Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting

Distribusi Diskrit dan Kontinu
yang Penting
Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit
• Fungsi probabilitas dari variabel random
diskrit dapat dinyatakan dalam formula
matematik tertentu yang dinamakan fungsi
distribusi diskrit.
• Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini
antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi
binomial, distribusi geometrik dan distribusi
Poisson
Distribusi Uniform Diskrit
• Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi
variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa
semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama
untuk muncul.
• Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilainilai 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 mempunyai probabilitas yang
sama, maka variabel random X disebut mempunyai
distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan
𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑘 , jika fungsi probabilitasnya berbentuk :
𝟏
𝒇 𝒙; 𝒌 =
𝒌
Distribusi Uniform
• Contoh: pada pelambungan sebuah dadu,
semua titik sampel dalam S = {1,2,3,4,5,6}
mempunyai probabilitas yang sama untuk
1
1
muncul, yaitu sebesar . Jadi 𝑓 𝑥; 6 =
6
6
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Untuk variabel random X yang mempunyai
distribusi uniform diskrit, maka
𝝁=
𝟏
𝟐
𝒌+𝟏
𝟐
𝝈 =
𝟏
𝟐
𝒌𝟐 + 𝟏
Distribusi Binomial
• Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan,
kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan
menjadi ‘sukses’ atau ‘gagal’, dengan probabilitas
sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka
distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi
binomial.
• Suatu variabel random diskrit X dikatakan
berdistribusi binomial dengan parameter n dan p,
dinotasikan dengan 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑛, 𝑝 , maka fungsi
probabilitasnya berbentuk :
𝒏 𝒙
𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 =
𝒑 𝟏 − 𝒑 𝒏;𝒙 , untuk x = 0,1,2,…,n
𝒙
x = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p =
probabilitas sukses
Distribusi Binomial
• Contoh : sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Berapa
probabilitas bahwa dalam 5 kali pelambungan
muncul mata dadu 2 sebanyak 3? Jawab : x = 3, n
1
1
5 1 3 5 2
= 5 , p = , maka b(3;5, ) =
= 0.032
6
6
6
3 6
• Jika variabel random diskrit X mempunyai
distribusi binomial dengan parameter n dan p
maka
𝝁 = 𝒏𝒑
𝝈𝟐 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑
Distribusi Geometrik
Contoh kasus : dalam transmisi gelombang,
probabilitas gelombang yang ditransmisikan
diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa
setiap transmisi gelombang adalah kejadian
independen (saling bebas), dan misalkan X
menotasikan
jumlah
gelombang
yang
ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror
yang pertama.
Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4
gelombang pertama yang ditransmisikan tidak
mengalami eror dan gelombang ke-5 baru
mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan
{OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang
diterima tidak mengalami eror).
Distribusi Geometrik
• Karena setiap transmisi gelombang adalah
kejadian independen, maka
P(X=5) = P{OOOOE} = 0,94 0,11 = 0,066
• Variabel random X yang menyatakan
banyaknya percobaan sampai terjadinya
sukses yang pertama kali dikatakan
berdistribusi geometrik dengan parameter p,
dinotasikan dengan 𝑋~𝐺𝑒𝑜 𝑝 , fungsi
probabilitas berbentuk
𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒑 𝒙;𝟏 𝒑
untuk x = 1,2,3,…
Distribusi Geometrik
• Jika X berdistribusi
parameter p, maka
𝟏
𝝁=
𝒑
Geometrik
𝟏−𝒑
𝝈 =
𝒑𝟐
𝟐
dengan
Distribusi Poisson
• Jika pada distribusi binomial parameter n
cukup besar (secara teoritis n → ∞ ), maka
diperoleh distribusi Poisson dengan parameter
λ = 𝑛𝑝.
• Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan
mempunyai distribusi Poisson dengan
parameter λ, dinotasikan 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 λ , jika
fungsi probabilitasnya sbb:
𝑝 𝑥; λ =
λ𝑥 𝑒 −λ
𝑥!
; untuk x = 0, 1, 2, 3, …
Distribusi Poisson
• Contoh : jika probabilitas seseorang terkena
penyakit demam adalah 0.005, berapa
probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang
terkena penyakit demam dari 3000 orang?
Jawab : diperoleh λ = 3000𝑥0,005 = 15, sehingga
p(18;15)
1518 𝑒 −15
=
18!
= 0.0706
• Jika variabel random X mempunyai distribusi
Poisson, dengan parameter λ, maka
𝝁=𝝀
𝝈𝟐 = 𝝀
Distribusi Kontinu
• Fungsi densitas probabilitas dari variabel
random kontinu dapat dinyatakan pula dalam
formula matematik tertentu yaitu fungsi
distribusi kontinu.
• Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini
adalah distribusi uniform kontinu, distribusi
normal, distribusi Chi-Square, distribusi
Student’s t dan distribusi F.
Distribusi Uniform Kontinu
• Definisi : suatu variabel random kontinu X
mempunyai distribusi uniform kontinu pada
selang
𝑎, 𝑏
,
dinotasikan
dengan
𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑎, 𝑏 ,
jika fungsi densitasnya
berbentuk:
• 𝑓 𝑥 =
1
𝑏;𝑎 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘
𝑎<𝑥<𝑏
0 ,untuk x yang lain
Distribusi Uniform Kontinu
• Jika variabel random kontinu X berdistribusi
uniform kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 , maka :
𝝁=
𝟏
𝟐
𝒂+𝒃
𝟐
𝝈 =
𝟏
𝟏𝟐
𝒃−𝒂
𝟐
Distribusi Normal
• Fungsi distribusi dari variabel random kontinu
yang paling luas penggunaannya adalah fungsi
distribusi normal.
• Kurva normal berbentuk seperti lonceng
(bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.
• Kurva normal adalah simetris, dengan mean
dan median berada di tengah-tengah.
Distribusi Normal
• Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam
menggambarkan data yang muncul dalam
kehidupan sehari-hari.
• Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa
Pendidikan Kimia yang mengambil mata kuliah
Statistika Dasar berdistribusi Normal, maka
dikatakan bahwa sebagian besar nilai
mahasiswa berada di sekitar rataan dan
sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya
sangat bagus dan sangat sedikit pula yang
nilainya sangat jelek.
Distribusi Normal
• Definisi : variabel random kontinu dikatakan
berdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan
𝜎 2 , dinotasikan dengan 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 , jika
fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒆
𝝈 𝟐𝝅
𝟏 𝒙−𝝁 𝟐
;
𝟐 𝝈
untuk −∞ < 𝒙 < ∞
Apabila 𝜇 = 0 dan 𝜎 2 = 1, maka diperoleh
distribusi normal standar, dinotasikan dengan
𝑁 0,1 , sering disebut dengan distribusi Z,
fungsi densitasnya sbb :𝑓 𝑧 =
1 2
1
𝑒 ;2𝑧
2𝜋
Distribusi Normal
Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal
biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X
adalah
1
satuan.
Yaitu
;∞
;∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 ∞ 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 1
∞
Sifat kurva normal 𝑁 𝜇, 𝜎 2 :
• Asimtotik terhadap sumbu X.
• Simetris terhadap garis 𝑥 = 𝜇.
• Mempunyai titik koordinat maksimum
1
𝜇,
𝜎 2𝜋
• Mempunyai dua titik belok yg berjarak 𝜎 dr sb simetri
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan
Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
• Jika variabel random X berdistribusi normal biasa
dengan fungsi densitas probabilitas 𝑓 𝑥 , maka
𝑏
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah
kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b
Namun bukan pekerjaan yang mudah mengingat
bentuk fungsi densitas probabilitas dari variabel
random X yg cukup rumit. Sehingga para ahli statistik
menyediakan tabel yang menyatakan luas di bawah
kurva normal standar, di atas sumbu Z dan dibatasi oleh
Z = 0 dan Z = z
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan
Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
• Dengan cara
mentransformasikan
nilai variabel X ke
variabel Z dengan
𝑍=
𝑋;𝜇
.
𝜎
• Tabel kurva normal
standar
Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan
Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar
Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva
normal baku:
a. Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34
b. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0
c. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34
d. Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56
e. Di sebelah kanan Z = -0.57
f. Di sebelah kanan Z = 1.87
Contoh Kasus
1. Rataan nilai UAN mata pelajaran Kimia dari
2500 siswa di Kota Solo adalah 85 dan mempunyai
standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa
data tersebut adalah data yang berasal dari
populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak
siswa:
• Yang nilainya lebih dari 90?
• Yang nilainya antara 75 dan 90?
Contoh Kasus
2. Rataan skor masuk suatu perguruan tinggi
negeri adalah 120.5 dengan standar deviasi 20.
Sesuai dengan formasi yang ada, dari
keseluruhan peserta tes hanya akan diambil 30%
saja. Berapa skor terendah yang diterima di
perguruan tinggi negeri tersebut jika distribusi
skor dianggap normal?
Titik 𝑧𝛼
Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji
hipotesis, sering diperlukan nilai 𝑧0 tertentu
sehingga luas di sebelah kanan 𝑍 = 𝑧0 dan di
bawah kurva normal standar sama dengan 𝛼. Titik
𝑧0 yang seperti ini dinamakan 𝑧𝛼 . Jadi diperoleh,
• 𝑃 𝑍>
• 𝑃 𝑍>
∞
𝑧𝛼 = 𝑧 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
𝛼
∞
𝑧1;𝛼 = 𝑧 𝑓 𝑧
1−𝛼
=𝛼
𝑑𝑧 = 1 − 𝛼
dimana 𝑧1;𝛼 = −𝑧𝛼
• 𝑃 −𝑧𝛼 < 𝑍 < 𝑧𝛼 =
𝑧𝛼
𝑓
;𝑧𝛼
𝑧 𝑑𝑧 = 1 − 2𝛼
Titik 𝑧𝛼
Jika digambarkan:
Dengan melihat tabel distribusi normal standar,
akan diperoleh nilai-nilai:
• 𝑧0.01 = 2.33
𝑧0.005 = 2.58
• 𝑧0.025 = 1.96
𝑧0.05 = 1.96
Distribusi Chi-Square
• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 jika
fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:
1
𝑥
1
𝑣;1 ;
2
2
𝑥
𝑒
1
1
𝑓 𝑥 = 𝜞 𝑣 22𝑣
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0
2
0, 𝑢𝑛𝑡𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
dengan 𝑣
bilangan asli dan 𝜞 𝑘 =
∞ 𝑛;1 ;𝑘
𝑥
𝑒
𝑑𝑥
.
Fungsi
𝜞
𝑘
disebut
fungsi
0
gamma
Distribusi Chi-Square
• Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣
disajikan dengan 𝟀2 𝑣 , dan jika 𝑋 berditribusi Chisquare dengan derajat kebebasan 𝑣 disajikan
dengan 𝑋~𝟀2 𝑣 .
• Grafik distribusi Chi-square
• Jika var. random X berdistribusi 𝟀2 𝑣 , maka
𝜇=𝑣
𝜎 2 = 2𝑣
Distribusi Chi-Square
2
• Untuk nilai 𝛼 dan 𝑣 tertentu, harga 𝜒𝛼;𝑣
dapat dicari
melalui tabel.
2
• Contoh 𝜒0.025;6
= 14.449
Distribusi Student’s 𝑡
• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi
student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 jika fungsi
densitas probabilitasnya berbentuk:
• 𝑓 𝑥 =
1
𝜋𝑣
𝑣+1
𝜞 2
𝑣
𝜞 2
𝑣+1
1+
; 2
𝑥2
𝑣
, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞
dengan 𝑣 = 1,2,3, …
Distribusi tersebut disajikan dengan 𝑡 𝑣 atau X~𝑡 𝑣 .
• Grafik distribusi student’s 𝑡
Distribusi Student’s 𝑡
• Nilai-nilai 𝑡 yang bersesuaian dengan derajat
kebebasan 𝑣 dan 𝛼 dapat dilihat pada tabel
berikut:
• Misal 𝑡0.10;15 = 1.341, 𝑡0.05;25 = 1.708
Distribusi Student’s 𝑡
• Jika variabel random kontinu X berdistribusi
student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 maka:
𝜇=0
2
𝜎 =
𝑣
𝑣;2
Distribusi F
Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan
derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 jika fungsi densitasnya berbentuk:
𝑣1 + 𝑣2
𝑣1 𝑣2 𝑣1
𝑣1 :𝑣2
2
;1
;
2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0
𝑣 2𝑣 2𝑥2
𝑣2 + 𝑣2 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝜞 𝑣1 𝜞 𝑣2 1 2
2
2
0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
𝜞
Distribusi tersebut disajikan dengan 𝐹 𝑣1 , 𝑣2 atau X~𝐹 𝑣1 , 𝑣2 .
Grafik distribusi F:
Distribusi F
Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat
nilai 𝛼 = 0.01 dan 𝛼 = 0.05 dan nilai-nilai 𝑣1
dan 𝑣2 tertentu. Contoh: 𝐹0.05;4;9 = 3.63
Jika variabel random kontinu X berdistribusi F
dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 maka:
• 𝜇=
𝑣2
𝑣2 ;2
• 𝜎2 =
, untuk 𝑣2 > 2
2𝑣22 𝑣1 :𝑣2 ;2
𝑣1 𝑣2 ;4 𝑣2 ;2 2
, untuk 𝑣2 > 4
Tabel F untuk 𝛼 = 0.01
Tabel F untuk 𝛼 = 0.05