Efek de Haas

Efek de Haas-Van Alphen
• Diagmagnetisasi Landau pada suhu rendah menimbulkan efek
osilasi dari susceptibilitas magnetik ketika medan magnet luar
diturunkan, efek ini disebut efek de Haas-Van Alphen.
• Secara prinsip penyebabnya adalah karena Level Landau yg di
bawah sudah penuh sehingga elektron harus melompat
mengisi level Landau yang berikutnya.
• Telah diturunkan definisi 𝑔 =
𝑒𝐻 2
𝐿
ℎ𝑐
dan 𝜔0 =
𝑒𝐻
.
𝑚𝑐
• Untuk level Landau-j energi (mengabaikan gerak arah Z):
• 𝜖𝑗 = ℏ𝜔0 𝑗 +
1
2
=
ℏ𝑒𝐻
𝑚𝑐
𝑗+
1
2
Efek de Haas-Van Alphen
eℏ
• Dengan definisi Bohr magneton, 𝜇0 =
maka ungkapan
2𝑚𝑐
energi dapat dituliskan:
• 𝜖𝑗 = 2𝜇0 𝐻(𝑗 +
tsb :
• 𝑔=
𝑒𝐻 2
𝐿
ℎ𝑐
=
1
),
2
𝐻𝐿2
ℎ𝑐
𝑒
=
sedangkan degenerasi dari level Landau
𝐻𝐿2
ℎ𝑐
𝑒
• Definisikan n=N/L2 jumlah elektron persatuan luas (dibidang
XY), maka :
• 𝑔=
𝐻𝑁
𝑛ℎ𝑐/𝑒
=𝑁
𝐻
𝐻0
dengan 𝐻0 = 𝑛ℎ𝑐/𝑒.
Efek de Haas-Val Alphen
• H0 : besar medan magnet H batas, jikalau H>H0 maka seluruh
N partikel dapat ditampung dalam 1 level Landau.
• Jika H>H0 maka seluruh partikel (N) dapat ditampung pada
level Landau terendah (ground state), sebab g>N.
• Energi ground state per partikel adalah:
•
𝐸0
𝑁
= 𝜇0 𝐻 (kasus j=0, dengan kondisi H>H0).
• Jika H<H0 maka sebagian partikel terpaksa menempati tingkat
lebih tinggi.
Efek de Haas-Val Alphen
• Misal H sedemikian sehingga sebanyak j level Landau
terendah terisi penuh, lalu level (j+1) terisi sebagian dan level
lebih tinggi kosong. Maka syarat bagi H semacam ini adalah:
•
𝑗 + 1 𝑔 < 𝑁 < 𝑗 + 2 𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑗+1 <
𝑁
𝑔
< 𝑗+2
atau
•
1
𝑗+2
<
𝐻
𝐻0
<
1
𝑗+1
• Untuk H dalam interval yg disebutkan, maka energi per
partikel:
• E0 = {energi level-0 ds level-j}+{energi sisa partikel yg
menempati level-(j+1)}
Energi Per Partikel
• 𝐸0 = 𝑔
𝑗
𝑖=0 𝜖𝑖
+ 𝑁 − 𝑗 + 1 𝑔 𝜖𝑗+1
1
• Dengan 𝜖𝑖 = 2𝜇0 𝐻(𝑖 + ) dan 𝑔 = 𝑁𝐻/𝐻0 dapat
2
ditunjukkan:
• 𝐸0 = 𝜇0 𝑁𝐻 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2
• Ini untuk
1
𝑗+2
<
𝐻
𝐻0
<
1
𝑗+1
1
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑗+2
𝐻
𝐻0
<𝑥<
1
𝑗+1
dengan
x=H/H0, sehingga untuk kondisi ini (x<1):
• 𝐸0 /𝑁 = 𝜇0 𝐻0 𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥
• Sedangkan untuk H>H0 atau x>1, maka seluruh partikel di
ground state:
• 𝐸0 = 𝑁𝜇0 𝐻 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐸0
𝑁
= 𝜇0 𝐻0 𝑥
Energi, Magnetisasi dan
Susceptibilitas
𝐸0
=
𝑁
𝜇0 𝐻0 𝑥
𝜇0 𝐻0 𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥
Sedangkan magnetisasi per volum
𝑀
:
𝑉
=−
𝜕𝐸0
𝑁
−𝜇0
𝑀=
−𝜇0 2𝑗 + 3 − 2 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥
Susceptibilitas per volum :𝜒 = −
0
𝜒=
𝑥>1
1
1
𝑥 <1&
<𝑥<
𝑗+2
𝑗+1
2𝜇0
𝑗+1 𝑗+2
H0
𝜕𝑀
𝜕𝐻
=−
𝜕𝐻
=−
1 𝜕𝐸0 /𝑁
,
𝐻0 𝜕𝑥
𝑥>1
1
1
𝑥 <1&
<𝑥<
𝑗+2
𝑗+1
1 𝜕𝑀
,
𝐻0 𝜕𝑥
𝑥>1
1
1
𝑥 <1&
<𝑥<
𝑗+2
𝑗+1
Efek De Haas – Van Alphen
x
x
Paramagnetism Pauli
• Gejala paramagnetism yg
bersumber pada induksi elektron
bebas oleh medan magnet luar.
