Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp

Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
June 16, 2014
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
1/9
Outline
Outline
1
Ring dan Lapangan
2
Lapangan Galois GFp
3
Soal Latihan
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
2/9
Ring dan Lapangan
RING DAN LAPANGAN
Definisi
Himpunan F dilengkapi dua operasi biner penjumlahan + dan operasi
perkalian ·, dinotasikan dengan (F ; +, ·) disebut ring jika memenuhi
1. x + y = y + x untuk setiap x, y ∈ F
2. (x + y ) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y , z ∈ F
3. terdapat elemen 0 ∈ F sehingga x + 0 = 0 + x = x untuk setiap x ∈ F
4. untuk setiap x ∈ F terdapat y ∈ F sehingga x + y = y + x = 0
5. (x · y ) · z = x · (y · z) untuk setiap x, y , z ∈ F
6. x · (y + z) = (x · y ) + (x · z) dan (x + y ) · z = (x · z) + (y · z) untuk
setiap x, y , z ∈ F
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
3/9
Ring dan Lapangan
RING DAN LAPANGAN
Definisi
Suatu ring (F ; +, ·) dikatakan komutatif jika memenuhi sifat
7. x · y = y · x untuk setiap x, y ∈ F .
Definisi
Jika ring komutatif (F ; +, ·) juga memenuhi sifat-sifat
8. terdapat elemen 1 ∈ F sehingga x · 1 = 1 · x = x untuk setiap x ∈ F
9. untuk setiap 0 6= x ∈ F terdapat y ∈ F sehingga x · y = y · x = 1
maka (F ; +, ·) disebut lapangan.
Definisi
Suatu ring/lapangan F dikatakan berhingga jika banyaknya elemen F
berhingga.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
4/9
Ring dan Lapangan
Contoh
1. Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan
bilangan + dan operasi perkalian bilangan · membentuk ring
komutatif.
2. Himpunan semua bilangan real < terhadap operasi penjumlahan
bilangan + dan operasi perkalian bilangan · membentuk lapangan.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
5/9
Lapangan Galois GFp
Dari Ring Komutatif Z ke Lapangan GFp
Misalkan pada himpunan semua bilangan bulat Z didefinisikan relasi biner
mod n (n ∈ Z+ ) dengan definisi
x ≡ y (mod n) :⇔ x − y = kn
untuk suatu k ∈ Z. Karena mod n merupakan relasi ekuivalensi pada Z
maka terbentuk kelas-kelas ekuivalensi pada Z. Misalkan himpunan
kelas-kelas ekuivalensi dinotasikan dengan Zn dan kelas ekuivalensi yang
memuat x dinotasikan dengan x̄. Maka
Zn = {x̄|x ∈ Z}.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
6/9
Lapangan Galois GFp
Operasi + dan · yang didefinisikan pada Zn dengan
x̄ + ȳ := x + y
dan
x̄ · ȳ := x · y
untuk setiap x̄, ȳ ∈ Zn merupakan operasi-operasi yang well-defined.
Lebih lanjut, mudah ditunjukkan bahwa terhadap dua operasi tersebut, Zn
membentuk ring komutatif.
Ring komutatif Zn merupakan lapangan jika dan hanya jika n adalah
bilangan prima.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
7/9
Lapangan Galois GFp
Teorema
Ring komutatif Zn merupakan lapangan jika dan hanya jika n bilangan
prima.
Bukti: Diketahui Zn lapangan. Andaikan n bukan bilangan prima. Maka
terdapat a, b ∈ Z+ dengan 1 < a, b < n yang memenuhi ab = n, sehingga
ā · b̄ = 0̄ ∈ Zn . Karena Zn lapangan maka haruslah ā = 0̄ atau b̄ = 0̄.
Tetapi dari 1 < a, b < n, haruslah ā 6= 0 dan b̄ 6= 0̄. Kontradiksi. Jadi
pengandaian salah, yang benar, n adalah bilangan prima. Sebaliknya,
diketahui n bilangan prima. Ambil sebarang 0̄ 6= x̄ ∈ Zn . Maka
gcd{x, n} = 1. Lebih lanjut, terdapat u, v ∈ Z dengan
1 = gcd{x, n} = ux + vn. Oleh karena itu,
1̄ = ux + vn = ux + vn = ux = ūx̄. Jadi, terdapat ū sehingga ūx̄ = 1̄.
Dengan demikian terbukti bahwa Zn merupakan lapangan.
Untuk selanjutnya, untuk sebarang bilangan prima p, lapangan Zp disebut
sebagai lapangan Galois GFp . Untuk memudahkan penulisan, sebarang
elemen x ∈ GFp cukup ditulis dengan x.
Budi Surodjo dan Yeni Susanti
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
8/9
Soal Latihan
Soal Latihan
1. Tunjukkan bahwa relasi mod n merupakan relasi ekuivalensi!
2. Buktikan bahwa operasi + dan · yang didefinisikan pada Zn
well-defined!
3. Buktikan bahwa (Zn ; +·) merupakan ring komutatif!
4. Buatlah tabel penjumlahan dan tabel perkalian pada GF5 !
5. Hitunglah aljabar berikut di GF7 :
a. −7
b. 4 · 6
c. 52
3
−4·2
d. 25·3−6
2

2
e. Det  4
−6
Budi Surodjo dan Yeni Susanti

4 −3
1 2 
1 5
Minggu IV LAPANGAN GALOIS GFp
June 16, 2014
9/9