Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral - "Darpublic" at ee

Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
Diferensial dan Integral
ii
Darpublic
BAB 5
Bangun Geometris
5.1. Persamaan Kurva
Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai
F ( x, y ) = 0
(5.1)
Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi
persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi
persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak
pada kurva.
Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di
antaranya telah kita pelajari di bab pertama.
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik
tertentu
jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva
funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
a)
c)
jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva
funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata
dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan
terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang
berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.
Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak
memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini
telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan
pembahasan.
Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Jika kita cari nilai y kita dapatkan
y = ± 1− x2
5-1
Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di
bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita
membatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1 . Karena kurva ini
simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas
pada rentang −1 ≤ y ≤ 1 .
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan
sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan
koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x
= 0.
Contoh: y 2 + x 2 = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0]
dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan
S[0,−1].
Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan
mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak
akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak
memotong sumbu-x maupun sumbu-y.
Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva
menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis
tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan
asimptot dari kurva.
Contoh: y 2 ( x 2 − x) = x 2 + 10 .
2
Persamaan ini memberikan y = ± x + 10
x( x − 1)
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini
berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu
agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.
Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada
antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah
asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.
5-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
4
y
0
-4
0
4
-4
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).
Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai
y2 =
x 2 + 10
x2 − x
=
1 + 10 / x 2
1 − 1/ x
Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y
= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.
Soal-Soal:
Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu
koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:
1
1
y = x2 + 1 ;
;
y=x+ ;
y=
2
x
x +1
1
y=
y = x2 − 1 ;
.
2
x −1
5.2. Jarak Antara Dua Titik
Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
jarak antara keduanya adalah
PQ = ( x p − xq ) 2 + ( y p − yq ) 2
(5.2)
Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat
kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan
melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.
5-3
Soal-Soal:
1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap P dan Q.
2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang
sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.
5.3. Parabola
Kita telah melihat bentuk kurva
y = kx 2
(5.3)
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.
Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak
antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak
di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,
seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,
dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak
parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.
y
y=kx
2
P[x,y]
Q[0,p]
[0,0]
x
R[x,−p]
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.
Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.
PQ = (PR − p) 2 + x 2 = ( y − p) 2 + x 2 = y 2 − 2 py + p 2 + x 2
PR = ( y + p)
5-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Karena PQ = PR, maka
y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y + p
y 2 − 2 py + p 2 + x 2 = y 2 + 2 py + p 2
+ x 2 = +4 py
atau
y=
x2
1
1
yang berarti k =
atau p =
4p
4p
4k
Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan
y=
1 2
x
4p
(5.4)
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].
Contoh: Persamaan parabola y = 0,5 x 2 dapat kita tuliskan
y=
1 2
1
x =
x2
2
4 × 0,5
dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0,5 dan
titik fokus di Q[0,(0,5)].
Soal-Soal:
Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:
y2 + 4x = 8 ;
x2 − 8 y = 4 ;
x2 + 2x − 4 y − 3 = 0 ;
y2 + x + y = 0
5.4. Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.
Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]
ke titik-asal adalah
XO = x 2 + y 2
5-5
Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka
x2 + y2 = r
Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah
x2 + y2 = r 2
(5.5)
dengan r adalah jari-jari lingkaran.
Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat
melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di
P[a,b] mempunyai persamaan
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
(5.6)
Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut
lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x 2 + y 2 = 1 .
y
1
y1
0,5
-1
1
[0,0]
x
0,5
-1
Gb.5.3. Lingkaran
Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2 = 0,4 berpusat di
[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5
skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan
( x − 0,5) 2 + ( y − 0,5) 2 = 0,4
5-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Soal-Soal:
Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu
koordinat lingkaran berikut
1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.
2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.
3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.
4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.
5.5. Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik
tertentu adalah konstan. Kedua
titik tertentu tersebut merupakan
X[x,y]
dua titik fokus dari elips.
Perhatikan
Gb.5.4.
Misalkan
diketahui posisi dua titik P[−a,0]
dan Q(a,0]. Jarak antara titik
sembarang X[x,y] dengan kedua
titik
tersebut
masing-masing
adalah
P[-c, 0]
Q[c, 0]
x
Gb.5.4. Elips
2
XP = ( x + c) + y
2
dan
XQ = ( x − c) 2 + y 2
Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka
( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, akan kita peroleh
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2
yang dapat disederhanakan menjadi
a−
c
x = ( x − c) 2 + y 2
a
5-7
Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan
c2
a 2 − 2cx +
a
2
x 2 = x 2 − 2cx + c 2 + y 2
yang dapat disederhanakan menjadi
x2
a2
+
y2
a2 − c2
=1
Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir
ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi
selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,
sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar
nyata; misalkan
persamaan elips
a 2 − c 2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan
x2
a2
+
y2
b2
=1
(5.7)
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong
dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi
panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu
pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita
mendapatkan persamaan lingkaran).
Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa
melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah
( x − p) 2
a2
+
( y − q)2
b2
=1
(5.8)
dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran
sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan
( x − 0,5) 2 ( y − 0,25) 2
+
=1
1
0,5 2
5-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
1 y
0
-1
0
x
1
2
-1
Gb.5.5. Elips tergeser.
Soal-Soal:
Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:
1) 9 x 2 + 4 x 2 = 36 ;
2) 4 x 2 + 9 y 2 = 144 ;
3) 4 x 2 + y 2 = 1 ;
4) 16( x − 2) 2 + 9( y + 3) 2 = 144
5.6. Hiperbola
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya
antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola
dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di
atas.
Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan
Q(c,0].
Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasing adalah
XP = ( x + c) 2 + y 2
dan
XQ = ( x − c) 2 + y 2
5-9
y
X(x,y)
Q[c,0]
P[-c,0]
x
Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].
Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka
( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a
Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan
(c / a ) x − a = ( x − c ) 2 + y 2
Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh
x2
a2
−
y2
c2 − a2
=1
Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu
lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua
ruas kiri selalu positif, misalkan
dapatkan persamaan
x2
a2
−
y2
b2
c 2 − a 2 = b 2 . Dengan demikian kita
=1
(5.9)
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.
5-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
y
+∞
X(x,y)
a c
-c -a
x
−∞
Gb.5.7. Kurva hiperbola
Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan
sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak
memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada
bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.
Soal-Soal:
Gambarkan (skets) hiperbola berikut:
1)
x2 y 2
−
=1 ;
9 16
2)
y 2 x2
−
=1 ;
9 16
3)
x2 y 2
−
=1 ;
16
9
4)
x2 y 2
−
= −1
9
16
5.4. Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus
kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan
berderajat dua adalah
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(5.10)
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
B = C = D = F = 0; A = 1; E = −4 p
5-11
1 2
x .
4p
Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
sehingga diperoleh persamaan (5.4) y =
B = D = E = 0;
A = 1; C = 1;
F = −1
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari
(5.10), di mana
A = B = C = 0; D = −a; E = 1; F = −b
yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam
kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi
persamaan berderajat satu.
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah
sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun
bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah
kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.
5.5. Perputaran Sumbu Koordinat
Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola
sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini
sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam
bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]
dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong
sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di
P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.
y
Q[a,a]
P[-a,-a]
x
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]
Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a
( x + a ) 2 + ( y + a ) 2 − ( x − a ) 2 + ( y − a ) 2 = 2a
5-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua
ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh
x + y − a = ( x − a) 2 + ( y − a ) 2
Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan
2 xy = a 2
(5.11)
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva
persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II
dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.
5
0
-5
0
-5
Gb.5.9. Kurva 2xy = a2.
Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola
sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki
sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.
Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai
perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.
y
P[x,y]
P[x’,y’]
y’
x’
Q’
β
α
O
x
Q
Gb.5.10. Perputaran sumbu.
5-13
Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat
dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau
P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan
x = OQ = OP cos(α + β)
(5.12)
y = PQ = OP sin(α + β)
Sementara itu
x' = OQ' = OP cos β
y ' = PQ' = OP sin β
Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi
x = x' cos α − y ' sin α
y = x' sin α + y ' cos α
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.
Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada
Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga
cos α = sin α = 1 / 2 . Oleh karena itu kita peroleh
x'− y '
x'+ y '
x=
dan y =
2
2
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan
x '− y ' x'+ y '
2
×
= ( x' ) 2 − ( y ' ) 2 = a 2
2
2
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)
sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah
sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o.
Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi
lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar
sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita
pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan
demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana
sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu
koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
5-14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral