Eksponen dan logaritma

MATERI POKOK
Eksponen dan logaritma
MATERI BAHASAN:
1.1 Pangkat Bulat Positif
1.2 Pangkat Bulat Negatif
1.3 Pangkat Nol
1.4 Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
1.5 Pangkat Pecahan
1.6 Persamaan Eksponen
1.7 Bentuk Akar
1.8 Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
1.9 Logaritma
Modul Matematika Kelas X
1.1 Pangkat Bulat Positif
Jika a bilangan real dan n adalah bilangan bulat psitif,maka an berarti perkalian a
sebanyak n kali.
𝒂𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂
Perkalian terdiri atas n buah faktor
Bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah an, dengan a disebut bilangan pokok atau
basis, dan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh:
1. 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
2. (−3)5 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3)
4
1
1 1 1 1
3.      
2
2
2
2
2
3
8
8 8 8
4.     
6
6 6 6
1.2 Pangkat Bulat Negatif
Jika a ∈ bilangan real, a ≠ 0 dan n adalah bilangan bulat positif, maka.
𝟏
𝒂−𝒏 = 𝒂𝒏
Contoh:
1. 2−3 =
1
23
−2
2. 3 × 5
=
1
2×2×2
1
3
= 3 × 52 = 5 × 5
1
1
3. 6−6 = 66 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6
1.3 Pangkat Nol
Jika a ∈ bilangan real dan a ≠ 0, maka.
𝒂𝟎 = 𝟏
Contoh:
1. 50 = 1
2. (−3)0 = 1
4. 10000 = 1
5. 678950 = 1
0
1
3.    1
4
Latihan
1. Nyatakan bilangan – bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat.
a. 47
c.(12)−5
e. 376980
b. (−6)8
4
d. 3−2
2. Tulislah bentuk-bentuk dibawah ini dalam bentuk pangkat bulat positif.
Modul Matematika Kelas X
a. 5𝑎−8
b. 𝑎−2 𝑏 3
c. 6𝑎5 𝑏 −2
d. 𝑝−1 + 𝑞 −1
e. 𝑝−3 − 𝑞 −5
1.4 Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
a. Sifat 1
Jika a ∈ bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka:
𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut.
1. 24 × 25
2. (−3)12 × (−3)8
5
4. 2𝑎3 × 5𝑎5
5. 𝑎2 × 𝑎9
6
1
1
3.      
2
2
Jawaban:
1. 24 × 25 = 24+5 = 29
2. (−3)12 × (−3)8 = (−3)12+8 = (−3)20
5
6
1
1
1
3.        
2
2
5 6
2
1
 
2
11
4. 2𝑎3 × 5𝑎5 = 2 × 5𝑎3+5 = 10𝑎8
5. 𝑎2 × 𝑎9 = 𝑎2+9 = 𝑎11
b. Sifat 2
Jika a ∈ bilangan real dan a ≠ 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka:
𝒂𝒎 ÷ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk bilangan berpangkat berikut.
2𝑝×𝑝7
1. 35 ÷ 33
4.
2. 721 ÷ 77
3
3
5.     
3.
6𝑝4
8
4
5
4
𝑥 12
𝑥8
Jawaban:
1. 35 ÷ 33 = 35−3 = 32
2. 721 ÷ 77 = 721−7 = 714
3.
4.
𝑥 12
= 𝑥 12−8 = 𝑥 4
𝑥8
2𝑝×𝑝7
6𝑝4
=
8
2𝑝1+7
6𝑝4
=
5
3
3
3
5.        
4
4
4
8 5
2𝑝8
6𝑝4
1
= 𝑝4
3
 
4
3
3
Modul Matematika Kelas X
c. Sifat 3
Jika a ∈ bilangan real dan a ≠ 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka :
amn  amn
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk bilangan berpangkat berikut.
  2 3 


