bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Masalah
Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat derivatif dari
satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan
diferensial merupakan salah satu bagian dari matematika yang dapat diaplikasikan
dalam berbagai bidang atau dalam suatu fenomena alam. Terdapat dua macam PD,
yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Pembahasan tentang PD khususnya PDP terus berkembang secara teori maupun
aplikasi. PDP banyak digunakan dalam pemodelan matematika dari suatu fenomena
alam. Fenomena-fenomena alam, khususnya yang dipelajari dalam bidang fisika
dan teknik memerlukan pemodelan matematika untuk mempermudah perhitungan
dan analisis. Salah satu fenomena alam yang dapat dibuat pemodelan matematika
adalah peristiwa pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas.
Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan diferensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial non linear orde dua yang dapat diselesaikan secara analisis. Namun pada kenyataannya, dalam beberapa kasus untuk mencari penyelesaian persamaan ini secara
analitis merupakan hal yang cukup rumit. Oleh karena itu digunakan metode numerik untuk membantu penyelesaiannya. Pada penyelesaian secara numerik, operator
dari persamaan diferensial didekati dengan operator dari metode diskritisasi. Salah
satu dari metode diskritisasi yang populer digunakan adalah Metode Beda Hingga.
Metode beda hingga dapat diterapkan pada domain yang beraturan seperti domain
persegi.
Penyelesaian PDP dengan metode beda hingga menghasilkan suatu sistem
persamaan linear (SPL). Pada sistem yang relatif kecil penggunaan teknik penyelesaian langsung (direct methods) seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan,
1
2
dan dekomposisi LU masih dapat dilakukan. Namun untuk sistem yang relatif besar, penyelesaian dengan metode langsung ini menjadi kurang efisien karena memerlukan operasi aritmetik yang besar. Metode iterasi seperti metode iterasi Jacobi,
Gauss-Seidel, dan Successive Over Relaxation (SOR) dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang relatif besar.
1.2.
Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Mempelajari konstruksi dari persamaan dasar dalam fluida yang dikenal dengan persamaan Navier-Stokes.
2. Mempelajari dan menganalisa aliran yang berada di dalam kotak tertutup.
3. Mencari solusi secara numerik dari persamaan Navier-Stokes untuk aliran tak
mampu mampat dan bersifat tak tunak dalam bentuk fungsi arus dan vortisitas.
1.3.
Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada fluida dengan
aliran tak mampat (incompressible flow) dan bersifat tak tunak (unsteady) dengan
mengabaikan gaya eksternal berupa gaya gravitasi pada sistem serta tidak terdapat perubahan tekanan sepanjang aliran. Persamaan ini akan diselesaikan dengan
menggantikan kecepatan dan tekanan menjadi fungsi arus (stream function) dan
vortisitas, sehingga persamaannya menjadi persamaan Navier-Stokes dalam bentuk
fungsi arus dan vortisitas. Aliran fluida dimodelkan berada di dalam sebuah kotak tertutup dua dimensi (lid-driven cavity) dengan sisi atas kotak dapat bergerak
dengan kecepatan konstan searah sumbu x dan ketiga sisi yang lain tidak bergerak.
1.4.
Maksud dan Tujuan
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program
Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan un-
3
tuk memperoleh konstruksi dan penyelesaian dari persamaan Navier-Stokes untuk
aliran tak mampat dan bersifat tak tunak pada aliran dalam kotak tertutup. Penyusunan program akan menghasilkan konfigurasi fungsi arus dan vortisitas dari aliran
fluida tak mampat yang berada dalam aliran dalam kotak tertutup.
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan referensi untuk pengembangan ilmu matematika, khususnya metode numerik untuk menyelesaian persamaan
Navier-Stokes.
1.5.
Tinjauan Pustaka
Dalam penyusunan tugas akhir diperlukan adanya panduan dari beberapa
jurnal dan buku literatur. Maciej Matyka (2004) dalam jurnalnya membahas tentang solusi dari persamaan Navier-Stokes dua dimensi pada aliran tak mampat yang
diselesaikan dengan metode Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations
(SIMPLE) dan melalui pendekatan fungsi arus dan vortisitas. Dalam jurnal Erturk,
dkk (2005) juga dibahas mengenai solusi numerik persamaan Navier-Stokes dua
dimensi untuk aliran tak mampat dan dimodelkan pada aliran dalam kotak tertutup
untuk bilangan Reynolds besar.
Sedangkan untuk dasar teori mengenai persamaan diferensial, beserta sifatsifat yang terkait digunakan buku Mayer Humi (2006). Kemudian untuk diferensiasi
numerik dan metode iterasi digunakan buku Chung Yau Lam (1994) yang nantinya
akan digunakan untuk mencari penyelesaian dari persamaan Navier-Stokes. Buku
Smith, G.D. (1969) dan Brian, B. (2006) juga digunakan sebagai dasar dari metode iterasi. Selanjutnya dalam pembahasan mengenai dasar-dasar mekanika fluida
diperoleh dari White (1988) dan Pozrikidiz (2001).
1.6.
Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih
dahulu melakukan studi literatur mengenai analisis numerik terhadap persamaan
Navier-Stokes untuk aliran tak mampat dan bersifat tak tunak yang direpresentasikan pada aliran dalam kotak tertutup. Analisis numerik dilakukan dengan pendekatan
4
beda hingga dan metode iterasi.
1.7.
Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai beri-
kut.
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai hal-hal yang melatarbelakangi penulisan, perumusan
masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir.
BAB II
DASAR TEORI
Bab ini menjelaskan mengenai landasan teori yang digunakan dalam penulisan, yaitu persamaan diferensial, masalah syarat awal dan syarat batas, diferensiasi numerik, vektor dan matriks.
BAB III KONSTRUKSI PERSAMAAN NAVIER-STOKES
Pada bab ini akan dibahas mengenai persamaan dasar untuk aliran fluida tidak mampat yang dikenal dengan persamaan Navier-Stokes dan persamaan Kontinuitas.
BAB IV PENYELESAIAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA ALIRAN LID-DRIVEN CAVITY
Bab ini membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode
iterasi serta solusi persamaan Navier-Stokes dua dimensi dalam bentuk fungsi arus
dan vortisitas pada aliran tidak mampat yang bersifat tak tunak pada aliran dalam
kotak tertutup (lid-driven cavity).
BAB VI PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran yang diperoleh dari materi-materi yang
dibahas pada bab-bab sebelumnya.