Bandingkan dengan paramagnetism
Curier (pierre!) yg terkait dengan
elektron yg terlokalisir.
• Mekanisme mikro yg menyebabkan
timbulnya paramagnetism Pauli ini
adalah karena pada elektron bebas,
ketika dipengaruhi oleh medan
magnet luar maka density of states
dari elektron yg parallel dan anti
parallel mengalami shifting (lihat
gbr)
Paramagnetism Pauli
• . Sedangkan tingkat Fermi (top
level) tetap, maka sebagian dari
elektron yg parallel yg energinya
> energi Fermi akan mengalami
flipping sehingga menjadi anti
paralel. Sebagai akibatnya terjadi
perbedaan DOS dari paralel
states dan anti paralel state, yg
menyebabkan nett magnetisasi.
Paramagnetism Pauli
• Hamiltonian dari elektron bebas di bawah pengaruh medan
magnet H, diberikan oleh:
1
=
2𝑚
𝒑
𝟐
𝑒
+ 𝑨
𝑐
− 𝜇0 𝝈. 𝑯
• Dengan 𝜇𝑜 = 𝑒ℏ/2𝑚𝑐 dan  matrix spin Pauli. Suku pertama
terkait dengan diamagnetism, sedangkan yg kedua dengan
paramagnetism.
• Energi satu elektron bebas terkait dengan spin Pauli adalah:
•
𝜖𝒑,𝑠 =
𝑝2
2𝑚
− 𝑠𝜇0 𝐻
dengan s=1
• Energi total sistem N elektron bebas diberikan oleh:
𝐸 𝑛𝒑,𝑠 =
𝜖𝒑,𝑠 𝑛𝒑,𝑠
𝒑,𝑠
Paramagnetism Pauli
Sebagai Fermion maka elektron dengan spin ½ tunduk pada
persamaan:
𝑃
𝑘𝑇
=
2
𝑓
𝜆3 5/2
(𝑧) dan
1
𝑣
=
2
𝑓
𝜆3 3/2
(𝑧)
• Dengan definisi:
𝑓3/2 𝑧𝑚
4
=
𝜋
∞
𝑑𝑥
0
Dimana 𝑧𝑚 = 𝑧𝑒 ±𝛽𝜇0 𝐻 dan 𝑧 = 𝑒 𝛽𝜇 .
𝑥2
−1 𝑥 2
𝑧𝑚
𝑒 +1
Rapat Spin Up/Down
Karena energi perspin s diberikan oleh Es = s0H, maka
𝜕𝐸
𝜕𝐻
magnetisasi per spin adalah m =
= 𝑠𝜇0 . Dan magnetisasi
total menjadi:
𝑀 = 𝜇0 𝑁+ − 𝑁−
Dengan N+/- adalah jumlah spin up/down, untuk masing-masing
spin diberikan oleh :
1
𝑁+
1
=
= 3 𝑓3/2 ( 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 )
𝑣+
𝑉
𝜆
1
𝑁−
1
=
= 3 𝑓3/2 ( 𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 )
𝑣−
𝑉
𝜆
Magnetisasi Suhu Tinggi
• Kasus T>> (suhu tinggi) H<< medan lemah.
Jika suhu tinggi dan medan H relatif kecil, maka z kecil sehingga
boleh didekati:
𝑓3/2 𝑧 ≈ 𝑧
Magnetisasi menjadi:
𝜇0 𝑉
𝑀 = 3 [ 𝑓3 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 − 𝑓3 (𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 )]
𝜆
2
2
𝜇0 𝑉
2𝜇0 𝑉
𝛽𝜇
𝐻
−𝛽𝜇
𝐻
0
0
𝑀≈ 3 𝑧𝑒
−𝑒
= 3 𝑧sinh(𝛽𝜇0 𝐻)
𝜆
𝜆
Parameter z bisa dieliminasi dengan bantuan jumlah total spin
=N
Magnetisasi Suhu Tinggi
2𝑉𝑧
𝑁 = 𝑁+ + 𝑁− ≈ 3 cosh(𝛽𝜇0 𝐻)
𝜆
Sehingga diperoleh :
𝑀 ≈ 𝜇0 N tanh(𝛽𝜇0 𝐻)
• Pada suhu tinggi medan H kecil, maka aproksimasi
tanh 𝑥 ≈ 𝑥 akan menghasilkan :
• 𝑀≈
𝜇02 𝑁𝛽𝐻
=
𝜇02 𝑁
𝐻
𝑘𝑇
Susceptibiltas Suhu Tinggi
• Susceptibilitas magnetiknya menjadi:
• 𝜒=
𝜕𝑀
𝜕𝐻
≈
𝜇02 𝑁
𝑘𝑇
• Atau susceptibilitas per unit volum:𝜒 ≈
𝜇02
𝑘𝑇𝑣
• Dengan v=V/N. Hasil ini sama dengan kalau diturunkan untuk
kasus klasik dengan spin lokal up/down menggunakan
distribusi Boltzmann yang dikenal dengan hukum Curie
(Pierre!). Jadi efek kuantum tidak signifikan pada suhu tinggi.
Kasus Ground State
• Kasus Ground State
• Pada suhu rendah sekali (ground state) maka z>>, sehingga
aproksimasi yang dipergunakan adalah:
3
1
4
𝜋2
−
𝑓3/2 𝑧 =
[ ln 𝑧 2 +
ln 𝑧 2 + ⋯ ]
8
3 𝜋
Pada suhu rendah sekali, kita ambil suku pertama saja sehingga:
3
4
𝑓3/2 𝑧 ≈
[ ln 𝑧 2
3 𝜋
Maka untuk kasus ini:
4
±𝛽𝜇
𝐻
0
𝑓3 𝑧𝑒
≈
ln 𝑧 ± 𝛽𝜇0 𝐻 3/2
3 𝜋
2
Kasus Ground State
Seperti pernah diturunkan pada suhu rendah 𝑧 ≈ 𝑒 𝛽𝜖𝐹
dengan 𝜖𝐹 : energi Fermi. Berarti dalam kasus ini:
𝜆3
4
≈2∗
𝛽𝜖𝐹 3/2
𝑣
3 𝜋
Magnetisasi menjadi:
𝜇0 𝑉
𝑀 = 3 [ 𝑓3 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 − 𝑓3 (𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 )]
𝜆
2
2
Memakai aproksimasi suhu rendah:
𝑀≈
𝜇0 𝑁
4∗2
3 𝜋
𝛽𝜖𝐹
4
3/2 3 𝜋 [
𝛽𝜖𝐹 + 𝛽𝜇0 𝐻
3/2
− 𝛽𝜖𝐹 − 𝛽𝜇0 𝐻
3/2
]
Magnetisasi & Susceptibilitas Ground State
Jikalau 𝜖𝐹 ≫ 𝛽𝜇0 𝐻 maka :
𝑀≈
𝜇0 𝑁
3/2
3/2
𝜖𝐹 [
3/2 𝛽
3/2
2𝛽 𝜖
𝐹
𝑀≈
3𝑁𝜇02 𝐻
2𝜖𝐹
≈
1+
𝛽𝜇0 𝐻
𝜖𝐹
3
2
− 1
𝛽𝜇0 𝐻
−
𝜖𝐹
3
2
]
3𝑁𝜇02 𝐻
2𝜖𝐹
Atau susceptibilitasnya :
𝜒=
𝜒≈
𝜕𝑀
3𝑁𝜇02
≈
𝜕𝐻
2𝜖𝐹
2
3𝜇0
2𝜖𝐹 𝑣
atau susceptibilitas per unit volum