor berlaku hubungan konstitutif London yang merupakan akibat dari
dua persamaan London, yaitu :
J =−
1
A
Λ
(6)
dengan gauge london : ∇ ⋅ A = 0 , A ⋅ nˆ = 0 , yang menjamin sifat stasioner J :
∇ ⋅ J = 0 , dan tiadanya arus yang mengalir keluar/masuk SK : J ⋅ nˆ = 0
2-6
(Orlando, Terry P., 1991)
2.2 Model Kuantum Makroskopik
Sejauh ini telah diuraikan fenomena superkonduktivitas berdasarkan
rumusan elektrodinamika klasik (F. & H. London). Dalam pasal ini akan
diperkenalkan rumusan kuantum makroskopik (F. London) yang berhasil
memperdalam pengertian arus super dan menunjukkan adanya kuantisasi fluksoid.
F. London (1948) menyadari bahwa persamaan London dapat diturunkan dari ide
yang fundamental dengan mengasumsikan ensembel super-elektron secara
keseluruhan berkelakuan sebagai suatu sistem kuantum pada skala makroskopik.
( )
Oleh karena itu, hadir sebuah fungsi gelombang kuantum makroskopik Ψ x, t
yang menggambarkan kelakuan seluruh ensembel super-elektron di dalam
superkonduktor.
(Orlando, Terry P., 1991)
2.2.1 Arus probabilitas dalam teori kuantum schrodinger
Sebagai pendahuluan pasal ini, tinjau persamaan Schrodinger yang berlaku
untuk partikel tunggal dengan fungsi keadaan ψ :
∂
h2 2
ih Ψ = −
∇ Ψ + VΨ
∂t
2m
(7)
dengan penafsiran fisik (M. Bohr) :
( )
Ψ x,t
2
( ) ( )
= rapat probabilitas = Ψ * x, t Ψ x, t ≡ Ρ
(8)
yang memenuhi syarat normalisasi :
∫ Ψ(x, t )
2
dV = 1
(9)
2-7
Persamaan di atas dapat diringkas menjadi persamaan kontinuitas :
∂ρ
= −∇ ⋅ J
∂t
(10)
yang menyatakan kekekalan probabilitas dengan
J =−
(
h2
Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇Ψ *
2m
)
h
⎡
⎤
Re ⎢Ψ *
∇Ψ ⎥ : rapat arus probabilitas
2im
⎣
⎦
(11)
(12)
Jika persamaan kontinuitas ini menyatakan kekekalan probabilitas secara
lokal, maka syarat normalisasi di depan merupakan pernyataan kekekalan secara
global. Pengaruh kehadiran medan elektromagnet luar dengan fungsi potensial
skalar φ dan potensial vektor A dapat diperhitungkan berdasarkan cara substitusi
minimal momentum linier p dalam persamaan kanonik mekanika klasik dengan
perumusan invarian gauge lokal dalam teori medan. Untuk partikel bermuatan q,
pengalihannya ke dalam bentuk kuantum dan hamiltonian yang bersangkutan juga
berubah (andaikan V = q φ ). Persamaan Schrodinger yang bersangkutan menjadi :
2
⎧⎪ 1 ⎛ h
⎫⎪
∂
⎞
ih Ψ = ⎨
⎜ ∇ − q A ⎟ + qφ ⎬Ψ
∂t
⎪⎩ 2m ⎝ i
⎪⎭
⎠
(13)
dan rapat arus probabilitas yang bersangkutan menjadi :
⎡ ⎛ h
q ⎞ ⎤
J = Re ⎢Ψ * ⎜ ∇ − A ⎟Ψ ⎥
m ⎠ ⎦
⎣ ⎝ im
(14)
(Orlando, Terry P., 1991)
2.2.2 Perumusan Kuantum makroskopik
2-8
Dengan asumsi pokok ensembel super-elektron secara keseluruhan
berkelakuan sebagai suatu sistem kuantum dan kelakuan/keadaannya dapat
dilukiskan oleh suatu fungsi keadaan kuantum makroskopik yang memenuhi
persamaan arus super dalam kehadiran medan elektromagnet, maka dapat
( )
dispotulatkan kehadiran Ψ x, t untuk mendeskripsikan kelakuan ensembel superelektron.
ih
( )
∂
1
Ψ x, t =
∂t
2m s
2
( ) ( )
( ) ( )
⎡h
⎤
⎢ i ∇ − q s A x, t ⎥ Ψ x , t + q s φ x , t Ψ x , t
⎣
⎦
(15)
dengan ms dan qs masing-masing menyatakan massa dan muatan super-elektron
dan syarat normalisasi :
∫ Ψ (x, t )Ψ (x, t )dV = N
*
s
(jumlah super-elektron)
(16)
( )
( ) ( )
sehingga Ψ * x, t Ψ x, t = rapat lokal super-elektron= n s x, t : real. Selanjutnya
rumus arus probabilitas diperluas menjadi rapat arus super
⎡ ⎛ h
⎞ ⎤
q
J s = q s Re ⎢Ψ * ⎜⎜
∇ − s A ⎟⎟Ψ ⎥
ms ⎠ ⎦
⎣ ⎝ im s
( )
Substitusi ungkapan Ψ x, t
(17)
di atas ke dalam ungkapan arus super untuk
menghasilkan persamaan :
( )
( )
( )
⎡h
⎤
q
J s = q s n s x, t ⎢ ∇θ x, t − s A x, t ⎥ = q s n s v s
ms
⎣ ms
⎦
dengan v s =
( )
(18)
( )
q
h
∇θ x, t − s A x, t .
ms
ms
⎛q ⎞
Di dalam superkonduktor, J s = 0 yang berarti ∇θ = ⎜ s ⎟ A Invarian gauge.
⎝D⎠
2-9
Js sebagai besaran fisis harus invarian terhadap pemilihan fase θ maupun
fungsi potensial A , kedua-duanya tidak dapat diukur secara eksperimen.
Kebebasan dalam memilih A hanya dibatasi oleh definisinya B = ∇ × A , yang
berarti tidak boleh mengubah harga B . Batasan tersebut masih memungkinkan
variasi A sebagai berikut :
A → A' = A + ∇χ
(19)
yang berarti perubahan φ sebagai berikut :
φ →φ =φ −
∂χ
∂t
(20)
( )
Berdasarkan persamaan S bagi Ψ x, t dapat ditunjukkan bahwa ini berarti pula
perubahan :
( )
( )e
Ψ → Ψ ' x, t = n s x, t
( )
iθ ' x ,t
(21)
Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa J s akan tetap sama (invarian) bila dipenuhi
syarat :
θ'= θ +
qs
χ
h
(22)
(Orlando, Terry P., 1991)
2.2.3 Kuantisasi fluksoid
Di dalam bahan superkonduktor padat/tak berlubang/simply connected
yang cukup tebal (a/λ>>1), telah ditunjukkan bahwa medan B atau fluksi yang
bersangkutan
∫ B ⋅ ds
selalu sama dengan nol. Namun, tidak demikian halnya bila
2-10
bahan tersebut mengandung lubang (mengandung daerah yang multiply
connected). Hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa lubang tersebut merupakan
daerah normal/non-superkonducting. Oleh karena itu, pada dasarnya medan B
atau fluksi magnet di dalam daerah lubang tidak selalu =0.
Pada sebuah bahan yang berbentuk cincin tebal/silinder berongga dengan
dinding tebal seperti tampak pada gambar berikut.
Gambar 2.6. cincin tebal superkonduktor
Jika medan luar diterapkan pada superkonduktor dengan suhu < Tc, tidak akan
terjadi penetrasi fluksi medan ke dalam rongga silinder sehubungan dengan
peniadaannya oleh arus super yang terimbas itu. Dalam hal ini efek Meissner
tampak operatif sepenuhnya. Sementara itu, pada kehadiran medan luar melalui
penurunan T sampai di bawah Tc, fluksi medan akan terperangkap oleh rongga
silinder, walaupun tidak terjadi penetrasi medan ke dalam bahan superkonduktor.
Kehadiran medan magnet dalam rongga akan menimbulkan arus imbas yang
bersirkulasi sepanjang lintasan tertutup dalam cincin sesuai dengan persamaan
Maxwell J = ∇ × H .
2-11
Gambar 2.7. fluksi medan magnet dalam rongga cincin
Secara klasik (teori London klasik), tidak terdapat batasan pada besarnya
fluksi medan magnet yang terperangkap itu. Menurut perumus model kuantum
makroskopik (MKM), J s = 0 sepanjang lintasan tertutup C di dalam dinding
silinder, ini berarti berlakunya hubungan :
A=
h
∇θ
qs
(23)
Sepanjang C, jadi :
h
∫ A ⋅ dl = ∫ q
∇θ dl
(24)
∫ ∇ × A ⋅ ds = q ∫ dθ
h
(25)
h
(26)
C
C
s
s C
S
∫ B ⋅ ds = q ∫ dθ
s C
S
Ingatlah bahwa fase θ pada fungsi gelombang ensembel dapat mengambil harga
yang merupakan kelipatan bulat dari harga utamanya − π ≤ θ p ≤ +π , yaitu :
( )
( )
θ x, t = θ p x, t + 2nπ
(27)
2-12
karena
( )
Ψ x, t = n s
iθ
e
= ns
(
i θ p + 2 nπ
e
)
(28)
( )
Selanjutnya karena θ p x, t bernilai tunggal, maka ∫ dθ p = 0 , sehingga
∫ dθ = 2nπ
(29)
C
Dengan kata lain
h
∫ B ⋅ ds = q
S
Φ0 =
2nπ = nΦ 0
(30)
s
h
h
, bila superkonduktor = pasangan Cooper = kuantum fluxoid
→
qs
2e
Dengan n melambangkan bilangan bulat. Jadi penetrasi fluksi medan luar dalam
superkonduktor
memiliki
nilai
Φ 0 = h / 2e = 2.0678 × 10 −15 Weber .
kuantisasi
yang
tetap,
yaitu
(Orlando, Terry P., 1991)
Gambar berikut menunjukkan hasil eksperimen yang dilakukan oleh
Deaver dan Fairbank (USA) dan Doll dan Näbauer (Jerman) yang identik secara
esensial.
2-13
Gambar 2.8. fluksi yang terperangkap dalam rongga cincin. (a) hasil eksperimen
Deaver dan Fairbank (USA). (b) data ideal
Sumber : (Orlando, Terry P., 1991)
Dengan mengukur penetrasi fluks medan luar, konsep super-elektron telah
dikonfirmasi secara eksperimen.
2-14
2.3 Efek Hall
Efek Hall adalah salah satu cara untuk menentukan konsentrasi pembawa
muatan. Gambar menunjukkan prinsip pengukuran konsentrasi lubang (hole)
dalam semikonduktor tipe-p.
Gambar 2-9. Pengukuran efek Hall
Lubang dalam semikonduktor pada arah sumbu x dipercepat dalam medan
listrik, sedangkan pada arah sumbu z diberikan medan magnet. Gerakan dari
partikel bermuatan dalam medan magnet diberikan sebagai :
F = q (v × B)
(23)
Dimana F adalah vektor gaya yang bekerja pada partikel yang disebut
gaya Lorentz (Newton), v adalah kecepatan partikel ( m ), dan B adalah medan
s
magnet (Tesla). Bila iˆ , ĵ , dan k̂ adalah vektor-vektor satuan masing-masing
pada arah x, y, dan z. Dari gambar didapat :
B = Bz kˆ
(24)
2-15
v = vx iˆ
Dengan mensubstitusikan persamaan (23) ke (24) didapat :
F = q vxBz ( iˆ × k̂ ) = -(q vxBz) ĵ
B
(25)
B
Dengan q adalah muatan partikel (Coulomb).
Persamaan tersebut menyatakan gaya dengan arah negatif pada sumbu y.
Berarti lubang ditolak oleh gaya Lorentz ke arah sisi permukaan A. Bila hanya
terdapat gaya Lorentz, lubang akan dikonsentrasikan secara tak terhingga pada
permukaan A, namun ada yang menghentikan proses tersebut, saat lubang
didistribusikan ke satu sisi pada permukaan A, timbul gaya listrik pada arah y,
yaitu dari permukaan A ke permukaan B. Keadaan seimbang tercapai apabila
adanya keseimbangan antara medan listrik dan gaya Lorentz, dan timbul beda
tegangan antara permukaan A dan B. Tegangan ini disebut tegangan Hall yang
nilainya sebanding dengan konsentrasi pembawa (dalam hal ini konsentrasi
lubang), sebagai berikut :
Bila Ey adalah medan listrik ( V
m
) dan dalam keadaan gaya-gaya
seimbang didapat :
qEy - q vxBz = 0
(26)
Ey = vxBz
(27)
B
atau
B
Tegangan Hall (Volt) diberikan sebagai :
VH = lEy
(28)
Bila p adalah konsentrasi lubang, maka arus I (Ampere) adalah :
I = q pvxdl
(29)
2-16
Persamaan diatas dapat direduksi menjadi :
V
H
=
Bz I
=
qdp
R
H
Bz
d
(30)
Bila VH, Bz, q, dan d diketahui, maka p dapat dihitung menggunakan
persamaan (30) dimana
R
H
=
1
disebut koefisien Hall. Konsentrasi elektron
qp
dapat dihitung dengan cara yang sama, tetapi harus diingat bahwa elektron
bermuatan negatif. Hasilnya :
V
H
=−
Bz I
qdn
(31)
Arah dari medan medan listrik Hall dalam semikonduktor tipe-n
berlawanan dengan pada semikonduktor tipe-p. Dengan cara ini pula dapat
ditentukan tipe konduksi semikonduktor yaitu dengan mengetahui polaritas
tegangan Hall.
Sementara itu, pada semikonduktor ekstrinsik yang memiliki dua
pembawa muatan, yaitu elektron dan lubang dengan konsentrasi dan mobilitas
yang berbeda maka koefisien Hall memiliki bentuk :
− nμ e + pμ h
2
R
H
=
2
e(nμ e + pμ h )
2
(32)
Dengan n adalah konsentrasi elektron, p adalah konsentrasi lubang, μe adalah
mobilitas elektron dan μh adalah mobilitas lubang.
(Rio, S. Reka, 1980)
2.4 Penguat Operasional
2-17
Penguat operasional adalah suatu rangkaian elektronika yang dikemas
dalam bentuk rangkaian terpadu (IC). Perangkat ini sering digunakan sebagai
penguat sinyal, baik yang linier maupun yang non linier terutama dalam sistem
pengaturan dan pengendalian, instrumentasi, serta komputasi analog. Keuntungan
dari pemakaian penguat operasional ini adalah karakteristiknya yang mendekati
ideal sehingga dalam merancang rangkaian yang menggunakan penguat ini lebih
mudah dan juga karena penguat ini bekerja pada tingkatan yang cukup dekat
dengan karakteristik kerjanya secara teoritis. Dari sudut sinyal sebuah penguat
operasional mempunyai tiga terminal, yaitu dua terminal masukan dan satu
terminal keluaran.
Input 2
Gambar2.10. simbol rangkaian penguat operasional
Gambar menunjukkan simbol dari sebuah penguat operasional. Teminal
input 1 dan 2 adalah terminal masukan dan terminal output adalah terminal
keluaran. Kebanyakan penguat operasional membutuhkan catu daya DC dengan
dua polaritas untuk dapat beroperasi. Terminal VB+ disambungkan ke tegangan
positif (+V) dan terminal VB- disambungkan ke tegangan negatif (-V).
Karakteristik utama sebuah penguat operasional yang ideal adalah :
1. Impedansi masukan tak terhingga
2-18
Penguat yang ideal diharapkan tidak menarik arus masukan, artinya tidak ada arus
yang masuk kedalam terminal input 1 maupun 2 (I1 = I2 = 0)
2. Impedansi keluaran sama dengan nol
Terminal output merupakan keluaran penguat operasional, idealnya diharapkan
bertindak sebagai terminal keluaran sebuah sumber sumber tegangan ideal.
Tegangan antara terminal output dengan ground akan selalu sama dengan A(V2 V1), dimana A adalah faktor penguatan sebuah penguat operasional.
3. Penguatan loop terbuka tak terhingga
Apabila dioperasikan pada loop terbuka (tidak ada umpan balik dari keluaran ke
masukan), maka sebuah penguat operasional ideal mempunyai penguatan (gain)
yang besarnya tak terhingga.
2.4.1 Penguat Tak Membalik (Non-inverting Amplifier)
Penguat tak membalik merupakan suatu penguat dimana tegangan
keluarannya atau Vo mempunyai polaritas yang sama dengan tegangan masukan
atau Vi. Rangkaian penguat tak membalik ditunjukkan pada Gambar berikut.
2-19
Gambar 2.11 penguat tak membalik
Arus i mengalir ke Ri karena impedansi masukan op-amp sangat besar
sehingga tidak ada arus yang mengalir pada kedua terminal masukannya.
Tegangan pada Ri sama dengan Vi karena perbedaan tegangan pada kedua
terminal masukannya mendekati 0 V.
i=
Vi
Ri
(33)
Tegangan pada Rf dapat dinyatakan sebagai :
V
Rf
= i× Rf =
Rf
× Vi
Ri
(34)
Tegangan keluaran Vo didapat dengan menambahkan tegangan pada Ri yaitu Vi
dengan tegangan pada Rf yaitu V R .
f
Vo = Vi +
Rf
Ri
× Vi
(35)
Sehingga diperoleh penguatan sebesar :
Vo ⎛ R f ⎞
⎟
= ⎜1 +
Vi ⎜⎝
Ri ⎟⎠
(36)
(Millman, 1972)
2-20
2-21