Fungsi Konveks dan Konkaf

Fungsi Konveks dan Konkaf
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Fungsi konveks dan konkaf memegang
peranan penting pada pemrograman non
linier
• Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik
dijamin keberadaannya
• Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang
merupakan himpunan konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Definisi Himpunan Konveks
• Himpunan   R konveks jika x’, y”  , maka
z= c x’ + (1-c) x’’  , c  [0, 1 ]
x
z
y
Himpunan titiktitik di  , di mana sembarang
pasangan titik di dalam himpunan  dihubungkan
oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga
di 
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
(a) dan (b) himpunan konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x’, x”  :
f(cx ‘+ (1-c) x”) < cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]
f(x”)
Y*
f(x’)
Y**
Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)
Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
•Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x’, x”
 :
f(cx’+ (1-c) x”) ≥ cf(x’) + (1-c)f(x”), c [0,1]
Y**
f(x”)
Y*
f(x’)
Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”)
Y*= cf(x’) + (1-c)f(x”)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan
dengan
TEOREMA 1
Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum
adalah global minimum,
Jika f(x) konkaf pada  maka lokaI maksimum
adalah global maksimum.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf
berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 2:
• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)
 C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya
jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf
berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 2 (lanjut):
• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x)
 C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya
jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf
berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua
Teorema 3:
• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)
 C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya
jika:
• Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)
 C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya
jika:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh:
f(x) = ex dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
f(x) = 𝑥 1/2 adalahfungsikonkaf
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf
untuk X Rn
  Rn adalah himpunan konveks jikax’, x”  
z = cx’ +(1 - c)x”   , c  [0,1]
di mana x’ = (x’1 ,…,x’n) dan x” = (x”1 ,…,x”")
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf
untuk X Rn
TEOREMA:
• f :   R adalah fungsi konveks jika x, y  
:
– f(cx’ +(1 - c)x” ) ≤cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c  [0,1] dan
– f(y) > f(x) + (y-x)' f(x)
• f :   R adalah fungsi konkaf jika x, y   :
– f(cx’ +(1 - c)x” ) ≥cf(x’ )+(1 - c)f(x”) , c  [0,1] dan
– f(y) ≤f(x) + (y-x)' f(x)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• di mana:
Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan
pertama secara parsial terhadap masing-masing xi
Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan
konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi -
Matriks Hessian
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Matriks Hessian suatu fungsi
• Matriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,…, xn)
adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya
adalah:
2
 f
 xi  x j
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
TEOREMA:
• Jika𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatpositif semi definit∀ 𝑥 ∈
maka f adalahfungsikonveksdalam
• Jika𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatpositifdefinit∀ 𝑥 ∈ makaf
adalahfungsikonveksketatdalam
Definisi:
• MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif
semi definitjika:
Q(x) = x’Ax>0 x  0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
TEOREMA:
• Jika𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatnegatifsemi definit∀ 𝑥 ∈
maka f adalahfungsikonkafdalam
• Jika𝛻 2 𝑓(𝑥)bersifatnegatifdefinit∀ 𝑥 ∈
makaf adalahfungsikonkafketatdalam
Definisi:
• MatriksAberukurannxn
adaiahmatriksnegatifsemi definitjika:
Q(x) = - x’Ax>0 x  0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Definisi:
• Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah
determinan dari matriks i×i yang diperoleh dari
penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang
bersesuaian dari matriks tersebut
• Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat n
minor utama
• Minor utama ke-1 adalah diagonal utama.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh perhitungan minor utama
suatu matriks
• Pada matriks berukuran 2×2 berikut
• Dimiliki 2 minor utama
• Minor utama ke-1 adalah determinan dari
matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan
kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II):
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Minor utama ke-2 adalah determinan dari
penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari
matriks tsb  determinan dari matriks itu
sendiri
det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
TEOREMA:
• Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh
minor utama dari A bernilai >0 (non negatif)
• Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor
utama dari A bemilai >0 (positif)
• Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor
utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.
• Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh
minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan
Sifat Matriks Hessian
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk
Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi
• Diberikan fungsi berikut:
• Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah:
=
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor
utama
• Minor utama ke-1 adalah:
• Untuk x1≥0 maka minor utama ke-1:
• 2 >0 dan 6x1 ≥0
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Minor utama ke-2 adalah determinan dari:
• Yang bernilai 12x1 – 4
• Hanya akan bernilai ≥0 untuk x1 ≥ 1/3
• Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian
yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 ≥ 1/3
• Fungsi bersifat konveks untuk x1 ≥ 1/3
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Latihan
• Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi
berikut ini:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc