bifurkasi hopf pada model predator prey dengan

BIFURKASI HOPF PADA MODEL PREDATOR PREY DENGAN
PENGARUH ALELOPATI
Sulvi Eka Yuliansari
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email: [email protected]
Abstrak. Pada artikel ini dikaji model predator prey dengan pengaruh alelopati. Waktu tunda dalam hal ini adalah waktu
bagi predator untuk menghasilkan zat racun atau alelokimia. Analisis dinamik digunakan untuk mempelajari pengaruh
alelopati ini. Titik kesetimbangan dan analisis kestabilan titik kesetimbangan dari model tanpa waktu tunda dan dengan
waktu tunda telah dihitung dan dianalisis. Analisis model dengan adanya pengaruh waktu tunda menunjukkan adanya
bifurkasi Hopf di titik kesetimbangan interior pada saat waktu tunda melewati waktu tunda kritis . Hasil simulasi
menunjukkan bahwa bifurkasi Hopf yang terjadi adalah bifurkasi Hopf Supercritical.
Kata kunci: bifurkasi Hopf, model predator prey, alelopati
1. PENDAHULUAN
Salah satu bentuk interaksi antar makhluk hidup adalah proses predasi yang melibatkan
predator dan prey. Pada saat proses predasi berlangsung, kadang kala terjadi interaksi lain antara dua
spesies tersebut. Salah satu bentuk interaksi tersebut adalah alelopati, yaitu suatu interaksi yang
bersifat menghambat atau merangsang pertumbuhan atau perkembangan spesies. Perangsangan
maupun penghambatan tersebut berupa pelepasan suatu zat kimia yang disebut alelokimia.
Kebanyakan dari interaksi ini merugikan salah satu spesies. Sebagai contoh plankton jenis
dinoflagellata. Plankton ini mampu menghasilkan zat racun saraf atau neurotoksin yang mampu
membunuh makhluk hidup di laut dalam skala besar saat terjadi ledakan pada populasinya. Peristiwa
ini biasa disebut pasang merah air laut. A. Mukhopadhyay, dkk. (1998) telah membahas alelopati pada
plankton. Tiap populasi dapat menghasilkan alelokimia dan terdapat waktu tunda yang menyatakan
waktu bagi plankton tumbuh sehingga dapat menghasilkan alelokimia.
Pada artikel ini diasumsikan hanya salah satu dari spesies yang dapat menghasilkan alelokimia,
yaitu spesies predator. Waktu tunda juga disertakan sebagai waktu bagi predator untuk menghasilkan
alelokimia. Model yang terbentuk berupa persamaan diferensial nonlinear dengan waktu tunda. Pada
prinsipnya, artikel ini mengulas (Wang dan Liu, 2012).
2. KONSTRUKSI MODEL
Populasi prey pada saat dinyatakan dengan
, populasi prey juga dipengaruhi oleh
beberapa faktor. Jumlah pertumbuhan prey diasumsikan mengikuti model pertumbuhan logistik
dengan laju pertumbuhan prey sebesar dan daya dukung lingkungan sebesar . Populasi ini akan
berkurang karena adanya interaksi yang terjadi antara prey dan predator dengan laju interaksi
pemangsaan prey sebesar
serta karena adanya pengaruh alelopati yang telah diberikan predator
sebesar
. Produksi alelokimia terjadi saat predator akan memangsa prey.
Populasi predator dinyatakan dengan
, jumlah populasi predator berkurang akibat kematian
alami dengan laju sebesar
dan interaksi antar predator dengan laju sebesar
. Populasi ini akan
bertambah hanya karena terjadi interaksi antara predator dan prey dengan laju sebesar . Karena
terdapat pengaruh alelopati, maka interaksi predator prey dipengaruhi oleh waktu tunda. Waktu tunda
merupakan waktu bagi predator untuk menghasilkan alelokimia. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut
model predator prey dengan pengaruh alelopati adalah
[
]
(1)
[
dengan
]
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Titik Kesetimbangan Sistem
Titik kesetimbangan sistem (1) diperoleh jika
kesetimbangan, yaitu
,
,
dengan
(
) √
(
) √
dan
bernilai nol. Terdapat tiga titik
.
dengan syarat
3.2 Analisa Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan lokal titik kesetimbangan ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan linearisasi
sistem (1) di sekitar titik kesetimbangan. Matriks Jacobi pada titik kesetimbangan tersebut adalah
[
]
3.2.1 Titik Kesetimbangan
Jika titik kesetimbangan
persamaan karakteristik
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi di atas dihasilkan
Akar persamaan karakteristik di atas adalah
kesetimbangan
bersifat tidak stabil pelana.
3.3.2 Titik Kesetimbangan
(
Jika titik kesetimbangan
karakteristik
disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi dihasilkan persamaan
Akar persamaan karakteristik tersebut adalah
(
sehingga titik
)
(
kesetimbangan
atau
) bersifat stabil jika
)
atau
sehingga titik
.
3.3.3 Titik Kesetimbangan
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan
dilakukan linearisasi sistem (1) dengan
transformasi
dan
Setelah dilakukan linearisasi diperoleh
(2)
dengan
,
Persamaan karakteristik dari sistem (2) adalah
(3)
dengan
(
Untuk
)
persamaan karakteristik di atas menjadi
.
Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, ditunjukkan bahwa akar-akar persamaan dari
persamaan karakteristik tersebut bernilai riil negatif, sehingga titik kesetimbangan
bersifat stabil
asimtotik.
