tugas kelompok “turunan dan integral”

Matematika
TUGAS KELOMPOK
“TURUNAN DAN INTEGRAL”
DISUSUN OLEH
NAMA
1. LUKMANUDIN
D07090135
2. YUYU YUMIARSIH
D07090191
3. SERLI WIJAYA
D07090138
PROGRAM STUDY
: PEND. MATEMATIKA
MATA KULIAH
: ANALISA VEKTOR
DOSEN
: ABDUL KARIM, M.Pd
FALKUTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP)
UNIVERSITAS MATHLA’UL ANWAR BANTEN
2012
1
Turunan dan Integral
Matematika
BAB
TURUNAN
1.1
Definisi Turunan Fungsi.
pada bab limit, kita telah mempelajari limit fungsi yang mengarah pada konsep turunan, yaitu :
lim 
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
Pada bentuk limit diatas merupakan turunan pertama dari y = f(x) dan di tulis sebagai f’(x). berarti
(
)
( )
( )
1.2
Notasi Turunan.
Diberikan y = f(x), maka notasi turunannya adalah:
( )
( )
( )
( )
Semuanya menyatakan notasi turunan dari f terhadap x. Notasi ,
= (dibaca de f(x) de x )
Contoh 1.1
Andaikan f(x) = 14x + 6. Tentukan f ‘(x).
Jawab.
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
Turunan dan Integral
( )
(dibaca “de y de x”), dan
( ( ))
Matematika
1.3
Turunan Fungsi
a. Turunan identitas
Jika f(x) = x, maka turunan f(x) terhadap x adalah :
𝒅
(𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
Contoh : 1.2
Jika f(x) = x maka f ‘(x) = 1
b. Turunan Fungsi Konstan.
Jika c adalah suatu konstan, maka turunan f(x) = c ,
𝒅
(𝒄)
𝒅𝒙
𝟎
Bukti:
(
( )
(
( )
)
( )
)
( )
c. Turunan Fungsi Bentuk Pangkat.
Penentuan turunan fungsi pangkat, f(x) = xn Dapat diuraikan berdasarkan perhitungan limit
berikut ini
( )
(
)
( )
Binomial newton:
x  hn
 C0n X n  C1n X n1h  C2n X n2 h 2  ..... Cnn h n
Turunan fungsi pangkat.
( )
 lim
h0
3
(
)
C0n X n  C1n X n1h  .....  Cnn h n  x n
h
Turunan dan Integral
Matematika
 lim
h0
 lim
h0
x
n

 C1n X n1h  .....  Cnn h n  x n
h

h C1n X n1  C2n x n2 h  .....  Cnn h n1
h
f ' ( x)  C1n x n1

f ' ( x)  nx n1
Turunan fungsi bentuk pangkat
𝑥 𝑛 , dengan n bilangan – bilangan bulat positif dan maka 𝑓′(𝑥)
Jika 𝑓(𝑥)
𝒅𝒇
𝒅𝒙
𝑛𝑥 𝑛−1
𝒏𝒙𝒏−𝟏
Contoh 1.3
Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut
a. F(x) = x3
b. F(x) = x4
Jawab
( )
a.
( )
b.
d. Turunan Perkalian Konstan Dengan Fungsi.
Jika g(x) = kf(x) dengan f(x) suatu fungsi yang dideferensialkn, dan k suatu konstan,
g’ (x) = kf’(x), yaitu :
𝒅
𝒅
𝒌𝒇(𝒙) 𝒌
𝒇(𝒙) 𝒌𝒇′(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅𝒙
Bukti
Andaikan g(x) = kf(x),maka
g’(x) = lim
h0
g x  h   g x 
k . f x  h   k. f x 
 lim
h

