karakteristik proses termodinamika kuantum dan mesin

KARAKTERISTIK PROSES
TERMODINAMIKA KUANTUM
DAN MESIN PANAS KUANTUM
Oleh :
NOFA RIA SAGITA
1106 100 008
Pembimbing :
Agus Purwanto, D.Sc.
JURUSAN FISIKA
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2010
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Termodinamika
Klasik
Mesin Panas
Klasik
Murni klasik
Termodinamika
Kuantum
Mesin Panas
Kuantum
Termostatistik
2
Permasalahan
„ Bagaimana
karakteristik proses-proses yang
terjadi pada sistem termodinamika kuantum ?
„ Bagaimana perumusan efisiensi mesin Carnot
dan mesin Otto kuantum secara umum?
„ Bagaimana nilai efisiensi mesin panas kuantum
tersebut terhadap mesin panas klasiknya?
„ Bagaimana perbedaan antara kajian mesin
panas sebelumnya (murni klasik) dengan mesin
panas dalam tugas akhir ini (termostatistik)
3
Tujuan
„
„
„
Membandingkan antara proses-proses dalam
termodinamika kuantum dan proses klasiknya.
Mempelajari mesin Carnot dan mesin Otto
secara kuantum.
Membandingkan efisiensi setiap mesin panas
kuantum tersebut dengan mesin klasiknya
masing-masing.
4
Batasan Masalah
„ Mesin
panas yang dikaji adalah mesin Carnot dan
mesin Otto.
„ Sistem
kuantum yang digunakan sebagai ilustrasi
dari mesin panas kuantum adalah sistem dengan
dua keadaan, osilator harmonik, dan sumur
potensial satu dimensi.
5
Metode Penelitian
Metode yang digunakan adalah metode analitis
dari studi literatur
6
TERMODINAMIKA KLASIK
„
Sistem termodinamika
Terbuka
Sistem
Termodinamika
Tertutup
Terisolasi
7
„
Proses Termodinamika
Reversibel
Proses
Termodinamika
Ireversibel
8
„
Kesetimbangan Termodinamika
Kesetimbangan
Termal
Kesetimbangan
Mekanik
Kesetimbangan
Termodinamika
Kesetimbangan
Kimia
9
Hukum-Hukum Termodinamika
¾Hukum
ke-0 Termodinamika
¾Hukum Pertama Termodinamika
dQ = dU + dW
¾Hukum
Kedua Termodinamika
10
ENTROPI
„
Klasik :
1
dS = dQ
T
„
Termostatistik :
S = − k ∑ Pn ln Pn
n
dengan
−β E
e − β En
Z
=
e
∑n
Pn =
Z
n
11
TERMODINAMIKA KUANTUM
„
„
Perumusan termodinamika kuantum diawali
dengan meninjau secara kuantum hukum
pertama termodinamika klasik.
Dalam kuantum Hamiltonian sistem secara
umum diberikan
H = ∑ En n n
n
„
Jika dipilih energi eigen keadaan dasar 0
sebagai acuan (sama dengan nol), Hamiltonian
dapat dituliskan
H = ∑ ( En − E0 ) n n
n
12
„
Energi dalam
U ≡ H = ∑ Pn En
n
„
Perubahan energi dalam
dU = ∑(EndPn + dEn Pn )
n
„
Pada termodinamika klasik
dU = dQ − dW
13
„
Dengan
dQ = TdS
= Td (−k ∑ Pr ln Pr )
r
dan
dW = ∑ Yi dyi
i
„
Maka
dQ = ∑ En dPn
n
dan
dW = ∑ Pn dEn
n
14
Proses Isotermal Klasik
dan Kuantum
„
Klasik :
- sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th.
- tidak terjadi perubahan energi dalam
dU = 0
sehingga
„
dQ = dW
Kuantum :
- sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th.
15
- sistem menyerap kalor Qin (dQ≠0) dan
melakukan usaha (dW ≠0), sehingga dPn ≠0
dan dEn ≠0.
-ditinjau dua keadaan n,m dengan m<n. Rasio
probabilitas partikel pada dua keadaan
memenuhi distribusi Boltzmann
dengan
Pn
= e − βΔ
r=
Pm
Δ = En − Em
16
-
temperatur efektif sistem
T eff =
1
β eff
Δ
=
k
-
⎡ Pm ⎤
⎢ ln
⎥
P
n ⎦
⎣
Energi dalam sistem :
En → ζ En
n = 0, 1, 2, ...
ζ En − β ζ E
U (ζ ) = ∑
e
n Z (ζ )
h
n
17
dengan
Z (ζ ) = ∑ e− βhζ En
n
„
Untuk mengetahui apakah energi dalam
berubah
⎡
En
En − βhζ En ⎤
dU (ζ )
− β hζ En
e
=∑
+ ζβ h ⎢ ∑
(1 − ζβ h En ) e
⎥
dζ
Z
Z
(
ζ
)
(
ζ
)
n
⎣ n
⎦
2
diperoleh
Ee − βhζ Ee ⎛ 1 − ζβ h Ee ⎞
dU (ζ )
=
e
⎜⎜
⎟⎟
dζ
Z (ζ )
⎝ Z (ζ ) ⎠
menunjukkan bahwa energi dalam sistem tidak
konstan melainkan berubah sesuai dengan
perubahan energi eigen sistem.
18
„
Grafik proses isotermal klasik dan kuantum
r
P
A
A
B
B
V
Pn
19
Proses Isokhorik Klasik
dan Kuantum
V = tetap → dW = 0
„
Klasik :
„
Kuantum :
dU = dQ
∑ P dE
n
n
= 0 ↔ dEn = 0
n
20
Grafik proses isokhorik klasik dan
kuantum
r
P
„
A
A
B
B
V
Pn
21
Proses Adiabatik Klasik
dan Kuantum
dQ = 0
„
Klasik :
dU = −dW
„
Kuantum :
∑ E dP
n
n
= 0 ↔ dPn = 0
n
22
- Grafik
proses adiabatik klasik dan kuantum
P
r
A
B
A
B
V
Pn
23
MESIN PANAS KLASIK
„
MESIN CARNOT KLASIK
P
P1
1
Qin
2
P2
P3
Th
4
3 Tl
P4
Qout
V1
V4
V2
V3
V
24
„ Usaha
total mesin Carnot :
V2
Wt = nR (Th − Tl ) ln .
V1
„ Kalor
yang diserap :
V2
Qin = W12 = nRTh ln .
V1
„ Efisiensi
mesin :
Wt
η=
Qin
Tl
= 1− .
Th
25
„
MESIN OTTO KLASIK
P
PB
PA
PC
B T2=Th
Qin
A
T1
PD
VA = VB
C T3
Qout
D T4=Tl
VC = VD
V
26
„ Usaha
total mesin
Wt = mcV ⎡⎣(TB − TA ) − (TC − TD ) ⎤⎦ .
„ Kalor
yang diserap :
Qin = mcV (TB − TA ) , TB > TA
„ Efisiensi
mesin :
TD
η = 1−
TA
27
MESIN PANAS KUANTUM
„
MESIN CARNOT KUANTUM
r
rA
A
Th Qin
B
rB
rD
rC
D
Tl
Pel
C
Qout
Peh
Pl
28
„
Proses A-B : Isotermal
- Sistem kontak dengan tandon bertemperatur Th.
- Ditinjau dua keadaan n,m dengan m<n. Rasio
probabilitas di A
dan di B
Pn ( A)
rA =
= eβh ΔA
Pm ( A)
Pn ( B )
rB
= e β h ΔB
Pm ( B )
- Kalor yang diserap
B
Qin = T ∫ dS
A
= Th [ S ( B ) − S ( A)]
29
„
Proses B-C : Adiabatik
dQ = 0 ↔ dPn = 0
maka
Pm ( B ) = Pm (C )
Pn ( B ) = Pn (C )
-Perbandingan selisih energi eigen
Δ B Th
=
Δ C Tl
30
„
Proses C-D : Isotermal
- Sistem kontak dengan tandon bertemperatur Tl.
- Perbandingan probabilitas saat kondisi C
Pn (C )
= eβh ΔC
rC =
Pm (C )
dan saat kondisi D
Pn ( D )
rD =
= e β h ΔD
Pm ( D )
- Kalor yang dilepas sistem
D
Qout = T ∫ dS
C
= Tl [ S (C ) − S ( D)]
31
„
Proses D-A : Adiabatik
dQ = 0 ↔ dPn = 0
maka
Pm ( B ) = Pm (C )
Pn ( B ) = Pn (C )
-Perbandingan selisih energi
Δ A Th
=
Δ D Tl
32
„
Usaha total yang dilakukan mesin adalah
WC = Qin − Qout
= Th [ S ( B) − S ( A)] − Tl [ S (C ) − S ( D)]
pada proses adiabatik
S(B)=S(C)
S(A)=S(D)
Usaha total mesin
WC = (Th − Tl ) [ S ( B) − S ( A)]
33
„
Efisiensi mesin
WC
ηC =
Qin
=
(Th − Tl )( S ( B ) − S ( A))
Th ( S ( B ) − S ( A))
Tl
= 1−
Th
atau secara umum dapat dituliskan sebagai
ΔC
ηC = 1 −
ΔB
En (C ) − Em (C )
= 1−
E n ( B ) − Em ( B )
34
„
MESIN OTTO KUANTUM
r
rh
rl
A
D
Pel
B
C
Peh
Pl
35
„
Proses A-B : Isokhorik
maka
dW = 0 ↔ dEn = 0
En ( A) = En ( B ) = Enh
- Temperatur sistem bertambah dari T(A)
menjadi T(B)=Th.
- Kalor yang diserap sistem
B
Qin = ∑ ∫ En dPn
n A
= ∑ Enh [ Pn ( B) − Pn ( A)]
n
36
„
Proses B-C : Adiabatik
.
dQ = 0 ↔ dPn = 0
maka
Pm ( B ) = Pm (C )
Pn ( B ) = Pn (C )
„
Proses C-D : Isokhorik
maka
dW = 0 ↔ dEn = 0
En (C) = En (D) = E
l
n
-Temperatur sistem turun dari T(C) menjadi
T(D)=Tl.
37
- Kalor yang dilepas
D
Qout = −∑ ∫ En dPn
n C
= ∑ Enl [ Pn (C ) − Pn ( D) ]
n
„
Proses D-A : Adiabatik
dQ = 0 ↔ dPn = 0
maka
Pm ( D) = Pm ( A)
Pn ( D) = Pn ( A)
38
„
Usaha total mesin
WC = Qin − Qout
= ∑ Enh [ Pn ( B) − Pn ( A)] − ∑ Enl [ Pn (C ) − Pn ( D)]
n
n
= ∑ (Enh − Enl ) [ Pn ( B) − Pn ( A)]
n
„
Efisiensi mesin
WO
ηO =
Qin
=
h
l
(
−
E
E
∑ n n ) [ Pn ( B) − Pn ( A)]
n
h
E
∑ n [ Pn ( B) − Pn ( A)]
n
39
„
Ditinjau sistem dua keadaan n,m dengan m<n.
Efisiensi mesin diperoleh :
ηO = 1 −
Egl ⎡⎣ Pg ( B) − Pg ( A) ⎤⎦ + Eel [ Pe ( B) − Pe ( A)]
Egh ⎡⎣ Pg ( B) − Pg ( A) ⎤⎦ + Eeh [ Pe ( B) − Pe ( A)]
E +E
l
g
l
e
[ Pe ( B) − Pe ( A)]
⎡⎣ Pg ( B) − Pg ( A) ⎤⎦
= 1−
h
h [ Pe ( B) − Pe ( A) ]
Eg + Ee
⎡⎣ Pg ( B) − Pg ( A) ⎤⎦
40
- Kemudian diperoleh
ηO = 1−
= 1−
Eel − Egl
Eeh − Egh
Δl
Δh
- Pada proses adiabatik diperoleh hubungan
Δ B TB
Δ A TA
dan
=
=
Δ C TC
Δ D TD
- Efisiensi mesin
TC
TD
ηO = 1 − = 1 −
TB
TA
41
ILUSTRASI MESIN CARNOT
KUANTUM
„
¾
SISTEM DUA KEADAAN
Partikel dengan spin up dan spin
G down
dipengaruhi medan eksternal B . Hamiltonian
sistem
H = En n ⟨ n |
= E↑ ↑ ⟨↑| + E↓ ↓ ⟨↓|
= − μ0 B ↑ ⟨↑| + μ0 B ↓ ⟨↓|
(
= − μ0 B ↑ ⟨↑| − ↓ ⟨↓|
)
42
¾
Entropi sistem diperoleh
S = − k ∑ Pn lnPn
n
e − β En ⎛ e − β En ⎞
ln ⎜
= −k ∑
⎟
Z
Z
n
⎝
⎠
e − β En
( − β En − ln Z )
= −k ∑
Z
n
−β E
⎛ e − β E↑
⎞
e ↓
{− β E↑ − ln Z } +
{− β E↓ − ln Z } ⎟
= −k ⎜
Z
⎝ Z
⎠
− k βμ0 B
e {βμ 0 B − ln Z } + e − βμ0 B {− βμ 0 B − ln Z }
=
Z
−k
βμ0 B
− βμ 0 B
βμ 0 B
− βμ 0 B
B
e
e
Z
e
e
{
}
ln
{
}
βμ
= βμ0 B
−
−
+
0
− βμ 0 B
e
+e
= k ln Z − k βμ 0 B tanh ( βμ 0 B )
(
)
(
)
43
¾
Maka
S (i ) = k ln Z (i ) − k βi μ0 B(i ) tanh ( βi μ0 B(i ) )
dengan i=A,B,C,D.
¾
Efisiensi mesin
WC
ηC =
Qin
(Th − Tl )( S ( B) − S ( A))
=
Th ( S ( B) − S ( A))
Tl
= 1−
Th
44
ILUSTRASI MESIN OTTO KUANTUM
„
¾
SISTEM DUA KEADAAN
Partikel dengan spin up dan spin
G down
dipengaruhi medan eksternal B . Hamiltonian
sistem
H = En n ⟨ n |
= E↑ ↑ ⟨↑| + E↓ ↓ ⟨↓|
= − μ0 B ↑ ⟨↑| + μ0 B ↓ ⟨↓|
(
= − μ0 B ↑ ⟨↑| − ↓ ⟨↓|
)
45
¾
Kerja yang dilakukan
WO = ∑ (En h − En h )[ Pn ( B) − Pn ( A)]
n
= ( E↑h − E↑l )[ P↑ ( B) − P↑ ( A)] + ( E↓h − E↓l )[ P↓ ( B) − P↓ ( A)]
¾
Kemudian diperoleh
1
1 ⎞
⎛
WO = (Δ h − Δ l ) ⎜
−
βh Δ B
βl Δl ⎟
1
1
e
e
+
+
⎝
⎠
¾
Kalor yang diserap
Qin = ∑ Enh ( Pn ( B) − Pn ( A))
= E ↑h ( P↑ ( B ) − P↑ ( A) + E ↓h ( P↓ ( B ) − P↓ ( A)
1 ⎞
⎛ 1
= Δh ⎜
−
βh Δh
βl Δl ⎟
1+ e ⎠
⎝ 1+ e
46
¾
Sehingga efisiensi mesin :
Δh − Δl
η0 =
Δh
= 1−
Δl
Δh
47
MEMBANGUN MESIN CARNOT KUANTUM
DARI MESIN OTTO KUANTUM
r
A
Mesin Carnot
kuantum dapat
dibangun dari
mesin-mesin Otto
sangat kecil.
B’
Th
B
D
C’
C
Tl
A
D
l
Pe = Pe = Pe
B
C
h
Pe = Pe = Pe
Pe
48
Diambil satu siklus Otto
sangat kecil. Karena
lebar siklus sangat
sempit maka
r
A B’
TB’=Th
TA TB′ = Th
TC ′ TD = Tl
D C’
TD=Tl
B’
C’
D
A
Pe = Pe Pe = Pe
Pe
Kalor yang diserap dan
dilepas
B′
Qin = ∑ ∫ En dPn
A
n
Qout = −∑ ∫ En dPn
D
n
C′
49
„
Ditinjau sistem dua keadaan g,e dengan
acuan Eg=0 diperoleh
B′
B′
Qin = ∫ Eg dPg + ∫ Ee dPe
A N
A
D
Qout = − ∫ Eg dPg − ∫ Ee dPe
C′ N
C′
0
0
B′
= ∫ Ee dPe
A
„
D
C′
= ∫ Ee dPe
D
Ee (A-B’) terkait dengan Th dan perubahan
probabilitas dari PeA menjadi PeB '
⎡1 ⎤
Ee = kTh ln ⎢ − 1⎥
⎣ Pe ⎦
50
„
Ee (C-D’) terkait dengan Tl dan perubahan
probabilitas PeC ' menjadi PeD
⎡1 ⎤
Ee = kTl ln ⎢ − 1⎥
⎣ Pe ⎦
„
Sehingga
Qin = kTh ∫
PeB '
Qout = kTl ∫
PeC '
PeA
PeD
⎡1 ⎤
ln ⎢ − 1⎥ dPe
⎣ Pe ⎦
⎡1 ⎤
ln ⎢ − 1⎥ dPe
⎣ Pe ⎦
51
„
Siklus Carnot tersusun atas siklus Otto sangat
kecil identik dari awal lintasan A-D hingga B-C.
Kalor yang diserap dan dilepas seluruh siklus
Qin = kTh ∫
PeB
PeA
Qout = kTl ∫
PeC
PeD
„
⎡1 ⎤
ln ⎢ − 1⎥ dPe
⎣ Pe ⎦
⎡1 ⎤
ln ⎢ − 1⎥ dPe
⎣ Pe ⎦
Proses adiabatik
PeA = PeD
PeC = PeB
52
„
Sehingga
⎡1
⎤
Qin = kTh ∫ A ln ⎢ − 1⎥ dPe
Pe
⎣ Pe ⎦
PeB
⎡1
⎤
Qout = kTl ∫ A ln ⎢ − 1⎥ dPe
Pe
⎣ Pe ⎦
PeB
„
Usaha yang dilakukan
W = Qin − Qout
= (Th − Tl )k ∫
PeB
PeA
⎡1 ⎤
ln ⎢ − 1⎥ dPe
⎣ Pe ⎦
53
„
Efisiensi keseluruhan siklus Otto
W
η =
Q in
=
T h − Tl
Th
= 1−
Sama dengan efisiensi
siklus Carnot kuantum
Tl
Th
54
PERBANDINGAN EFISIENSI MESIN CARNOT
KUANTUM DAN MESIN OTTO KUANTUM
„
Kedua mesin ditinjau dalam kondisi yang sama,
yaitu kedua mesin dikontakkan pada dua tandon
yang sama (Th dan Tl) dan memiliki probabilitas
yang sama pada dua proses adiabatiknya,
seperti ditunjukkan oleh grafik
55
r
A
T(A’)
Th
rh
A’
B’
rl
D’
C’
Tl
Pel
C
T(C’)
Peh
Pe
56
„
Ditinjau sistem dua keadaan m,n dengan m<n.
Kerja yang dilakukan siklus Carnot
WC = Qin − Qout
Peh
= ∫ l ⎡⎣ Δ (Th , Pe ) − Δ (Tl , Pe ) ⎤⎦ dPe
Pe
„
Sedangkan kerja yang dilakukan siklus Otto
WO = ∫
PeB′
PeA′
„
(Δ h − Δ l )dPe
Dari grafik dapat dilihat untuk setiap nilai Pe
Δ(Th , Pe ) − Δ(Tl , Pe ) ⟩ Δ h − Δ l
57
„
„
Sehingga diperoleh bahwa WC > WO.
Efisiensi mesin dengan meninjau efisiensi dari
mesin Otto
Δl
ηO = 1 −
Δh
dengan menggunakan persamaan temperatur
efektif diperoleh
l −1
⎡
kTl ln ⎢( Pe ) − 1⎤⎥
⎣
⎦
ηO = 1 −
h −1
⎡
kTh ln ⎢( Pe ) − 1⎤⎥
⎣
⎦
⎛ ln ⎡ P l −1 − 1⎤ ⎞
Tl ⎜ ⎢⎣( e )
⎥⎦ ⎟
= 1− ⎜
Th ⎜ ln ⎡( P h )−1 − 1⎤ ⎟⎟
⎦⎥ ⎠
⎝ ⎣⎢ e
58
„
Dengan menggunakan ekspansi deret Tylor
l −1
h −1
⎡
⎤
⎡
ln ⎢( Pe ) − 1⎥ ≈ ln ⎢( Pe ) − 1⎤⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
∂
l −1
l
h
⎡
⎤
ln
1
+
−
−
P
P
P
(
)
(
e
e
e )
l
⎢
⎥
⎦ Pel = Peh
∂ ( Pe ) ⎣
diperoleh
−1
ln ⎡⎢( Pel ) −1⎤⎥
⎧⎪
⎫⎪
−1
−1
∂
1
⎣
⎦=
h
l
l
h
⎡( P ) −1⎤ +
⎡( P ) −1⎤
ln
ln
Pe − Pe ) ⎬
(
⎨
e
e
−
1
−
1
l
⎢
⎥
⎢
⎥
⎦ ∂ ( Pe ) ⎣
⎦ Pel =Peh
ln ⎡⎢( Peh ) −1⎤⎥ ln ⎡⎢( Peh ) −1⎤⎥ ⎪⎩ ⎣
⎭⎪
⎣
⎦
⎣
⎦
∂
l −1
⎡
Pel − Peh )
= 1+ l ln ln ⎢( Pe ) −1⎤⎥
(
⎣
⎦ Pel =Peh
∂Pe
{
}
59
„
Sehingga diperoleh
Tl ⎡
∂
ηO = 1 − ⎢1 +
Th ⎣⎢ ∂Pe
⎤
⎧⎪
⎛ 1
⎞ ⎫⎪ l
h
⎨ln ln ⎜ l − 1⎟ ⎬ ( Pe − Pe ) ⎥
⎪⎩
⎝ Pe
⎠ ⎪⎭
⎦⎥
⎛ 1
⎞ ⎫⎪ l
Tl Tl ∂ ⎧⎪
h
ln
ln
1
−
−
⎨
⎜ l
⎟ ⎬ ( Pe − Pe )
Th Th ∂Pe ⎪⎩
⎝ Pe
⎠ ⎪⎭
⎛ 1
⎞ ⎫⎪ l
Tl ∂ ⎧⎪
h
= ηC −
⎨ln ln ⎜ l − 1⎟ ⎬ ( Pe − Pe )
Th ∂Pe ⎪⎩
⎝ Pe
⎠ ⎪⎭
= 1−
„
Dapat dihitung bahwa suku kedua pada
persamaan di atas bernilai negatif, sehingga
diperoleh
Δl
Tl
ηO = 1 −
< 1 − = ηC
Th
Δh
60
KESIMPULAN
„
„
„
Pada proses isotermal kuantum, energi dalam
sistem tidak konstan melainkan berubah
bergantung pada perubahan energi eigen
partikel.
Efisiensi mesin Carnot kuantum dan mesin Otto
kuantum memiliki bentuk yang sama dengan
mesin klasiknya masing-masing.
Efisiensi mesin Carnot Kuantum lebih tinggi
daripada efisiensi mesin Otto kuantum.(berbeda
dengan hasil kajian sebelumnya )
61
TERIMAKASIH
62