Bab 3 Ruang Vektor Gyro

Bab 3
Ruang Vektor Gyro
Cakram satuan D = fz 2 C : jzj < 1g dalam bidang komplek kaya akan struktur
matematika. Berdasarkan de…nisi cross ratio T (z) =
z z 2 z1 z 3
z z3 z1 z2
operasi
1
w
. Dengan memilih z2 =
w 2 D dan z3 =
akan dide…nisikan
2 D ; w adalah konjugate
dari w, maka
w
z = Tw (z) =
z
z
( w) z1
1
z1
w
=
z+w
z + w1
z1 + w1
z1 + w
=
z1 + w1
z1 + w
z+w
z + w1
=
=
1 + wz1
z1 + w
1
w
( w)
z1 + w1
z+w
w
z1 + w
wz + 1
1 + wz1
w+z
z1 + w
1 + wz
= 1 () 1 + wz1 = z1 + w
, 1
w = z1 (1
1 w
, z1 =
1 w
w)
sehingga diperoleh
w
z=
w+z
1 + wz
22
(3.1)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
23
dengan w; z 2 D.
Sedangkan aksi skalar
dide…nisikan berdasarkan jarak hiperbolik suatu titik
z 2 D terhadap titik pusat cakram satuan yaitu d (0; z) = ln
1+jzj
1 jzj
. Perpan-
jangan suatu titik z 2 D, sebanyak t (dengan t adalah konstanta Real) terhadap
titik pusat cakram satuan adalah
t d (0; z) = t ln
1 + jzj
1 jzj
1 + jzj
1 jzj
= ln
t
:
Sehingga jarak perpanjangan suatu titik z 2 D terhadap titik pusat cakram
satuan adalah:
d (0; t
1 + jt
1 jt
ln
z) = t d (0; z)
zj
zj
1 + jzj
1 jzj
= ln
t
sehingga
1 + jt
1 jt
zj
zj
1 + jt
zj =
1 + jt
jt
zj 1 +
1 + jzj
1 jzj
jt
maka
jt
Jadi aksi skalar
=
t
zj =
!
=
zj =
1 + jzj
1 jzj
1 + jzj
1 jzj
1 + jzj
1 jzj
1 + jzj
1 jzj
1+jzj
1 jzj
1+jzj
1 jzj
t
t
jt
(1
zj)
t
jt
t
zj
1 + jzj
1 jzj
t
1
t
1
t
+1
(1 + jzj)t (1 jzj)t
:
(As)
(1 + jzj)t + (1 jzj)t
dari t suatu konstanta Real terhadap z 2 D dide…nzj =
isikan sebagai berikut:
t
z
jzj
(1 + jzj)t (1
=
(1 + jzj)t + (1
z = jt
zj
jzj)t z
jzj)t jzj
(3.2)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
24
Jadi berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.2) penjumlahan
aksi skalar
dan
berturut-turut adalah
x
dan
r
y=
x+y
1 + xy
(1 + jxj)r (1
x=
(1 + jxj)r + (1
(3.3)
jxj)r x
jxj)r jxj
(3.4)
dengan x; y 2 D, r adalah konstanta Real, x adalah konjugate dari x. (Berarti
x 6= 0 pada (3.4), juga dide…nisikan r
0 = 0 .) Struktur (D; ; ) bukanlah
ruang vektor, penjumlahan bersifat tidak komutatif dan tidak asosiatif. (D; ; )
adalah contoh dari struktur ruang vektor gyro. Istilah “gyro” bertitik asal dari
perkembangan sejarah dari struktur ini yang berhubungan dengan phenomena
Thomas precession dalam …sika relativitas.
D memenuhi model Poincare untuk geometri hiperbolik. Struktur ruang vektor memenuhi landasan aljabar dan analisis untuk Euclidean geometri, struktur ruang vektor juga memenuhi struktur ruang vektor gyro (atau pendeknya
struktur-gyro) dari (D; ; ) yang memenuhi landasan yang sama untuk geometri
hiperbolik.
3.1
Ruang Vektor Gyro
Diketahui bahwa
bersifat nonkomutatif dan nonasosiatif. “Perbaikan” sifat
nonkomutatif untuk x; y 2 D dide…nisikan
gyr [x; y] =
1 + xy
1 + xy
(3.5)
disebut gyration ditentukan dengan x dan y; catatan bahwa jgyr [x; y]j = 1.
Sehingga (D; ; ) memenuhi hukum gyrokomutatif sebagai berikut:
x
y = gyr [x; y] (y
x)
(3.6)
x; y 2 D. Sehingga gyration memperbaiki sifat nonkomutatif dan sifat nonasosiatif dari
.
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
25
De…nisi 18 Sebuah ruang vektor gyro (D; ; ) adalah himpunan tidak kosong
D dengan operasi biner
:D
D ! D dan sebuah operasi
:R
D !D
memenuhi axioma berikut.
(G1) Terdapat 0 2 D sehingga untuk semua x 2 D, berlaku
0
x=x
(G2) Untuk setiap x 2 D, terdapat
x
(Identitas).
0 = x:
x 2 D sehingga berlaku
x=x
(Invers).
( x) = 0:
Untuk setiap x; y 2 D, pemetaan gyr [x; y] : D ! D dide…nisikan dengan
gyr [x; y] z =
(x
y)
(x
(y
z))
(3.7)
untuk z 2 D memenuhi sifat berikut.
(G3) Untuk setiap x; y; z 2 D berlaku
x
(y
z) = (x
y)
(sifat assosiatif kiri gyro).
gyr [x; y] z;
(G4) Untuk setiap x; y 2 D berlaku
gyr [x; y] 2 Aut (D; ) ;
(automor…sma gyro).
(G5) Untuk setiap x; y 2 D berlaku
gyr [x
(sifat loop kiri).
y; y] = gyr [x; y] ;
(G6) Untuk setiap x; y 2 D berlaku
x
y = gyr [x; y] (y
x) ;
(sifat komutatif gyro).
(G7) Untuk setiap x 2 D dan untuk setiap r1 ; r2 adalah konstanta Real berlaku
(r1 + r2 )
x = (r1
x)
(r2
x) :
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
26
(G8) Untuk setiap x 2 D dan untuk setiap r1 ; r2 adalah konstanta Real berlaku
(r1 r2 )
x = r1
(r2
x) :
(G9) Terdapat 1 adalah konstanta Real, untuk setiap x 2 D berlaku
1
x = x:
(G10) Untuk setiap x; y; z 2 D dan untuk setiap r adalah konstanta Real berlaku
gyr [x; y] (r
z) = r
gyr [x; y] z:
(G11) Untuk setiap x 2 D dan untuk setiap r1 ; r2 adalah konstanta Real berlaku
gyr [r1
x; r2
x] = idD :
Pemetaaan gyr [x; y] : D ! D yang diberikan (3.7) disebut automor…sma gyro
yang dibangun x; y 2 D, dan aksi terhadap D disebut gyration yang dibangun
x; y 2 D. Struktur (D; ; ) adalah ruang vektor gyro, dan notasi gyration
sebagai aksi adalah konsisten dengan identi…kasi dalam (D; ; ) dari gyr [x; y].
Pembuktian sifat (G1) - (G11) terlampir dalam Lampiran A.
Berikut ini contoh penjumlahan dan aksi skalar dalam ruang vektor gyro,
misal x =
0:2 + 0:6i, y = 0:6 + 0:3i dan r1 = 2, r2 = 3.
Gambar 3.1 Contoh penjumlahan dalam ruang vektor
gyro dengan x =
0:2 + 0:6i dan y = 0:6 + 0:3i:
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
27
Gambar 3.2 Contoh aksi skalar dalam ruang vektor gyro
dengan x =
Aksi skalar
0:2 + 0:6i dan r1 = 2, r2 = 3.
dari r adalah konstanta Real terhadap z 2 D dalam persamaan
(3.4)
r
(1 + jxj)r (1
z=
(1 + jxj)r + (1
jxj)r x
jxj)r jxj
jika r semakin mendekati 1 maka
1 jzj
1+jzj
1
lim r
r!1
z =
=
lim
r!1
1+
1 jzj
1+jzj
t
t
z
jzj
z
jzj
dan jika r semakin mendekati -1 maka
lim r
r! 1
z =
=
lim
r!1
z
:
jzj
1+jxj
1 jxj
1+jxj
1 jxj
r
r
1 z
+ 1 jzj
Jadi dalam aksi skalar, semakin besar r akan semakin mendekati batas lingkaran
satuan.
Sebuah grup gyro (D; ) adalah sebuah struktur yang memenuhi (G1) sampai (G6), dan sebuah gyrokomutatif grup gyro harus juga memenuhi (G7). Sebarang grup adalah sebuah grup gyro dengan gyr [x; y]
id untuk semua x; y.
Sebaliknya, sebuah grup gyro dalam setiap gyration adalah jelas sebuah grup.
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
28
Ruang vektor adalah jelas sebuah ruang vektor gyro, terdapat grup abelian dengan sebuah aksi pada R yang memenuhi (G7) sampai (G9) (dan jelas, (G10) dan
(G11)) tetapi bukan ruang vektor. Jadi sebuah ruang vektor gyro dengan gyration tidak perlu merupakan sebuah ruang vektor. Yang masih hilang dan belum
diketahui adalah hukum distribusi gyro yang menghubungkan operasi
dan
Dalam (D; ; ) dan ruang vektor gyro yang lain. Pernyataan r
y) dan
(r
x)
(r
(x
.
y) adalah tidak sama.
Mungkin aksioma yang paling teknis adalah sifat loop (G5), yang merupakan
kunci pembuktian berikut.
(L) Diberikan a; b 2 D, solusi unik dari a
x = b adalah x =
(R) Diberikan a; b 2 D, solusi unik dari x
a = b adalah x = b
Disini x
y menyatakan x
a
b:
gyr [b; a] a.
( y). Sifat (L) dan (R) berarti setiap grup gyro
adalah loop. Pembuktian (L) dan (R) terlampir dalam Lampiran B.
Dapat disimpulkan sifat (L) dan (R) dengan hukum penghilangan sebagai
berikut:
x
(x
(3.8)
y) = y
untuk x; y 2 D. Hal ini akan dipergunakan untuk mempelajari geometri dari D.
Persamaan (3.8) adalah ekuivalen dengan (L), yang juga ekuivalen dengan
gyr [ x; x] = id
(3.9)
untuk x; y 2 D.
3.2
Norm dan Metric
Dide…nisikan norm Poincare k:k : D ! [0; 1) dengan
kxk = jxj
(3.10)
untuk x 2 D. Norm ini memenuhi sifat berikut: untuk semua x; y; z 2 D, r 2 R,
kxk
0; kxk = 0 =) x = 0
(P1)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
29
kr
xk = jrj
kxk
(P2)
kx
yk
kyk
(P3)
kgyr [x; y] zk = kzk :
(P4)
kxk
Sifat norm ((P1) -( P4)) mempunyai kesamaan dengan sifat dari norm dalam
ruang vektor. Pembuktian sifat ((P1)-(P4)) terlampir dalam Lampiran A. Dalam
penjumlahan, kegunaan scaling identitas
r
kr
x
x
=
xk
kxk
(3.11)
terpenuhi untuk semua r > 0; x 2 D. Pembuktian scaling identitas terlampir
dalam Lampiran A.
Identitas dalam ruang vektor Euclidean, mempunyai kesamaan dengan Identitas Hiperbolik,
kx
yk2 = kxk2
kyk2
untuk x; y 2 D. Disini hasil kali titik
1
2
(2 x) (2 y)
1 + 12 (2 x) (2 y)
(3.12)
diberikan dengan a b = Re ab , di-
mana Re (z) menyatakan bagian real dari z. Pembuktian (3.12) terlampir dalam
Lampiran B. Jika x dan y saling tegak lurus, maka (3.12) spesialisasi terhadap
teorema Pythagoras hiperbolik:
kx
yk2 = kxk2 + kyk2
(3.13)
Dalam penjumlahan, karena (( 1; 1) ; ) adalah sebuah grup abelian, berdasarkan
(3.12) maka Identitas Polarisasi Hiperbolik
kx
yk2
kx
yk2 = (2
x) (2
y)
(3.14)
x; y 2 D, sebuah kesamaan dengan identitas polarisasi dalam sebuah ruang vektor
Euclide.
Dari norm Poincare, dide…nisikan metrik Poincare dengan
d (x; y) = kx
yk
(3.15)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
30
x; y 2 D. Kondisi nongenerasi d (x; y) = 0 =) x = y berdasarkan sifat dari
(P1), dan kondisi simetri d (x; y) = d (y; x) berdasakan gyrokomutatif (G6)
dan (P4). Metrik Poincare adalah gyroautomor…sma invariant dan gyrotranlasi
invariant (kiri), dengan sifat sebagai berikut
d (z; w) = d (gyr [x; y] z; gyr [x; y] w)
d (y; z) = d (x
y; x
(3.16)
(3.17)
z)
untuk x; y; z; w 2 D. Persamaan (3.16) berasal dari (P4), sedangkan (3.17) berasal dari (P4) dan identitas berikut, yang terpenuhi dalam sebarang grup komutatif gyro:
(x
a)
(x
b) = gyr [x; a] ( a
b)
(3.18)
untuk x; a; b 2 D. Sehingga diperoleh pertidaksamaan segitiga
d (x; z)
d (x; y)
d (y; z)
d (x; y) + d (y; z)
(3.19)
untuk x; y 2 D, yang terpenuhi dari (3.17), (P3), (G6), dan (P4). Pembuktian metrik dan ruang vektor gyro dan persamaan (3.15)-(3.19) terlampir dalam
Lampiran A.
3.3
Geometri Gyro
Sekarang kita menuju geometri dari ruang vektor gyro (D; ; ). Dimulai dengan
kelas kurva dalam D yang mempunyai kesamaan terhadap garis dalam ruang
Euclidean. Jika a; b 2 E 2 , maka
r (t) = a + t ( a + b)
(3.20)
t 2 R, parameterisasi garis unik yang melalui a (jika t = 0) dan b (jika t = 1).
Persamaan ini menekankan pengaturan yang berbeda dari parameter pada kurva
yang sama. Ambil a; b 2 D tetap dan misalkan kurva
l (t) = a
t
( a
b)
(3.21)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
31
untuk t 2 R. Kita mempunyai l (0) = a. Gunakan (G9) dan (3.8) dalam (3.21),
kita lihat bahwa l (1) = b. Mengacu pada kurva (3.21) sebagai garis gyro yang
melewati a dan b, lihat gambar 3.3. Untuk a; b 2 D, pada struktur- gyro terdapat
satu garis gyro yang melewati a dan b. Bagaimanapun, dalam D, mengarahkan
pengamatan geometri bahwa kurva dalam C, garis gyro merupakan tipe khusus
dari kurva lingkaran melalui a dan b.
Gambar 3.3 Garis gyro
Subhimpunan …nite dari titik yang berada pada garis gyro biasa dapat dikarakteristik hanya dengan gyration. Hukum gyrotransitif sebagai berikut.
(T) Sebuah himpunan fa1 ; a2 ; :::; an g
D berada pada garis gyro biasa jika dan
hanya jika
gyr [a1 ; a2 ] gyr [a2 ; a3 ] :::gyr [an 1 ; an ] = gyr [a1 ; an ] .
Diperoleh sifat "antara" garis gyro berikut ini. Untuk q < r < s,
d (l (q) ; l (r))
(
(3.22)
d (l (r) ; l (s)) = d (l (q) ; l (s))
dalam (( 1; 1) ; ; ).) Persamaan (3.22) adalah sebuah konsekuensi gyro-
translasi invariant (3.17), (G7) dan (P2). Untuk setiap a; c 2 D, gyrotranlasi a
dengan mengalikan c di ruas kiri akan menjelaskan sebuah aksi grup R pada D:
s
c
(t
c
a) = (s
c
t
c)
a = (s + t)
c
a
(3.23)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
32
menggunakan (G3), (G11), dan (G7). Tidak secara langsung adalah bukti dari
kebalikannya: Jika tiga titik memenuhi (3.23), maka terdapat sebuah garis gyro
yang memuat mereka.
Seperti gambar 3.3 dan (3.22), garis gyro dalam D adalah “garis”dari model
Poincare dari geometri hiperbolik. Ini adalah geodesik (kurva dengan panjang
busur terpendek) dalam ruang metrik (D; d ). garis gyro yang melalui a dan b
adalah sebuah busur dari lingkaran Euclide unik yang melalui a dan b (atau segmen garis jika a dan b adalah collinear dengan titik pusat) yang mendekati batas
dari D secara orthogonal. (Ini karena l (t) adalah peta di bawah transformasi
Mobius dari segmen garis diberikan oleh t
( a
b).)
Akan diperlihatkan bagaimana struktur-gyro dari D jika diberikan sebuah
garis l dan sebuah titik a tidak pada l, terdapat sejumlah tak hingga garis
melalui a yang paralel (tidak memotong) terhadap l. Untuk menyederhanakan
perhitungan, akan dijelaskan dalam kasus dari sebuah garis gyro l (t) = t
b
melalui titik pusat, dan sebuah titik a tidak pada l. Untuk r 2 R, dide…nisikan
(jbj ab)
b], dan diperluas secara kontinu dengan 1 = (jbj ab) dan
r = gyr [ a; r
(jbj+ab)
1 = (jbj+ab) . Maka untuk sebarang r 2 [ 1; 1], diberikan garis gyro dengan
lr (t) = a
t
(3.24)
r b,
t 2 R, melalui a (jika t = 0) dan paralel terhadap l (t) = t
b, Gambar
3.4. Sebaliknya, sebarang garis gyro melalui a dan paralel ke l diberikan oleh
(3.21) untuk suatu r 2 [ 1; 1]. Dua garis gyro ekstrim l1 dan l
limt!1 l1 (t) =
b
jbj
dan limt!
totically divergent terhadap l.
1
l
1
(t) =
b
,
jbj
1
memenuhi
sebaliknya, dan disebut asymp-
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
33
Gambar 3.4 Beberapa garis gyro yang paralel terhadap garis
gyro yang diberikan
Diberikan titik a; b 2 D, akan diidenti…kasi elemen
a
b 2 D dengan vektor
gyro terdiri dari segmen terarah dari garis gyro menghubungkan a ke b, yakni,
dengan l (t) = a
b) untuk 0
t( a
1. Jarak dari vektor gyro
t
dide…nisikan sebagai jarak d (a; b) antara titik batasnya. Jika
a
b=
a
b
c
d,
maka misalkan vektor gyro yang berhubungan menjadi ekuivalen. Pada umumnya,
a
b adalah ekuivalen terhadap sebuah vektor gyro tunggal bertitik asal
dari titik pusat. Dengan interpretasi ini, (3.21) dapat dilihat sebagai garis gyro
unik melalui a dengan arah vektor gyro
b. vektor gyro yang ekuivalen jelas
a
mempunyai panjang yang sama, tetapi tidak seperti pada Euclide, mereka tidak
perlu paralel.
Untuk a; b 2 D, titik
sinar gyro l (t) = a
a b
pada
k a bk
t
( a
lingkaran satuan C hanya bergantung pada
0, bertitik asal dari a dan menuju b.
b), t
Meskipun, jika c 2 l diberikan dengan c = l (s) untuk beberapa s > 0, maka (3.8)
menjadi
a
c=s
b), dan sehingga
( a
a
k a
c
s
=
ck
ks
( a
( a
b)
a
=
b)k
k a
dengan identitas skala (3.11). Sekarang misalkan
a
b
bk
b1 dan
a
b2 , Gambar
3.5, dengan
cos
=
a
k a
b1
a
b1 k k a
b2
b2 k
(3.25)
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
34
Gambar 3.5 Sudut antara vektor gyro
Dengan diskusi berikut, (3.25) hanya bergantung pada dua sinar gyro bertitik asal dari a dan melalui b1 dan b2 . Meskipun (3.25) hanya bergantung pada
struktur-gyro intrinsic dari D, berarti juga bahwa ukuran sudut sama dengan
yang dide…nisikan dengan tangent vektor li0 (0) pada a. Ini memperlihatkan bahwa
dengan menghitung tangen vektor secara ekplisit adalah mudah, tetapi secara intuitif jelas karena b1 dan b2 dapat diperoleh dari “secara in…nite dekat”terhadap
a, tangen vektor li0 (0) merupakan pengali dari
3.4
a bi
,
k a bi k
i = 1; 2.
Aturan Cosinus dalam Ruang Vektor Gyro
Misal A =
c
b, B =
c
a dan C =
a
b menotasikan vektor gyro
memberikan sisi dari segitiga hiperbolik dengan titik a; b; c dan misalkan ; ;
menotasikan sudut yang bersesuian, lihat gambar 3.6. Dengan (3.18) dan (G6),
diperoleh
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
35
Gambar 3.6 Segitiga hiperbolik
A
B = ( c
b)
= ( c
b)
( c
a)
a) , berdasarkan (3.18)
( c
= gyr [ c; b] (b
a)
= gyr [ c; b] gyr [b; a] ( a
b) , berdasarkan (G6)
sehingga diperoleh
A
B = gyr [ c; b] gyr [b; a] C.
Dengan menggunakan persamaan di atas, (P4), (3.12) dan (3.25), diperoleh
bentuk hukum kosinus hiperbolik sebagai berikut:
kCk2 = kgyr [ c; b] gyr [b; a] Ck2 , berdasarkan (P4)
Bk2 , berdasarkan persamaan di atas
1
(2 A) (2
B)
2
2
2
= kAk
kBk
, berdasarkan (3.12)
1
1 + 2 (2 A) (2
B)
= kA
kCk2 = kAk2
kBk2
= kAk
2
2
= kAk
2
kBk
1
2
1
1
2
1
2
1
A kAk
kAk
2
1
2
1
2
kBk
(2 A) (2 B)
1
(2 A) (2 B)
2
2
(2
1
2
(2
A kAk
kAk
kAk) (2
kAk) (2
B kBk
kBk
2
2
B kBk
kBk
A
kBk) kAk
kBk)
B
kBk
A
B
kAk kBk
BAB 3. RUANG VEKTOR GYRO
36
berdasarkan (3.25) sehingga diperoleh
kCk2 = kAk2
kBk2
1
2
1
(2 kAk) (2 kBk) cos
1
(2 kAk) (2 kBk) cos
2
(3.26)
Sebagaimana (3.26), diperoleh teorema phitagoras untuk segitiga siku-siku hiperbolik: Jika A dan B saling tegak lurus, maka kCk2 = kAk2
kBk2 .