0
h
h
lim k
h0
f x  h   f x 
f x  h  f x 
 k lim
h0
h
h
= kf x  terbukti
4
Turunan dan Integral
Matematika
Contoh 1.4
Tentukan turunan g(x) = 3x5
Jawab
g’(x) = 3.5x5-1 = 15x4
e. Turunan Dari Jumlah / Selisih Dua Fungsi.
1. Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x)= f(x) + g(x) maka:
𝒅
𝒉(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅
𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅
𝒈(𝒙)
𝒅𝒙
Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x)= f(x) - g(x) maka:
𝒅
𝒉(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅
𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝒅
𝒈(𝒙)
𝒅𝒙
Contoh 1.5
Jika f (x) = 2x3 + 3 √ , maka tentukan f ‘(x)!
Jawab
( )
( )
= 6x2 + x-2/3
( )=
1
√
f. Turunan Hasil Kali.
Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi yang dapat di diferensialkan dan h(x) = f(x).g(x)
maka :
𝒉 (𝒙)
𝒇(𝒙) 𝒈 (𝒙)
bukti
Contoh 1.6
Carilah turunan dari f(x) = (x3 + 2x) (x2 – 3)!
Jawab
Misalkan g(x) = (x3 + 2x) dan h(x) = (x2 – 3) maka
5
Turunan dan Integral
𝒇 (𝒙) 𝒈(𝒙)
Matematika
f ' ( x )  g ( x ) h' ( x )  h ( x ) g ' ( x )
 ( x 3  2 x)(2 x)  ( x 2  3)(3x 2  2)
 (2 x 4  4 x 2  3x 4  2 x 2  9 x 2  6)
f ' ( x)  5 x 4  3 x 2  6
g. Turunan hasil bagi.
Jika f(x) dan g(x) terdiferensialkan dan 𝒉(𝒙)
𝒉 (𝒙)
𝒇(𝒙)
,g(x)
𝒈(𝒙)
≠ 0 maka :
𝒈(𝒙)𝒇 (𝒙) 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)
(𝒈(𝒙))𝟐
Contoh 1.7
Carilah turunan dari f ( x) 
Jawab
f ' ( x) =
=
f ' ( x) 
x2 1
2x  3
2 x  32 x   x 2  12
2 x  32
4 x
2
 4x  2x 2  2
2 x  3

2
2x 2  6x  2
2 x  32
h. Turunan Sinus Dan Kosinus.
Jika f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya terdiperensialkan, maka f’(x) = cos x dan
g‘(x) = - sin x
6
1.
𝒅
(𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝒅𝒙
2.
𝒅
(𝒄𝒐𝒔𝒙)
𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒙
5.
𝒅
(𝒔𝒆𝒄𝒙)
𝒅𝒙
3.
𝒅
(𝒕𝒂𝒏𝒙)
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
6.
𝒅
(𝒔𝒆𝒄𝒙)
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙
Turunan dan Integral
𝒅
4. 𝒅𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙)
𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙
Matematika
Contoh 1.8
Tentukan turunan f(x) = sin x – cos x
Jawab
f ’(x) = cos x – (- sin x)
f ’(x) = cos x + sin x
i. Turunan Aturan Rantai.
(𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) Jika g
Misalnya y = f(u) dan u = g(x) menentukan komposit 𝑦 𝑓 𝑔(𝑥)
terdiferensialkan di x dan f terdiperensialkan di u = g(x), maka 𝑓 𝜊 𝑔 terdiferensialkan
midi x dan
(𝒇 𝝄 𝒈)′(𝒙)
𝒇′(𝒈(𝒙)𝒈′(𝒙) atau
𝒅𝒚
𝒅𝒚 𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒖 𝒅𝒙
contoh 1.9
tentukan turunan dari y = (x2 – 3x + 1)10
Jawab
Misalnya u = x2 – 3x + 1, maka y = u10 akibatnya,
Sehingga
= 10 u9. 2x – 3
= 10(x2 – 3x + 1).(2x – 3)
7
Turunan dan Integral
= 2x – 3 dan
= 10u9 = 10(x2 – 3x + 1)
Matematika
Uji Kompetensi 1
Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut ini
1. f(x) = 4sinxcosx . . . .
2. f(x) = 11x4 – 3x + 9
3. f(x) = √ . . . .
4. g(x) =
....
√
7
5. h(x) = x + x5 – 5x + 7 . . . .
6. g(t) = √
....
3
7. jika f(x)= x + 6x2 + 2x + 5, maka f’(x) – 2 . . . .
8. f(x) =
....
2
9. f(x) = (3x – 5)(2x + 4) . . . .
10. jika y = 3u2 – 2u + 5 dan u = x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . .
11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . .
12. y =
,
√
...
13. y = sin(x2 – 1)
14. jika y = sin3x tentkan y’!
15. Turunan tan x = sec2x . .
8
Turunan dan Integral
Matematika
BAB
INTEGRAL
1.1.
Pengertian Integral.
Misalkan diketahui :
( )
Maka turunanya adalah
( )
Perhatikan dibawah ini :
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
( )
( )
Proses pengerjaan dari f(x) ke f’(x) merupakan operasi pendeferensialkan yang udah dijelaskan bab
1, sedangkan proses pengerjaan dari f’(x) ke f(x) merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan,
atau dinamakan anti diferensialaan atau dikenal dengan pengitegralan.
Perhatikan bahwa masing – msaing fungsi f(x) diatas yang berbeda hanya suku tetap saja, sedangkan
suku lainya slalu sama yaitu 3x2 dan 4x. ini berarti bahwa semua fungsi hasil pengintegralan f’(x) = 6x
+ 4 dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x2 + 4x + c, dengan C adalah konstan dan C ϵ R
1.2.
Notasi integral.
Jika f suatu turunan dari F, maka notasinya adalah F’(x) = f(x) atau dapat juga di tuliskan sebagai
d(F(x))= f(x)dx. Sebaliknya F adalah anti turunan dari f dan notasi atau symbol untuk operasi
pengintegralan adalah . Kita tuliskan :
( )
( )
Dengan :
F(x) = adalah fungsi integral umum yang bersifatnya F’(x) = f(x),
f(x) disebut fungsi integral,
C adalah konstan real sembarang.
Pengintegralan fungsi f terhadap x seperti tertulis diatas dinamakan integral tak tentu dari fungsi f
terhadap x
9
Turunan dan Integral
Matematika
Contoh 2.1
(
)
1.3. Interal Tak Tentu Dari Fungsi Aljabar.
Telah disebutkan di atas bahwa untuk menentukan integral tak tentu dari aturan turunan digunakan
( )
( )
Ini berarti bahwa untuk menentukan hasil suatu integral tak tentu
( ) adalah mencari fungsi
F(x).
RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR.
Perhatikan ilustrasi berikut ini :
Jika F(x) =
1
maka F’(x) = f(x) = x
1
Berati
1
Jika ( )
maka F’(x) = f(x) = x2
1
Berarti
Dari ilustrasi diatas kita dapatkan pola keteraturanya, sehingga kita dapat disimpulkan rumus umum
integral tak tentu aljabar adalah :
1
∫
Berlaku untuk semua n bilangan real kecuali n ≠ 1
Misalkan k konstan real sembarang, f(x) dan g(x) masing – masing merupakan fungsi integral yang
dapat ditentukan fungsi integral umunya, maka :
33
a.
𝑑𝑥
b.
𝑘𝑑𝑥
𝑥
𝐶
𝑘𝑥
𝐶
1
c.
𝑥 𝑛 𝑑𝑥
d.
𝑘𝑥 𝑛 𝑑𝑥
e.
𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥
f.
g.
𝑑𝑥 𝑥 𝐶
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑔(𝑥)𝑑 𝑥
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
𝐶
h.
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑔(𝑥)𝑑 𝑥
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
𝐶
𝑛 1
1
𝑘
𝑥𝑛 1
𝑛 1
Turunan dan Integral
𝐶, dengan n bilangan rasional, n ≠ 1
𝐶, dengan n bilangan rasional, n ≠ 1
𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Contoh 2.2
Tentukan anti turunan
1. x5
10
𝑥𝑛
𝑘(𝐹(𝑥)
𝐶)
Matematika
2.
1
3. √
4. (
Jawab
)
1
1.
1
=
2.
1
x
3
1
1
dx   x 3 dx 
1
1
1
x 31  c   x 2  c   2  c
 3 1
2
2x
4
3
4
1
3
4
1
7
7
1
3
7
x  c  x 3  c  x 3  c  3 x7  c
3.  x dx   x dx 
4
7
7
3
1
3
3
3
2
5
4.  3x 7  4 x 5  5 x 3  6dx  x 8  x 6  x 4  3x 2  c
8
3
4
3
1.4. Integral Tentu.
a. Mengenal Pengertian Integral Tentu.
b
Rumus  f x dx  Fx a  Fb   Fa 
b
a
Disebut integral tentu, sebab hasil integral tersebut bernilai tertentu. Pada rumus
diatas, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integrasi. Interval [a,b] disebut
interval integrasi.
b. Menentukan Nilai Suatu Integral Tentu.
Contoh 2.3
 x

3
a. Carilah
2
 x dx
1
Penyelesaian

3
1
3

1 
1
x  x dx   x 3  x 2 
2 1
3
2
1
1
1
 1

  (3) 3  (3) 2    (1) 3  (1) 2 
2
2
3
 3

1  1 1 

 9  4     
2  3 2 

4
11
2
3
Turunan dan Integral
Matematika
2
b. Hitunglah
 3x  2
2
dx
1
Penyelesaian
2
2
 3x  2 dx   9 x  12 x  4dx
2
2
1
1
2
12
9

  x 3  x 2  4
2
3
 1


2
 3x 3  6 x 2  4 1

 

 32  62  4  3 1  6 1  4
3
2
3
 24  24  4   3  6  4
 21
c. Menentukan sifat – sifat integral tentu.
Sifat – sifat integral tertentu adalah sebagai berikut :
b
I.

c
c
b
a
f x dx   f x dx   f x dx
a
bukti
b

c
f x dx   f x dx  F b   F a   F (c)  F b 
a
b
 F c   F a 
c
  F x dx
terbukti 
a
II.
b
b
a
a
 kf x dx  k  f x dx ; k bilangan konstan
Bukti
b
 kf x dx  kf x 
b
a
a
 kFb  kFa 
 k F b  F a 
b
 k  F x dx
(terbukti)
a
III.
12
b
b
b
a
a
a
 f x  g xdx   f ( x)dx   g ( x)dx
Turunan dan Integral
2
Matematika
Bukti
b
 f x   g xdx  F x   g x
b
a
a
 F b  Gb  F a   Ga 
 F b  F a   Gb  Ga 
b
b
a
a
  f x dx   g x dx terbukti
IV.
b
a
a
b
 f x dx   f x dx
Bukti
b
 f x dx  F b  F a 
a
 F a   F b
a
   F x dx
terbukti
b
Contoh 2.4
 4 x
2
Hitunglah
3

3


 6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx
1
2
Penyelesaian
 4 x
2
1
3

3


3


 6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx
2
1
3
6 
4
=  x 4  x3 
3 1
4

