PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT n

Modul 08 (Pertemuan-8)
PERSAMAAN
DIFERENSIAL TINGKAT n
Bentuk:
a0 y (
n)
+ a 1 y(
= f ( x), n ≥ 2
n− 1)
+ a 2 y(
n− 2)
+ ...+ a n y
• Pengertian Dalil Istilah
- Jika f ( x ) = 0
→ P.D. tereduksi / P.D. Homogen
disebut homogen karena pangkat
y dan turunan-turunannya sama
- Jika f ( x ) ≠ 0 → P.D. NonHomogen
- Jika y = y1( x )
y = y2( x )
↓
y = yn( x )
Jawab-jawab
P.D Tereduksi,
maka juga
y = c1 y1( x )
y = c2 y2( x )
↓
y = cn yn( x )
maka jawab umum P.D Tereduksi:
y = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) + ...+ cn yn ( x )
- Jawab umum P.D Tereduksi
= jawaban pelengkap
- Jawab khusus P.D NonHomogen
( f ( x ) ≠ 0 ) = integral khusus
- Jawab umum P.D NonHomogen
= jawab umum P.D Tereduksi +
integral khusus
Berarti jika integral khusus = F ( x ) ,
maka jawab umum P.D lengkap:
y = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + . . .+ c n y n ( x ) + F ( x )
( y1 , y2 ,..., yn berbeda)
Dari P.D Homogen yang akan kita
bicarakan:
(i). a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n → konstan
(ii). a0 = x n , a 1 = x n− 1 , a 2 = x n− 2 ,..., a n
(iiI).
a0 = ( x − λ ) n , a 1 = ( x − λ ) n− 1 ,
a 2 = ( x − λ ) n− 2 ,...
• Dengan Koefisien Konstan
n)
n− 1)
(
(
a0 y
+ a1 y
+ ...+ a n y = 0
→ P.D Homogen
Cara penyelesaian:
y = e px → y ′ = pe px
y ′′ = p 2 e px
Masukkan
ke P.D
↓
dst.
y( n) = p n . e px
P . D: a0 p n e px + a 1 p n− 1 e px + ...+
a n e px = 0
[
]
a . p n + a 1 p n− 1 + ...+ a n . e px = 0
a0 p n + a 1 p n− 1 + ...+ a n = 0
→ disebut persamaan karakteristik
→ Cari p1 , p2 ,..., pn
maka jawab umu P.D Tereduksi:
y = c1 e p1x + c2 e p2 x + ...+ cn e pnx
→ Jika p1 , p2 ,..., pn real berlainan
Contoh:
1. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0
Jawab:
y = e px , y ′ = pe px , y ′′ = p 2 e px
P . D ∴ p 2 e px − 5 pe px + 6 e px = 0
p 2 − 5 p + 6 = 0 → p1 = 2
p2 = 3
Jawab umum:
y = c1 e 2 x + c2 e 3x
2. y ′′′ − 2 y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0
Jawab: y = e px dll
Pers. Karakteristik:
p3 − 2 p2 − 5 p + 6 = 0
( p − 1)( p + 2)( p − 3) = 0 →
p1 = 1
p2 = − 2
p3 = 3
Jawab umum:
y = c 1 e x + c 2 e −2 x + c 3 e 3 x
Mungkin
akar-akar
persamaan
karakteristik ada yang sama, misal
p1 = p2 maka pada jawab umum:
y = c1e
p1x
+ c2 x . e
p1x
3. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0
Jawab: persamaan karakteristik:
p 2 − 4 p + 4 = 0 → p1 = p 2 = 2
Jawab umum:
y = c1 e 2 x + c2 xe 2 x
Latihan Soal-soal