HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga 3. Himpunan bagian (subset) Jenis-jenis himpunan 4. Himpunan saling lepas 5. Himpunan Kuasa (Power Set) 6. Himpunan Komplemen Operasi Gabungan (+) Operasi Selisih (-) Himpunan Operasi Pada Himpunan Operasi Irisan () Operasi Kartesian Operasi Komplemen Enumerasi Simbol Baku Cara Menuliskan Himpunan Notasi Pembentuk Himpunan Diagram Venn Definisi Himpunan • Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu. • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ” • Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. a) b) c) d) Contoh: Himpunan empat bilangan asli yang pertama: A = {1, 2, 3, 4} Himpunan lima bilangan genap yang pertama: {2, 4, 6, 8, 10} C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger} D = { {} } 2. Simbol-simbol baku Simbol baku untuk himpunan antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks 3. Notasi Pembentuk Himpunan Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh: a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka: – – {x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau {x | x < 15, x ϵ N} b) {x | x adalah himpunan mahasiswa statistika UII yang mengambil mata kuliah Metode Statistika I} 4. Diagram Venn • Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak. • Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan. • Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan. • Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan huruf vokal dalam bahasa Indonesia Himpunan Berhingga • Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set). Kardinalitas • Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. • Notasi: |A| atau n(A) Himpunan Kuasa (Power Set) • Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A). • Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)). • Rumus kardinal dari P(A) adalah: n(P(A)) 2 n( A) Himpunan Kosong • Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong. • Dinotasikan sebagai atau {}. • Contoh: a) A = {x | x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(A) = 0 b) B = {x | x2 < 0, x ϵ N}; n(B) = 0 Himpunan Semesta • Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U). • Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S. • Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka 2 U. Himpunan Bagian (Subset) • Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. • Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A • Notasi: A B • Diagram Venn: U A B • Contoh himpunan bagian: a) {1,2,3} {1,2,3,4,5} b) {4,5,6} {4,5,6} c) N Z R C • TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: 1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). 2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). 3) Jika A B dan B C, maka A C • A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. • Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. • A B berbeda dengan A B A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. Demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3} ii. A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. i. Himpunan Saling Lepas (disjoint) • Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. • Notasi: A // B U A B • Contoh: a) A { x | x 2 8 x 12 0} dan B { x | x 2 4 0} tidak saling lepas b) A { x | x 2 8 x 12 0} dan C {1,3,5} saling lepas Operasi himpunan 1. Irisan (intersection) • Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. • Notasi: A B { x | x A dan x B} • Contoh: a) Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka: A B {2,4,6} b) Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka: A B {} , artinya A // B 2. Gabungan (Union) • Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. • Notasi: A B { x | x A atau x B} • Contoh: a) Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b, c, d, e, f } b) A A 3. Komplemen (complement) • Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. • Notasi: AC A { x | x U , x A} • Contoh: a) Misalkan: U = {1, 2, 3, …, 10} . Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka Ac = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. b) S c dan c S c c c) A A d) A Ac S dan A Ac 4. Selisih • Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. • Notasi: A B { x | x A, x B} • Contoh: {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2} 5. Perkalian Kartesian (cartesian product) • Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. • Notasi: A B (a , b)|a A, b B • Contoh: Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka: A B (a ,1),(a ,2),(a ,3),(b,1),(b,2),(b,3) • Catatan untuk perkalian kartesian: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(A×B) = n(A).n(B) 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. 4. Jika A = atau B = , maka A B = B A = 6. Beda setangkup (Symmetric Difference) • Notasi: A B A B A B A B B A • Contoh: Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka: A B {3,4,5,6} Teorema Aljabar Himpunan Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut: 1. Hukum asosiatif (associative law) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 2. Hukum komutatif (commutative law) AB=BA AB=BA A B=BA 3. Hukum distributif (distributive law) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4. Hukum identitas (identity law) A=A AS=A 5. Hukum komplemen (complement law) A Ac = S A Ac = 6. Hukum idempoten (idempotent law) AA=A AA=A 7. Hukum ikatan (bound law) AS=S A= 8. Hukum penyerapan (absorption law) A (A B) = A A (A B) = A 9. Hukum involusi (involution law) A’’ = A 10. Hukum 0/1(1/0 law) c = S Sc = 11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets) (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc Latihan Referensi • kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc • Diktat Kalkulus: Undip