(038) Komang_Dharmawan

Seminar Nasional Statistika IX
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009
PERBANDINGAN SENSITIVITAS MODEL MARKOWITZ, EWMA,
DAN GARCH TERHADAP PERUBAHAN NILAI VOLATILITAS
DALAM PEMBETUKAN PORTOFOLIO INVESTASI
Komang Dharmawan
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Udayana, Bali
Email: [email protected]
Abstrak
Dalam teori portofolio mean-variance yang dikembangkan oleh Markowitz,
portofolio disusun berdasarkan asumsi bahwa harga saham tidak bergerak secara dinamis
selama investasi, atau pergerakan harga saham memiliki nilai volatilitas yang sama dengan
situasi pasar modal yang terjadi saat ini maupun dimasa yang akan datang. Ini berarti
portofolio yang disusun tidak merefleksikan keadaan pasar yang sesungguhnya. Model lain
yang dianggap lebih dapat menjelaskan keadaan pasar yang bergerak secara dinamis, yaitu
model EWMA (exponentially weighted moving average), model ini memberikan bobot
yang lebih besar pada data paling baru. Jadi kodisi pasar terakhir akan dilibatkan dengan
bobot yang lebih besar dalam memprediksi matriks varians-kovarians. Model lain yang
dapat menangani berfluktuasinya nilai volatilitas suatu harga saham adalah model
GARCH. Kedua model ini dipakai untuk memprediksi matrik varians-kovarians dengan
asumsi bahwa volatilitas yang diwakili oleh varians dari harga saham berubah secara
dinamis.
Makalah ini membahas sensitifitas model Markowitz, EWMA, dan GARCH dalam
pemilihan portofolio terhadap perubahan nilai volatilitas. Portofolio akan dibentuk
menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu Exelcomindo, Aneka Tambang,
Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008. Dari hasil studi empiris ditemukan bahwa metode
EWMA yang paling sensitif terhadap perubahan volatilitas dibandingkan dengan metode
GARCH dan Markowitz
Keywords: Teori Portofolio Markowitz, Pemilihan Portofolio mean-variance,
exponentially weighted moving average (EWMA), generalized autoregressive conditional
heteroscedasticity (GARCH).
1.
Pendahuluan
Setiap investor mengetahui bahwa akan ada suatu ‘risk-return tradeoff’ atau
pertukaran antara resiko dan imbal hasil (return), yaitu apabila investor bersedia
menanggung resiko, maka akan mendapatkan imbalan berupa imbal hasil yang lebih
tinggi. Jadi jika seorang inverstor ingin mendapatkan imbal hasil yang lebih besar maka
investor harus bersedia menanggung resiko yang lebih tinggi (high risk high return).
Adanya resiko ini telah membuat manajer investasi lebih bijak dalam mengelola dana
dalam arti, penggunaan teori-teori ekonomi atau matematika akan menjadi landasan utama
dalam pengambilan keputusan investasi.
1
Salah satu teori investasi yang banyak digunakan dalam pengelolaan portfolio
adalah teori Markowitz. Memanfaatkan teori ini dalam praktek memerlukan beberapa
asumsi, salah satunya adalah asumsi data bersifat normal dan stasioner dalam rataan atau
varians. Atau lebih tegasnya teori Markowitz mengasumsikan bahwa eror data harus
mengikuti pola homoskedastik (atau varian eror besifat stasioner).
Menurut penelitaian yang dilakukan oleh Mandeibrot (1963), data finansial seperti
harga saham memiliki ekor yang lebih gemuk dari distribusi normal dan perubahan harga
cendrung bersifat ‘cluster’ artinya perubahan harga saham yang besar cendrung diikuti
oleh perubahan yang besar juga. Sebaliknya perubahan yang kecil pada harga saham akan
diikuti oleh perubahan yang kecil pula. Dengan demikian penggunaan teori Markowitz
untuk data finasial mengakibatkan terjadinya pelanggaran asumsi-asumsi tersebut di atas.
Horasanh
dan Fidan (2006)
dalam papernya
mengusulkan penggunaan
Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) dan Generelised Autoregressive
Conditional Heteroscedasticity (GARCH) untuk mengekspresikan dinamika harga saham
dan dapat mengurangi estimation errors. Penggunaan EWMA lebih merefleksikan kondisi
riil dinamika harga saham karena memberikan bobot yang lebih besar pada data harga
saham yang terbaru sedangkan metode GARCH dapat mengatasi dinamika volatilitas harga
saham yang nonstasioner.
Dalam makalah ini model Markowitz, model EWMA, dan model GARCH dibahas,
kurva efficient frontier untuk ketiga metode juga disajikan, kemudian sensitifitas ketiga
model tersebut terhadap perubahan volalititasnya juga diamati.
Portofolio akan dibentuk
menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu Exelcomindo, Aneka Tambang,
Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008.
2.
Model Portofolio Mean-Variance (M-V)
Portofolio mean-variance yang efisien bisa dicapai dengan dua cara yaitu;
meminimumkan risiko (variance) untuk keuntungan (mean return) tertentu atau
memaksimalkan rata-rata keuntungan (mean return) dengan menanggung risiko (variance)
tertentu. Menurut teori portofolio M-V, distribusi peluang dari harga saham diasumsikan
diketahui, dan nilai imbal hasil dari setiap portofolio dihitung menggunakan nilai
ekspektasi dari portofolio tersebut dan resiko dihitung menggunakan varians dari
portofolionya. Menurut Markowitz, teori M-V dapat dijabarkan sebagai berikut. Misalkan
seseorang ingin menginvestsikan modalnya pada sejumlah n saham yang berbeda,
misalkan juga nilai ekspektasi keuntungan masing-masing saham adalah
2
maka
dimana,
adalah proporsi modal yang diinvestasikan pada saham ke-i, dan
adalah nilai ekspektasi keuntungan portofolio.
Misalkan varians dari masing-masing kuntungan dari masing saham adalah
varians dari portofolio adalah
dan
, dan misalkan covariansi dari saham i dan saham j adalah
, maka
dengan
portofolio,
saham
dan
,
saham i dan j (dalam hal ini
Menggunakan cara penulisan yang standar, masalah optimasi dapat dituliskan
dalam bentuk
Masalah optimasi di atas adalah masalah
optimasi quadratic programming yang
diselesaikan dengan menggunakan fungsi QUADPROG pada MATLAB.
3.
Exponentially Weighted Moving Average
Metode ini memberikan bobot yang lebih besar untuk data yang terbaru dalam
menaksir matrik varians-covarians. Penggunaan model ini untuk peramalan beberapa tipe
data ekonomi yang bersifat tak stasioner akan memberikan hasil yang lebih tepat,
walaupun metoda tersebut tidak mampu untuk memberikan hasil yang efisien untuk semua
deret waktu. Proses EWMA didefinisikan
dengan parameter peluruhan
dan nilai
adalah data return
saham. Model EWMA mengasumsikan bahwa volatilitas tidak konstan selama investasi
berlangsung. Oleh karena itu teknik EWMA menyediakan model volatilitas yang lebih
akurat untuk hubungan antara keuntungan harga saham. Observasi data yang baru didapat
3
denga memberikan bobot data sebelumnya dan mengalikan masing-masing suku dengan
kemudian hasil kalinya dibagi dengan suku berikut
Misalkan
adalah standar deviasi dari data runtun waktu pada waktu t+1 dan
adalah return pada waktu t maka:
Persamaan (7) menekankan bahwa pada setiap observasi data yang baru volatilitas
dari saham berubah. Oleh karena itu menurut Engle’s (1982), data terbaru akan
memberikan informasi tentang peramalan varians satu periode. Model EWMA adalah
bentuk khusus dari tipe GARCH (1,1) yang dimodelkan oleh Bollerslev (1986). EWMA
didapat dengan mengasumsikan bahwa salah satu dari parameter model GARCH sama
dengan nol. Oleh karena itu EWMA dapat dikatakan sebagai model GARCH yang lebih
sederhana karena hanya satu parameter
yang digunakan sebagai input. Taksiran
kovarian dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Model di atas mengasumsikan suatu hubungan linear antara dua saham. RiskMetrics
menggunakan model di atas untuk menghitung volatilitas. Model ini bergantung pada
parameter
yang dikenal dengan nama factor peluruhan. Faktor ini secara
langsung mempengaruhi hasil perhitungan volatilitas. Dengan memilih nilai factor ini
mendekati 1, biasanya dipilih 0,94 atau 0,095, maka pengaruh data terbaru akan lebih kuat
dibandingkan data yang lebih lama.
4.
Generalised Autoregresif Conditional Heterokedastik (GARCH)
GARCH merupakan bentuk yang lebih umum dari ARCH. Model ARCH pertama
kali diperkenalkan oleh Nobelis Ekonomi 2003, F. Engle pada tahun 1982 dengan
mengenalkan konsep Conditional Heterokedastik, sebuah konsep tentang ketidakkonstanan
varians dari data acak, dan perubahan varians ini dipengaruhi oleh data acak sebelumnya
yang tersusun dalam urutan waktu.
4
Model ARCH derajad q dari data acak
dengan data historis
didefinisikan ARCH(q)
dengan K > 0,
Terlihat bahwa dalam model ARCH(q) perubahan varians
dipengaruhi oleh sejumlah q data acak sebelumnya. Hal ini yang akan menjadi dasar dari
pengembangan model GARCH. Dalam model GARCH perubahan varians selain
dipengaruhi oleh beberapa data acak sebelumnya, juga dipengaruhi oleh sejumlah varians
dari data acak sebelumnya.
Model umum GARCH(p,q) didefinisikan sebagai:
dengan K > 0,
,
Masalah yang dihadapi dalam memodelkan data acak melalui model GARCH
adalah menentukan koefisien
,
koefisien ini telah diperoleh maka nilai
berdasarkan data acak yang sudah ada. Jika
bisa diramalkan dengan tingkat kesalahan
tertentu. GARCH cukup baik digunakan untuk memodelkan data yang berubah standar
deviasinya, namun tidak untuk data yang benar-benar acak, sehingga perlu dilakukan uji
terhadap korelasi data.
5.
Studi empiris
Portofolio yang akan dibentuk menggunakan empat harga saham penutupan, yaitu
Exelcomindo, Aneka Tambang, Gudang Garam, dan Indosat tahun 2008. Setelah tingkat
keuntungan R, dihitung kemudian dilakukan uji autokorelasi, yaitu dengan memplot fungsi
autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Tujuan dari langkah ini adalah
untuk melihat pola alternating (tanda dan nilai autokorelasi berubah secara acak sesuai
dengan berjalannya nilai lag). Dari keempat data return yang diuji, keempatnya data
menunjukan sifat tidak stasioner dalam varians, dan stasioner lemah dalam rata-rata hitung.
Selanjutnya, Uji Ljung-Box digunakan, untuk mengetahui apakah data sudah
bersifat acak. Berdasarkan uji Ljung Box terhadap nilai dugaan residual kuadrat dari
5
keempat data return menunjukkan bahwa nilai Q lebih besar dari CV (Critical Value) atau
nilai P lebih kecil dari
= 0.05. Ini berarti bahwa nilai dugaan residual kuadrat dari
keempat saham berkorelasi yang juga berarti varians keempat saham tidak stasioner (Tabel
1). Berdasarkan uji ARCH LM terhadap nilai dugaan residual juga diperoleh nilai Q lebih
besar dari CV (Critical Value) atau nilai P lebih kecil dari
= 0.05 yang artinya nilai
dugaan residual dari keempat saham menunjukkan adanya efek ARCH-GARCH pada data
return sehingga memungkinkan peramalan menggunakan metode GARCH.
Tabel 1 Uji Efek ARCH-GARCH Keempat Saham
Saham Excelcomindo
P
0
0
0
0
0
0
0
Uji Ljung Box
Q Stat
CV
48.5786 7.8147
100.2971 12.5916
139.5197 16.9190
157.8284 21.0261
169.7181 24.9958
176.6085 28.8693
180.5722 32.6706
Uji Ljung Box
Uji ARCH LM
P
Q Stat
CV
P
Q Stat
CV
0.00 77.2401 7.8147
0 77.2401 7.8147
0.00 81.7634 12.5916 0.00 81.7634 12.5916
0.00 94.8563 16.9190 0.00 94.8563 16.9190
0.00 99.0328 21.0261 0.00 99.0328 21.0261
0.00 101.1070 24.9958 0.00 101.1070 24.9958
0.00 102.5395 28.8693 0.00 102.5395 28.8693
0.00 103.5900 32.6706 0.00 103.5900 32.6706
Saham Indosat
Uji ARCH LM
P
Q Stat
CV
0.0 48.5786 7.8147
0.0 100.2971 12.5916
0.0 139.5197 16.9190
0.0 157.8284 21.0261
0.0 169.7181 24.9958
0.0 176.6085 28.8693
0.0 180.5722 32.6706
Saham Aneka Tambang
Uji Ljung Box
P
Q Stat
CV
0.0001 20.6114 7.8147
0.0020 20.7651 12.5916
0.0001 35.2226 16.9190
0.0000 51.7220 21.0261
0.0000 58.2855 24.9958
0.0000 61.1139 28.8693
0.0000 62.5245 32.6706
Saham Gudang Garam
Uji ARCH LM
P
Q Stat
CV
0.0004 20.6114 7.8147
0.0049 20.7651 12.5916
0.0002 35.2226 16.9190
0.0004 51.7220 21.0261
0.0005 58.2855 24.9958
0.0009 61.1139 28.8693
0.0010 62.5245 32.6706
Uji Ljung Box
P
Q Stat
CV
0.0000 41.1626
0.0000 41.3239
0.0000 42.7104
0.0000 43.1657
0.0001 44.0286
0.0004 44.8946
0.0012 46.2549
7.8147
12.5916
16.9190
21.0261
24.9958
28.8693
32.6706
Uji ARCH LM
P
Q Stat
C
0.0000
0.0000
0.0002
0.0008
0.0068
0.0234
0.0344
41.1626
41.3239
42.7104
43.1657
44.0286
44.8946
46.2549
7.8147
12.5916
16.9190
21.0261
24.9958
28.8693
32.6706
Penentuan orde GARCH dapat dilihat dari plot ACF dan PACF residual kuadrat
(plot ACF dan PACF). Beberapa model GARCH yang bisa dibentuk berdasarkan plot ACF
dan PACF residual kuadrat keempat saham dapat dilihat pada Tabel 2 - Tabel 5
Tabel 2 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Excelcomindo
Model
K
G1
G2
A1
A2
AIC
BIC
GARCH(1,1)
6.6064
[2.2213]*
0.78858 [14.9598]*
GARCH(1,2)
6.6028
[1.8588]
0.7886 [11.0386]*
0.14966 [3.1114]*
0.14967 [2.0891]*
0 [0.0000]
-964.63
-947.33
-966.63
-952.79
GARCH(2,1)
9.111
[2.2107]*
0.22018
0.4814
0.21195
[0.8653]
[2.1404]*
[3.1073]*
-966.5
-949.2
Keterangan: tanda […]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada
6
GARCH(2,2)
9.1119
[1.2860]
0.22016
[0.3417]
0.48141 [0.9992]
0.21195 [2.4039]*
0 [0.0000]
-964.5
-943.74
.
Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham excelcomindo yang terlihat pada tabel
2 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat
dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk
= 0.05.
Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada
peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham excelcomindo:
Tabel 3 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Aneka Tambang
Model
K
G1
G2
A1
A2
AIC
BIC
GARCH(1,1)
7.497
[2.7717]*
0.84346 [28.4643]*
0.1452
[3.7152]*
-741.16
-727.33
GARCH(1,2)
7.4964
[1.8382]
0.84347 [20.0623]*
0.1452 [1.7091]
0 [0.0000]
-739.16
-721.87
GARCH(2,1)
9.6971
[2.1713]*
0.20425
[1.4545]
0.5421
[4.4150]*
0.25312
[4.0187]*
-741.41
-724.11
Keterangan: tanda […]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada
GARCH(2,2)
0.00011175 [1.9481]
0 [0.0000]
0.71725
7.9423]*
0.21978
[3.3703]*
0.057126
[1.1634]
-739.78
-719.02
.
Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Aneka Tambang yang terlihat pada
tabel 3 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan
dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk
=
0.05. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada
peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Aneka Tambang:
Tabel 4 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Gudang Garam
Model
K
G1
G2
A1
A2
AIC
BIC
GARCH(1,1)
0.00019098 [6.5614]*
0.50959
[9.7322]*
GARCH(1,2)
0.00019087 [3.0020]*
0.50985
[3.6750]*
0.45197
0.45172
0
-911.02
-893.72
-913.02
-899.18
[4.4399]*
[3.7888]*
[0.0000]
GARCH(2,1)
0.0001762 [6.3293]*
0.27335 [1.0661]
0.23037 [0.9985]
0.44604 [4.3211]*
-913.18
-895.88
Keterangan: tanda […]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada
GARCH(2,2)
0.0003549 [1.6961]
0
[0.0000]
0.13688 [0.4322]
0.50769 [3.6393]*
0.31884 [0.7615]
-909.11
-888.36
.
Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Gudang Garam yang terlihat
pada tabel 4 maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan
dilihat dari nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk
. Ini juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum
pada peramalan GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Gudang Garam:
7
Tabel 5 Estimasi Parameter Model GARCH Saham Indosat
Model
K
G1
G2
A1
A2
AIC
BIC
GARCH(1,1)
0.00052044 [4.8274]*
0.31507
[2.7753]*
GARCH(1,2)
0.00077298 [5.0747]*
0 [0.0000]
0.43836
0.26522 [2.7339]*
0.31545
[4.0042]*
-892.4988
-871.2009
[4.2876]*
-887.5675
-873.7292
GARCH(2,1)
0.0005204 [4.2119]*
0.31511
[2.4157]*
0 [0.0000]
0.43833 [4.1180]*
-885.5675
-868.2696
GARCH(2,2)
0.00077299 [5.0545]*
0 [0.0000]
0 [0.0000]
0.26534
0.31545
-890.4988
-869.7413
[2.5280]*
[3.5074]*
Keterangan: tanda […]* menunjukkan T-Stat > T-tab pada.
Berdasarkan hasil estimasi koefisien GARCH saham Indosat yang terlihat pada tabel 4.9
maka diperoleh peramalan menggunakan GARCH(1,1) yang paling signifikan dilihat dari
nilai T-Statistik koefisien GARCH yang lebih besar dari nilai T tabel untuk
= 0.05. Ini
juga didukung dengan uji AIC dan BIC yang memberikan nilai minimum pada peramalan
GARCH(1,1). Sehingga model GARCH(1,1) saham Indosat:
Tahap selanjutnya adalah perhitunga matrik varians-kovarian yang hasilnya dapat
dilihat pada tabel berikut:
Tabel 6 Varians - Kovarians Metode Markowitz:
Saham
Excelcomindo
Aneka Tambang
Gudang Garam
Indosat
Excelcomindo
0.0011
0.0002
0.0004
0.0007
Aneka Tambang
0.0002
0.0031
0.0006
0.0018
Gudang Garam
0.0004
0.0006
0.0020
0.0012
Indosat
0.0007
0.0018
0.0012
0.0017
Gudang Garam
0.0006
0.0009
0.0040
0.0017
Indosat
0.0008
0.0019
0.0017
0.0018
Gudang Garam
0.0005
0.0012
0.0049
0.0021
Indosat
0.0007
0.0025
0.0021
0.0021
Tabel 7 Varians - Kovarians Metode EWMA:
Saham
Excelcomindo
Aneka Tambang
Gudang Garam
Indosat
Excelcomindo
0.0015
0.0003
0.0006
0.0008
Aneka Tambang
0.0003
0.0034
0.0009
0.0019
Tabel 8 Varians - Kovarians Metode GARCH
Saham
Excelcomindo
Aneka Tambang
Gudang Garam
Indosat
Excelcomindo
0.0011
0.0003
0.0005
0.0007
Aneka Tambang
0.0003
0.0051
0.0012
0.0025
Matrik varians-kovarian (Tabel 6- Tabel 8) dipakai sebagai masukan untuk fungsi
QUADPROG pada MATLAB, yang hasilnya dapat disajikan dalam bentuk grafik efficient
frontier seperti Gambar 1
8
Gambar 1. Efficient frontier
Gambar 1 menggambarkan pada risiko 0.038 tingkat kerugian yang diperoleh
menggunakan metode Markowitz memberikan nilai terkecil dibandingkan dengan
menggunakan metode EWMA dan GARCH. Jika dilihat dari nilai tingkat kerugian pada
2.5
10-3 risiko terkecil diperoleh dengan menggunakan metode Markowitz dibandingkan
metode EWMA dan GARCH. Jadi dapat disimpulkan bahwa jika dilihat dari level tingkat
kerugian dan risiko portofolio, metode Markowitz memberikan risiko yang lebih kecil
dibandingkan dengan metode EWMA dan GARCH ini terlihat dari garis efficient frontier
metode Markowitz terletak di sebelah kiri garis efficient frontier metode GARCH dan
EWMA.
