PSBW ATOM HIDROGEN

TUGAS KULIAH
PSBW ATOM HIDROGEN
Oleh :
Komang Suardika
0913021034
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FMIPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
SINGAR AJ A
2012
1
PENERAPAN PSBW PADA ATOM HIDROGEN
I. FORMULASI UMUM
Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton, partikel yang bermuatan listrik
+e, dan sebuah elektron, partikel yang bermuatan –e. Massa proton mp jauh lebih besar dari
massa elektron me, mp= 1836 me. Sehingga dilakukan suatu penyederhanaan dengan
mengasumsikan bahwa proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak
mengelilinginya di bawah pengaruh medan dan gaya coulumb. Dalam keadaan ini kita
pandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar pusat massa bersama yang
berada di dekat pusat proton. Namun, sebenarnya yang terjadi inti dan elektron berputar di
sekeliling pusat massanya yang terletak sangat dekat dengan inti karena massa inti jauh
lebih besar dari elektron.
Inti atom
hidrogen
pusat massa
Elektron
Sumbu
Gambar 1. Elektron dan inti sebuah atom hidrogen berputar pada pusat massa
sistem
Sistem seperti ini ekuivalen dengan partikel tunggal bermassa m’ yang berputar
disekeliling partikel yang lebih berat. Dalam teori Bohr koreksi gerak proton yang
dilakukan dengan mengganti massa m dengan massa reduksinya m’ yang dinyatakan
seperti persamaan berikut:
m' 
Mm
………………………………...……(1)
mM
Dengan m menyatakan massa elektron, M massa inti, dan m’ menyatakan massa tereduksi
dari elektron karena harganya lebih kecil dari m.
Untuk memperhitungkan gerak inti dalam atom hidrogen, dapat dibayangkan
bahwa elektron diganti oleh partikel yang bermassa m’ dan bermuatan –e. tingkat energi
atomnya menjadi:
2
En  
m' e4  1   m'  E1 
      ………………….(2)
2
8 o h 2  n 2   m  n 2 
Gerak inti semua tingkat energi hidrogen berubah dengan fraksi:
m'
M
1836


 0,99945
m M  m 1837
Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sisten hanya diberikan oleh elektron
yaitu energi kinetik sebesar:
K
1 2 m2v 2 P 2
mv 

……………………………………(3)
2
2m
2m
Energi potensial yang dimiliki elektron dalam atom hidrogen adalah energi potensial listrik
sebesar:
ke2
V 
r
e2
V 
..............................................................................( 4)
4 0 r
Maka energi total sistem adalah:
E  K V
E
P2
e2

........................................................................(5)
2m 4 0 r
Apabila kedua ruas pada persamaan (5) sama-sama dikalikan dengan fungsi gelombang
(  ) akan menghasilkan persamaan:
E 
p2
e2

 …………………………………………(6)
2m 4 0 r
 2
Karena: p   
, maka persamaan (6) menjadi:
x 2
2
2
2  2
e2
E  


2m x 2 4 0 r
2  2
e2
E  

.......................................................(7)
2m x 2 4 0 r
Dalam tiga dimensi Persamaan Schrodinger menjadi:
E  
Dimana i
2   2  2  2 
e2
 2  2  2  
 …………………(8)
2m  x
y
z  4 0 r


 
 j k 
x
y
z
3
 

  

  
 i  j  k . i  j  k   .   2
y
z   x
y
z 
 x
2
2
2


 2
x 2 y 2 z 2
………………….………(9)
Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (8) maka diperoleh:
E  
2 2
e2
 
 ………………………………….(10)
2m
4 0 r
Sehingga Persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen (pada tiga dimensi) adalah:


2 2 
e2
E(r )  
  (r ) 
 (r )
2m
4 0 r
II. PENERAPAN UNTUK POTENSIAL BERSIMETRI BOLA
Persamaan Schrodinger Bebas Waktu (PSBW) untuk elektron dalam atom hidrogen
merupakan PSBW dalam tiga dimensi yang dirumuskan sebagai berikut:




2 2 
 (r )  V (r ) (r )  E(r ) ………………………………….(11)
2m
Kedua ruas pada persamaan (11) sama-sama dikalikan 
2m
,sehingga diperoleh:
2
 2m 


2m
 2  (r )  2 V (r )  (r )   2 E (r )






2
m
2
m
 2  (r )  2 V (r )  (r )  2 E (r )  0


 2m


 2  (r )  2 E  V (r )  (r )  0 ....................................................(12)

Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (12) maka:


 2   2   2  2m
 2  2  2 E  V (r ) (r )  0.....................................(13)
2
x
y
z

Karena V merupakan fungsi dari r dengan komponen r adalah x,y,z sehingga persamaan
(11) dapat dinyatakan dalam koordinat polar berbentuk bola yaitu r , , yang
didefinisikan seperti pada gambar berikut.
4
r
θ

z
x
y
yy
x
Gambar 2. Vektor posisi titik partikel P dalam koordinat polar berbentuk
bola



Vektor posisi partikel dinyatakan dengan komponen vektornya yaitu: r  x x  y y  z z .
r merupakan panjang vektor jari-jari dari titik asal O ke titik P yang besarnya
r  x2  y2  z 2
dengan:
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos 
Persamaan Schrodinger untuk elektron dalam tiga dimensi yang harus dipakai
untuk persoalan atom hidrogen adalan persamaan (13), sehingga dalam simetri bola
menjadi:


 2   2   2  2m
 2  2  2 E  V (r )  (r )  0
2
x
y
z



 2
 2
 2
2m


 2 E  V (r )  (r )  0
2
2
2
 (r sin  cos  )
 (r sin  cos  )
 (r cos  )



 2
2
 2
2m


 2 E  V (r )  (r )  0...........(14)
2
2
2
2
2
2
(sin  cos  ) r
( sin  cos  ) r
(cos  ) r

Substitusikan besar V  
e2
4 0 r
ke persamaan (14) sehingga diperoleh:
5
 2
 2
2
2m 
e2
E 



4 0 r
(sin  cos  ) 2 r 2 ( sin  cos  ) 2 r 2 (cos  ) 2 r 2  2 
III. TRANSFORMASI
PERSAMAAN
 
(r )  0

SCHRODINGER
KE
DALAM
KOORDINAT BOLA
Gambar berikut menunjukkan koordinat polar yang berbentuk bola di r , , suatu titik P
z
z
ˆ
rˆ
ˆ
P
r
̂


y
y

x
x
Gambar 3. Koordinat polar yang berbebtuk bola r , , suatu titik P
Karena sistem atom hidrogen mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana
jika operator  2 dinyatakan dalam koordinat bola r , , .
Berdasarkan gambar 3 di atas diperoleh bahwa:
cos  
x

   r sin 
x
r sin 
x  r sin  cos  ..........................................................................(15)
cos  
sin  
y

   r sin 
y
r sin 
y  r sin  sin  ...........................................................................(16)
sin  
z
r
z  r cos  .....................................................................................(17)
cos  
6
dengan r  x 2  y 2  z 2
Gerak dalam koordinat bola adalah:





  x cos   y sin 

r   sin   z cos 





r   x cos   y sin   sin   z cos 






r  x cos  sin   y sin  sin   z cos 





   sin (  90)  z cos (  90)

   cos   z sin 
   x cos   y sin   cos   z sin 










  x cos  cos   y sin  cos   z sin 

 tegak lurus dengan perputaran  , sehingga:






  x cos(  90)  y sin(  90)     x cos   y sin 






r
d 
r

( x cos  sin   y sin  sin   z cos  ) 
  x sin  sin   y cos  sin 
 d



r  

   x sin   y cos   sin 
 


r 
  sin  ..........................................................................................(18)




r
d 

( x cos  sin   y sin  cos   z cos  )
 d



r 
 x cos  cos   y sin  cos   z cos 


r 
  ......................................................................................................(19)

7




 

( x cos  cos   y sin  cos   z cos  )
 


 
 x sin  cos   y cos  cos 





 ( x sin   y cos  ) cos  .....................................................................( 20)





 

( x cos  cos   y sin  cos   z cos  )
 



 
 x cos  sin   y sin  cos   z cos 







  x cos  sin   y sin  cos   z cos  






  r .......................................................................................................(21)







( x cos   y sin  )
 




  x cos   y sin 





  ( x cos   y sin  )


 
  .......................................................................................................(22)







( x cos   y sin  )
 


 0........................................................................................................(23)

   (r ,  ,  )
d 




dr 
d 
d ...................................................................(24)
r



r rr


d r  d (r r )



d r  r dr  rd r
8


r
r
d r  r dr  r
r
................................................................................(25)




Dengan mensubstitusi persamaan (18) dan (19) pada persamaan (25), sehingga
didapatkan:




d r  r dr   r  d  r  sin d
 


r

   r .............................................................(26)
Dengan mensubstitusikan persamaan (24) dan (25) ke persamaan (26), sehingga
didapatkan:







dr 
d 
d .   r dr  r  d  r  sin d 
r












 dr 
d 
d    r dr  r  d  r  sin d ......................................(25)

