Metoda Langkah Demi Langkah Untuk Solusi

JETri, Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
Metoda Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien
Rangkaian Listrik
Maula Sukmawidjaja
Dosen Jurusan Teknik Elektro-FTI, Universitas Trisakti
Abstract
Many complex physical systems are described by differential equations for which a solution
cannot be determined in analytical form. However, techniques are available to obtain
approximate solutions of such differential equations, or sets of equations, by numerical
methods. Thus the solution of differential equations is another important phase in numerical
analysis. In general, methods of numerical integration employ a step-by-step process to
determine a series of values for each dependent variable corresponding to a selected set of
values of the independent variable. The usual procedure is to select values of the
independent variable at fixed interval. The accuracy of a solution by numerical integration
depends both on the method chosen and the size of interval.
Keyword: step-by-step, differential equations, numerical methods
1. Pendahuluan
Hukum-hukum dasar fisika, mekanika, rangkaian listrik,
termodinamika maupun keteknikan, biasanya didasarkan pada pengamatanpengamatan empiris yang menjelaskan perubahan-perubahan sifat fisis dan
keadaan sistem. Hukum-hukum tersebut biasanya dinyatakan dalam
perubahan-perubahan ruang maupun waktu.
Beberapa bentuk diberikan pada Tabel 1. pada halaman berikut.
Hukum-hukum ini mendefinisikan mekanisme perubahan, yang jika
digabungkan dengan hukum kekekalan energi, massa, atau momentum akan
dihasilkan persamaan diferensial.
Integrasi selanjutnya dari persamaan-persamaan diferensial ini
menghasilkan fungsi-fungsi matematika yang menjelaskan keadaan ruang
dan waktu sebuah sistem, yang dinyatakan dalam energi, massa atau variasi
kecepatan dan lain-lain. Sayangnya tidak semua persamaan diferensial
dalam sistem fisis dapat diselesaikan secara analitis seperti diatas, dan
biasanya dalam persolan teknik untuk mendapatkan solusi ini digunakan
metoda Numerik (Stagg and El-Abiad, 1981: 343).
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
Tabel 1. Hukum-hukum dasar yang ditulis atau dinyatakan dalam laju
perubahan variable (t = waktu & x = posisi) (Steven C Chapra, 1988: 582)
Hukum
Ekspresi Matematik
Hukum gerak Newton
kedua
dv F

dt m
Hukum panas Fourier
Fluk panas  k
Hukum difusi Fick
Fluks massa   D
Hukum Faraday
(menjelaskan
perbedaan tegangan
pada suatu induktansi)
Beda Tegangan L
Kekalan massa
Akumulasi  V
Variabel dan
Parameter
Kecepatan (v), gaya
(F) dan massa (m)
T
x
dc
dt
C
x
di
dt
Konduktivitas
panas (k), dan suhu
(T)
Koefisien difusi (D)
dan konsentrasi (C)
Induktansi L dan
arus (i)
Volume (V) dan
konsentrasi (c)
Dalam makalah ini dibatasi pada persamaan-persamaan diferensial
yang berkaitan dengan rangkaian listrik, dan solusi untuk persamaan
diferensial ini menggunakan metoda Numerik, dalam hal ini digunakan
metoda Euler dengan bantuan software Mathcad.
Sebenarnya Ada banyak metoda numerik yang dapat digunakan,
antara lain metoda Modified-Euler, Runge-Kuta (RK), Heun, RK-Fehlberg,
dan lain-lain. Yang paling mudah adalah metoda Euler, namun dengan
increment yang lebih kecil ternyata metoda ini ketelitiannya tidak kalah
dengan metoda yang disebutkan tadi. Untuk melihat ketelitian hasil
perhitungan pada transien rangkaian listrik, dibandingkan pula hasil solusi
numerik ini dengan hasil dari software simulasi rangkaian listrik Pspice.
Kondisi-kondisi awal biasanya mempunyai interpretasi yang sangat
jelas untuk persamaan diferensial yang diturunkan dari penempatan masalah
fisis. Misalnya, pada masalah arus yang mengalir dalam induktor pada
persamaan beda tegangan dalam tabel diatas.
22
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Integrasi untuk mendapatkan arus yang mengalir dalam induktor
memerlukan informasi kondisi awal untuk arus dalam induktor pada t=0.
Kondisi awal itu adalah akibat dari kenyataan fisis (Hukum induksi Faraday
dan Hukum Lenz) bahwa pada waktu no1 Gaya gerak listrik (ggl) lawan
pada induktor akan maksimum jika arus mulanya nol. Jika pada t=0 arus
induktor tidak nol, maka solusinya juga akan berbeda, dan Gaya gerak
listrik lawan tidak pada kondisi maksimum.
Dalam menangani persamaan diferensial orde ke-n, maka ada n
kondisi awal yang dibutuhkan guna memperoleh suatu solusi yang unik.
Jika semua kondisi dispesifikasikan pada harga yang sama dari variabel
independen (misalnya pada x atau t = 0), maka masalah itu dinamakan
masalah harga awal.
Kebanyakan masalah praktis dalam bidang sains dan teknik
memerlukan solusi sebuah sistem persamaan diferensial simultan,
ketimbang satu persamaan diferensial tunggal. Secara umum, sistem
demikian dapat ditunjukkan oleh persamaan berikut,
dy1
= f1(x, y1, y2, …….yn)
dx
dy 2
= f2(x, y1, y2, …….yn)
dx
………..
dy n
= fn(x, y1, y2, …….yn)
dx
(1)
Solusi dari suatu sistem yang demikian memerlukan n buah kondisi awal
untuk diketahui pada saat harga x permulaan yang kemudian dipakai untuk
mencari solusi pada x berikutnya pada solusi langkah demi langkah, dan
akan dibicarakan berikut ini
2. Solusi Langkah Demi Langkah
Untuk mencari solusi persamaan diferensial secara numerik, yang
paling mudah adalah menggunakan metoda Euler. Jika diberikan persamaan
diferensial yang mempunyai bentuk:
23
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
dy
 f (x , y )
dx
(2)
Maka solusi pada langkah ke n+1 diperoleh dari harga perolehan
langkah sebelumnya (ke n), sesuai hubungan:
Solusi langkah ke n+1 =
solusi langkah ke n + f(x,y) dikali ukuran langkah
(3)
Atau:
yn+1 = yn + f(xn, yn) ∆x
(4)
Perhatikan pada persamaan diatas, f(xn,yn) adalah turunan atau
slope y(x) pada titik xn. y(x) adalah solusi persamaan diferensial yang
hendak dicari
Ketelitian hasil perhitungan metoda euler ini tergantung dari
increment ∆x. Sudah barang tentu jika ∆x diperkecil, hasil perhitungan yang
diperoleh akan lebih teliti, tetapi jumlah perhitungan yn untuk suatu interval
tertentu, akan lebih banyak. Namun demikian dengan makin meningkatnya
kecepatan kemampuan hitung dari personal komputer sekarang ini, ternyata
perhitungan/ solusi numerik persamaan diferensial diatas dapat diselesaikan
dengan waktu yang relatif cepat dan solusi yang teliti akan diperoleh
menggunakan metoda ini.
3. Software Mathcad
Secara singkat dapat dijelaskan bahwa Mathcad adalah sebuah software
yang menggabungkan kemampuan menghitung perhitungan matematik,
mengetik simbol-simbol matematik dan kemampuan untuk diprogram yang
programnya juga menggunakan simbol-simbol matematik (Bahasa program
Mathcad). Disamping itu Mathcad dapat digunakan pula sebagai pengolah
kata (word processor) seperti halnya MS-Word dalam microsoft office. Jadi
dengan menggunakan Mathcad berarti dapat langsung untuk mengolah kata
(word-processor), membuat program, menghitung / mengeksekusi
program,dan melihat langsung hasilnya baik dalam bentuk numerik maupun
grafik. Kesemuanya itu disimpan dalam satu file (worksheet) Mathcad.
24
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Berikut adalah beberapa hal singkat tentang kemampuan Mathcad.
Mengetik simbol matematik:
  0.5
  5
Mendefinisikan fungsi matematik, misalnya:
f( x)  e
  x
 sin    x  0.1234
Melukiskan fungsi tersebut,
1
f ( x)
x
0
4 1.5 
2
1
Gambar 1: Penggambaran fungsi oleh Mathcad
Menghitung integral fungsi diatas, misalnya dari x =0 s/d x = π
dilakukan sebagai berikut:

   x
 e
 sin    x  0.1234 d x  0.24

0
Perhatikan bahwa integral ditulis dalam Mathcad menggunakan
simbol integral, demikian pula dengan batas integrasinya. Disamping itu
Mathcad memiliki kemampuan perhitungan simbolik, misalnya menghitung
invers matrik sebagai berikut:
a b


c d
1

 d b 

a d  b c  c a 
1

25
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
Tanda panah dapat diartikan “ hasil perhitungan adalah sebagai
berikut ….”
Perhatikan pula bahwa simbol untuk mencari matrix invers dalam
Mathcad juga ditulis dengan pangkat -1, seperti notasi yang ada dalam
buku-buku matematik. Kalau akan mengkwadratkan matrix secara simbolik
maka dapat tulis dengan notasi pangkat 2 atau langsung mengalikannya
seperti pada bagian berikut:
2
 a2  b  c a b  b  d 
a b







c
d
2


 c a  d  c b  c  d 
 2

 a b    a b    a  b  c a b  b  d 



 c d   c d   c a  d  c b  c  d 2 


Seperti disebutkan diatas, Mathcad juga memiliki kemampuan
untuk diprogram sesuai tugas yang diberikan, misalnya program sederhana
yang di-inginkan atau ingin dibuat adalah sebagai berikut.
Jika diperintahkan pada Mathcad untuk menghitung jumlah(5),
maka Mathcad harus menghitung 1+2+3+4+5. Jika diperintah ke Mathcad
jumlah(n), maka akan dihitung oleh Mathcad 1+2+3+…..+n, dengan n
adalah bilangan bulat sembarang. Bentuk program dalam Mathcad dan cara
eksekusi programnya adalah sebagai berikut:
jumlah ( n ) 
sum  0
for i  1  n
sum  sum  i
return sum
jumlah ( 5)  15
jumlah ( 25)  325
5
jumlah ( 1000)  5.005 10
26
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Sudah barang tentu masih banyak kemampuan yang ada dalam
Mathcad, yang tidak dituliskan disini. Namun dapat disimpulkan bahwa
Mathcad adalah suatu software yang amat menarik untuk dipelajari, mudah
diaplikasikan / diprogram, karena simbol-simbol yang digunakan sama
seperti matematika yang umum, dan andal digunakan dalam perhitungan
matematik.
Gambar 2. Tampilan Software Mathcad
4. Solusi Persamaan Diferensial Metoda Numerik
Tinjau suatu rangkaian R-L seri seperti dilukiskan dalam gambar 3
seperti pada halaman berikut.
27
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
s
+
L
t=0
i(t)
e(t)
R
-
Gambar 3: Rangkaian R-L seri
Misalkan pada t=0, switch s ditutup. Kondisi mula untuk arus i(0) = 0.
Persamaan diferensial untuk rangkaian diatas diperoleh dari persamaan
tegangan loop, yaitu:
e(t )  L
di
 Ri
dt
(5)
Slope arus (tan α pada gambar 4), dari persamaan diatas adalah,
di e(t ) R

 i
dt
L
L
atau
i' (t , i) 
e(t ) R

i
L
L
(6)
Solusi langkah demi langkah metoda euler adalah (sesuai persamaan 4):
in 1  in  i'n t
(7)

i1 = i
i(0)=i
0
+ tg(  )  t
t
0
a
Gambar 4: Dasar perhitungan langkah demi langkah
28
b
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Dengan menggunakan Mathcad, program untuk mencari arus adalah:
  a  b  t  i0 
solusiPDi'
nk 
ba
t
i0  i0
i1  i0  i'( a  i0) t
for n  1  nk
t  a  nt
in1  in  i' t  in t
return i
(8)
Pada program diatas, solusiPD( ) adalah nama fungsi yang
diberikan, (i', a, b, ∆t, i0) adalah argumen fungsi, dan i adalah nilai return
(hasil perhitungan fungsi). Dalam badan fungsinya sendiri variabel nk
adalah jumlah titik solusi numerik yang dihitung, a dan b adalah titik awal
dan akhir selang/ interval untuk solusi yang diamati.
Misalkan diambil data-data rangkaian adalah:
e(t) = 5 sin (t)
R=1
L=1
a=0
b=6
∆t = 0,1
i0 = 0 : harga mula arus
Solusi numerik menggunakan Mathcad adalah sebagai berikut,
i' (t, i)  e(t )  i
i = solusi PD(i', a, b, ∆t, i0)
n = 0,1 …..
ba
t
29
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
tn = a + n. ∆t
(9)
Jika digambarkan bentuk arus hasil perhitungan diatas, serta gambar
tegangan yang dipasang pada rangkaian, hasilnya adalah (lihat gambar 5):
e tn 
5
in
tn
0
1
2
3
4
5
6
5
Gambar 5: Bentuk arus solusi numerik serta tegangan sumber.
Pada bagian berikut diperlihatkan rangkaian seri R-L-C seperti terlukis
dalam gambar 6:
s
+
e(t)
0
1
L
2
t=0
i(t)
R
C
3
Gambar 6: Rangkaian seri R-L-C
Pada rangkaian diatas ada 2 kondisi mula yang diperlukan yaitu untuk
induktor dan untuk kapasitor. Misalkan kondisi mula arus induktor i(0) = 0.
Demikian pula tegangan awal kapasitor diambil = 0, v(0) = 0. Persamaan
diferensial yang akan dibentuk diperoleh dari persaman tegangan dan arus
dari rangkaian diatas, yaitu:
30
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
e(t) = VL + VR + VC
= L.
i=
d
I + R.i + Vc
dt
dq
dt
= C.
dVc
dt
(10)
Slope arus dan tegangan yang diperlukan untuk solusi numerik, dan bentuk
solusinya adalah,
di e(t )  Vc  Ri
=
dt
L
dVc
i
=
dt
C
in+1 = in + i'n∆t
V Cn 1 = V C n + V’ C n ∆t
(11)
Sebut,
i' (t, Vc, I) =
e(t )  Vc  R.i
L
io = 0
v' (t, Vc, I) =
yo = 0
i
C
(12)
31
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
solusiPD2  i'  v'  a  b  t  i0  v0 
nk 
ba
t
i  i0
0
v  v0
0


i  i  i' a  v  i  t
1
0

0 0

v  v  v' a  v  i  t
1
0
0 0
for n  1  nk
t  a  n  t
i
n 1
v
n 1
return


 i  i' t  v  i  t
n

n n

 v  v' t  v  i  t
 i
 
v
n
n n
(13)
Argumen fungsi yang dibuat diatas ada 7 buah, terdiri dari 2 buah
persamaan diferensial orde 1, yaitu i' dan v', selang yang diamati [a,b],
increment ∆t, serta kondisi mula arus io dan tegangan mula vo.
Nama fungsi yang diberikan adalah solusiPD2( ) dan nilai return
fungsi diatas adalah solusi i dan v.
Ambil data-data rangkaian adalah sebagai berikut:
R = 1, L = 1, C = 1, a = 0, b = 6, ∆t = 0,1
e(t) = 5sin(t)
 ic 
  = solusi PD2 (i', v’, a, b, ∆t, Io, vo)
 vc 
n = 0,1 ….
ba
t
tn = a + n. ∆t
32
(15)
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Bentuk keluaran yang diperoleh:
e tn 
5
vcn
icn
tn
0
1
2
3
4
5
6
5
Gambar 7. Bentuk keluaran solusi numerik untuk arus dan tegangan
kapasitor
Hasil pada gambar 8 pada halaman berikut adalah hasil solusi
numerik menggunakan Mathcad. Untuk membandingkan ketelitian hasil
perhitungan menggunakan program Mathcad yang telah dibuat diatas, telah
dicoba pula disimulasikan dengan program simulasi Pspice.
Program simulasi Pspice untuk rangkaian R-L-C diatas, dengan
konstanta rangkaian yang sama adalah sebagai berikut:
Rangkaian RLC, masing-masing 1 satuan, no simpul sama seperti dalam gambar 6
0.15915) ;w= 1, f =1/(2*pi) = 0.15915
Vs
1
0
sin(0
5
L
1
2
1
IC=0
; L = 1 henry, initial condition
R
2
3
1
C
3
0
1
IC=0
; C = 1 Farad, initial condition
0.1
6
0
0.1
i(0)=0
vc(0)=0
.tran
.probe
.end
33
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
Gambar 8: Tampilan keluaran dilihat dalam Mathcad
Jika program diatas di run menggunakan Pspice, bentuk keluaran
yang dihasilkan adalah sebagaimana yang dilukiskan dalam gambar 9.
Terlihat bahwa hasil simulasi Pspice persis sama dengan hasil perhitungan
yang dilakukan secara numerik menggunakan metoda euler. Catat bahwa
v(1) adalah tegangan simpul 1, yaitu tegangan sumber. v(3) adalah tegangan
34
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
pada simpul 3, yaitu tegangan pada kapasitor, sedangkan I(R) adalah arus
dalam resistor, juga merupakan arus dalam kapasitor (rangkaian seri).
Nomor simpul sesuai nomor yang diberikan pada gambar 6.
Tampilan program simulasi menggunakan Pspice dan Hasil
simulasinya digambarkan pada gambar 13 dan 14 , diakhir sub bagian 5.
5.0
e(t)
vc(t)
Ic(t)
0
-5.0
0s
V(1)
1.0s
V(3)
2.0s
I(R)
3.0s
4.0s
5.0s
6.0s
Time
Gambar 9: Simulasi rangkaian R-L-C menggunakan Pspice
5. Menuliskan Persamaan Diferensial Untuk Solusi Numerik
Untuk dapat membuat program solusi numerik, pada sub bab (4)
diatas perlu dituliskan persamaan diferensial dari sistemnya, lihat
persamaan (1). Sebagai mana halnya untuk rangkaian R-L seri, telah ditulis
sebuah persamaan diferensial, persamaan (6), yang kemudian digunakan
untuk menuliskan program numeriknya (persamaan 8) untuk mendapatkan
solusinya. Demikian pula untuk rangkaian R-L-C seri, juga telah dituliskan
persamaan (11), yang juga sering disebut sebagai persamaan keadaan.
Persamaan keadaan adalah persamaan yang menguraikan dinamika dari
sistem tersebut.
Dari persamaan diferensial tersebut, baru dapat dicari solusi
numeriknya. Dalam rangkaian R-L-C, disini ada 2 persamaan diferensial,
jadi ada 2 syarat batas yang diperlukan untuk menguraikan dinamika
sistem, yaitu berupa solusi dari persamaan diferensial. Program solusi
numeriknya telah dibuatkan pula, yaitu persamaan (13), yang menghasilkan
2 buah solusi yaitu untuk arus dan tegangan kapasitor. Untuk rangkaian
35
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
listrik yang agak rumit diperlukan cara-cara sistematis untuk mendapatkan
sistem persamaan diferensial ini. Setelah persamaan ini diperoleh, baru
dapat dituliskan program solusi numeriknya.
Berikut diberikan beberapa rangkaian listrik dan cara mendapatkan
sistem persamaan diferensialnya. Tinjau rangkaian listrik seperti ditunjukan
dalam gambar 10 berikut.
R2
s
t=0
+
e(t)
-
i1(t)
L1
i2(t)
L2
R1
Gambar 10: Rangkaian dengan 2 loop
Persamaan tegangan loop untuk rangkaian diatas yang kemudian diatur agar
persamaan diferensialnya terletak pada matrix kolom sebelah kanan, adalah:
 e(t )  i1.R1   L1

  
  i2 .R2    L1
 L1   i '1 
. 
L1  L2   i '2 
(16)
Dengan menggunakan perhitungan simbolik yang disediakan Mathcad,
maka diperoleh persamaan diferensial seperti dalam persamaan (1), sebagai
berikut:
1
 L1  L2

.(e(t )  i1 .R1 ) 
.i 2 .R2 

 i '1 
L .L
L2

    1 2
1
1
 i' 2  
(e(t )  i1 .R1 ) 
.i 2 .R2 
 L2

L2
(17)
Dari persaaman diatas serta syarat batas yang diperlukan dapat dibuatkan
solusi numeriknya seperti diuraikan dalam sub bagian (4) diatas.
36
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Perhatikan bahwa pada rangkaian gambar 10. ada 2 buah induktor,
jadi ada 2 syarat batas yang diperlukan yaitu i1(0) dan i2(0), untuk
mendapatkan solusi numerik persamaan (17).
Tinjau rangkaian pada gambar 11 berikut:
R1
s
R2
t=0
+
e(t)
-
L1
i1(t)
i2(t)
L2
C
Gambar 11. Rangkaian dengan 2 L dan 1C
Pada rangkaian diatas ada 2 induktor dan satu kapasitor. Jadi ada 3
syarat batas yang diperlukan (2 buah untuk induktor dan satu buah untuk
kapasitor).
Persamaan tegangan loop untuk rangkaian diatas setelah diatur,
dalam bentuk matrix adalah:
i1
0

 C

 
 e(t )  i1R1  vc    0 L1

 0 L
 i1R1
1

 
0   v'c 
 
 L1 . i '1 
L1  L2   i '2 
(18)
Pada persamaan diatas diatur agar persamaan diferensialnya muncul
pada matrix kolom sisi paling kanan.
Kemudian dengan mengambil invers matrix untuk matrix
koefisiennya (ukuran 3x3) dan kembali menggunakan fasilitas simbolik
Mathcad, didapatkan persamaan diferensialnya adalah:
 v 'c 
 
1
 i '1  =
C
.
L
1 .L2
 i' 
 2
 L1.L2

 0
 0

0
0 

C.( L1  L2 ) C.L1 
C.L1
C.L1 
i1




 e(t )  i1R1  vc  (19)


 i2 R2


37
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
Atau setelah dilakukan perkalian matrix pada (19) menghasilkan


1
.i1


C
 v 'c  

   L1  L2
1
(e(t )  i1 .R1  v c ) 
i 2 R2 
 i '1  = 

L2
 i '   L1 .L2

 2
 1 (e(t )  i1 .R1  v c )  1 i 2 R2 
 L2

L2
(20)
Dengan menggunakan kondisi mula vc(0) i1(0) dan i2(0), akan dapat dibuat
solusi numeriknya seperti dalam persamaan (13) sub bab (4) diatas.
Terakhir tinjau rangkaian listrik dalam gambar 12 berikut:
s
R1
R2
C
i2(t)
t=0
+
e(t)
-
i1(t)
L2
L1
Gambar 12: Rangkaian R-L-C pada kedua loop
Dari persamaan tegangan loop, setelah mengatur persamaan diferensial
pada sisi paling kanan matrix, diperoleh:
i1  i 2

 C

 
 e(t )  i1 R1  vc    0
 v i R
 0
c
2 2

 
0
L1
0
0   v' c 
 
0 . i '1 
L2   i ' 2 
(21)
Dari persamaan diatas diperoleh persamaan diferensialnya adalah:


1
.(i1  i 2 )


C
 v 'c  

  1

 i '1  =  (e(t )  i1 .R1  v c )
L
 i'   1

 2
 1 (v c  i 2 .R2 ) 
 L2

38
(22)
Maula Sukmawidjaja, Metode Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik
Gambar 13: Tampilan Program Simulasi Dengan Pspice
Gambar 14: Tampilan Hasil Simulasi Menggunakan Pspice
39
JETri, Tahun Volume 5, Nomor 2, Februari 2006, Halaman 21-40, ISSN 1412-0372
6. Kesimpulan
Kebanyakan masalah praktis dalam bidang sains dan teknik
memerlukan solusi sebuah sistem persamaan diferensial simultan. Secara
umum, sistem demikian dapat ditunjukkan oleh persamaan berikut:
dy1
 f1 ( x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx
dy2
 f 2 ( x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx
....
dyn
 f n ( x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx
Solusi dari suatu sistem yang demikian memerlukan n buah kondisi awal
untuk diketahui pada saat harga x permulaan yang kemudian dipakai untuk
mencari solusi pada x berikutnya.
Beberapa bentuk rangkaian listrik telah diberikan untuk membentuk
persamaan diferensial seperti persamaan (1) diatas. Dengan memanfaatkan
fasilitas perhitungan Simbolik Mathcad, sistem persamaan diferensialnya
akan mudah diperoleh. Setelah itu barulah dibuatkan program solusi
numeriknya. Untuk melihat ketelitian perhitungan Solusi numerik yang
dibuat, hasilnya juga dibandingkan dengan program simulasi Pspice, yang
ternyata ketelitiannya cukup memuaskan.
Daftar Pustaka
1. Stagg and El-Abiad, 1981, Computer Methods in Power System
Analysis. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha, Ltd.
2. Steven C Chapra, Ph.D, 1988, Numerical Methods For Engineers, 2nd
Edition. New York: McGraw-Hill, Inc.
40