Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
(SPLDV)
1. Pengertian PLDV
PLDV (Persamaan Linear Dua Variabel) adalah adalah sebuah bentuk relasi sama dengan
pada bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Dikatakan
Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik,
maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).
Ciri – ciri PLDV:
1. Menggunakan relasi sama dengan ( = )
2. Memiliki dua variabel berbeda
3. Kedua variabelnya berpangkat satu
Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax+by=c atau ax+c=by atau
by+c=ax dengan a,b,cR; a,b ≠ 0; dan x,y suatu variabel.
Contoh: x+5=y
2a-b=1
3p+9q=4
2. Penyelesaian PLDV
Untuk menyelesaikan PLDV kita harus melakukan pemisalan nilai suatu variabel kemudian
disubstitusi pada variabel tersebut untuk menemukan nilai dari variabel lain yang memenuhi
persamaan. Pada PLDV, dapat dikatakan bahwa PLDV memiliki penyelesaian lebih dari satu
asalkan penyelesaian tersebut memenuhi nilai pada PLDV. Artinya nilai pasangan kedua
variabel (mis x dan y) yang merupakan hasil penyelesaian PLDV bisa lebih dari satu
pasangan/titik (contoh x,y) selama nilai x dan y itu memenuhi PLDV.
3. Pengertian SPLDV
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan dari
beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang sejenis. Persamaan Linear Dua
Variabel yang sejenis yang dimaksud disini adalah persamaan – persamaan dua variabel yang
memuat variabel yang sama.
Contoh :
Persamaan (i) ; 2x + 3y = 12
Persamaan (ii) ; x – 2y = -1
Kedua persamaan diatas dikatakan sejenis karena memuat variabel variabel yang sama
yakni x dan y.
Apabila terdapat dua PLDV yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau bisa ditulis
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
{
maka dua persamaan tersebut membentuk SPLDV. Penyelesaian SPLDV
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
tersebut adalah pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi dua persamaan tersebut.
4. Penyelesaian SPLDV
Untuk menyelesaikan SPLDV dapat dilakukan dengan metode grafik, eliminasi, substitusi,
gabungan eliminasi-substitusi, dan metode matriks.
1) Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV dengan menggunakan grafik dilakukan dengan cara menggambar
persamaan-persamaan yang terlibat dalam sistem tersebut dalam satu diagram cartesius.
Dari kedua gambar tersebut nantinya akan ada perpotongan dari kedua grafik. Titik potong
inilah yang merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel
tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan
penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
2) Metode Eliminasi
Metode ini dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel
dengan terlebih dahulu membuat koefisien variabel tersebut sama pada setiap persamaan.
Jika variabel pada setiap persamaan tidak sama maka kita harus mengalikan salah satu
atau salah dua persamaan dengan konstanta sehingga ada variabel yang mempunyai
koefisien sama kemudian bisa dihilangkan dengan operasi jumlah atau kurang. Hasil
operasinya bisa berupa suatu SPL satu variabel ataupun akan langsung menunjukkan nilai
suatu variabel.
3) Metode Substitusi
Metode ini adalah metode menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
mengganti atau menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain (x dinyatakan
dalam y atau y dinyatakan dalam x).
Misalkan kita ingin menyelesaikan SPLDV
dengan variabel x,y
(i)
x+y=a
(ii)
y-x=b
Melalui metode substitusi, kita nyatakan salah satu persamaan dalam salah satu variabel x
atau y. Misalkan persamaan (i) kita nyatakan dalam x menjadi x=a-y. Kemudian
persamaan x yang baru itu kita ganti pada variabel x di persamaan (ii) menjadi y-(a-y)=b.
4) Metode Gabungan
Metode gabungan ini adalah metode yang menggaabungkan metode eliminasi dan metode
substitusi yakni dengan metode eliminasi sebagai metode awal untuk menentukan nilai
salah satu variabel dan kemudian nilai variabel tersebut disubstitusikan untuk menentukan
nilai variabel yang lain.
5) Metode Matriks
Metode ini dengan mengubah SPLDV ke bentuk matriks. Misalnya SPLDV berikut:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
{
dengan a,b,c,p,q, dan r bilangan real; x,y variabel
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟
Bentuk umum SPLDV di atas dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks berikut:
𝑎 𝑏 𝑥
𝑐
] [𝑦] = [ ]
𝑝 𝑞
𝑟
Kemudian di selesaikan dengan menggunakan operasi-operasi pada matriks.
[
5. Model Matematika SPLDV dalam kehidupan sehari-hari
Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan perhitungan
yang melibatkan sistem persamaan linear dua variable. Permasalahan sehari-hari tersebut
biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.
Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita sebaagai berikut:
1) Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model
matematika) sehingga membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
2) Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variable
3) Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita
Perhatikan contoh cerita berikut.
Alo membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar
Rp.
15000. Ale membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dan ia harus
membayar Rp. 18000.
Dari cerita diatas, didapat model matematika sebagai berikut
Misalkan
harga 1 kg mangga
=x
harga 1 kg apel
=y
2𝑥 + 1𝑦 = 15000
{
𝑥 + 2𝑦 = 18000
dimana persamaan pertama menunjukkan pembelian oleh Alo dan persamaan
kedua
menunjukkan pembelian oleh Ale.
Hasil penyelesaiannya adalah harga 1 kg mangga (x) dan 1 kg apel (y).
Dapat
dilanjutkan sesuai dengan pertanyaan.