 


 r
Persamaan (25) harus dipisahkan dengan sparasi variabel akan menjadi:

dr
r



r  r
(kedua ruas dikali r )
r
 
r
.............................................................................................................(26)
r

r dr 

r  d 

d



(kedua ruas dikali  )

 1 
 
...........................................................................................(27)
r 

r  

r  sin d 

d



(kedua ruas dikali  )


1

 
........................................................................................(28)
r sin  

r  sin  
9
Sehingga, operator del untuk koordinat bola dapat dirumuskan dengan persamaan
sebagai berikut:

r
 1   1



.
r
r 
r sin  
 2  .
   1   1
     1   1
 
 r  

 2   r  


r 
r sin    r
r 
r sin   
 r
 
  1 1 
 
1
1

2  r r   

r
r r 
r sin  r sin  
2
1  
1
2
  2  2
 2
r
r 
r sin 2   2
2
1   2  
1
r
 2
2
r     r sin 
1   2  
1
2  2
r
 2
r r  r  r sin 
2 
 
 
1
2
 sin 
 2
 
  r sin 2   2
 
 
1
 2
..............................(29)
 sin 
 2
 
  r sin 2   2
Dalam koordinat bola, PSBW (6) dapat ditulis sebagai berikut:
1   2  
1
 
 
1
 2  2m 
e2 
r

sin



E






  0 ...(30)
  r 2 sin 2   2  2 
4 o r 
r 2 r  r  r 2 sin   
Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (25) dengan r 2 sin 2  , maka diperoleh:
1   2  
1
 
 
1
 2  2m 
e2 
r

sin



E






  0
  r 2 sin 2   2  2 
4 o r 
r 2 r  r  r 2 sin   
2
r 2 sin 2   12 r  r 2 r   r 2 sin 2   2 1   sin     r 2 sin 2   2 1 2  2
r
r sin 
r sin  




2m 
e2 
 r sin   2  E 
  0
4 o r 
 
2
2
atau
sin 2 
  2  
 
   2  2mr 2 sin 2 

r
  sin 
 sin 

r  r 
 
   2
2

e2 
E


  0 .....(31)
4 o r 

Persamaan ini merupakan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam
sebuah atom hidrogen koordinat bola.
IV. SPARASI VARIABEL
Persamaan transformasi persamaan Schrodinger bebas waktu dalam sebuah atom
hidrogen koordinat bola:
10
  2  
 
   2  2mr 2 sin 2  
e2 
sin   r

  sin 
 sin 

E 
  0
r  r 
 
   2
2
4 o r 

2
Merupakan persamaan differensial untuk fungsi gelombang  dari elektron dalam atom
hidrogen. Jika fungsi  dinyatakan dengan:
r, ,    Rr   
Maka:

R
dR
 
 
r
r
dr


d
 R
 R


d
2
2
 
 
d 2

R


R

...........................................................................(32)
 2
 2
d 2
dengan mensubstitusikan persamaan (32) ke persamaan (31), maka akan diperoleh
persamaan sebagai berikut:
sin 2 
  2
R 
 
 
 2
 r 
  sin 
 sin R
  R 2
r 
r 
 
 

2mr 2 sin 2  
e2 

E 
 R  0 .....................................................................(33)
4 o r 
2

Jika persamaan (33) dibagi dengan R , diperoleh:
sin 2  d  2 R  sin  d 
d  1 d 2  2mr 2 sin 2 

r

 sin 

R dr  r 
 d 
d   d 2
2
Persamaan

e2 
E


  0 .....(34)
4 o r 

1 d 2
dibawa ke ruas kanan, karena hanya persamaan ini yang terdiri dari
 d 2
satu variabel.
sin 2  d  2 R  sin  d 
d  2mr 2 sin 2 
r

 sin 

R dr  r 
 d 
d 
2

e2 
1 d 2
E



.....(35)


4 o r 
 d 2

Ruas kanan dan ruas kiri pada persamaan (35) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan
tersebut akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang
2
sama, misalkan tetapan tersebut m1 yang besarnya adalah:

1 d 2
2
 m1 ...............................................................................................(36)
2
 d
Dengan mensubstitusikan persamaan (36) ke persamaan (35), dan memindahkan yang satu
variabel ke ruas kanan maka diperoleh:
11
sin 2  d  2 R  2mr 2 sin 2  
e2 
sin  d 
d 
2
R

 sin 
 ...........(37)
E 
  m1  
2
R dr 
r 
4 o r 
 d 
d 


Jika kedua ruas pada persamaan (37) dibagi dengan sin 2  , maka diperoleh:
2
m1
1 d  2 R  2mr 2 
e2 
sin  d 
d 

r
  2 E 
 sin 
 .........................(38)

2
R dr  r 
4 o r  sin 
 d 
d 
 
Ruas kanan dan kiri pada persamaan (38) merupakan fungsi yang berbeda. Persamaan
tersebut akan benar jika dan hanya jika kedua ruas merupakan sebuah tetapan yang sama,
misalkan tetapan tersebut adalah l (l  1) , sehingga diperoleh dua persamaan berikut.
1.
m2l
1
d 
d 

 sin 
  l l  1
2
d 
sin   sin  d 
2.
1 d  2 dR  2mr 2
r
 2
R dr  dr 

...............................................(39)
 e2


 E   l l  1 ...............................................(40)
 4 0 r

Persamaan (39) juga dapat diubah menjadi:
1 d 2

 m2l
2
 d
d 2

 m 2 l
2
d
d 2
 m 2 l  0.................................................................................(41)
2
d
Persamaan (41) merupakan persamaan untuk 
m2l
1
d 
d 

Persamaan (39) yaitu:
 sin 
  l l  1 dapat diubah menjadi:
2
sin   sin  d 
d 
ml2
1
d 
d 
 sin 
  l l  1 
 sin  d 
d 
sin 2 
ml2 
1 d 
d  
 sin 
   l l  1 

sin  d 
d  
sin 2  
ml2 
1 d 
d  


sin


l
l

1


 
  0 .....................................................(42)
sin  d 
d  
sin 2  
Persamaan (42) merupakan persamaan untuk 
Persamaan (40) yaitu:
1 d  2 dR  2mr 2
r
 2
R dr  dr 

 e2


 E   l l  1
 4 0 r

Dapat diubah dengan mengalikan persamaan di atas dengan R
r2
, maka diperoleh:
12
 l l  1
1 d  2 dR   2m  e 2
 E  
r
   2 
 R  0 .....................................(43)
2
r dr  dr     4 0 r
r2 

Persamaan (43) menunjukkan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati
atau menjauhi inti. Energi total elektron pada persamaan tersebut mencakup energi kinetik
gerak orbital yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Oleh karena itu,
energi kinetik elektron tersebut harus terdiri dari dua bagian yaitu:
a. K radial yang ditimbulkan oleh gerak elektron mendekati atau menjauhi inti dan
b. K orbital yang ditimbulkan oleh gerak elektron mengelilingi inti.
Sedangkan energi potensial elektron adalah energi listrik seperti persamaan (4). Jadi energi
total elektron adalah:
E  K radial  K orbital  V
E  K radial  K orbital 
e2
4 0 r
..................................................................(44)
Dengan mensubstitusikan persamaan (44) ke persamaan (43), maka diperoleh persamaan:
1 d  2 dR   2m  e 2
e 2  l (l  1) 


 K radial  K orbital 
r

R  0
4 0 r 
r 2 dr  dr    2  4 0 r
r2 
1 d  2 dR  2m 
 2 l (l  1) 


r

K

K



orbital
 radial
 R  0 ……………………..(45)
r 2 dr  dr   2 
2mr 2 
Persamaan (45) tersebut benar, jika dan hanya jika harga : K orbital 
persamaan
 2 l l  1
 0 , sehingga
2mr 2
1 d  2 dR  2m 
 2 l (l  1) 


r

K

K



orbital
 radial
 R  0 hanya sebagai fungsi
r 2 dr  dr   2 
2mr 2 
R(r) saja.
K orbital 
 2 l l  1
 0 ……………………………………….(46)
2mr 2
K orbital 
 2 l l  1
…………………………………………..(47)
2mr 2
Energi kinetik orbit elektron dirumuskan dengan persamaan:
K orbital 
1 2
mv orbital
2
………………………………………(48)
Persamaan (48) juga bisa dinyatakan dalam bentuk:
13
1 m 2 v 2 orbital r 2
2
m
r2
(mvorbitalr ) 2
K orbital 
..............................................................................(49)
2mr 2
K orbital 
Di mana:





L  r x p  r x(m v )
 rmv sin 90 0
 mvr


Arah v searah dengan arah p


p
v
r
r
X

_
m
r
r

L

r
r
X
elektron
Gambar 4.
Sehingga persamaan (49) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut yaitu:
K orbital 
L2
…………………………………………………………(50)
2mr 2
Dengan mensubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (50) diperoleh persamaan:
 2 l l  1
L2