Sedangkan jika dilihat dari level sensitivitas metode EWMA dan GARCH terihat
lebih curam dibandingkan dengan metode Markowitz yang mengindikasikan bahwa
adanya sedikit perubahan pada risiko portofolio akan memberikan perubahan yang cukup
besar pada return portofolio. Slope masing-masing grafik efficient frontier, pada selang
tingkat kerugian 3,5
10-3 sampai 3 10-3 untuk metode Markowitz, GARCH dan EWMA
berturut-turut adalah 0,3; 0,5; 0,7. Ini berarti metode EWMA yang paling sensitif terhadap
perubahan volatilitas dibandingkan dengan metode GARCH dan Markowitz. Hasil yang
berbeda diperoleh oleh Horasanli dan Fidan (2006) yang menyatakan metode EWMA pada
pembentukan portofolio memberikan risiko yang paling kecil dan paling sensitif.
Perbedaan ini disebabkan karena perbedaan banyaknya jenis saham yang digunakan dalam
pembentukan portofolio serta perbedaan banyaknya data yang digunakan, dimana pada
penelitian ini menggunakan empat jenis saham berbeda dan sebanyak 235 data untuk
masing-masing saham sedangkan pada penelitian yang dilakukan oleh Horasanli dan Fidan
9
(2006) menggunakan lima belas jenis saham berbeda dengan 100 data untuk masingmasing saham. Selain itu pada penelitian ini pergerakan harga saham sedang kacau karena
adanya krisis global.
DAFTAR PUSTAKA
Bollerslev,T. Generalised Autoregresif Conditional Heteroskedasticity, Journal of
Econometrics. 1986.
Box, G.E.P., G.M. Jenkins, and G.C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and
Control, Third edition, Prentice Hall, 1994.
Capiński, Marek and Tomasz Zastawniak, Mathematics for Finance An Introduction to
Financial Engineering, Springer, United States of Amerika, 2004.
Engle F.R. Autoregresif Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of
United Kingdom Inflation,1982.
Hillier, Frederick S. and Gerald J.Lieberman, Introduction to Operation Research, Fifth
Edition, McGraw – Hill International Edition, Singapura, 1990.
Horasanli,M and Neslihan F. Portofolio Selection by Using Time Varying Covariance
Matrices. Faculty of business Administration. 1998.
Luenberger, David G., Investment Science, Stanford University, New York, 1998.
Scherer, Bernd and Martin. Introduction to Modern Portfolio Optimization With NUOPT
and S-PLUS, Springer, United State of Amerika, 2005.
Surya,Y dan Yun H. Garch (2,1) pada LQ45. Bandung Fe Institute. 2004.
Tsay, R.S. (2002). Analysis of Financial Time Series: Financial Econometrics. John Wiley
& Sons, Inc. New York.
Wei, W.W.S. (1990). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.
Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Canada.
Winston, Wayne L. Operation Research Application and Algorithms, Third Edition,
International Thomson Publishing, Belmont: California, 1994.
10