Untuk
, perilaku kestabilan titik kesetimbangan
ditentukan oleh bagian real solusi
persamaan karakteristik (3). Misalkan
adalah akar persamaan karakteristik (3), titik
93
kesetimbangan
akan stabil jika
. Jika terdapat suatu nilai tundaa kritis
yang dapat
menyebabkan
sehingga
merupakan akar imajiner murni persamaan (3), maka
titik kesetimbangan
mengalami perubahan sifat kestabilan. Disubstitusikan
ke
dalam persamaan (3), diperoleh
Persamaan di atas bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama dengan nol, sehingga didapatkan
(4)
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing-masing persamaan pada (4) dan
kemudian menjumlahkan keduanya diperoleh
(
)
√(
)
(
Dari (5) akan terdapat bilangan positif
yang memenuhi jika
persamaan tersebut memiliki akar imajiner murni
Jika disubtitusikan
didapatkan nilai tunda kritis
(
)
(5)
. Dengan demikian
ke dalam persamaan (4)
)
Karena pada nilai tunda kritis memuat akar imajiner, maka dimungkinkan terjadi bifurkasi pada
titik tersebut. Bifurkasi terjadi jika persamaan (3) memenuhi kondisi transversal, yaitu
|
Bukti: Jika merupakan fungsi dalam ,
,
dapat dicari dengan menggunakan turunan
implisit dari persamaan karakteristik (3) sebagai berikut.
(
Untuk
nilai
)
sehingga diperoleh
|
Persamaan karakteristik (3) memenuhi kondisi transversal, sehingga nilai bagian real dari akar
karakteristik akan berubah tanda. Karena titik kesetimbangan
memiliki nilai tunda kritis dan
memenuhi kondisi transversal, maka terjadi bifurkasi Hopf di sekitar titik kesetimbangan . Saat
nilai tunda kritis
, titik kesetimbangan
bersifat stabil asimtotik. Saat nilai tunda kritis
, titik kesetimbangan
memiliki sepasang akar imajiner murni yang menyebabkan terjadinya
orbit periodik di sekitar titik kesetimbangan. Saat nilai tunda kritis
, terbentuklah suatu limit
cycle di sekitar titik kesetimbangan.
3.3 Simulasi Numerik dan Kajian Perilaku Solusi
Pada sub bab ini diberikan simulasi numerik untuk membuktikan hasil analisis. Nilai parameter
yang digunakan adalah
,
,
,
,
,
, dan
.
3.3.1 Simulasi Model Tanpa Waktu Tunda
karena
Dengan nilai parameter-parameter di atas, terlihat bahwa syarat kestabilan
tidak terpenuhi
sehingga jelas titik kesetimbangan
bersifat tidak stabil.
94
Gambar 1. Potret fase model
tanpa waktu tunda
Syarat eksistensi titik kesetimbangan
terpenuhi karena
maka titik kesetimbangan
akan selalu
bersifat stabil untuk nilai parameter yang diberikan pada simulasi
ini seperti ditunjukkan Gambar 1. Dari Gambar 1 terlihat bahwa
tiga titik kesetimbangan eksis. Titik kesetimbangan
bersifat
stabil dari berbagai nilai awal, namun titik
dan
tidak stabil.
Dapat dilihat dari nilai awal
, titik
dan
awalnya
didekati tetapi kemudian dijauhi dan potret fase solusi mendekati
titik kesetimbangan
yang stabil. Hal ini berarti bahwa, jika
parameter pada simulasi ini terjadi di alam maka dalam jangka
panjang populasi prey dan populasi predator akan terus hidup
berdampingan dalam suatu habitat.
3.3.2 Simulasi Model Dengan Waktu Tunda
Dari nilai-nilai parameter di atas, syarat kestabilan
Dari perhitungan didapatkan nilai
Gambar 2. Potret fase model untuk
terpenuhi, yaitu
Gambar 3. Potret fase model untuk
Dari Gambar 2 dan Gambar 3 tampak terjadi perubahan kestabilan dari
akibat nilai yang
meningkat dan melebihi nilai tunda kritis atau . Pada saat
titik
bersifat stabil asimtotik,
tetapi saat
pada Gambar 3 terlihat bahwa solusi untuk nilai awal
menuju ke
limit cycle, sedangkan solusi untuk nilai awal
bergerak menjauhi titik
dan mendekati
limit cycle. Dari ilustrasi tersebut jelas terjadi bifurkasi dan jenis bifurkasi yang terjadi adalah
bifurkasi Hopf Supercritical.
4. KESIMPULAN
Model predator prey dengan pengaruh alelopati berupa sistem persamaan diferensial nonlinear.
Dari model tersebut didapatkan tiga titik kesetimbangan
, dan
Titik
tidak stabil, titik
bersifat stabil asimtotik saat
tidak eksis. Pada model tanpa waktu tunda titik
stabil tanpa
syarat. Pada model dengan waktu tunda, titik
bersifat stabil asimtotik untuk semua
.
Saat nilai tunda kritis
terjadinya bifurkasi Hopf Supercritical di sekitar titik .
5. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih yang sebanyak-banyaknya kepada Agus Suryanto selaku
pembimbing atas segala motivasi dan bimbingan yang diberikan, M. Muslikh dan Ratno Bagus E.W.
selaku dosen penguji atas segala saran dan kritik yang diberikan untuk perbaikan artikel ini.
6. DAFTAR REFERENSI
Mukhopadhyay, A., Chattopadhyay, J., dan Tapaswi, P. K., (1998), A Delay Differential Equations
Model of Plankton Allelopathy, Mathematical Biosciences, 149, hal.167-189.
Wang, X., dan Liu, H., (2012), Hopf Bifurcation in a Predator-Prey System of Population Allelopathy
with Discrete Delay, Applied Mathematics, 3, hal. 652-661.
95