logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA
BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN
SIMPULAN
HUKUM ALJABAR PROPOSISI
(ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan:

Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel
kebenaran)

Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain
menggunakan tabel kebenaran)

Membuktikan kesahan suatu argumen
1.
2.
Hukum Idempoten (Idem)
o (pvp)p
o (pp)p
Hukum Assosiatif (As)


(pvq)vrpv(qvr)
(pq)rp(q r)
Hukum Komutatif (Kom)
3.


(pq)(qp)
(pvq)(qvp)
Hukum Distributif (Dist)
4.
(pvq)r (pr)v(qr)
 (pq)vr(pvr)(qvr)

5.
Hukum Identitas (Id)
o
o
o
o
6.
Hukum Komplemen (Komp)
o
o
o
o
7.
pv~pT
p~pF
~(~ p)  p
~(T)  F dan ~ (F)  T
Transposisi (trans)
o
8.
pvFp
pvTT
p  F F
pTp
pq~q~p
Hukum Implikasi (imp)
o
pq~pvq
Hukum Ekivalensi (Eki)
 pq (pq)(qp)
 pq (pq)v(~p~q)
10. Hukum Eksportasi (Eks)
o p(qr)(pq)r
11. Hukum de Morgan (DM)
 ~(pq)~pv~q
 ~(pvq)~p~q
9.
CONTOH SOAL
1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
menggunakan aturan penggantian.
Penyelesaian:
p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r)
Terbukti
(Imp)
≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r)
(Dist)
≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
(Imp)
2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu
kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian
Penyelesaian:
((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek
(((-p) v (-q)) ⇒(-((-p) v (-q)))) ∧ ((-((-p) v (-q))) ⇒ ((-p) v (-q)))
(eki)
(-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) ∧ (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q)))
(Imp, DM)
((-(-p) ∧ -(-q)) v (-(-p) ∧ -(-q))) ∧ (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q)))
(DM, komp)
((p ∧ q) v (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q))
(komp, idem)
(p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q))
(idem)
((p ∧ q) ∧ (-p)) v ((p ∧ q)∧(-q))
(dist)
(p ∧ (-p) ∧ q) v (p ∧ (q ∧ (-q)))
(Kom, Ass)
(F ∧ q) v (p ∧ F)
(Komp)
FvF
(Komp)
F
( Idem)
Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi
3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturan
penggantian
p⇒q
-q / ∴ -p
Penyelesaian
Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu
((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p)
Perhatikan bahwa ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) ek
-((p ⇒ q) ∧ (-q)) v (-p)
(Imp)
(-(p ⇒ q) v –(-q)) v (-p)
(DM)
(-(p ⇒ q) v q) v (-p)
(Komp)
(-(-p v q) v q) v (-p)
(Imp)
((-(-p) ∧ (-q)) v q ) v (-p)
(DM)
((p ∧ (-q)) v q ) v (-p)
(Komp)
((p v q) ∧ ((-q) v q)) v (-p)
(Dist)
((p v q) ∧ T ) v (-p)
(pv q) v (-p)
p v (q v (–p))
p v ((-p) v q)
(p v (-p)) v q
Tvq
T
Jadi argumen sah.
(Komp)
(ident)
(Ass)
(Kom)
(Ass)
(komp)
(Ident)
ATURAN PENYIMPULAN
1.
2.
3.
Modus Ponens (MP)
p⇒q
p
∴q
Modus Tollens (MT)
p⇒q
-q
∴ -p
Silogisme (Sil)
p⇒q
q⇒r
∴ p ⇒r
4.
5.
6.
Distruktif Silogisma (DS)
pvq
-p
∴q
Konstruktif Delema (KD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
pvr
∴qvs
Distruktif Delema (DD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
-q v -s
∴ -p v -r
7.
8.
9.
Simplifikasi (Simp)
p∧q
∴p
Adisi (Ad)
p
∴pvq
Konjungsi (Konj)
p
q
∴p∧q
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan
penyimpulan
1. a  b
2. c  d
3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Penyelesaian:
1. a b
2. c  d
3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
4. (a  b )  ( c  d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d )
3, Simpl
6.~ a v ~c
4,5 DD
(Argumen sah)
ATURAN BUKTI BERSYARAT (ABB)
Catatan
1.
ABB
dapat
digunakan
apabila
konklusi
argumen merupakan implikasi
2.
Prosedur
pembuktian
ABB
yaitu
menarik
antiseden dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan) dan konsekuennya menjadi
konklusi argumen
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB
1. (a v b) ⇒ (c ∧ d)
2. (d v e) ⇒ f / ∴ a ⇒ f
3. a / ∴ f
(asumsi)
4. a v b
(3 Ad)
5. (c ∧ d)
(1,4 MP)
6. d
(5 simp)
7. d v e
(6 ad)
8. f
(2,7 MP)
9. a ⇒ f
3 s.d 8 ABB
BUKTI TAK LANGSUNG

Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan)

Dengan
menggunakan
aturan
penyimpulan
dan
hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi

Setelah
ditemukan
kontradiksi
kita
tinggal
menggunakan prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan
BTL
1. a v (b ∧ c)
2. a⇒ c / ∴ c
3. -c
(asumsi)
4. -a
(2,3 MT)
5. -a v b
( 4 Ad)
6. a ⇒ b
(5 Imp)
7. (a v b) ∧ (a v c)
( 1 Dist)
8. a v c
(7 Simp)
9. c v a
(8 Kom)
10. -c ⇒ a
( 9 imp)
11. a
(10,3 MP)

12.
13.
14.
a ∧ -a
avc
c
(11,4 Konj)
( 11 Ad)
( 13,4 DS)