2mr 2
2mr 2
L  l l  1
L   l l  1 .......................................................................(51)
Jadi momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum orbital dan
kekal. Dengan demikian, persamaan Schrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr.
Ada kejanggalan pada kuantisasi momentum sudut yang diperoleh Bohr.
Bohr
menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n). Bilangan kuantum
utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga digunakan untuk
14
menyatakan momentum sudut. Schrödinger dapat memperbaiki kejanggalan tersebut
karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam bilangan kuantum orbital.
Berdasarkan asas kesepadanan yang menyatakan bahwa akan terjadi kesepadanan
antara fisika klasik dan fisika kuantum untuk limit bilangan kuantum yang besar maka
kuantisasi momentum sudut Bohr akan sama dengan kuantisasi momentum sudut yang
diperoleh Scrödinger untuk bilangan kuantum orbital yang maksimum yaitu harga l =n-1,
maka persamaan (51) akan menjadi
L
n  1n
L
n 2  n
Karena nilai l maksimum, maka otomatis nilai n sangat besar sehingga:
n2  n  n2
L
n 
2
L  n.............................................................................................(52)
Dengan demikian, terbukti bahwa untuk limit bilangan kuantum yang besar, teori
kuantum mendekati teori klasik. Sehingga untuk n>1 akan memberikan hasil L  n yang
mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr . Inilah yang disebut dengan
asas perpadanan Bohr, yang menyatakan bahwa untuk bilangan kuantum utama yang
besar, teori kuantum mendekati teori klasik.
V. BILANGAN KUANTUM
Persamaan L  n menunjukkan kelemahan model atom Bohr yang mempostulatkan
bahwa momentum sudut elektron terkuantisasi dalam bilangan kuantum utama. Akan
tetapi bila harga l  n  1 , maka persamaan (52) akan menjadi:
L
n  1n
L
n 2  n
Sehingga untuk n>>, n 2  n  n 2 maka akan memberikan hasil L  n 2   n. yang
mendekati nilai momentum sudut menurut model atom Bohr, yang menyatakan bahwa
untuk bilangan kuantum utama yang besar, teori kuantum mendekati teori klasik.
Penyelesaiaan dari persamaan
d 2
 m 2 l adalah:
d 2
   e im ...................................................................(53)
15
Karena r , ,   harus bernilai tunggal maka   juga harus bernilai tunggal. Oleh
sebab itu   haruslah memenuhi syarat   0    2  , sebab keduanya nilai 
menyatakan titik yang sama. Berdasarkan syarat ini maka nilai m1 haruslah merupakan
bilangan bulat (positif atau negatif) atau nol. Jadi m1  0,  1,  2,.......
Selanjutnya persamaan
m2 
1 d 
d  
 sin 
  l l  1  2l   0 dapat diubah menjadi:
sin  d 
d  
sin  
ml2 
d 2
1 d 




l
l

1


  0
d 2 tan  d 
sin 2  
ml2 
d 2
1 d 





   0..................................................................(54)
d 2 tan  d 
sin 2  
dimana:   l l  1
Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan ini maka persamaan diferensial tersebut
diubah dengan mengubah variabel  menjadi  berdasarkan definisi:
  cos 
Sehingga:
   F   dan
d
d
  1 2
...............................................................(55)
d
d
Dengan menggunakan variabel pada persamaan (55) maka persamaan:
ml2 
d 2
1 d 





  0
d 2 tan  d 
sin 2  
Dapat diubah menjadi:
d
d
m12

2 dF 
1



F  F  0 ...................................................................(56)

d  1   2



Kita mulai dengan menggunakan m1=0, kemudian kita selesaikan untuk m1  0 .
Untuk m1  0 , akan diperoleh:
d
d

2 dF 
 1   d   F  0 …………………………………………………………(57)




Penyelesaian persamaan ini dinyatakan dengan deret pangkat F     a k  k , dengan
k 0
koefisien a k memenuhi hubungan rekursi:
ak 2 
k k  1  
a …………………………………………………(58)
k  1k  2 k
16
Deret pangkat F     a k  k merupakan deret divergen untuk   1 . Karena   1
k 0
merupakan nilai yang mungkin dimiliki  , mengingat   cos  , maka deret ini harus
dipaksa berhenti sampai titik tertentu, misalnya sampai suku berpangkat l. Jadi deret
l
pangkat F     a k  k harus dibatasi menjadi polinom F     a k  k , dengan
k 0
k 0
l  0,1, 2, 3,........ Penghentian tersebut dapat dilakukan dengan menetapkan nilai
 sedemikian rupa sehingga pembilang persamaan a k  2 
k k  1  
a bernilai nol.
k  1k  2 k
Berdasarkan hubungan rekursi tersebut, untuk menghentikan deret sampai suku berpangkat
l, nilai  harus memenuhi hubungan   l l  1 dan a0 = 0 untuk l ganjil dan a1=0 untuk l
genap untuk menjamin deret tidak divergen.
l
F     a k  k , dengan l  0,1, 2, 3,........ dan a k  2 
k 0
k k  1  
a merupakan polinom
k  1k  2 k
Legendre. Untuk mendapatkan polinom Legendre yang ternormalkan maka cara lainnya
adalah dengan menggunakan rumus:
P1   


l
1 d
 2  1 …………………………………………….(59)
l
l
2 l! d
Beberapa contoh polinomnya adalah:
Po    1
P1    
P2   


1
3 2  1
2
1
P3    5 3  3
2

P4   



1
35 4  30 2  3
8
1
P5    63 5  70 3  15
8

Mengingat
d
d


2 dF 
 1   d   F  0 merupakan polinom Legendre berorde l, dengan l




memenuhi hubungan   l l  1 , maka
d
d

2 dF 
 1   d   F  0 dapat diubah ke dalam




bentuk:
17
d
d

2 dP1 ( ) 
 l l  1P1 ( )  0 ……………………………………(60)
 1
d 



d
d
Untuk mendapatkan penyelesaian
m12

2 dF 
1



F  F  0 untuk

d  1   2



semua m1, kita perhatikan suatu polinom P1m1   berdasarkan rumus:

P1    1   2

m1
d m1 P1  
1
 l 1 2
m1
d
2 l!

m1
2

m1
2
l  m1
d l  m1 P1
d l  m1
1    ………………….(61)
2 2
dengan m1  1 dan merupakan penyelesaian dari:
d
d
m12

2 dF 
1



F  F  0 ,

d  1   2



Jika   l l  1
Sehingga P1 ( ) merupakan penyelesaian dari persamaan
m
m12
d 
2 dF 
1

F  F  0 .
d 
d  1   2


Sebelumnya kita dapat l  0,1, 2, 3,........ dan untuk harga yang sangat besar terpenuhi
hubungan l  n  1 , selanjutnya
Dari persamaan:
m1  l ,
dan m1  0,  1,  2,.......
ml2 
d 2
1 d 





  0
d 2 tan  d 
sin 2  
Dengan memasukkan nilai m1 dengan –m1, ternyata persamaan tersebut tidak berubah,
sehingga dari sini berarti harga m1 boleh negatif dan m1  l berubah menjadi
m1  l atau  l  m1  l .
Berdasarkan paparan diatas kita peroleh selain bilangan kuantum utama n, ada l =
0, 1, 2, 3,….n-1 dan m1 yang nilainya  l  m1  l . Bilangan kuantum l biasa disebut
dengan bilangan kuantum utama orbital dan m1 biasa disebut dengan bilangan kuantum
magnetik.
1.
Bilangan Kuantum Magnetik
Solusi persamaan
d 2
2
 ml   0 adalah:
2
d
( )  Ae i ml  ………………………………………………………(62)
dengan A adalah konstanta konstanta integrasi. Telah diketahui bahwa salah satu
persyaratan fungsi gelombang – jadi juga  merupakan komponen dari fungsi gelombang
18
lengkap  - yang harus dipenuhi ialah fungsi itu harus berharga tunggal pada setiap titik
dalam ruang.
Z
z
P
θ
r
y
0
Φ
x
Y
2
X
Gambar 5. komponen dari fungsi gelombang lengkap dan harus berharga tunggal
pada setiap titik dalam ruang.
Dari gambar jelas terlihat bahwa  dan   2 mengidentifikasi bidang meridian. Jadi
fungsi itu harus memenuhi:
( )  (  2 ) ............................................................................(63)
atau:
Ae i ml   Ae i ml (2 ) ………………………………………………..(64)
Persamaaan x berlaku bila ml ialah 0 atau bilangan bulat positif atau negatif (±1, ±2, ±3...).
Konstanta ml dikenal sebagai bilangan kuantum magnetik atom hidrogen.
2. Bilangan Kuantum Orbital
Persamaan differensial:
2
m 
1 d 
d  
 sin 
  l (l  1)  l2    0 ...................................................(65)
sin  d 
d  
sin  
Untuk  = (  ) dapat dipecahkan jika konstanta l merupakan bilangan bulat yang lebih
besar dari ml , harga mutlak dari ml. Persyaratan ini dapat dinyatakan sebagai syarat untuk
ml dalam bentuk:
ml = 0, ±1, ±2, ....., ±l
konstanta l dikenal dengan bilangan kuantuk orbital.
19
3. Bilangan Kuantum Utama
Pemecahan persamaan:
 l (l  1) 
1 d  2 dR   2m  e 2

 
r


E



 R  0 ..........................................(66)
r 2 dr  dr    2  4 0 r
r2 

Untuk bagian radial R(r) fungsi gelombang atom hidrogen  memerlukan persyaratan
tertentu yang harus dipenuhi. Persyaratan tersebut adalah E harus positif atau memiliki
salah satu harga negatif E n (menyatakan bahwa elektronnya terikat sebagaiatom)
ditentukan oleh:
En  
 1  E1
 2 2
32  0   n  n
me 2
2
2
2
dengan n  1,2,3....... ..............................(67)
Persamaan (67) sama dengan tingkat energi atom hidrogen yang diperoleh Bohr. Syarat
lain yang harus dipenuhi dalam pemecahan persamaan (66) adalah bahwa n yang dikenal
sebagai bilangan kuantum utama harus sama atau lebih besar dari l + 1. Persyaratan ini
dapat dinyatakan sebagai persyaratan yang dikenal pada l dalam bentuk:
l = 0,1,2,3.......,(n-1)
dengan demikian dapat dibuat ketiga bilangan kuantum n, l, dan m bersama dengan harga
yang diizinkan sebagai berikut:
Bilangan kuantum utama
n = 1, 2, 3, .....
Bilangan kuantum orbital
l = 0, 1, 2,….., (n-1)
Bilangan kuantum magnetik
m = 0, ±1, ±2,....±l
Untuk menunjukkan hubungan kebergantungan R, , dan  pada bilanagn kuantum n, l,
m tuliskan fungsi gelombang elektron sebagai berikut:
  Rnl l ml  ml
Fungsi gelombang R, , dan  serta  diberikan pada tabel berikut untuk n =1, 2 dan 3.
20
Tabel Fungsi Gelombang Ternormalisasi Dari Atom Hidrogen Untuk N =1, 2 Dan 3
( )
( )
 (r ,  ,  )
n
l
m
1
0
0
1/ 2
1/ 2
e-r/ao 2/ao 3/2
e-r/ao (1/
2
0
0
1/ 2
1/ 2
e-r/2ao (2-r/a0)(1/2 2 ao 3/2)
e-r/2ao (1/4 2 x ao 3/2) (2-r/a0)
2
1
0
e±iØ/
6 cos  / 2
e-r/2ao r/ao (1/2 6 ao 3/2)
e-r/2ao cos  (1/4 2 x ao 3/2) r/a0
2
1
1
1/ 2
3 sin  / 2
e-r/2ao r/ao (1/2 6 ao 3/2)
e-r/2ao sin  e±iØ (1/8
3
0
0
1/ 2
e-r/3ao (27-18r/a0+2 r/a02)
e-r/3ao (1/81 3 x ao 3/2) (27-18r/a0+2
(2/81 3 ao 3/2)
r/a02)
e-r/3ao (4/81 6 ao 3/2) (6-r/a0)
e-r/3ao ( 2 /81
r/a0
r/a0 cos
e-r/3ao (4/81 6 ao 3/2) (6-r/a0)
e-r/3ao (1/81
r/a0
r/a0 cos
e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02
e-r/3ao (1/81 6 x ao 3/2) (6-r/a0)
3
3
3
1
1
2
2
1/ 2
0
1
e±iØ/
2
1/ 2
0
1/ 2
6 cos  / 2
3 sin  / 2
(3cos2  -1) 10 / 4
R(r)
x ao 3/2)
x ao 3/2) r/a0
x ao 3/2) (6-r/a0)

x ao 3/2) (6-r/a0)
 sin  e±iØ
r2/a02 (3cos2  -1)
3
2
1
e±iØ/
2
sin  cos 
15 / 2
e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02
e-r/3ao (1/81
r2/a02 cos
3
2
2
e±iØ/
2
sin2 
15 / 4
e-r/3ao (4/81 30 ao 3/2) r2/ a02
x ao 3/2) (6-r/a0)
 sin  e±iØ
e-r/3ao (1/162
x ao 3/2) (6-r/a0)
r2/a02 sin2  e±2iØ
VI. Formulasi Kuantisasi Momentum Sudut
Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga mempunyai besar dan arah.
Dengan demikian formulasi kuantisasi momentum sudut dari elektron dalam atom
hidrogen ada 2 yaitu kuantisasi besar momentum sudut, dan kuantisasi arah momentum
sudut.
a.
Formulasi kuantisasi besar momentum sudut
Dari metode pemisahan variabel untuk persamaan Schr Ödinger Bebas Waktu yang
dinyatakan dalam koordinat bola untuk elektron dalam atom hidrogen diperoleh 3
persamaan differensial. Salah satu adalah persamaan untuk R sebagai berikut
21
 l (l  1) 
1 d  2 dR   2m  e 2
 E  
r
   2 
R  0
2
r dr  dr     4 0 r
r2 

(1)
Persamaan (1) menyatakan aspek radial dari gerak elektron yaitu gerak yang mendekati
atau menjauhi inti. Namun energi total elektron mencakup energi kinetik gerak orbital
yang tidak berhubungan langsung dengan gerak radial. Energi kinetik elektron tersebut
terdiri dari dua bagian, yaitu:
1. Kradial yang ditimbulkan oleh gerak mendekati atau menjauhi inti, hal ini terjadi pada
atom hidrogen. Di mana pada atom hidrogen terdapat lintasan-lintasan elektron yang
dikenal dengan kulit, misal K, L, M, seperti pada gambar di bawah ini
v
e
K L M
Gambar 6
Elektron-elektron tersebut akan mengelilingi inti pada lintasan tertentu. Elektron
tersebut bisa pindah lintasan dari kulit luar ke kulit dalam yang disebut bertransisi
(mendekati inti) atau dari kulit dalam ke kulit luar yang disebut tereksitasi (menjauhi
inti).
2. Korbital yang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi inti. Energi potensial V dari elektron
adalah energi listrik. Jadi energi total elektron adalah:
V 
e2
(2)
4 0 r
Sehingga energi total dari elektron adalah
E  K radial  K orbital  V
E  K radial  K orbital 
e2
4 0 r
(3)
Dengan memasukan nilai dari energi total elektron yang dinyatakan dengan persamaan (3)
pada persamaan differensial untuk R yang dinyatakan dengan persamaan (1) maka:
1 d  2 dR   2m  e 2
e 2  l (l  1) 


r


K

K


 
R  0
radial
orbital
4 0 r 
r 2 dr  dr    2  4 0 r
r2 
22
1 d  2 dR   2m
l (l  1) 
R0
r
   2 K radial  K orbital  
2
r dr  dr   
r 2 
1 d  2 dR  2m 
 2 l (l  1) 


r

K

K



orbital
 radial
R  0
r 2 dr  dr   2 
2mr 2 
(4)
Jika persamaan differensial untuk R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius
(vektor jari-jari) r saja, maka
K orbital 
 2 l l  1
0
2mr 2
Sehingga diperoleh
K orbital 
 2 l l  1
2mr 2
(5)
Energi kinetik orbital dari elektron dirumuskan dengan persamaan
K orbital 
1 2
mv orbital
2
(6)
Jika energi kinetik orbital elektron dinyatakan dalam momentum sudut elektron maka
K orbital 
K orbital 
2
m 2 vorbital
r2
2mr 2
(mvorbitalr ) 2
2mr 2
(7)
Di mana momentum sudut elektron dapat ditentukan melalui gambar serta analisis berikut.
p
Inti
r
Fe Fs
Gambar 7.
di mana arah
r
Elektron
(jari-jari atom) cenderung keluar dan p (momentum) searah dengan
v (kecepatan). Sehingga :
L  r p
Dari persamaan L  r  p di atas, kita bisa mengetahui bahwa arah L keluar (mendekati
pembaca). Kemudian karena
r
tegak lurus dengan p , maka persamaan
23
L  r x p dengan p  mv dimana p adalah momentum linier
L  r x mv
L  mr x v 
Karena r  v , hal ini disebabkan karena kecepatan tangensial (kecepatan singgung)
berimpit dengan garis singgung.
L  mrv sin 90
L  mrv
dengan L  mvr , maka persamaan (7) dapat diubah ke dalam bentuk momentum sudut
dengan momentum sudut elektron L dinyatakan dengan persamaan
L  mvorbital r
yaitu:
L2
K orbital 
2mr 2
(8)
Dari persamaan energi kinetik orbital menurut persamaan (5) dan (7) diperoleh
 2 l l  1
L2

2mr 2
2mr 2
 2 l l  1  L2
L   l l  1
(9)
Persamaan (9) merupakan formulasi kuantisasi besar momentum sudut yang
ditentukan oleh harga bilangan kuantum orbital, dimana harga bilangan kuantum
orbital ini terbatas pada l = 0, 1, 2, . . . . . , (n-1).
Jika diperhatikan persamaan (9) dan dibandingkan dengan perumusan klasik dari teori
atom Bohr maka juga akan berlaku asas perpadanan dalam fisika yaitu perumusan fisika
kuantum yang mendekati perumusan fisika klasik. Untuk bilangan kuantum orbital yang
sangat besar yaitu harga l = n-1, maka persamaan (9) akan menjadi
L   l l  1
L   (n  1)n  1  1
L
n  1(n)
L   n2  n
Karena nilai l sangat besar, maka otomatis nilai n juga sangat besar ( n 2  n ) sehingga
n2  n  n2
L
n 
2
24
L  n
(10)
Dengan demikian, persamaan Scrödinger dapat menyempurnakan teori atom Bohr. Namun,
ada beberapa keganjilan dalam perumusan momentum sudut elektron yang terkuantisasi
tersebut.
1. Keganjilan yang pertama berkaitan dengan bilangan kuantum (n) yang digunakan
dalam perumusan. Bilangan kuantum utama (n) menyatakan energi total elektron
(tingkat energi elektron).
Keganjilan ini, nantinya diperbaiki oleh persamaan
schrodinger yang mempunyai solusi yang menunjukkan bahwa besarnya momentum
sudut orbital sebuah elektron dalam sebuah atom berelektron tunggal tidak memiliki
nilai tunggal (nħ) seperti yang dipostulatkan Bohr. Sebagai gantinya untuk suatu
bilangan kuantum utama n, terdapat n buah nilai yang mungkin dari momentum sudut
yang dirumuskan dengan
L  l l  1
dengan l adalah sebuah bilangan bulat yang disebut bilangan kuantum utama
momentum sudut orbital bernilai 0,1,2,3,...,(n-1). Dengan demikian, elektron hanya
memiliki momentum sudut tertentu yang ditentukan oleh persamaan di atas.
2. Keganjilan kedua berkaitan dengan penurunannya yang masih menggunakan kaidah
Fisika klasik. Salah satu kelemahan dari teori atom Bohr adalah pada postulatnya yang
masih berpijak pada pandangan klasik yaitu elektron yang mengitari proton dalam gaya
Coulomb dan sesuai dengan Hukum Newton. Sehingga teori ini dapat dikatakan
bersifat semi klasik. Disamping itu, teori atom Bohr dalam kondisi tertentu dapat
berperilaku klasik, jika orbit elektron demikian besar sehingga dapat diukur secara
langsung. Hal ini yang mengakibatkan efek kuantum akan tersembunyi. Menurut
persamaan frekuensi foton yang dipancarkan dalam transisi berikut ini
v
Ei  E f
h

E1  1
1 
 2
2
h  n f ni 
atom hidrogen yang jatuh dari tingkat energi ke ni ke tingkat energi nf memancarkan
foton berfrekuensi
v
E1  1
1 

h  n 2f ni2 
Misalkan n untuk bilangan kuantum awal ni dan n-p (dengan p = 1,2,3,…) untuk
bilangan kuantum akhir nf, maka persamaan tersebut di atas menjadi
25
v
E1 
1
1   E  2np  p 2 





h  n  p 2 n 2 
h  n 2 n  p 2 
Kemudian, bila ni dan nf keduanya sangat besar, maka n jauh lebih besar dari pada p,
dan
2np  p 2  2np
n  p 2  n 2
Sehingga
v
 E1  2 p 


h  n3 
Bila p=1, frekuensi radiasi v tepat sama dengan frekuensi perputaran f dari elektron
orbital yaitu f 
E  2
me 4  2 
  1  3  . Harmonik dari frekuensi ini dipancarkan
2 3  3 
h n 
8 0 h  n 
ketika p = 2,3,4,…. Jadi, kedua gambaran kuantum dan gambaran klasik atom hidrogen
membuat ramalan yang sama dalam limit bilangan kuantum yang sangat besar. Ini
menunjukkan bahwa teori atom Bohr masih berperilaku klasik (semi klasik).
3. Keganjilan ketiga berkaitan dengan pelanggaran terhadap asas ketidakpastian
Heisenberg (walaupun asas ketidakpastian dikemukakan satu dasawarsa setelah model
atom ini diungkapkan). Hubungan ketidakpastian px ≥ħ berlaku untuk semua arah
dalam ruang. Jika dipilih arah radial maka pr ≥ħ. Untuk sebuah elektron yang
beregrak dalam orbit lingkaran maka nilai r-nya diketahui secara pasti sehingga Δr = 0.
Jika bergerak dalam lingkaran, maka momentum (p) dapat pula diketahui secara pasti.
Megetahui r dan p sekaligus secara pasti berarti melanggar asas ketidakpastian.
Bohr menyatakan kuantisasi tersebut dalam bilangan kauntum utama (n).
Bilangan kuantum utama yang seharusnya digunakan untuk menyatakan tingkat tenaga
digunakan untuk menyatakan momentum sudut. Scrödinger dapat memperbaiki
kejanggalan tersebut karena mampu menyatakan kuantisasi momentum sudut dalam
bilangan kuantum orbital.
Persamaan (10) merupakan persamaan momentum sudut berdasarkan teori klasik
model atom Bohr. Dari sini terlihat adanya asas perpadanan perumusan fisika klasik
dan fisika kuantum untuk kuantisasi besar momentum sudut untuk nilai bilangan
kuantum orbital yang sangat besar yaitu l = n- 1.
b.
Formulasi kuantisasi arah momentum sudut
26
Momentum sudut merupakan besaran vektor sehingga selain mempunyai besar,
momentum sudut juga mempunyai arah. Besarnya momentum sudut (L) ditentukan oleh
bilangan kuantum orbital ( l ), sedangkan arah momentum sudut (L) ditentukan oleh
bilangan kuantum magnetik ( ml ). Jadi, bilangan kuantum magnetik ( ml ) memberikan
spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan magnet. Misalnya
diambil arah medan magnetik sejajar dengan sumbu z seperti terlihat pada gambar di
bawah.
Gambar 8. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut
Momentum sudut sebagai besaran vektor dinyatakan dengan persamaan
  
L  r xp
  
L  r xv m

L

v

r
Gambar. 9
Jadi dari gambar. 1 terlihat bahwa jika arah gerak elektron sepanjang sumbu
mendatar atau pada bidang meridian maka arah vektor L tegak lurus dengan arah gerak
elektron yaitu mengarah ke atas atau sejajar dengan sumbu z. Spesifikasi arah dari
momentum sudut elektron ini ditentukan oleh bilangan kuantum magnetik ml . Gejala ini
sering diacu sebagai kunatisasi ruang dari momentum sudut elektron. Kuantisasi arah yang
dibahas menjadi kuantisasi ruang karena elektron bergerak dalam 3 dimensi yaitu yang
dinyatakan dengan koordinat bola.
Berikut ini disajikan dua contoh kuantisasi ruang untuk nilai bilangan kuantum
orbital (l ) yang berbeda.
1. Untuk l = 2
27
a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l  2 adalah
2l  1  22  1  5
b. Besar momentum sudutnya adalah
L   l l  1
L   22  1
L 6
L  6
c. Untuk l  2 , ml  0,1,2
ml  2  Lz  ml   2
ml  1  Lz  ml   
ml  0  Lz  ml   0
ml  1  Lz  ml   
ml  2  Lz  ml   2
d. Gambar orientasi ruangnya adalah
Lz
l2
2
ml  2

0
ml  1
ml  0
L   l l  1
 6
ml  1

ml  2
 2
Gambar. (Kuantisasi ruang momentum sudut. Di sini bilangan kuantum orbital l=2
sehingga terdapat 2l + 1 = 5 harga yang mungkin untuk bilangan kuantum magnetic
ml dengan masing-masing harga bersesuaian dengan orientasi yang berbeda relative
terhadap sumbu z)
28
2. Untuk l = 3
a. Jumlah orientasi ruang yang mungkin untuk l  3 adalah
2l  1  23  1  7
b. Besar momentum sudutnya adalah
L   l l  1
L   33  1
L   12
L  2 3
c. Untuk l  3 , ml  0,1,2,3
ml  3  Lz  ml   3
ml  2  Lz  ml   2
ml  1  Lz  ml   
ml  0  Lz  ml   0
ml  1  Lz  ml   
ml  2  Lz  ml   2
ml  3  Lz  ml   3
d. Gambar orientasi ruangnya adalah:
Lz
ml  3
3
2
ml  2
L
L

