PD linier 1, Bernoully dan eksak

MATERI :
 Persamaan Diferensial Linier orde satu,
 Persamaan Diferensial Bernoulli
 Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x)
dx
Penyelesaian umum :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
Contoh-contoh:
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ x y = 3x.
dx
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
 xdx
x ) dx
y  e   3x.e dx  C
ye
1
 x2
2
{ 3x.e
1 2
x
2
dx  C}
Catatan Misal U = x2
dU = 2x dx
dx =
dU
2x
1
 z.e
z2
dz   z.eU
0
Jadi
  eU
dU
2
1
2
1
2
= eU  e z
ye
1
 x2
2
(
dU
2z
2
3 z2
e  C)
2
1
y=
 x2
3
 C e 2  sebagai penyelesaian pesamaan diferensial.
2
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.
dx
x
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
 2 / xdx
2 / xdx
ye 
{ 3x.e
dx  C}
y  e 2 ln x { 3 x.e 2lx 2 dx  C}
.y = x-2 (  3x( x 2 )dx  C )
3
4
y = x-2 ( x 4  C )  y =
3 2
x  Cx  2 ///
4
 Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x) . yn
dx
Cara Menyelesaikan :
- Dibagi yn :
1 dy
+P( x) y1-n = Q( x)
y n dx
- Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1 du 1 dy

1  n dx y n dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
 P( x).u  Q( x)
1  n dx
du
 (1  n) P( x).u  (1  n)Q( x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(2- 3x.) y4
dx
Jawab :
-
Dibagi y4 :
1 dy
+ y-3 = (2-3x)
4
y dx
- Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1 du 1 dy

 3 dx y 4 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
+ u = (2-3x)
 3 dx
du
 3.u  3(2  3x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
  3dx
 3dx
u  e  { (6  9 x).e dx  C}
u  e3 x { (6  9 x).e 3 x dx  C}
u  e3 x {
 (9 x  6)  3 x
e  e  3 x  C}
3
1
 (2  3x)  1  Ce3 x
3
y
.y =
1
3
1  3 x  Ce3 x
///
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.y3
dx
x
Jawab :
-
Dibagi y3 :
2
1 dy
+ y2 = 3x
3
x
y dx
- Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1 du 1 dy

 2 dx y 3 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
2
+ u = 3x
 2 dx
x
du 4
 .u  6 x  PD linier orde satu dalam u.
dx x
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
ue
4
  dx
x

{ (9 x).e
4
  x dx
dx  C}
u  e 4 ln x { (9 x).e 4 ln x dx  C}
u  x 4{ (9 x).x 4 dx  C}
1
 x 4 ( 92 x  2  C )
2
y
1 9 2
 x  Cx 4  y =
y2 2
1
9
2
x 2  Cx4
///
Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
Disebut PD Eksak bila dipenuhi
m n

y x
Cara menyelesaikan :
- Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial
tersebut, maka
- Maka
F
F
dx 
dy  0
y
x
F
F
 m( x, y )dan.
 n( x, y)
x
y
- F(x,y) =  m( x, y).dx  Q( y )
- Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyeesaian F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab : m= 2 xy – sin x 
.n = x2 
m
 2x
y
n
 2 x Jadi merupakan PD Eksak.
x
Penyelesaian :
F(x,y) =  (2 xy  sin x)dx  Q( y )
F(x,y) = x2 y + cos x + Q(y)
.
F
 n( x, y )  x2 + 0 + Q’(y) = x2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
y
Jadi F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. 1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
m
 e xy  xyexy
y
.n = – ( 3y – x exy) 
n
 e xy  xyexy Jadi merupakan PD
x
Eksak.
Penyelesaian :
F(x,y) =  {3  ye xy ) }dx  Q( y )
F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
.
F
 n( x, y )  0+ x exy + Q’(y) = – ( 3y – x exy)
y
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y =2 cos 3x.
dx
x
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(cos x – sin x ) y
dx
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(9x- 3x2.) y4
dx
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
6  3 ye xy
=
dx
6 y  3xexy
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0
LINK INTERNAL
LINK EKSTERNAL
LINK DOKUMEN :
- Murray R. Spiqel JR, KALKULUS LANJUTAN, , Erlangga , Jakarta
1991
- Frank Ayers JR, Persamaan Diferensial”, London Schoum Outline
Series ,Mc Graw Hill Book Co., 1994