3.   5  


 
32
1. 2
 3
6
 7 5
2. 64
4. x
Jawaban:
6
 
32
1. 2
32
2
36
18
 2 3
2
2
3.          
 5  
5
5


2
6
 3
 5
2. 64  643  612
4. x7  x75  x35
d. Sifat 4
Jika a dan b ∈ bilangan real, dan n adalah bilangan bulat positif, maka :
(𝒂 × 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 × 𝒃𝒏
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk bilangan berpangkat berikut.
1. (3 × 5)2
4. (𝑥 5 𝑦 3 )2
2. (42 × 33 )2
5. (𝑎 × 𝑏 3 )4
3. 33 × 43
Jawaban:
1. (3 × 5)2 = 32 × 52 = 9 × 25 = 225
2. (42 × 33 )2 = 42×2 × 33×2 = 44 × 36 = 256 × 729 = 186624
3. 33 × 43 = (3 × 4)3 = 123 = 1728
4. (𝑥 5 𝑦 3 )2 = 𝑥 5×2 𝑦 3×2 = 𝑥10 𝑦 6
5. (𝑎 × 𝑏 3 )4 = 𝑎4 × 𝑏 3×4 = 𝑎4 × 𝑏12
e. Sifat 5
Jika a dan b ∈ bilangan real, dan n adalah bilangan bulat positif, maka :
n
Contoh:
a
  
b
n
a
n
b
Selesaikanlah.
5
9
1.  
2
 
x
3.  
y
5
 
Modul Matematika Kelas X
1
2
4
3
 5m 

 2n 
2.  
4. 
Jawaban:
5
2
x
3.    x 5
 y
y
4
3
3
 3
5m
4.    5 3 m3  125m
3
 2n 
8n
2 n
2
5
25
1.    52 
9
 
9 81
5
3
4
1
1
2.    14 
2
16
 
2
Latihan
Untuk no 1-7. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut.
5
 p 2 q3 
5.  4 
 r 
310
1.
36
𝑚2
2.
𝑚
× 𝑚4
5
2
6.
3
𝑚10 𝑛−3
𝑚−2 𝑛5
3


7.  x 2 
 5x y 
4
×
𝑡 6 𝑢−7
𝑢2
2
3.
3 3 3
     
4 4 4
4.
8.
(4𝑥 2 𝑦 −2 )(3𝑥𝑦 6 )
Nyatakan bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif (𝑎𝑏 −5 )4
9.
Nyatakan Bentuk berikut ke dalam pangkat bulat negatif
1
2
+
24 ×22
210
10. Nyatakan Bentuk Pnagkat berikut ke dalam pangkat bulat positif (2−2 × 3−4 )2
1.5 Pangkat Pecahan
Misalkan a adalah bilangan real dan 𝑎 ≠ 0 dengan a > 0,
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
adalah bilangan pecahan 𝑛 ≠
0 dengan 𝑛 ≥ 2. 𝑎 = 𝑐, sehingga
𝒎
𝒏
𝒏
𝒄 = √𝒂𝒎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 .
Contoh:
1. Nyatakanlah bilangan berikut ke dalam bentuk bilangan berpangkat
𝑚
𝑛
, kemudian
sederhanakan.
3
b. √645
a. √32
Jawaban:
1
1
4
c. √81
5
a. √32 = 322 = (25 )2 = 22
5
3
5
30
b. √645 = 643 = (26 )3 = 2 3 = 210
1
4
1
c. √81 = 814 = (34 )4 = 31 = 3
2. Nyatakanlah bilangan berikut ke dalam bentuk akar.
1
a. 𝑎 2
2
b. 𝑥 3
1
c. 83
Modul Matematika Kelas X
Jawaban:
1
1
a. 𝑎 2 = √𝑎
2
3
c. 83 = √8
3
b. 𝑥 3 = √𝑥 2
Kesimpulan
Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat:
Jika a, b ∈ bilangan real, dan m, n ∈ bilangan bulat, maka:
1. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
2. 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛
4. (𝑎 × 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛
n
n
a
5.    an
b
b
1
𝑚
𝑛
𝑛
6. 𝑎𝑛 = √𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚
1.6 Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan dalam bentuk pangkat. Bentuk umum:
𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒑
Jika 𝑎 ∈ bilangan real, 𝑎 ≠ 0 dan berlaku:
𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒑 , 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒑
Contoh:
Tentukanlah nilai x dari persamaan:
1.
2𝑥+3 = 32
⟺ 2𝑥+3 = 25
⟺𝑥+3=5
⟺
𝑥 = 5−3
⟺
𝑥=2
2.
81 = 3𝑥−5
⟺
34 = 3𝑥−5
⟺
4=𝑥−5
⟺4+5=𝑥
⟺
9=𝑥
3.
4.
5𝑥 = 252𝑥−5
⟺
5𝑥 = (52 )2𝑥−5
⟺
5𝑥 = 54𝑥−10
⟺
𝑥 = 4𝑥 − 10
⟺ 𝑥 − 4𝑥 = −10
⟺ −3𝑥 = −10
⟺
𝑥=
⟺
𝑥=
−10
−3
10
3
216 = 62𝑥−3
⟺
63 = 62𝑥−3
⟺
3 = 2𝑥 − 3
⟺ 3 + 3 = 2𝑥
⟺
6 = 2𝑥
⟺
⟺
6
2
=𝑥
3=𝑥
Modul Matematika Kelas X
Latihan
1. Nyatakanlah dalam bentuk pangkat pecahan
4
8
a. √𝑥 2
b. √𝑦
c. √7
2. Nyatakanlah dalam bentuk akar
1
a.
3.
a.
b.
𝑚7
Carilah nila x dari
44𝑥+2 = 64
128 = 2𝑥+7
4
1
b. 645
c. 252
c. 272𝑥+5 = 33𝑥
d. 5𝑥−7 = 125
1.7 Bentuk Akar
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
𝒏
𝒏
𝒏
𝒂 √𝒄 + 𝒃 √𝒄 = (𝒂 + 𝒃) √𝒄
𝒏
𝒏
𝒏
𝒂 √𝒄 − 𝒃 √𝒄 = (𝒂 − 𝒃) √𝒄
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentk bilangan berikut ini.
1. 3√5 + 4√5
5. 5√12 − 2√3
2. 7√3 − 2√3
6. √5 + √3
4
4
3. 3 √8 − √8
7. 5√3 + √48 − 2√27
7
7
4. 9 √2 + √2
Jawaban:
1.
2.
3.
4.
5.
3√5 + 4√5 = (3 + 4)√5 = 7√5
7√3 − 2√3 = (7 − 2)√3 = 5√3
4
4
4
4
3 √8 − √8 = (3 − 1) √8 = 2 √8
7
7
7
7
9 √2 + √2 = (9 + 1) √2 = 10 √2
5√12 − 2√3 = 5√4 × 3 − 2√3
= 5 × 2√3 − 2√3
= 10√3 − 2√3
= (10 − 2)√3
= 8√3
6. √5 + √3 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛
7. 5√3 + √48 − 2√27 = 5√3 + √16 × 3 − 2√9 × 3
= 5√3 + 4√3 − 2 × 3√3
= 5√3 + 4√3 − 6√3
= (5 + 4 − 6)√3
= 3√3
b. Operasi Perkalian Bentuk Akar
√𝒂 × √𝒃 = √𝒂 × 𝒃
Contoh:
Modul Matematika Kelas X
Sederhanakanlah bentuk-bentuk bilangan berikut ini.
1. √6 × √3
4. (√2 − √5)(√2 + √5)
2. √2 × √18
5. (6√2 + √5)(√2 − 2√5)
3. √2(4√3 + √24)
6. (3√6 − √2)(2√6 − 2√2)