= x 4  2x 3

3
1
3
= [(3)4 – 2(3) ] – [(1)4 – 2(1)3]
= (81 – 54) – (1 – 2)
= 28
1.5. Integral Tak Tentu Dari Fungsi Trigonometri.
Sebagiman rumus dasar integral tak tentu dari fungsi aljabar, rumus – rumus dasar untuk fungsi
trigonometri pun kita rancang dari aturan rumus turunan untuk trigonometri. Untuk itu, diingat
kembali aturan turunan untuk fungsi trigonometri berikut :
13
Turunan dan Integral
Matematika
F(x) = sin x
F’(x) = cos x
F(x) = cot x
F’(x) = - cosec x
F(x) = cos x
F’(x) = - sin x
F(x) = cot x
F’(x) = tan x sec x
F(x) = tan x
F’(x) = sec 2 x
F(x) = cot x
F’(x) = - cot x cos x
( )
( )
Dengan menggunakan aturan integral tak tentu
yang bersifat F’(x) = f(x),
maka kita peroleh rumus – rumus dasar integral tak tentu untuk fungsi trigonometri sebagai berikut
1.
cos 𝑥 𝑑𝑥
s n𝑥
2.
s n 𝑥 𝑑𝑥
cos 𝑥
3.
sec 𝑥 𝑑𝑥
tan 𝑥
𝑐
4. cosec 𝑥 𝑑𝑥
cot 𝑥
𝑐
𝑐
5. tan 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥
sec 𝑥
𝑐
𝑐
6. cot 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 ec 𝑥
𝑐
Sekarang perhatikan turunan dari fungsi –fungsi trigonometri dengan sudut berbentuk (ax + b):
F(x) = sin (ax + b)
F(x) = cos (ax + b)
F(x) = tan (ax + b)
F(x) = cot (ax + b)
F(x) = sec (ax + b)
F(x) = cosec (ax + b)
F’(x) = acos (ax + b)
F’(x) = - asin (ax + b)
F’(x) = asec2 (ax + b)
F’(x) = - asec2 (ax + b)
F’(x) = a tan(ax + a).sec (ax + b)
F’(x) = - a cot (ax + b).cosec (ax + b)
Dengan demikian, kita dapat merumuskan aturan integral tak tentu dari fungsi trigonometri yang
sudutnya berbentuk (ax +b) sebagai berikut :
14
Turunan dan Integral
Matematika
𝟏
𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙
𝒃)𝒅𝒙
2. 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙
𝒃)𝒅𝒙
3. 𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝒂𝒙
𝟏
𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙
𝒂
𝒃)𝒅𝒙
4. 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝒂𝒙
𝒃)
𝒄
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙
𝒂
𝒃)
𝒄
𝟏
𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙
𝒂
𝒃)
𝒄
𝟏
𝒄𝒐𝒕(𝒂𝒙
𝒂
𝒃)𝒅𝒙
5. 𝐭𝐚𝐧(𝒂𝒙
𝒃) 𝐬𝐞𝐜(𝒂𝒙
6. 𝐜𝐨𝐭(𝒂𝒙
𝒃)𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙
𝒃)𝒅𝒙
𝒃)
𝒄
𝟏
𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙
𝒂
𝒃)𝒅𝒙
𝒃)
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙
𝒂
𝒄
𝒃)
Contoh 2.5
Tentukan integral tak tentu
a.
b.
 5x  cos xdx
 2 cos x  3 sin xdx
Penyelesaian
a.
 5x  cos xdx   5xdx   cos xdx
1
2
= 5. x 2  sin x  c
b.
 2 cos x  3sin xdx   2 cos xdx   3sin xdx
= 2 sin x  3 cos x  c
Contoh 2.6
Tentukan integral dari
a.
b.
 cos2x   dx
 5 tan3x.sec3xdx
Penyelesian
a.
 cos2 x   dx  2 sin2 x     c
b.
 5 tan3x.sec3xdx  5 tan(3x) sec(3x)dx  3 sec 3x  c
15
1
5
Turunan dan Integral
𝒄
Matematika
Contoh 2.7
1

6
Hitung integral tertentu dari
 sin 3xdx
0
Penyelesaian
1

6
1
 1
6
0 sin 3xdx   3 cos 3x 0

1   1
 1

  cos     cos 0
3   3
 3

 1
 3
= 0 -  
=
1.6.
1
3
Pengintegralan Dengan Subtitusi.
Ada pengintegralan fungsi – fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentuk
atau dengan memisalkan u = f(x) menjadi bentuk
Contoh 2.8
Carilah  sin x cos 5 xdx
Penyelesaian
Misal u = cos x dan du/dx = - sin x maka du = - sin x dx
 sin x cos
5
xdx   u 5
1
  u6  c
6
16
1
   cos 6 x  c
6
Turunan dan Integral
Matematika
1.7. pengintegral Dengan Parsial
Anda akan sering menjumpai suatu integral yang dapat di pecahkan dengan metode integral
parsial. Dalam hitungan differensial telah diketahui bahwa :
d uv   udv  vdu  udv  d uv  vdu
Maka dengan pengintegralan dengan kedua ruas didapat bentuk integral parsial :
 udv  uv   vdu
Contoh 2.9

Tentukan 2 xsin xdx
Penyelesaian
Misal u = 2x dan du = 2 dx

dv = sin x dx maka v = sin xdx   cos x
 x cos 2xdx  uv   vdu
= 2 x  cos x  
  cos x2dx
= - 2x cos x + 2sin x + c
Jadi
17
 2 xsin xdx = - 2x cos x + 2sin x + c
Turunan dan Integral
Matematika
Kompetensi 2
Tentukan integral berikut ini
1
1.
 10 dx
2.
6
3.
   6 x
x dx

