minggu ke-12 teorema limit pusat dan terapannya

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
MINGGU KE-12
TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Telah dikenal bahwa X1 , X2 ....Xn sampel random dari distribusi
P
x̄−µ
2
normal dengan mean µ dan variansi σ , maka σ/√n atau √xni −nµ
σ
secara eksak berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1.
Ada pertanyaan yang mendasar, bagaimana bila asumsi normalitas
dihilangkan. Jawaban dari pertanyaan tersebut dituangkan dalam
teori besar bahkan ada yang menyebutkan sebagai revolusi pertama
dalam statistika yaitu dengan apa yang kita kenal sebagai teorema
limit pusat atau the central limit theorem di bawah.
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Teorema
Bila Xi independen dan berdistribusi identik dengan mean µ dan
variansi σ 2 , maka
X̄ − µ d
√ −
→ N(0, 1)
σ/ n
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Teorema Limit Pusat mempunyai dua penafsiran.
I. Bentuk
x̄−µ d
√ −
→
σ/ n
N(0, 1) mempunyai implikasi bahwa kita bisa
menghampiri distribusi dari x̄ apapun bentuk distribusi dari
populasi . Dalam hal ini
!
x̄ − µ
b−µ
a−µ
P (a 6 x̄ 6 b) ≈ P σ√ 6 σ√ 6 σ√
n
n
n
!
a−µ
b−µ
= P σ√ 6 z 6 σ√
n
n
!
!
b−µ
a−µ
= Φ σ√
− Φ σ√
n
n
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
II. Karena,
x̄ − µ
σ√
n
P
=
=
xi
n
−µ
σ√
n
P
x − nµ
√i
nσ
maka bila suatu variabel random bisa ditulis sebagai jumlahan
n variabel random yang saling independen dan berdistribusi
identik seperti distribusi binomial yang merupakan jumlahan
distribusi Bernoulli yang saling independen, maka distribusi
variabel random tersebut bisa dihampiri dengan distribusi
normal.
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
P
Jadi, bila kita ingin menghitung P (a 6
xi 6 b), maka besaran
tersebut bisa dihampiri melalui
P
X
a − nµ
xi − nµ
b − nµ
xi 6 b
≈ P √
6 √
6 √
P a6
nσ
nσ
nσ
b − nµ
a − nµ
≈ Φ √
−Φ √
nσ
nσ
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Contoh
a. Bila x̄ menyatakan sampel random berukuran n = 15 dari
distribusi dengan fungsi kepadatan probabilitas
f (x) = 32 x 2 , −1 < x < 1 yang berarti µ = 0 dan σ 2 = 35 , maka


0.03 − 0
x̄ − 0
0.15 − 0 
. 6p
.
P(0.03 6 x̄ 6 0.15) = P p . 6 p
3/5 15
3/5 15
3/5 15
= P(0.15 6 z 6 0.75)
= Φ(0.75) − Φ(0.15)
= 0.7734 − 0.5596
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
b. Misalkan X1 , X2 ....X20 menyatakan sampel random ukuran 20
dari distribusi seragam U(0, 1). Dalam hal ini E (Xi ) = 21 dan
20
P
Var (Xi ) = 12 , i = 1, 2, ...20. Bila y =
yi , maka
i=1

P(y 6 9.1) = P 
y
− (20)( 12 )
q

9.1 − 10 
6 q
20/
12
20/
12
= P(z 6 −0.697) = Φ(−0.697) = 0.2423
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Selain itu,


8.5 − 10
y − 10
11.7 − 10 − 10 
q
P(8.5 6 y 6 11.7) = P  q
6 q
6
5/
5/
5/
3
3
3
= P(−1.162 6 z 6 1.317)
= Φ(1.317) − Φ(−1.162)
= 0.9061 − 0.1226 = 0.7835
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
c. Misalkan x̄ menyatakan mean sampel ukuran 25 dari distribusi
3
dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x) = x4 , 0 < x < 2, yang
8
berarti µ = 58 = 1, 6 dan σ 2 = 75
, maka
x̄ − 1.6
1.5 − 1.6
.√ 6 p
.√
P(1.5 6 x̄ 6 1.65) = P( p
8/75
25
8/75
25
1.65 − 1.6
.√ )
6p
8/75
25
= P(−1.531 6 z 6 0.765)
= Φ(0.765) − Φ(−1.531)
= 0.7779 − 0.0629 = 0.7150
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Pendekatan binomial dengan distribusi normal
Misalkan X ∼binomial (n, θ), maka X bisa ditulis sebagai
n
P
jumlahan
Xi dengan Xi i.i.d. Bernouli (1, θ). Karena
i=1
Xi ∼Bernoulli (θ), maka
E (xi ) = θ
Var (xi ) = θ(1 − θ)
Menurut teorema limit pusat
X − nθ
d
p
−
→ N(0, 1)
nθ(1 − θ)
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Akibatnya,
P(a 6 x 6 b) ≈ P
a − nθ
b − nθ
p
6z 6 p
nθ(1 − θ)
nθ(1 − θ)
!
Karena X variabel random diskrit, maka perlu adanya koreksi
kontinuitas
!
a − nθ − 0.5
b − nθ + 0.5
P(a 6 x 6 b) ≈ P p
6z 6 p
nθ(1 − θ)
nθ(1 − θ)
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Contoh
a. Misalkan n = 200, θ = 0.5 dan kita ingin menentukan hampiran
P[95 ≤ x ≤ 105].
95 − 0.5 − (100)(0.5)
p
200(0.5)(0.5)
105 + 0.5 − (200)(0.5)
p
6z 6
200(0.5)(0.5)
−5.5
5.5
= P √ 6z 6 √
50
50
= P(−0.7778 6 z 6 0.7778)
P[95 6 x 6 105] = P[
= 2Φ(0.77781) − 1
= 0.56331
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
1
b. Misalkan X ∼ binomial (500; 10
) dan kita ingin menentukan
hampiran dari P(50 ≤ x ≤ 55).
50 − 0.5 − (500)(0.1)
p
200(0.5)(0.5)
55 + 0.5 − (500)(0.1)
p
6z 6
500(0.1)(0.9)
−0.5
5.5
= P √ 6z 6 √
= 0.32756
45
45
P(50 6 x 6 55) = P(
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Pendekatan distribusi Poisson dengan distribusi normal
Misalkan X ∼ Poisson (n), maka X bisa ditulis sebagai X =
n
P
i=1
dengan Xi i.i.d. Poisson (1). Karena Xi i.i.d. Poisson (1), maka
E (Xi ) = 1 dan Var (Xi) = 1. Menurut teorema limit pusat
X −n d
√
−
→ N(0, 1)
n
Sehingga
P(a 6 x 6 b) = P
a−n
b−n
√ 6z 6 √
n
n
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Dengan menggunakan koreksi kontinuitas
a − 0.5 − n
b + 0.5 − n
√
√
P(a 6 x 6 b) ≈ P
6z 6
n
n
b + 0.5 − n
a − 0.5 − n
√
√
= Φ
−Φ
n
n
Xi
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Pendekatan distribusi khi-kuadrat dengan distribusi normal
2 , maka X bisa ditulis sebagai X =
Misalkan X ∼ X(n)
n
P
Xi dengan
i=1
2 , maka E (x ) = 1 dan Var (X ) = 2. Menurut
Xi i.i.d. X ∼ X(1)
i
i
teorema limit pusat
X −n d
√
−
→ N(0, 1)
2n
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Akibatnya,
a−n
b−n
P(a 6 x 6 b) ≈ P √
6z 6 √
2n
2n
b−n
a−n
= Φ √
−Φ √
2n
2n
Kita sudah mengenal bila X mempunyai distribusi f (x) maka kita
bisa menentukan distribusi dari y = g (x). Sekarang, akan kita
lihat analoginya untuk bentuk asimtotis yang dinyatakan dalam
usefull theorem, di bawah.
Teorema
√
d
Misalkan n(xn − θ) −
→ N(0, σ 2 ) dan g (x) fungsi dengan g 0 (x)
ada dan kontinu sekitar θ, maka
√
d
n(g (xn ) − g (θ)) −
→ N(0, [g 0 (θ)]2 σ 2 )
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Contoh
X1 , X2 , ... i.i.d. dengan fungsi kepadatan probabilitas
√
d
x µ−1 e −x
√
f (x|µ) = Γ(µ) , x > 0, 0 < µ < ∞, maka n(x̄−µ)
−
→ N(0, 1).
x̄
Contoh
Misalkan X1 , X2 , ... saling independen dan berdistribusi identik
dengan mean µ, variansi σ 2 , dan µ4 = E (X1 − µ)4 = α4 σ 4 dengan
P
2
(Xi −X̄ )
2
α4 > 1. Bila Sn−1 =
akan kita buktikan.
n−1
√
d
2
n Sn−1
− σ2 −
→ N 0, (α4 − 1) σ 4
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Misalkan yi = (xi − µ)2 , i = 1, 2, 3... maka yi saling independen,
berdistribusi identik dengan E (yi ) = σ 2 dan Var (yi ) = (α4 − 1)σ 4 .
Bila
n
P
(xi − µ)2
Sn2∗ = i=1
n
maka menurut teorema limit pusat
√
d
n Sn2∗ − σ 2 −
→ N 0, (α4 − 1) σ 4
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Sekarang, kita hitung
!
n
2
X
√
√
(xi − x̄)
n Sn2∗ − σ − n
− σ2
n
i=1
!
n
2
1
2
X
√
√
(xi − x̄)
2
2∗
= n Sn −
= n (x̄ − µ) = n 4 (x̄ − µ)
n
2
i=1
1
4
Karena n (x̄
n → ∞, dan
1
√
− µ) = σn12 (x̄−µ)
= σ1
σ
n4
n4
√
n(x̄−µ) d
−
→ N(0, 1), maka
σ
√
n(x̄−µ) σ
, 1
σ
n4
→ 0 untuk
menurut lemma Slutsky
√
P
n Sn∗2 − σ 2 − n Sn2 − σ 2 −
→0
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
Sekarang kita akan mencari limit distribusi dari Sn−1 yang
merupakan estimator dari σ. Bila kita melakukan transformasi
√
g (x) = x, maka
1
g 0 (x) = √
2 x
dan
g 0 (x)
2
=
1
4x
Menggunakan teorema di atas kita akan mendapatkan
d
√
2
2
0
2 2
4
n g Sn−1 − g σ
−
→ N 0, g σ
(α4−1 ) σ
MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA
atau
√
n
2
Sn−1
−σ
2
1
σ2
4
−
→ N 0, 2 (α4−1 ) σ = N 0, (α4−1 )
4σ
4
d
Untuk kejadian khusus, Xi independen dan berdistribusi identik
N(µ, σ 2 ) didapat
d
√
σ2
n Sn−1 − σ −
→ N 0,
.
2