Jawaban:
1. √6 × √3 = √6 × 3 = √18
2. √2 × √18 = √2 × 18 = √36 = 6
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
3. √2(4√3 + √24) = (√2 × 4√3) + (√2 + √24)
= 4√6 + √48
= 4√6 + √16 × 3
= 4√6 + 4√3
= 4(√6 + √3)
(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
4. (√2 − √5)(√2 + √5) = (√2 × √2) + (√2 × √5) − (√5 × √2) − (√5 × √5)
= √2 × 2 + √2 × 5 − √5 × 2 − √5 × 5
= √4 + √10 − √10 − √25
= 2−5
= −3
5. (6√2 + √5)(√2 − 2√5) = (6√2 × √2) − (6√2 × 2√5) + (√5 × √2) −
(√5 × 2√5)
= 6√2 × 2 − 6 × 2√2 × 5 + √5 × 2 − 2√5 × 5
= 6√4 − 12√10 + √10 − 2√25
= 6 × 2 − 12√10 + √10 − 2 × 5
= 12 − 11√10 − 10
= 12 − 10 − 11√10
= 2 − 11√10
6. (3√6 − √2)(2√6 − 2√2) = (3√6 × 2√6) − (3√6 × 2√2) − (√2 × 2√6) +
(√2 × 2√2)
= 3 × 2√6 × 6 − 3 × 2√6 × 2 − 2√2 × 6 + 2√2 × 2
= 6√36 − 6√12 − 2√12 + 2√4
= 6 × 6 − 6√12 − 2√12 + 2 × 2
= 36 − 8√12 + 4
= 36 + 4 − 8√12
= 40 − 8√12
c.
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Modul Matematika Kelas X
√𝒂
√𝒃
𝒂
𝒃
=√
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk bilangan berikut ini.
1. √8 ÷ √2
2.
3.
4.
√39
5.
√3
10√27
2√3×3√2
6√6
(2+√3)(2−√3)
3
5√3
Jawaban:
1. √8 ÷ √2 = √8 ÷ 2 = √4 = 2
2.
3.
4.
5.
√39
√3
39
= √ 3 = √13
10√27
5√3
=
2√3×3√2
10
5
=
27
√
3
6√6
= 2√9 = 2 × 3 = 6
=
6
=
1
12√6
12√6
12
2
(2×2)−(2×√3)+(√3×2)−(√3×√3)
(2+√3)(2−√3)
3
=
3
4 − 2√3 + 2√3 − √9
3
4 − 2√3 + 2√3 − 3
=
3
4−3
=
3
1
=
3
=
Latihan
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.
1. 2√20 + √45 − 7√5
6. (√7 + √2)(√7 − √2)
2.
4√7 − √28 + √63
7. (√2 − √3)(√2 − 5√3)
3.
2√12 − 5√3
8.
4.
√7(2√4 − 1)
9.
5.
4√3(√3 − √2)
10.
√64
√4
4√3×3√4
48√12
(5−√3)(5+√3)
4
1.8 Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Untuk 𝑎, 𝑏 ∈ himpunan bilangan rasional non-negatif, maka:
1. √𝑎 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑤𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 √𝑎
2. (𝑎 + √𝑏) 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑤𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑎 − √𝑏)
Modul Matematika Kelas X
3. (√𝑎 + √𝑏) 𝑠𝑒𝑘𝑎𝑤𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 (√𝑎 − √𝑏)
𝑎
a. Pecahan Berbentuk
√𝑏
𝒂
√𝒃
𝒂
=
√𝒃
×
√𝒃
√𝒃
=
𝒂√𝒃
𝒃
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini.
1.
2.
6
12
3. 3√2
√3
3
√5
4. √5
√2
Jawaban:
1.
2.
3.
6
6
=
√3
√5
√2
12
√3
√5
√3
√3
√2
=
6√3
= 2√3
3
1
√10
= 2 √10
2
√2
√2
12
3√2
36√2
36√2
=
3√2
×
×
=
= 3√2 × 3√2 =
3
4. √5 =
√3
√5
×
√5
√5
=
=
9×2
√15
5
18
= 2√2
1
= 5 √15
𝑐
b. Pecahan Berbentuk 𝑎+√𝑏 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑐
𝑎−√𝑏
𝒄(𝒂 − √𝒃)
𝒂𝟐 − 𝒃
𝒂 + √𝒃 𝒂 + √𝒃 𝒂 − √𝒃
𝒄
𝒄
𝒂 + √𝒃 𝒄(𝒂 + √𝒃)
=
×
=
𝒂𝟐 − 𝒃
𝒂 − √𝒃 𝒂 − √𝒃 𝒂 + √𝒃
𝒄
𝒄
=
×
𝒂 − √𝒃
=
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini.
1.
2.
2
3.
√2+1
2
√3
√3−2
√2
4. 3+√2
2−√5
Jawaban:
1.
2.
3.
4.
2
√2+1
2
2−√5
√3
√3−2
√2
3+√2
=
2
√2+1
2
×
√2−1
√2−1
2+√5
=
= 2−√5 × 2+√5 =
=
√3
√3−2
√2
×
√3+2
√3+2
3−√2
=
= 3+√2 × 3−√2 =
c. Pecahan Berbentuk
2(√2−1)
2−1
2(2+√5)
=
=
4−5
√3(√3+2)
3−4
√2(3−√2)
9−2
𝑐
√𝑎+√𝑏
2√2−2
1
4+2√5
=
=
𝑎𝑡𝑎𝑢
= 2√2 − 2 = 2(√2 − 1)
= −(4 + 2√5)
−1
3+2√3
−1
= −(3 + 2√3)
3√2−2
7
𝑐
√𝑎−√𝑏
Modul Matematika Kelas X
𝒄
√𝒂 + √𝒃
𝒄
√𝒂 − √𝒃
=
=
𝒄
√𝒂 + √𝒃
𝒄
√𝒂 − √𝒃
×
×
√𝒂 − √𝒃
√𝒂 − √𝒃
√𝒂 + √𝒃
√𝒂 + √𝒃
=
𝒄(√𝒂 − √𝒃)
𝒂−𝒃
=
𝒄(√𝒂 + √𝒃)
𝒂−𝒃
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini.
1.
2.
3
3.
√3+√2
√5
4.
√5−√3
√3−√6
√3−√2
√5+2
√5−√3
Jawaban:
1.
2.
3.
3
√3+√2
√5
√5−√3
√3−√6
√3−√2
=
=
=
3
√3+√2
√5
√5−√3
√3−√6
√3−√2
×
√3−√2
×
√5+√3
×
√3+√2
√3−√2
√5+√3
=
=
3(√3−√2)
3−2
=
√5(√5+√3)
5−3
3√3−3√2
=
1
5+√15
2
= 3√3 − 3√2 = 3(√3 − √2)
1
= 2 (5 + √15)
√3+√2
(√3 − √6)(√3 + √2)
3−2
3 + √6 − √18 − √12
=
1
= 3 + √6 − √9 × 2 − √4 × 3
= 3 + √6 − 3√2 − 2√3
=
4.
√5+2
√5−√3
=
=
√5+2
√5−√3
×
√5+√3
√5+√3
(√5 + 2)(√5 + √3)
5−3
5 + √15 + 2√5 + 2√3
2
1
= (5 + √15 + 2√5 + 2√3)
2
=
Latihan
1. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut ini.
a.
8
√2
b.
4
√5
6
c. 2√2
2. Tentukan bentuk sekawan dari bentuk-bentuk akar berikut ini.
a. 3 + √2
c. √5 + √3
b. √2 − 5
d. √7 − √6
3. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini.
Modul Matematika Kelas X
a.
b.
2
c.
1−√2
2−√3
√3+√2
√2
√2−3
1.9 Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari pemangkatan. Suatu bentuk
pemangkatan dapat diubah menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya.
Definisi:
Jika 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 dan berlaku a log b  x maka 𝑏 = 𝑎 𝑥 dengan a adalah bilangan pokok, b
adalah numerus, 𝑏 > 0 dan x adalah hasil logaritma.
b  ax
maka a log b  x
Contoh:
1. Nyatakan tiap bentuk eksponen di bawah ini dengan memakai notasi logaritma.
a. 34  81
c. 25  32
b. 4x  64
Jawaban:
a. 34  81 3 log 81  4
b. 4x  64  4 log 64  x
1
2
d. 4  16
c. 25  32  2 log 32  5
2
1
1
d. 4  16  log 16  2
2. Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen.
a. 8 log 64
c. 2 log 2
b.
6
log 216  3
d. 3 log
4
1
 4
81
Jawaban:
1
2
1
a.
8
log 64  2  82  64
c. 2 log 2   2 2  2
b.
6
log 216  3  63  216
d. 3 log
1
1
 4  3 4 
81
81
3. Tentukan nilai dari logaritma-logaritma di bawah ini.
a. 3 log 27
d. 2 log 32
b.
5
log 625
Jawaban:
a. 3 log 27
b.
e. 5 log 625
d. 2 log 32
misal, 3 log 27  x
misal, 2 log 32  x
maka 3x  27  33  27  x  3
maka 2x  32  25  32  x  5
3
jadi nilai log 27  3
2
jadi nilai log 32  5
5
log 625
misal, 5 log 625  x
5
e. log 625
1
7
misal, 7 log  x
Modul Matematika Kelas X
1
1
maka 5x  625  54  625  x  4
maka 7 x   71   x  1
7
7
jadi nilai 5 log 625  4
jadi nilai 7 log  1
1
7
c. log 10000
misal, log 10000  x
maka 10x  10000  104  10000  x  4
jadi nilai log 10000  4
Latihan
1. Nyatakanlah tiap bentuk eksponen di bawah ini dengan memakai notasi logaritma.
a. 52 = 25
d. 60 = 1
1
b. 26 = 64
e. 3−1 = 3
c. 30 = 1
f. 6−2 = 36
1
2. Nyatakanlah tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen.
a. 3 log 243  5
d. 7 log 1  0
b.
6
log 1296  4
c.
5
log 5 
1
8
1
3
log
 4
81
e. 2 log  3
1
2
f.
3. Hitunglah nilai tiap logaritma di bawah ini.
a. 7 log 49
d. 5 log 5
b.
c.
1
3
2
2
log 3
e.
log 1
f. 2 log 2 2
log 4
Sifat-Sifat Logaritma
a. Sifat 1
a
log 1  0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Contoh:
Tentukanlah nilai x dari.
1. 2 log 1  x
2. 8 log 1  x
Jawaban:
1. 2 log 1  x  x  0
2.
8
log 1  x  x  0
3. log 1  x  x  0
3. log 1  x
20 = 1
80 = 1
jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis berarti
bilangan pokoknya adalah 10, 100 = 1
Modul Matematika Kelas X
b. Sifat 2
a
log a  1
Contoh:
Tentukanlah nilai x dari.
1.
1
log 5  x
5
3. 3 log x  1
2. x log 2  1
Jawaban:
1. 5 log 5  x  x  1
2.
3.
x
1
3
log 2  1  x  2
log x  1  x 
1
3
51 = 5
21 = 2
1
1
1
  
3
3
c. Sifat 3
a
log ab  b
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
2
1.
5
3. log 25
log 23
3
2. log 27
Jawaban:
1. 2 log 23  3.2 log 2  3 1  3
2.
3
3. 5 log 25 5 log 52  2.5 log 5  2 1  2
log 27  3 log 33  3.3 log 3  3 1  3
d. Sifat 4
a
logb  c  a log b a log c
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1
2
1.
2
log 4 2 log 8
3. 5 log  5 log 50
2.
3
1
log  3 log 27
9
4. log 8  log 125
Jawaban:
1.
2
2.
3
log 4 2 log 8 2 log4  8 2 log 32  5
3. 5 log  5 log 50  5 log  50  5 log 25  2
1
1

log  3 log 27  3 log  27  3 log 3  1
9
9

4. log 8  log 125  log8 125   log 1000  3
1
2
1
2

Modul Matematika Kelas X
e. Sifat 5
a
b
log   a log b  a log c
c
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1. 2 log 40  2 log 10
3. 3 log 26  3 log 78
4. log 0,04  log 4
2. 7 log 217  7 log 31
Jawaban:
1.
2
2.
7
 40 
log 40  2 log 10  2 log   2 log 4  2
 10 
3. 3 log 26  3 log 78  3 log
26  3  1 
 log   1
 78 
3
 217  7
log 217  7 log 31 7 log
 log 7  1
 31 
4. log 0,04  log 4  log
0,04 
  log 0,01  2
 4 
f. Sifat 6
a
log bc  c a log b
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1. 2 log 25  3 log 5  log 20
2.
12
log 81 3 2 log 3 2 log 48
2
Jawaban:
1. 2 log 25  3 log 5  log 20
2.
12
log 81 3 2 log 3 2 log 48
2
1
 log 252  log 53  log 20
 2 log 812  2 log 33 2 log 48
 2

 log 25  20 
 3

 5

 12

 log 81  48 
 3

 3

 22



 log 5  20 
3
 5



 
 4 12

3

 log
 48 
3
 3



 4

 log 5  20 
 3

5

 2

 2 log 3  48 
 3

3

 log 5  20 
1

 2 log   48 
3

 log 100
 2 log 16
2
 24  4
2
2
 
g. Sifat 7
a
log b 
p
log b
p
log a
, 𝑝 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ≠ 1
Contoh:
Modul Matematika Kelas X
Tentukanlah nilai dari.
1. 4 log 16
Jawaban:
1.
2.
3.
4
81
9
2
log 16 
log 16
2
3
log 3 
3
log 27 

log 4
log 3

3
log 27
3

log 9
2
log 24
2
2
log 2
3
log 3
3
log 81
2.
log 34
81
3. 9 log 27
log 3

4
2
2
gunakan p = 2

1
4
gunakan p = 3
3
log 33
3
2

log 3
3
2
gunakan p = 3
h. Sifat 8
a
log b 
1
b
log a
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1.
8
1
2.
log 2
81

log 3
1
9
3.
log 3
1
250

log 5
1
2
log 5
Jawaban:
1.
2.
3.
8
1
log 2 
1
81
2

log 3
1
250

log 8
1
9

log 5
log 3
1
2
3
log 2

1
3


 3 log 81 3 log 9 3 log81  9 3 log 34  32  3 log 36  6
 250  5
5
 5 log 250  5 log 2 5 log
 log 125  log 53  3
 2 
log 5
1
2
i. Sifat 9
a
log c c log b a log b
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1. 2 log 55 log 64
2. 4 log 7 7 log 256
Jawaban:
1. 2 log 55 log 64  2 log 64  2 log 26  6
2.
4
log 7 7 log 256  4 log 256  4 log 44  4
j. Sifat 10
a c log
d
d
a
d a
b  log b c  c  log b
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
Modul Matematika Kelas X
5
2. 9 log 25
1. 2 log 43
Jawaban:
1.
25 log 3 2 log
2.
9
4
3.
3
3
3
3
3.
3
log 81
6
2
2
2
4 5  5 log 4  5 log 2  5  2  5
2
2
2
log 25  3 log 52 3 log 5 2   3 log 5  1 3 log 5 3 log 5
2
1
4
3
log 81 3 2 log 34   3 log 3  8 3 log 3  8  1  8
1
2
k. Sifat 11
g
g
log a
a
Contoh:
Tentukanlah nilai dari.
1. 2
2
log5
3
2. 3 log 4
Jawaban:
1. 2
2. 3
2
3
5
log10
7
log 25
5
log10
3. 5
4. 7
log5
5
3. 5
log 4
4
4. 7
 10
7
log 25
a
log b 
 25
Kesimpulan
Sifat-Sifat Logaritma:
1.
2.
a
a
log 1  0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
log a  1
7.
8.
a
log b 
3.
a
log ab  b
9.
4.
a
logb  c  a log b a log c
10.
5.
a
b
log   a log b  a log c
c
11. g
6.
a
a
p
log b
p
log a
, 𝑝 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ≠
1
b
log a
log c c log b a log b
a c log
g
d
d
a
d a
b  log b c  c  log b
log a
a
log bc  c a log b
Latihan
1. Tentukan nilai dari
a.
3
1
log 4  3 log 6
2
c. 2 log  2 log 12
b.
6
log 3 6 log 12
d. 2 log 24  2 log 3
2
3
Modul Matematika Kelas X
e.
2
log 7 2 log 28
h. 5 log 320 35 log 4
f.
3
log 42  3 log 14
i. 6 log 9 2 6 log 2 2 6 log 6
g. 5 log 10  5 log 50
2. Tentukan nilai dari
a
a.
b.
a
log 9
a
log 3
a
log 64
a
j. 2 log x3 2 log x
c.
d.
log 16
log 16
a
log 2
a
log 25
a
log 625
3. Tentukan nilai dari
a.
2
log 24  8 log 27
b.
3
log 45 9 log 25
c.
2
d.
3
e.
 16 
log 12  4 log 
9
 1
log 36  9 log  
 16 
 log 3 log  251  


g.  log 36  log 27 
h. log 4 log 10 
f.
5
3
3
6
4
i.
 log 5
2
25

log 8
 log 9 log 625 
5
9
4. Misalkan diketahui 2 log 3  p dan 2 log 5  q . Nyatakan tiap bentuk berikut ini dalam p
dan q.
a. 6 log 50
b. 18 log 20
Modul Matematika Kelas X