2
2
4
 3 dx
x x 

4. Tentukan f(x) bila f ‘(x) = 3x2 – 4x + 5 dan f(1) = 6
 4 x

2
5.
3
 3x 2  2 x  1 dx
2
4


6. Hitunglah  2 x  5 x x 
1
4
dx
x2 


7. Carilah 3 sin xdx
0

4
 sin
8. Hitunglah
3
2 x cos 2 xdx
0
 x
9. Selesaikan
2
 4 x

 2 x  3 2 x  2dx
6
4
10. Tentukan
2

 x dx
2
1
11. Hitunglah
 2 x dx
2
0

2
12. Hitunglah
 x  cos x dx
0

4

13. Hitunglah sin 2 xdx
0
14. Hitunglah
15. hitunglah
18
dx
x

3
3
z dz
Turunan dan Integral
Matematika
Jawaban
Kompetensi 1
1. f(x) = 4sinxcosx . . . .
f(x) = 4sinx cos x
f’(x) = - 4sinx sinx + 4cos x.cos x
= - 4sin2x + 4cos2x
2. f(x) = 11x4 – 3x + 9
f’(x) = 44x3 – 3
3. f(x) = √ . . . .
1
1
f’(x) = x 2 
4. g(x) =
g(x) =
1 2
1
x 
2
2 x
....
√
2
x
1
2
 2x

1
2
1
 g ' ( x)   x 2
 g ' ( x)   x
5. h(x) = x7 + x5 – 5x + 7 . . . .
h’(x) = 7x6 + 5x4 – 5
6. g(t) = √
1
....
2
1 3
t 3
3
1
 g ' x  
3
33 x 2
g(t) = t 3  3t  g ' ( x) 
7. jika f(x)= x3 + 6x2 + 2x + 5, maka f’(x) – 2 . . . .
f’(x) = 3x2 + 12x + 2
f’(x) – 2 = 3x2 + 12x + 2 – 2
f’(x) – 2 = 3x2 + 12x
8. f(x) =
....
5 2
x3
x  2 x 4 
3
9
10
1
f '  x    x 3  8 x 5  x 2
3
3
f ( x) 
19
Turunan dan Integral
Matematika
f ' x   
10
8 1
 5  x2
3
3
3x
x
9. f(x) = (3x2 – 5)(2x + 4) . . . .
misalkan g(x) = (3x2 – 5) dan h(x) = (2x + 4), maka
f’(x)
= g(x)h’(x) + h(x)g’(x)
= (3x2 – 5)(2) + (2x + 4)(6x)
= (6x2 – 10) + (12x2 + 24x)
= 18x2 + 24x – 10
10. jika y = 3u2 – 2u + 5 dan u = x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . .
menurut aturan rantai , untuk y = f(x) dan u = g(x), berlaku
dy dy du

.
dx du dx
d
d


3u 2  2u  5 x 2  6  6u  22 x 
du
dx
Dengan mensubtitusikan u = x2 – 6, diperoleh


dy
 6x 2  6  2 2 x 
dx
 6 x 2  382 x 
 12 x 3  76 x
11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . .
f’(x) = - 3sin x – 2 cos x
12. y =
,
...
√
anda ubah dahulu y bentuk axn agar dapat menggunakan aturan hasil kali konstan dengan fungsi
y
0,25
5
x2

0,25
x
2
5
2
 0,25 x 5
Dari bentuk tersebut, anda dapat menggunakan aturan hasil kali kon-stan dengan fungsi.
7

 2  52 1 
0,1
5
y '  0,25 x
  0,1x   5 7
x
 5

13. y = sin(x2 – 1)
jika y = sin u dan u = x2 – 1
maka
dy dy du

.
 cos u 2 x   2 x cosx 2  1
dx du dx
14. jika y = sin3x tentkan y’!
penyelesaian
20
Turunan dan Integral
Matematika
jika y = u3 dan u = sin x
dy dy du

.
 3u 2 cos x   3 sin 2 cos x
dx du dx
maka
15. Turunan tan x = sec2x . .
f ' x  

d  sin x 


dx  cos x 
cos x.Dsin x   sin xDcos x 
cos x 
2
cos x  sin 2 x

cos 2 x
2

cos x. cos x  sin x sin x 
cos 2 x

1
 sec 2 x terbukti
2
cos x
Jawaban kompetensi 2
1.
1
x
10
dx   x 10dx 
1
x 101  c
 10  1
1
1
  x 9  c   9  c
9
9x


1
 1 1 1 
2.  6 x dx  6 x 2 dx  6
x2  c
 1 1



2

3
2 3

 6 x 2  c   4 x 2  c  4 x x  c
3

3.

   6 x
2

2
4
2
4
 3 dx    6 x 2 dx  
dx  3 dx
x
x x 
x
1

6
  x 3   2 x 2 dx   4 x 3 dx
3
1
2


 2 x  4 x   2 x 2  c
3
 2 x 3  4 x 
2
c
x2
4. Tentukan f(x) bila f ‘(x) = 3x2 – 4x + 5 dan f(1) = 6
 f ' xdx   3x
2

 4 x  5 dx
f ( x)  x 3  2 x 2  5 x  c
f (1)  1  21  51  c
3
2
6  4c C  2
21
Turunan dan Integral
Matematika
Jadi f(x) = x3 – 2x2 + 5x + 2
 4 x
5.
3


2

2
 3x 2  2 x  1 dx  x 4  x 3  x 2  x 2
2
= (24 – 23 + 22 + 2) – (24 – 23 + 22 + 2)
=0
4
4

1  2 x  5x x  x 2 dx  1 2 xdx  1 5x xdx  1 x 2 dx
4
6.
4
4
4
4


4
4
5
 2 2   5 2   4 1 
=  x   x   x 
 2 1  5    1 1
 2 1
   2 x
= x
2 4
1

2

4
4
x 1  
 x 1
4
 

4 4
 
4 1
= 4 2  12  2.4 2 4  2.12 1  
= 15 – 62 + 3
- 44

7.

 3sin xdx   3cos x  3cos   3cos 0  3  3  6
0
0

4
8.
 sin
3
2 x cos 2 xdx
0
Misal u = sin 2x maka du = 2cos 2x dx



 1  1 4  4
14 3
sin
2
x
cos
2
x
dx

u
du

 2  4 u 
0
2 0
 0
 
4
3

 sin 2 x  4


 8 0
4
9.
 x
2

 2 x  3 2 x  2dx
6
Misal u = x2 + 2x + 3 maka du = 2x + 2dx
 x
22
2
 2 x  3 2 x  2dx   u 6 du 
6
Turunan dan Integral
1 61
u c
6 1
Matematika
6
1
1
 u 7  c  x 2  2 x  3  c
7
7
 4 x
4
10.
2
2
4
 x dx   x
3
4
3

1  4 3 1 2  4 3 1 2 
 x 2    4  4    2  2 
2 2 3
2
2
 3

 256   32
 206
 8    2 

3
 3
  3

1
2 3  2 3
 2
2
0 2 x dx   3 x  0   3 1  0   3
1
11.


2
1 2
 2 1   
    1

12.  x  cos x dx   x  sin x       sin     0 2  sin 0
2
 0  2  2 
 2   2

0
2

2
1 0  1
8
2
8

4
13.
 sin
2
xdx solusi soal ini pertam ubah dulu sin2x menjadi
0


4

1  cos 2 x
14
dx   1  cos 2 x dx
2
20
0
4
2
 sin xdx  
0


1 
1
1
 4  1
4
x

sin
2
x

   x  sin 2 x 
2
2
4
 0  2
0
 
2   1
1
1 1
  1
 sin

   0  sin 0   
4  2
4
2 4 4
 8 4

4
 sin
0
14.

15.

23
2
xdx 

8

1
4
dx
1
1
  x 3 dx   x 2  c   2  c
3
2
x
2x
1
3
z dz   z 3 dz 
4
3 3
z c
4
Turunan dan Integral
1  cos 2 x
2
Matematika
Daftar Pustaka
Sukino. 2007. Matematika XIB, Jakata : Erlangga
Purwanto,Heri dkk. 2005.kalkulus 1, Jakarta : PT Ercontara rajawali
Suharto dkk. 1996. Matematika 3B smu, Surakarta : PT Pabelan.
Putra, matematika 3A, Jakarta : PT Grasindo, 2004
Edwin J. Purcell, kalkulus dan Geometri Analitis. Erlangga, edisi kelima: Jakarta, 1994
Kuntarti, sulistiyono, Sri kuningsing, matematika SMA dan MA 3a. Erlangga : Jakarta, 2007
Kainginan,Marthen. Cerdas belajar matematika XIb. Grafindo media Prtama : Jakarta, 2005
Sri Setyaningsih, Embay Rohaeti. Matematika dasar 2. Pusat komputasi : Bogor, 2005
24
Turunan dan Integral