ml  1
L
L
0
ml  0
L

 2
 3
ml  1
L
ml  2
L
ml  3
Gambar. Orientasi ruang untuk l = 3
29
Sebuah atom yang mempunyai karakteristik harga ml akan mengambil orientasi momentum
sudut L yang bersesuaian relatif terhadap medan magnetic eksternal dalam suatu kejadian
dalam medan itu sendiri. Terlihat bahwa L tidak dapat tepat terarah sejajar dengan B,
karena Lz selalu lebih kecil dari besar momentum sudut total L   l l  1 .
Jadi kuantisasi ruang momentum sudut elektron ditentukan oleh bilangan
kuantum magnetik ml yang akan memberi spesifikasi arah L dengan menentukan
komponen L dalam arah medan. Jika kita ambil arah medan-magnetik dalam sumbu
z, komposisi L dalam arah itu diberikan dengan persamaan Lz  ml  .
VII. Efek Zeman
Di lain pihak, teori yang dihasilkan dari persamaan Schrödinger telah mampu
menjelaskan teori kuantisasi momentum sudut. Di mana menurut teori ini, dalam medan
magnetik energi keadaan atomik tertentu bergantung pada harga ml seperti juga pada n.
Keadaan dengan bilangan kuantum total n terpecah menuju beberapa sub-keadaan jika
atom itu berada dalam medan magnetik, dan energinya bisa sedikit lebih besar atau lebih
kecil dari keadaan tanpa medan magnetik. Gejala itu yang menyebabkan “terpecahnya”
garis spektrum individual menjadi garis-garis terpisah jika atom dipancarkan ke dalam
medan magnetik, dengan jarak garis bergantung dari besar medan itu. Terpecahnya garis
spektra oleh medan magnetik atau suatu gejala di mana suatu tingkat energi akan
terpecah menjadi beberapa subtingkat energi jika atom hidrogen ditempatkan dalam
medan magnet luar, gejala inilah yang disebut dengan Efek Zeman.
Efek Zeman ada dua yaitu efek zeeman normal (nomalous zeeman effect) dan efek
zeeman tidak normal (anomalous zeeman effect). Pada efek Zeeman normal, sebuah garis
spektrum terpisah menjadi tiga komponen dan ini hanya terjadi pada atom-atom yang tidak
memiliki spin. Namun tentu saja semua elektron memiliki spin, tetapi dalam beberapa
atom
tertentu
dengan
elektron
banyak,
spin-spinnya
berpasangan
dan
saling
menghapuskan, sehingga atom berperilaku sebagai yang tidak berspin. Namun dalam alam
kita, di mana elektron memiliki spin, kita seharusnya tak hanya meninjau efek momen
magnet orbital tetapi juga momen magnet spin sehingga pola pemisahan tingkat energi
yang dihasilkan jauh lebih rumit, garis-garis spektrum dapat terpisah menjadi lebih
daripada tiga komponen. Kasus inilah yang dikenal sebagai efek Zeeman tidak normal
(anomalous zeeman effect).
30
. Dalam medan magnetik eksternal B, sebuah dwikutub magnetik mempunyai energi
potensial Vm yang bergantung dari besar momen magnetik  dan orientasi momen ini
terhadap medan seperti gambar di bawah ini.

B
θ
Gambar. Sebuah dwikutub magnetic bermomen , membentuk
sudut θ relatif terhadap medan magnetik B.
Torka  pada sebuah dwikutub magnetik dalam sebuah medan magnetik berkerapatan
fluks B adalah   B sin  . Di mana θ menyatakan sudut antara  dan B. Torka ini
maksimum bila dwikutubnya tegak lurus medan, dan nol jika sejajar atau anti-sejajar
terhadapnya. Untuk menghitung energi potensial Vm, mula-mula kita harus membuat
konfigurasi acuan, di sini Vm berharga nol menurut definisi (karena hanya perubahan energi
potensial saja yang dapat ditentukan secara eksperimental, pilihan konfigurasi acuan dapat
diambil sembarang).
Untuk memudahkan kita ambil Vm = 0 jika θ = 900, yaitu jika  tegak lurus B.
Energi potensial pada orientasi yang lain dari  sama dengan kerja eksternal yang harus
dilakukan untuk memutar dwikutub dari θ0 = 900 ke sudut θ yang menentukan orientasinya
sehingga:
0
Vm    d ………………………………………………………………(1)
90
Karena:   B sin  , maka persamaan (1) menjadi:
0
Vm    d
90
0
Vm   B sin  d
90
0
Vm  B  sin  d
90
Vm   B cos  ..........................................................................................(2)
31
Jika  searah dengan B, maka Vm = -B, merupakan harga minimum. Hal ini merupakan
akibat wajar dari kenyataan bahwa dwi-kutub magnetik cendrung untuk menjajarkan diri
dengan medan magnetik eksternal
Karena gerak magnetik elektron orbital dalam sebuah atom hidrogen bergantung
dari momentum sudut L, besar dan arah L terhadap medan menentukan berapa besar
sumbangan magnetik pada energi total atom jika terletak dalam medan magnetik Momen
magnetik sebuah sosok arus (current loop) adalah   I A , dengan I menyatakan arus dan
A menyatakan luas yang dilingkupinya. Sebuah elektron yang melakukan v putaran/s
dalam orbit lingkaran berjari-jari r setara dengan arus –e (karena muatan elektron adalah
–e) dan momen magnetiknya adalah:
  e r 2 …………………………………………………………………(3)
Kelajuan linear v dari elektron itu adalah 2 r , sehingga momentum sudutnya
menjadi:
L  mvr  2mr 2 ……………………………………………………………(4)
Dengan membandingkan rumus momen magnetis  dengan momentum sudut L
maka diperoleh:

er 2
L
2mr 2

e

L
2m
 e 
  
 L...................................................................................................(5)
 2m 

Persamaan (5) untuk elektron orbital ditunjukkan seperti berikut:
 e 
L
 2m 
L
 
μ = IA
B
B
luas = A
•-e
μ
μ
(a)
v
Gambar 5
(b)
32
Energi potensial magnetik sebuah atom dalam medan magnetik adalah
 e 
Vm  
 LB cos 
 2m 
.......................
(1)
dan dari gambar di atas, kita lihat bahwa sudut  antara L dan arah z hanya boleh berharga
tertentu yang ditetapkan oleh hubungan ,
cos  
ml
l l  1
sedangkan harga L yang diizinkan adalah L   l l  1
......................
(2)
..................
(3)
sehingga, untuk mendapatkan energi magnetik sebuah atom yang mempuyai bilangan
kuantum magnetik ml jika atom itu terletak dalam medan magnetik B, maka kita masukkan
 e 
rumus cos θ dan L, ke dalam Vm  
 LB cos  , maka akan diperoleh:
 2m 
V  ml (
Besaran e
2m
e
) B  ml  B B
2m
..........................................
(4)
dikenal sebagai magneton Bohr dengan lambang B = 9,27 x 10-24 J/T. Bila
atom hidrogen tadi tidak dikenakan pengaruh medan magnet, maka pada tingkat 2p akan
memiliki energi sebesar E0. Sedangkan apabila atom hidrogen tersebut ditempatkan dalam
pengaruh medan magnet, maka energi pada tingkat 2p akan sebesar Eo + V = E0 + ml B B.
Ini berarti bahwa terdapat tiga macam energi pada tingkat itu yang tergantung pada nilai ml.
ml = +1
l = 1; ml = 0, 1
Tanpa medan
B B
B B
ml = 0
ml = -1
Dengan medan
Gambar. Pisahan zeman dari tingkat l = 1 dalam medan magnet luar. (efek momentum
sudut spin elektron diabaikan). Energi dalam suatu medan magnet berbeda
untuk nilai ml yang berbeda.
JIka atom dalam transisinya ke tingkat dasar memancarkan sebuah foton. Apabila
medan magnet dihidupkan, maka ada tiga foton yang dipancarkan dan masing-masing
foton memiliki energi yang berbeda. Panjang gelombang foton yang bersangkutan dapat
dihitung dari hubungan E  hc .

33
Jika ditinjau dari perubahan kecil dalam energi E, di mana E sama dengan BB
yang mempengaruhi panjang gelombang. Dengan mendiferensialkan, diperoleh
dE 
 hc
2
d
…………………………………(5)
dan mengambil nilai mutlak diferensial kecilnya, maka diperoleh
 
2
hc
dE
…………………………………… (6)
Karena energi foton ada tiga maka terjadi tiga perubahan panjang gelombang foton yang
dihasilkan.Gambar di bawah ini melukiskan ketiga transisi ini dan memperlihatkan
panjang gelombang foton yang dipancarkan.
Tanpa medan
Dengan medan
ml = +1
ml = 0
2p
ml = -1
E
E - B B
E
λ-Δλ
λ
E + B B
1s
λ
λ+Δλ
Gambar. Efek Zeeman normal. Apabila medannya dihidupkan, panjang
gelombang tunggal λ terpisah menjadi tiga panjang gelombang.
Gambar di atas adalah salah satu contoh dari efek Zeeman yaitu pemisahan sebuah panjang
gelombang menjadi beberapa panjang gelombang bila dikenakan medan magnet.
34
VIII. Transisi Radiatif
Sesuai dengan model atom Bohr, elektron dibayangkan berputar mengelilingi inti
dengan lintasan melingkar. Teori kuantum atom hidrogen memodifikasi ramalan langsung
Bohr dengan 2 cara yaitu.
1. Tidak terdapat harga r,  ,  tertentu. Di sini hanya ada peluang relative untuk
mendapatkan elektron pada berbagai tempat. Ketentuan ini ditimbulkan oleh sifat
gelombang elektron,
2. Kita tidak bisa membayangkan elektron mengelilingi inti dalam arti konvensional.
Karena kerapatan peluang 
2
bebas waktu dan dapat berubah banyak dari suaru
tempat ke tempat lain. Fungsi gelombang elektron  berubah terhadap bila bilangan
kuantum total dan orbital mempunyai harga n dan l :
  R
R  Rnl (r )
dengan
menunjukkan bagaimana  berubah terhadap r bila bilangan kuantum total dan orbital
mempunyai harga n dan l :
   ml ( )
menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum orbital dan
magnetik berharga l dan ml :
   ml ( )
menunjukkan bagaimana  berubah terhadap  bila bilangan kuantum megnetiknya ml,
maka kerapatan peluang 
2
dapat ditulis sebagai berikut :
 R R  
2
2
2
2
2
Kuadrat setiap fungsi yang kompleks diganti dengan hasil kali fungsi itu dengan
konjugate kompleknya. Fungsi gelombang zimuth diberikan oleh :
( )  Ae iml
Kerapatan peluang azimut  adalah :
2
   *   A2 e  ml e iml  A2 e 0  A2
2
sehingga peluang untuk mendapatkan elektron pada sudut azimut tertentu  merupakan
konstanta yang tidak bergantung dari semua  seperti pada sudut  lain. Kerapatan
35
peluang elektron pada titik r,  ,  berbanding lurus dengan  , tetapi peluang yang
2
sebenarnya untuk mendapatkannya dalam unsur infinetisimal dv adalah 
2
dv. Pada
koordinat polar berbentuk bola:
dv = r2 sin  dr d  d 
Karena  dan  adalah fungsi ternormalisasi, maka peluang yang sebenarnya P(r)dr
untuk mendapatkan elektron atom hidrogen pada suatu tempat antara r dan r + dr dari inti
adalah :
2
P(r) dr = r R dr
2


0
2
2
sin d   d
2
0
2
= r2 R dr
Fungsi  berubah terhadap sudut zenit  untuk setiap bilangan kuantum l dan ml
kecuali untuk l = ml = 0, yuang menyatakan keadaan s. Karena 
kerapatan peluang elektron 
2
2
juga konstan,
berharga sama untuk suatu harga r tertentu dalam setiap
arah. Namun, elektron pada keadaan lain mempunyai kebergantungan terhadap sudut,
kadang-kadang dalam bentuk yang sangat rumit.
Spektrum atom terjadi karena transisi elektron dari satu tingkat energi ke tingkat
energi yang lain. Transisi ini ternyata tidak bisa terjadi secara sembarang, namun
mengikuti suatu aturan tertentu. Misalnya transisi elektron terjadi dari suatu keadaan awal
dengan fungsi gelombang  n ke keadaan akhir dengan fungsi gelombang  m sehingga
memancarkan radiasi, sehingga peluang terjadinya transisi tersebut harus memenuhi syarat

bahwa :
 x 
n
m
dx tidak sama dengan nol, karena intensitas radiasi berbanding lurus

dengan besaran tersebut jika hasil integral besaran di atas mempunyai nilai tertentu
(berhingga) disebut transisi yang diperbolehkan, sedangkan jika hasilnya sama dengan nol
disebut transaksi yang dilarang, dan ini sangat mustahil terjadi.
Untuk kasus atom hidrogen, keadaan awal dan keadaan akhir elektron dicirikan
oleh bilangan kuantum. Jika keadaan awal elektron dicirikan oleh bilangan kuantum n, l,
dan ml, dan untuk keadan akhir dicirikan oleh n’, l’, ml’, dan koordinat u merupakan salah
satu dari koordinat x, y, z. Maka persyaratan transisi yang diperbolehkan menjadi

 u
n ,l , ml
 * n ,l , m  0
l

36
Fungsi gelombang  n,l ,ml untuk atom hidrogen sudah diketahui. Jika fungsi

gelombang ini disubtitusikan ke persamaan
 u
n ,l , ml
 *n,l ,m  0 , maka diperoleh bahwa
l

transisi yang dapat terjadi adalah yang memiliki perubahan bilangan kuantum orbital +1
atau -1 dan bilangan kuantum orbital tetap atau berubah dengan +1 atau -1. dengan kata
lain transisi terjadi jika memenuhi persyaratan :
l  1
ml  0,1
Jadi syarat transisi tersebut yang dikenal dengan aturan seleksi.
IX.
Sistem Periodik
Unsur akan memiliki sifat kimiawi dan sifat fisis yang serupa pada selang yang
teratur, jika unsur-unsur dirunut menurut bilangan atomiknya,. Pengamatan tenang hal
tersebut secara empiris disebut dengan hukum Periodik (hukum berkala) yang pertama kali
dirumuskan oleh Dimetri Mendeleev. Pengaturan secara tabel dari unsur-unsur tersebut
secara periodik seperti tabel di bawah ini.
Tabel Daftar Berkala Unsur
Mendeleev mengemukakan, bahwa hukum periodik, bersama dengan pengungkapan
analisis spektrum telah memberi sumbangan untuk membangkitkan harapan yang
berlangsung seumur-hidup yaitu menemukan, jika tidak dengan eksperimen, sedikitnya
melalui usaha mental, untuk mengetahui materi primer.
37
Unsur dalam suatu group memiliki sifat serupa
Unsur yang memiliki sifat yang serupa membentuk group (kumpulan) yang
ditunjukkan dalam kolom vertikal seperti gambar 5. Jadi group I terdiri dari hidrogen
ditambah dengan logam alkali, semuanya sangat aktif secara kimiawi dan semuanya
memiliki valensi +1. Group VII terdiri dari halogen, mudah menguap, non logam yang
aktif yang memiliki valensi -1 dan membentuk molekul dwi-atom dalam keadaan gas.
Group VIII terdiri senyawa dengan unsur lain, dan atomnya tidak bergabung menjadi
molekul seperti atom-atom gas lain.
Gambar. Unsur dalam suatu group pada tabel periodik memiliki sifat yang sama,
sedangkan unsur dalam suatu periode memiliki sifat berbeda.
Unsur dalam suatu periode memiliki sifat yang berbeda
Pertama dari tiga periode yang dalam tingkat seterusnya dengan anggotanya
bersekutu yang sebagian besar tertutup dihubungkan dengan unsur-unsur dari periode yang
panjang di bawah ini. Sebagian besar unsur-unsur adalah logam seperti gambar 8.
Gambar. Mayoritas unsur merupakan logam
Melintang pada masing-masing periode terjadi transisi tunak dari logam aktif melewati
logam kurang aktif dan non logam aktif lemah sehingga non logam sangat aktif dan
akhirnya gas mulia. Dalam masing-masing kolom terdapat perubahan sifat secara teratur,
38
tetapi tidak sejelas dalam masing-masing periode. Sebagai contoh bertambahnya nomor
atomik dalam logam alkali disertai dengan aktivitas kimiawi yang lebih besar, sedangkan
hal sebaliknya berlaku untuk halogen.
Unsur-unsur lantanide, dan aktinide
Deretan unsur transisi muncul setelah setiap periode sesudah yang ketiga antara unsur
golongan II dan golongan III seperti gambar di bawah ini
.
Unsur transisi ialah logam dengan sifat kimiawi yang hampir bersamaan satu dengan
yang lain tetapi tidak terdapat keserupaan yang menonjol seperti pada unsur dalam group
utama. Limabelas unsur transisi dalam periode 6 hampir tidak bisa dibedakan sifatsifatnya, dan dikenal sebagai unsur lantanide (atau tanah jarang). Group yang serupa itu
untuk logam yang hubungannya dekat ialah aktanide didapatkan dalam periode 7.
Atom logam alkali mempunyai energi ionisasi rendah
Sebuah atom dari setiap logam alkali dalam group I mempunyai elektron tunggal
pada kulit terluarnya. Elektron seperti itu letaknya relatif jauh dari inti dan terperisai oleh
ektron dalam, sehingga muatan inti efektif yang dilihatnya hanya alih-alih. Jadi hanya kerja
relatif kecil yang diperlukan untuk melepaskan elektron dari atom seperti itu, sehingga
logam alkali mudah menjadi ion positif dan bervalensi +1.
39
Gambar energi ionisasi beberapa unsur
Lebih besar atom itu, lebih jauh elektron terluarnya dari inti, dan lebih lemah gaya yang
mengikatnya dalam atom itu. Bertambahnya energi ionisasi kiri ke kanan sepanjang setiap
periode dapat diterangkan karena bertambahnya muatan inti, sedangkan jumlah elektron
perisai dalamnya tetap konstan. Dalam periode 2, misalnya, elektron luar dalam atom
litium diikat oleh oleh muatan efektif +e, sedangkan masing-masing elektron luar pada
berilium, boron, karbon dan sebagainya diikat oleh muatan efektif +2e, +3e, +4e.
Atom halogen cenderung mengambil elektronnya
Pada ekstrim yang lain dari atom logam alkali yang cenderung untuk kehilangan
elektron terluarnya; atom halogen yang muatan intinya terperisai tak sempurna cenderung
untuk melengkapi subkulitnya dengan mengambil satu elektron tambahan. Jadi atom
halogen mudah menjadi ion negatif dan bervalensi -1.
Ukuran atomik
Walaupun, secara ketat, sebuah atom dari satu jenis tertentu mempunyai ukuran
tertentu, dari pandangan praktis ukuran hampir tertentu dapat dipakai untuk atom itu
berdasarkan jarak interatomik yang teramati dalam kisi kristal yang tetap (closely packed).
Unsur-unsur transisi
Unsur transisi bercirikan pada energi ikat yang lebih kuat untuk elektron s
dibandingkan dengan untuk elektron d atau f dari sebuah atom kompleks. Unsur pertama
yang menunjukkan sifat ini ialah kalium yang elektron terluarnya terdapat pada subkeadaan 4s sebagai ganti 3d. Perbedaan energi ikat antara elektron 3d dan 4s tidak begitu
besar, seperti terlihat pada konfigurasi kromium dan tembaga. Pada kedua unsur itu
tambahan elektron 3d terdapat sehingga timbul kekosongan dalam subkulit 4s.
40
Lantanide dan aktinide
Urutan isi subkulit elektron terlohat seperti di bawah ini:
1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2,
4d10, 5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 7s2, 6d10, 5f14
Kesamaan yang mencolok dalam perilaku kimiawi antara lantanide dan aktinide
mudah difahami berdasarkan urutan itu. Semua lantanide memiliki konfigurasi 5s2 5p6 6s2
yang sama tetapi subkulit 4f tidak lengkap. Tamabahan elektron 4f hampir tidak ada
efeknya pada sifat kimiawi unsur lantanide yang hanya ditentukan oleh elektron luarnya.
Begitu juga, semua aktinide mempunyai konfigurasi 6s2 6p6 7s2, dan hanya berbeda dalam
jumlah elektron 5f dan 6d saja.
Gas mulia yang berat tidak memiliki kulit tertutup
Subkulit tertutup memiliki momentum sudut orbital total dan spin total adalah nol,
dan distribusi muatan efektifnya mempunyai simetri sempurna. Elektron dalam kulit
tertutup semuanya terikat kuat, hal ini disebabkan oleh muatan inti positif lebih besar
dibandingkan dengan muatan negatif elektron perisai yang di dalam. Sebuah atom yang
mengandung kulit tertutup tidak memiliki momen dwi-kutub, sehingga atom itu menarik
elektron lain dan elektron-elektronnya tidak mudah terlepas. Atom semacam itu dapat kita
duga bersifat kimiawi pasif, seperti pada gas mulia dan gas mulia memang ternyata
semuanya mempunyai konfigurasi elektron kulit tertutup atau yang setara dengan itu.
Ketiadaan kulit terluar yang penuh pada gas mulia yang berat menyebabkan
ketakteraturan energi ikat elektron atomik. Seperti halnya Helium (Z = 2) dan neon (Z =
10) mengandung berturutan kulit K dan L tertutup, tetapi argon (Z = 18) hanya
mengandung 8 elektron pada kulit M, bersesuaian dengan subkulit 3s dan 3p tertutup.
Sebab subkulit 3d yang lain tidak berisi dengan elektron 4s yang sederhana mengikat
energi yang lebih tinggi elektron 3d, dan telah dikatakan bahwa subkulit 4s terisi lebih
dahulu dalam kalium dan kalsium. Ketika subkulit 3d unsur transisi yang lebih berat diisi
berturut-turut, masih ada satu atau dua elektron 4s terluar yang memungkinkan aktivitas
kimiawi. Sebelum kripton (Z = 36) belum terdapat gas mulia lagi, dan unsur-unsur dalam
daerah ini memiliki kulit terluar yang tidak lengkap, hanya subkulit 4s dan 4p saja yang
terisi. Setelah kripton muncul rubidium (Z = 37), subkulit 4d dan 4f-nya dilewati (tidak
diisi), langsung ke elektron 5s. Gas mulia selanjutnya adalah xenon (54), yang mengisi
subkulit 4d, 5s, dan 5p, tetapi sekarang subkulit dalam 4f kosong, demikian 5d dan 5f.
41
Sifat-sifat unsur berdasarkan teori atom antara lain:
a.
Energi ionisasi
Energi ionisasi adalah energi yang diperlukan untuk membebaskan sebuah
elektron dari inti atomnya. Besarnya energi ionisasi dipengaruhi oleh muatan inti dan
jari-jari atom. Semakin besar muatan inti semakin besar gaya tarik inti terhadap
elektron sehngga semakin besar energi ionisasinya. Sebaliknya, semakin besar jarijari atom semakin jauh jarak antara elektron terluar dari inti. Akibatnya, gaya tarik
inti terhadap elektron semakin kecil sehingga energi ionisasi semakin kecil.
Pada setiap periode, logam alkali mempunyai pot ensial ionisasi terendah.
Semakin ke kanan energi ionisasi, semakin bertambah sesuai dengan penambahan
nomor atom yang berarti juga penambahan muatan inti. Kenaikan energi ionisasi
mencapai puncak pada gas mulia. Penyusutan jari-jari atom dalam urutan dari kiri ke
kanan juga mengambil bagian dalam menentukan besarnya energi ionisasi.
b.
Jari-jari atom
Apabila sebuah atom melepaskan atau menerima elektron maka akan terbentuk
ion positif atau negatif. Perubahan dari atom menjadi ion positif, mengurangi
gayatolak antar elektron dan gaya tarik inti atom terhadap elektron pada kulit atom
semakin kuat, sehingga jari-jari menjadi berkurang (jari-jari atom>jari-jari ion
positif). Sebaliknya pada perubahan atom menjadi ion negatif, kenaikan jumlah
elektron mengakibatkan semakin besarnya gaya tolak antar elektron, gaya tarik inti
atom terhadap elektron pada kulit atom semakin lemah, sehingga jari-jari bertambah
(jari-jari atom<jari-jari ion negatif). Semakin besar muatan positif semakin kecil jarijari ion,sedangkan semakin besar muatan negatif semakin besar jari-jari ion. Sesuai
dengan sistem periodik unsur dinyatakan sebagai berikut.
a.
Dari kiri ke kanan dalam satu periode jari-jari semakin kecil. Hal ini sesuai
dengan bertambahnya muatan inti sehingga tarikan terhadap elektron semakin
kuat.
b.
Dalam satu golongan dari atas ke bawah jari-jari makin bertambah besar,
meskipun muatan inti bertambah, muatan inti efektif oleh pengaruh elektron
hampir tida berubah karena sekatan kulit terdalam yang terisi penuh. Jika
pengisian kulit dilanjutkan maka, elektron terluar makin jauh dari inti.
c.
Resistivitas elektrik
Apabila antara kedua ujung bahan makro dikenakan suatu beda potensial, maka
aliran elektrik akan mengalir di dalamnya. Arus I dan tegangan V dalam kebanyakan
42
bahan saling terkait menurut hukum Ohm, V = IR, di mana R adalah resistans
elektrik bahan tersebut. jika panjang bahan adalah L dan luas penampangnya A,
maka resistansnya adalah R  
L
, resistivitas  merupakan sifat khas bahan yang
A
diukur dalam satuan Ohm.cm. Konduktor elektrik yang baik memiliki resistivitas
yang kecil (  =1,7 x 10-6 ohm.cm bagi tembaga), konduktor jelek memiliki
resisitivitas yang besar (  =2 x 1017 ohm.cm bagi belerang). Dari sudut pandang
atom, harus bergantung pada aliran elektron yang relatif lemah ikatannya, yang
mudah dibebaskan dari atonmnya dengan mengenakan suatu beda potensial. Selain
itu, juga bergantung pada kemampuan elektron berpindah dari satu atom ke atom
yang lain. Jadi unsur-unsur dengan elektron s, yang lebih sering didapati berada jauh
dari inti atom dibandingkan terhadap elektron-elektron dengan nilai l yang besar,
diperkirakan akan memiliki resistivitas yang kecil.
d.
Suseptibilitas magnet
Jika suatu benda ditempatkan pada suatu medan magnet dengan intensitas B,
maka bahannya termagnetkan (terpengaruh oleh medan magnet), dan memiliki suatu
magnetisasi M, yang besarnya sebanding dengan B:
 0 M  B ,  adalah suseptibilitas magnet.
Kemagnetan bergantung pada l dan s elektron-elektron terluarnya, karena
kedua momen magnet  l dan  s berbanding lurus dengan l dan s. Efek inilah yang
berperan pada supsetibiltan paramagnet yang terjadi dalam semua atom.
Diamagnetisme disebabkan oleh efek berikut: apabila pada suatu untai elektrik
dikenakan suatu medan magnet maka akan mengalir arus imbas dalam untai tersebut,
arus imbas ini menimbulkan medan magnet yang cenderung melawan medan yang
dikenakan.
43
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, A. 1987. Konsep fisika modern. Jakarta:Erlangga
Krane, K. 1992. Fisika modern. Jakarta: Universitas Indonesia.
Kusminarto.1992. pokok-pokok fisika modern.Yogyakarta: Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada
Purwanto,A. 1997. Pengantar Fisika Kuantum. Surabaya: Citra Media
Sutopo. 2004. Pengantar fisika kuantum. Malang: Universitas Negeri Malang
44