FASOR DAN ELEMEN-ELEMEN DASAR RANGKAIAN LISTRIK

FASOR DAN impedansi
pada ELEMEN-elemen DASAR
RANGKAIAN LISTRIK
1. Fasor
Fasor adalah grafik untuk menyatakan magnituda (besar) dan
arah (posisi sudut). Fasor utamanya digunakan untuk menyatakan
gelombang sinus dalam bentuk magnituda dan sudut serta untuk analisis
rangkaian reaktif. Contoh fasor diperlihatkan pada Gambar 1. Panjang
panah fasor menyatakan magnituda dan sudut θ menyatakan posisi sudut
seperti pada bagian (a) untuk sudut positif. Contoh fasor pada bagian (b)
mempunyai magnituda 2 dan sudut fasa 45 0. Bagian (c) mempunyai
magnituda 3 dan sudut fasa 1800 dan bagian (d) magnituda 3 dan sudut
fasa -450 (+3150). Perhatikan bahwa sudut positif diukur berlawanan arah
jarum jam dari referensi (00) dan sudut negatif diukur searah jarum jam
dari referensi (00).
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 1. Contoh fasor
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
93
1.1 Representasi Fasor Gelombang Sinus
Siklus penuh dari gelombang sinus dapat dinyatakan sebagai
putaran fasor 3600. Nilai sesaat gelombang sinus pada setiap titik sama
dengan jarak vertikal dari ujung fasor ke sumbu horisontal. Gambar 2.
memperlihatkan gerakan fasor terhadap gelombang sinus dari 0 0 hingga
3600. Tampak bahwa panjang fasor sama dengan nilai maksimum dari
gelombang sinus (lihat sudut 900 dan sudut 2700).
Gambar 2. Representasi gelombang sinus dengan putaran fasor
1.2 Diagram Fasor
Diagram fasor digunakan untuk memperlihatkan hubungan relatif
dua atau lebih gelombang sinus pada frekuensi sama. Sebuah fasor posisi
tetap digunakan untuk menyatakan gelombang sinus penuh, sebab sudut
fasa antara dua atau lebih gelombang sinus frekuensinya sama. Misalnya,
dua gelombang sinus pada Gambar 3(a) dapat dinyatakan dengan
diagram fasor seperti bagian (b). Tampak bahwa gelombang sinus B
leading terhadap gelombang sinus A sebesar 300 dan amplituda lebih kecil
dari gelombang sinus A, yang ditunjukkan dengan panjang fasor.
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
94
Gambar 3. Contoh diagram fasor
Notasi Fasor fungsi sinusoidal untuk tegangan dan arus adalah :
v = Vm Sin (ωt ±θ)  V = Vm  ±θ
i = Im Sin (ωt ±θ)
 I = Im  ±θ …..…………………….…...(1)
Karena nilai maksimum hanya digunakan dalam analisis
rangkaian arus bolak balik maka fasor didefinisikan kembali yaitu nilai
fasor ekivalen dengan nilai efektif (rms) untuk keseragaman. Oleh sebab
itu bentuk fasor tegangan dan arus dituliskan sebagai berikut :
V = V θ
I = I θ
………………………………...(2)
dimana V dan I adalah nilai rms dan θ adalah sudut fasa.
Contoh 1
Konversi bentuk di bawah ini dari domain waktu ke domain fasor
Domain waktu
Domain fasor
a. √2 (50) sin ωt
50  00
b. 69.6 sin (ωt + 720)
(0.707)(69.6)  720= 49.21  720
c. 45 cos ωt
(0.707)(45)  900= 31.82  900
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
95
Contoh 2
Konversi bentuk di bawah ini dari domain fasor ke domain waktu jika
frekuensi 50 Hz.
Domain fasor
Domain waktu
a. I = 10  300
i = √2 (10) sin (100πt +300)
i = 14.14 sin (100πt +300)
b. V = 115  -700
v = √2 (115) sin (100πt - 700)
v = 162.6 sin (100πt - 700)
2. Hubungan V-I dan Notasi Fasor pada Elemen R, L, C
Elemen Resistor ( R )
Setiap saat daya dapat dikirim ke resistor tanpa memperhatikan
polaritas tegangan atau arus, kecuali pada saat iR= 0 Amp. atau vR= 0Volt.
Hal ini diperlihatkan pada Gambar 4.
Pada saat tegangan yang
diterapkan mencapai nilai maksimum +8V arus yang melalui resistor
adalah 4A, dan daya yang dikirim adalah 32W seperti yang diperlihatkan
pada gambar. Bila tegangan diperkecil setengah dari tegangan maksimum
yaitu 4V maka arusnya adalah 2A dan dayanya 8W. Bila arusnya 0A dan
tegangan 0V maka dayanya juga 0W.
Bila diterapkan tegangan
maksimum -8V maka polaritas arus terbalik seperti pada gambar, tetapi
arus yang melalui resistor tetap 4A dan dayanya 32W. Dengan demikian
tampak bahwa perubahan arah arus tidak mempengaruhi daya yang
dikirim ke resistor.
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
96
Gambar 4. Demonstrasi pengiriman daya dengan sumber tegangan
sinusoidal
Jika kita sekarang memplot tegangan dan arus pada grafik yang
sama diperoleh gambar seperti pada Gambar 5. Dari Gambar 5. terlihat
bahwa arus dan tegangan mencapai nilai maksimum dan nilai nol pada
saat yang sama, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk
elemen resistor ;tegangan dan arus adalah sefasa.
Gambar 5. Tegangan dan arus sefasa pada resistor
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
97
Notasi Fasor
Notasi fasor tegangan pada resistor dapat dituliskan sebagai
berikut :
vR = Vm sin ωt
VR = VR  00

dimana VR = VR(rms) = 0.707 Vm
Gunakan hukum Ohm :
IR 
VR 0 0
V
V
 R 0 0   R  R    R
R R
R
R
Untuk keseragaman format, θR dihubungkan dengan elemen resistor.
Karena vR dan iR sefasa maka sudut θR = 00. Substitusi θR = 00 maka :
VR 0 0
V
V
 R 0 0  0 0  R 0 0
IR 
0
R
R
R0
Konversi hasilnya kembali ke domain waktu adalah :
V
iR  2  R
 R

 sin t

……………………………………………..(3)
Elemen Induktor ( L )
Untuk elemen induktif, tegangan adalah berbanding lurus dengan
L dan laju perubahan arus yang dapat dinyatakan sebagai berikut :
vL  L
di L
dt
………………………………………………(4)
Dari persamaan (4), jika laju perubahan arus adalah nol maka tegangan
yang terinduksi pada L adalah nol. Jika laju perubahan arus menuju
maksimum positif maka tegangannya adalah maksimum positif, jika laju
perubahan arus menuju maksimum negatif maka tegangannya adalah
maksimum negatif.
Arus sinusoidal selalu menginduksikan tegangan sinusoidal pada
rangkaian induktif. Oleh karena itu tegangan dapat digambar berkenaan
dengan nilai arus, dengan mengetahui titik-titik pada kurva arus dan nilai
tegangan adalah nol pada saat arus maksimum. Hubungan fasa dapat
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
98
dilihat pada Gambar 6.(a). Perhatikan bahwa tegangan leading terhadap
arus sebesar 900. Hubungan tegangan dan arus sebagai fasor
diperlihatkan pada Gambar 6.(b).
Gambar 6. Hubungan fasa arus - tegangan induktor
Notasi Fasor
Notasi fasor untuk arus pada induktor didefinisikan sebagai
berikut :
iL = Im sin ωt
 IL = IL  00
dimana IL = IL(rms) = 0.707 Im
Gunakan hukum Ohm untuk elemen induktif :
VL = IL  00 . XL  θL = IXL  θL + 00 = IXL  θL
Karena vL harus lead terhadap iL sebesar 900, maka θL harus 900 .
Substitusi θL = 900 akan diperoleh
VL = IL  00 . XL  900 = IXL  900 = I jXL
Dalam domain waktu adalah :
v L = √2 (IXL) sin (ωt+900)
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
………………………………………(5)
99
Elemen Kapasitor ( C )
Untuk elemen kapasitif, arus adalah berbanding lurus dengan
besar kapasitansi C dan laju perubahan tegangan yang dapat dinyatakan
sebagai berikut :
iC  C
dv C
dt
………………………………………………(6)
Bentuk gelombang tegangan mempunyai laju perubahan maksimum (dv/dt
= maksimum) pada nilai nol dan laju perubahan nol (dv/dt=0) pada nilai
maksimum, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 7.
Dari persamaan (6), jika dv/dt=0 maka i=0 dan jika dv/dt menuju
maksimum positif maka i adalah maksimum positif dan sebaliknya dv/dt
menuju maksimum negatif maka i adalah maksimum negatif.
Gambar 7. Laju perubahan dari gelombang sinus
Tegangan sinusoidal selalu menghasilkan arus sinusoidal untuk
rangkaian kapasitif. Oleh karena itu arus dapat digambar berkenaan
dengan tegangan, dengan mengetahui titik-titik pada kurva tegangan dan
arus adalah nol pada saat tegangan maksimum. Hubungan fasa dapat
dilihat pada Gambar 8.(a) Perhatikan bahwa arus leading terhadap
tegangan sebesar 900. Hubungan arus dan tegangan sebagai fasor
diperlihatkan pada Gambar 8.(b).
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
100
Gambar 8. Hubungan fasa arus - tegangan kapasitor
Notasi Fasor
Notasi fasor untuk tegangan pada kapasitor didefinisikan sebagai
berikut :
vC = Vm sin ωt
 VC = VC  00
dimana VC = VC(rms) = 0.707 Vm
Gunakan hukum Ohm akan menghasilkan :
IC 
VC 0 0
V
V
 C 0 0   C  C    C
X C  C
XC
XC
Karena iC leading terhadap vC sebesar 900, maka θC harus mempunyai
sudut -900 . Substitusi θC = - 900 akan diperoleh
IC 
VC 0 0
V
V
 C 0 0  ( 9 0 0 )  C 900
0
XC
XC
X C   90
Hasilnya dalam domain waktu adalah :
V 
i C  2  C  sin (t  900 )
 XC 
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
……………………………………(7)
101
3. Impedansi pada Elemen R, L, dan C
Impedansi adalah perbandingan antara tegangan fasor dan arus
fasor, yang diberi simbol Z. Magnituda impedansi adalah perbandingan
antara magnituda tegangan fasor dan magnituda arus fasor; sudutnya
adalah selisih sudut tegangan dan arus. Satuan impedansi adalah ohm.
Impedansi adalah bilangan kompleks, bukan fasor oleh karena
bukan fasor maka tidak mempunyai fungsi dalam domain waktu.
Impedansi dapat dinyatakan dalam bentuk polar (persamaan 8) maupun
dalam bentuk rektangular (persamaan 9).
Z = ІZІ  Z
…………………………………………………...… (8)
Z = R+jX
…………………………………………………..… (9)
dimana R = Re Z = komponen resistif = resistansi
X = Im Z = komponen reaktif = reaktansi
θZ = selisih sudut antara tegangan dan arus
Z  R 2  X2
 Z  tan 1
X
R
Elemen Resistor
VR
VR 0 0
ZR 

 R0 0
0
I R I R 0 / R
………………………..…(10)
VR = IR ZR
Elemen Induktor
iL = Im sin ωt
di L
d(I m sin t )
L
 L (I m cos t )
dt
dt
V = ωLI
v L
V LI

 L  2  fL
I
I
ZL = jXL = S L = jωL = ωL 900
XL 
…………………………….(11)
………………………. (12)
VL = IL ZL
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
102
Elemen Kapasitor
VC = Vm sin ωt
i C
dVC
d( Vm sin t )
C
 C ( Vm cos t )
dt
dt
I = ωCIm
XC 
V
V
1
1



I CV C 2  fC
ZC = -jXC = -j
…………………………….(13)
1
1
  900
=
2  fC
2  fC
….………….…. (14)
VC = IC ZC
Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-L
Impedansi total rangkaian seri R-L adalah penjumlahan dari R
dan XL yang dapat dinyatakan sebagai berikut :
Z = R + jXL
……………………………………………………(15)
Diagram fasor dari R dan XL tampak pada Gambar 9.
Gambar 9. Segitiga impedansi rangkaian seri R-L
Segitiga Impedansi Rangkaian Seri R-C
Impedansi total rangkaian seri R-C adalah penjumlahan dari R
dan XC yang dapat dinyatakan sebagai berikut :
Z = R – jXC
………………………………………………………(16)
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
103
Diagram fasor dari R dan XC tampak pada Gambar 10.
Gambar 10. Segitiga impedansi rangkaian seri R-C
4. Respon Frekuensi pada Elemen R, L, dan C
Elemen Resistor
Untuk sebuah resistor ideal, kita dapat mengasumsikan bahwa
frekuensi tidak berpengaruh pada level impedansi seperti yang tampak
pada Gambar 11. Perhatikan bahwa pada frekuensi 5 kHz atau 20 kHz,
resistansi dari resistor adalah tetap 22 Ω; tidak ada perubahan.
Gambar 11. Grafik R terhadap frekuensi
Elemen Induktor
Untuk induktor ideal, persamaan reaktansi dapat dituliskan
sebagai berikut :
XL = ωL = 2πf L = (2πL) f = kf dimana k=2πL
Persamaan yang diperoleh dapat disamakan dengan persamaan garis
lurus berikut :
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
104
y = mx + b = kf + 0 = kf
dimana b=0 dan slope adalah k atau 2πL. XL adalah variabel y dan f
adalah variabel x seperti pada Gambar 12. Karena induktansi menentukan
slope dari kurva maka induktansi yang lebih besar digambarkan sebagai
garis lurus yang lebih curam yang dapat dilihat pada Gambar 12. Selain
itu juga terlihat bahwa untuk f = 0 Hz, reaktansi dari setiap titik adalah 0
ohm. Dengan mensubstitusi f = 0 Hz diperoleh :
XL = 2πf L = 2π(0)L = 0 Ω
Karena diperoleh reaktansi nol ohm maka dikaitkan sebagai karakteristik
short circuit, sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Pada frekuensi 0 Hz, sebuah induktor dinyatakan sebagai sebuah
karakteristik dari short circuit seperti yang diperlihatkan pada Gambar
13.
Gambar 12. Grafik XL terhadap frekuensi
Gambar 13. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada induktor
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
105
Pada Gambar 13. terlihat bahwa bila frekuensi dinaikkan maka reaktansi
juga bertambah, sehingga mencapai level yang cukup tinggi pada
frekuensi yang sangat tinggi. Sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut :
Pada frekuensi yang sangat tinggi , sebuah induktor dinyatakan
sebagai karakteristik open circuit seperti yang diperlihatkan pada
Gambar 13.
Elemen Kapasitor
Persamaan reaktansi untuk kapasitor adalah :
1
dapat ditulis sebagai
XC 
2fC
XCf 
1
k
2C
Dimana sesuai dengan format dasar untuk hiperbola :
yx=k
dimana XC adalah variabel y dan f adalah variabel x serta k adalah
konstanta yang sama dengan 1/2πC. Hiperbola mempunyai bentuk sepeti
pada Gambar 14. tampak bahwa untuk kapasitansi yang lebih besar
kurvanya mendekati sumbu vertikal pada frekuensi rendah dan mendekati
sumbu horisontal pada frekuensi tinggi. Pada frekuensi 0 Hz atau
mendekati nol reaktansi sangat tinggi, sebagaimana dapat ditentukan dari
rumus berikut :
XC 
1
1


2fC 2(0)C
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
Pada frekuensi 0 Hz atau mendekati nol karakteristik kapasitor dapat
dinyatakan sebagai open circuit, dan frekuensi yang sangat tinggi
kapasitor dinyatakan sebagai short circuit seperti yang diperlihatkan
pada Gambar 15.
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
106
Gambar 14. Grafik XC terhadap frekuensi
Gambar 15. Pengaruh frekuensi rendah dan tinggi pada kapasitor
Rangkaian listrik I by Zaenab Muslimin
107