PLEA 2008 Paper Title - Jurnal Untan

Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
SOLUSI PERSAMAAN MAXWELL DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER
YANG MEMBENTUK MEDAN MAGNET
MAXWELL EQUATION SYSTEM SOLUTIONS IN SHAPING THE
COORDINATES CYLINDER MAGNETIC FIELD
Leli Deswita
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Riau Pekanbaru
Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
[email protected] Kampus Binawidya Simpang Panam Pekanbaru
ABSTRACT
This article discusses the electromagnetic wave equation derived from Maxwell's
equations in cylindrical coordinate system that forms a magnetic field. For
example, the application required wave propagation in the waveguide in the form
of a metal with a circular cross section and a wall made of conducting material.
Given that the waveguide is tubular, cylindrical coordinate system is then selected
so that the wave function is sought shaped magnetic field.
Keywords: Maxwells equations, Electromagnetic Waves, Cylindrical coordinates,
and The magnetic field.
ABSTRAK
Artikel ini membahas persamaan gelombang elektromagnetik yang diturunkan dari
persamaan Maxwell dalam sistem koordinat silinder yang membentuk medan
magnet. Sebagai contoh aplikasi diperlukan penjalaran gelombang di dalam
pemandu gelombang dalam bentuk logam dengan penampang lingkaran dan
dinding terbuat dari bahan konduktor. Mengingat bahwa pemandu gelombang
berbentuk pipa, maka dipilih sistem koordinat silinder sehingga fungsi gelombang
yang dicari berbentuk medan magnet.
Kata Kunci: Persamaan Maxwells, Gelombang Elektromagnetik, koordinat Silinder,
dan Medan magnet.
1 PENDAHULUAN
Persamaan Maxwell dalam sistem koordinat silinder di analisa membentuk
persamaan gelombang elektromagnetik yang dikemukakan oleh Keiser [3]. Pada
umumnya sifat-sifat gelombang dan khususnya gelombang elektromagnetik di
nyatakan dengan fungsi gelombang yang merupakan hasil dari persamaan
gelombang yang dikerjakan oleh Buck [1].
441
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
Penjabaran persamaan Maxwell dalam system koordinat silinder akan
mem-bentuk persamaan gelombang elektromagnetik dalam medan magnet dan
juga merupakan suatu fungsi gelombang. Uraian ini dapat dilihat dari Spiegel
[5], Buck [1] dan Cronin [2].
Artikel ini adalah pengembangan artikel terdahulu Deswita [4]. Dimana
dalam artikel terdahulu telah dibahas dan dianalisa mengenai persamaan
gelombang elektro-magnetik dalam bentuk medan listrik yang solusinya
mengandung fungsi Bessel.
2. METODE PENELITIAN
Awalnya akan ditunjukkan persamaan gelombang elektromagnetik untuk
medan magnet H yang diturunkan dari keempat persamaan Maxwell dalam bentuk
sebagai berikut:
 2 H  
2H
.
t 2
(1)
Solusi dari persamaan (1) menggunakan metode separasi variabel diperoleh:
H  (r,  )Z ( z)T (t ) ,
(2)
dengan r merupakan jari-jari dari silinder dan  merupakan besaran sudut dan
Z fungsi dari z yang merupakan sumbu silinder dipilih berimpit dengan sumbu
pemandu gelombang, T hanya fungsi dari t, yang merupakan waktu perjalanan
gelombang. Seterusnya akan di buktikan untuk fungsi Z dan fngsi t sehingga
didapati:
H  (r,  )(cos k z z  j sin k z z)(cos t  j sin t ) ,
(3)
Atau
H  (r,  )cos(k z z  t )  j sin(k z z  t ),
Ditulis juga dalam bentuk:
H  (r ,  )e j ( k z z t ) .
(4)
Selanjutnya akan diperoleh fungsi gelombang elektromagnetik untuk medan
magnet H dengan menggunakan sistem koordinat silinder.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Sifat-sifat gelombang pada umumnya dan gelombang elektromagnetik
pada khususnya dinyatakan oleh fungsi gelombang yang merupakan solusi dari
442
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
persamaan
gelombang.
Untuk
gelombang
elektromagnetik,
persamaan
gelombang dapat diturunkan dari per-samaan Maxwell. Dalam hal khsus dimana
medium tempat gelombang menjalar tidak terdapat muatan listrik bebas dan arus
listrik, seperti halnya pada pemandu gelombang, persamaan Maxwell disajikan
dalam bentuk sebagai berikut,
 E  
 H 
B
t
(5)
D
t
(6)
 D  0
(7)
 B  0
(8)
Dengan kuat medan listrik E dan pergeseran listrik D disajikan dengan persamaan
D  E ,
(9)
dan induksi magnet B dengan intensitas magnet H disajikan dengan persamaan
B  H .
(10)
Permitivitas medium dinyatakan dengan  , yaitu suatu besaran yang menyatakan
sifat kelistrikan medium dan  adalah permeabilitas medium, artinya suatu
besaran yang menyatakan sifat-sifat kemagnetan medium. Dengan menggunakan
persamaan 9 & 10 di masukkan ke dalam persamaan 5-8, sehingga persamaan
Maxwell di atas menjadi:
  E  
 H  
.E  0
H
t
(11)
E
t
(12)
(13)
.H  0
(14)
Persamaan gelombang elektromagnetik diperoleh dari keempat persamaan
Maxwell di atas, dengan merotasi persamaan (12) diperoleh
  (  H )  

(  E )
t
(15)
443
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
Dengan menggunakan kesamaan vektor persamaan (15) menjadi:
  (  H )  (.H )  .(H )
(16)
Karena suku pertama diruas kanan adalah nol, maka persamaan (15) menjadi
 2 H  
2H
t 2
(17)
Jadi persamaan (17) dikatakan persamaan gelombang elektromagnetik untuk
medan magnet H.
3.1. Fungsi Gelombang Dalam Sistem Koordinat Silinder
Solusi umum dari persamaan (17) diperoleh dengan menggunakan metode
separasi variabel, dengan demikian dimisalkan bahwa solusi yang dicari adalah
H  (r,  )Z ( z)T (t )
(18)
Dalam sistem koordinat silinder persamaan (17) menjadi
ZT   (r ,  )  ZT  2(r ,  )
2Z
 2T


T


Z

r
 2
r r 
r  r
 2
z 2
t 2
(19)
Pindahkan ruas sebelah kanan pada persamaan (19) kesebelah kiri, dan
kemudian dibagi dengan ZT , diperoleh
 1   (r ,  ) 
1  2(r ,  )  1  2 Z   2T

0
r



r  r 2  2  Z z 2
T t 2
 r r 
(20)
Persamaan (20) bila masing-masing suku sama dengan kostanta, maka
1 2Z
 k z2
2
Z z

  2T
T t
2
21)
 k2
(22)
Persamaan (21) adalah suatu persamaan gerak sebuah osilator dengan
memisalkan solusi yang dicari adalah Z  ez . Bila Z disubstitusikan kembali
kepersamaan (21) dengan diperoleh
   jk z yang merupakan akar-akar
karakteristik dari persamaan (21) sehingga :
Z  cos k z z  j sin k z z
(23)
Z  cos k z z  j sin k z z
(24)
Dengan cara yang sama untuk persamaan (22) diperoleh :
444
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
T  cos t  j sin t
(25)
T  cos t  j sin t
(26)
Susbstitusikan persamaan (23) dan persamaan (26) kedalam persamaan (22)
diperoleh,
H  (r,  )cos(k z z  t )  j sin(k z z  t )
(27)
Persamaan (27) dapat juga ditulis dalam bentuk eksponensial sebagai berikut
H  (r ,  )e j ( k z z t )
(28)
Persamaan (28) disebut fungsi gelombang untuk medan magnet H.
3.2. Medan Magnet dalam Gelombang Elektromagnetik
Dalam sistem koordinat silinder medan magnet H dituliskan sebagai berikut
^
^
^
H  e r H r  e H   e z H z
Ruas kiri persamaan (12) menjadi
 1  H z
H z


  H   
 jk z rH  er   jk z H r 
r


 r  
H r
1 

e   (rH  ) 
r  r


  j ( k z z t )
e z   e
.
 
Ruas kanan persamaan (11) menjadi

E
  ( jEr er  jE e  jE z e z )e j ( k z z t ) .
t
Dengan demikian

1  H z
 
 jk z rH    jE r
r  

jk z H r 
(29a)
H z
 jE

H r
1  
 
(rH ) 
r  r

(29b)

  jE z

(29c)
dari persamaan (11) dengan cara yang sama untuk medan magnet E, diperoleh
 1  E
E


  E    z  jk z rE er   jk z E r  z
r


 r  
E
1 

e   (rE )  r
r  r


Dan ruas kanan persamaan (11) menjadi

H
  ( jH r er  jH  e  jH z e z )e j ( k z z t )
t
Dengan demikian
445
  j ( k z z t )
e z   e
 
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448

1  E z
 
 jk z rE    jH r
r  

(30a)
E z
  jH 

(30b)
jk z E r 
Er 
1  
 
(rE ) 
   jH z
r  r
 
(30c)
Dari persamaan (29a), (29b), (30a), dan (30b) akan dihitung E r , E , H r , dan
H  , dalam bentuk matriks
 0

 jk z
  j

 0

jk z
j
0
0
0
0
j
jk z
 1 E z

r 
0  E r   E


z

 j  E   r

jk z  H r   1 H z



0  H    r 
 H z

 r











Pertama dihitung nilai determinan dari matriks koefisien, sehingga diperoleh
(k 2  k 2 z ) 2
Selanjutnya H r dan H 
(31)
masing-masing dihitung, dengan menggunakan aturan
Cramer, dimulai dengan menghitung H r kemudian H  seperti berikut ini:
H z 

1 E z

j  
 kz
r 
r 

Hr 
(k 2  k z2 )
E
 1 H z
j k z
  z
r 
r
H  
2
2
(k  k z )
(32)



Untuk mendapatkan komponen
(33)
longitudinal medan listrik H z dengan men-
subsitusikan persamaan (32) dan (33) kedalam persamaan (29b), diperoleh
 2 H z 1 H z 1  2 H z

 2
 (k 2  k z2 ) H z  0
2
2
r r
r
r 
(34)
Solusi umum dari persamaan (34) dapat dicari dengan menggunakan metoda
separasi variabel, yaitu mengandaikan bahwa H z fungsi dari r dan  adalah hasil
kali dari R(r) fungsi dari r dan  ( ) adalah fungsi dari 
446
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
H z  N (r ) ( )
(35)
Dengan demikian maka persamaan (35) menjadi

d 2 N  dN N d 2

 2
 (k 2  k z2 ) N  0
2
2
r dr r d
dr
(36)
Kalikan persamaan (36) dengan r 2 / R maka hasilnya
 r 2 d 2 N r dN
1 d 2
2
2
2


(
k

k
)
r

0
z


2
2
N dr
 N dr
  d
(37)
Persamaan (37) hanya akan dipenuhi bila masing-masing suku sama dengan
konstan. Misalkan suku kedua
1 d 2
 q 2
2
 d
(38)
Solusinya adalah   e dengan mensubsitutsikan kembali ke persamaan (38)
diperoleh
   jq sehingga
  P cos(q )  Q sin(q )
(39)
(q  0,1,2,3,...)
(40)
Dengan demikian persamaan (38) menjadi
r 2 d 2 N r dN

 (k 2  k z2 )r 2  q 2  0
2
N dr
N dr
(41)
Kalikan persamaan (41) dengan R / r 2 dan substitusikan ke persamaan (37)
diperoleh:
k t2  k 2  k z2
(42)
Sehingga hasilnya adalah seperti di bawah ini:
d 2 N 1 dN
q2
2


(
k

)N  0
t
N dr
dr 2
r2
(43)
Dengan solusi umum berbentuk kombinasi linear dari J q (k t r ) dan , sehingga
diperoleh:
N  BJ q (k t r )  B' N q (k t r )
Penyelesaian
(44)
k t Re al
J q (k t r ) mempunyai limit hingga apabila r mendekati nol, disebut
fungsi bessel jenis pertama. Penyelesaian
N q (k t r ) mempunyai limit hingga
apabila r mendekati nol, disebut fungsi bessel jenis kedua, sehingga diperoleh
fungsi gelombang medan magnet H z ditulis sebagai
447
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat
Universitas Tanjungpura Pontianak
Hal 441 - 448
H z  BJ q (k t r )P cos(q )  Q sin(q )e j ( k z z t )
(45)
Persamaan (45) disebut fungsi gelombang medan magnet H z , yang mengandung
fungsi Bessel
4.
PUSTAKA
1. Buck JA. 1995. Fundamentals of Optical Fibers. John Wiley & Sons.
2. Cronin NJ. 1995. Microwave and Optical Waveguides. Institute of Physics
Publishing.
3. Keiser.
G.
1980.
Optical
Fiber
Communications.
McGraw-Hill
BookCompany.
4. Deswital. L. 2003. Solusi persamaan Gelombang Elektromagnetik Dalam
Sistem Koordinat Silinder yang Berbentuk Fungsi Gelombang Medan
Magnet. Jurnal Matematika Murni Dan Terapan Vol. 1 No 1 : 11-18.
5. Spiegel. MR. 1985. Vektor Analysis. McGraw_Hill Inc.
448