II-3 Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial

Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri
Inversi, Logaritmik, Eksponensial
3.1. Turunan Fungsi Trigonometri
Jika y = sin x maka
dy d sin x sin( x + ∆x) − sin x
=
=
dx
dx
∆x
sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x
=
∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu
d sin x
= cos x
dx
Jika y = cos x maka
(3.1)
dy d cos x cos(x + ∆x) − cos x cos x cos ∆x − sin x sin ∆x − cos x
=
=
=
dx
dx
∆x
∆x
Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu
d cos x
= − sin x
dx
(3.2)
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d  sin x  cos2 x − sin x(− sin x)
1
= 
=
= sec2 x
=
2
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos x
d cot x d  cos x  − sin 2 x − cos x(cos x)
−1
= 
=
= − csc2 x
=
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin 2 x
d sec x d  1  0 − (− sin x)
sin x
= 
=
= sec x tan x
=
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos 2 x
d csc x d  1  0 − (cos x ) − cos x
=
=
= − csc x cot x

=
dx
dx  sin x 
sin 2 x
sin 2 x
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri
dalam rangkaian listrik.
1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Kita akan melihat
bentuk arus yang mengalir pada kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10-6 farad ini.
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC = C
dvC
dt
Arus yang melalui kapasitor adalah
iC = C
dvC
d
= 2 × 106 × (200 sin 400t ) = 0,160 cos 400t ampere
dt
dt
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap kapasitor adalah
1/6
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
pC = vC iC = 200 sin 400t × 0,16 cos 400t = 32 cos 400t sin 400t
= 16 sin 800t watt
Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.
200
vC
iC
pC 100
C
C
C
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t [detik]
-100
-200
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai
maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva
tegangan; dikatakan
bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut
perbedaan fasa yang untuk kapasitor besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan
beda fasa sebesar 90o.
Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan
maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama
setengah perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secara keseluruhan
tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini disebut daya reaktif.
2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus terhadap waktu sebagai iL =
−0,2cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya
?
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
vL = L
vL = L
diL
dt
diL
d
= 2,5 × (− 0,2 cos 400t ) = 2,5 × 0,2 × sin 400t × 400 = 200 sin 400t
dt
dt
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.
pL = vL iL = 200 sin 400t × (−0.2 cos 400t ) = −40 sin 400t cos 400t
= −20 sin 800t W
Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.
vL 200
iL
pL 100
L
L
0
L
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t[detik]
-100
-200
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari kurva arus. Jadi tegangan
mendahului arus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini
merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya arus ketinggalan dari
tegangan dengan sudut fasa 90o.
Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu, yang berarti tak terjadi transfer
energi netto; ini adalah daya reaktif.
2/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
3.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
1) y = sin −1 x
x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒ dy = 1
1
dx
x
y
cos y
dy
1
=
dx
1 − x2
1 − x2
2) y = cos −1 x
x = cos y ⇒ dx = − sin ydy ⇒
1
1 − x2
y
x
1+ x
dy
−1
; dy = −1
=
dx sin y
dx
1 − x2
3) y = tan −1 x
x = tan y ⇒ dx =
2
1
2
dy ⇒
dy
= cos2 y ;
dx
dy ⇒
dy
= − sin 2 y ;
dx
cos y
x
y
1
dy
1
=
dx 1 + x 2
4) y = cot −1 x
x = cot y ⇒ dx =
−1
2
sin y
1+ x2
5) y = sec −1 x ⇒
y
x
1
x = sec y =
dy
−1
=
dx 1 + x 2
0 − ( − sin x )
1
⇒ dx =
dy
cos y
cos 2 y
x
y
x2 − 1
1

dy cos 2 y
1 
x

=
=
×
2
 2

dx
sin y
x
 x −1 
1
=
x x2 − 1
6) y = csc −1 x
x
y
x2 − 1
x = csc y =
1
0 − (cos x )
1
⇒ dx =
dy
sin y
sin 2 y
dy sin 2 y
1
=
=−
×
dx − cos y
x2
=
x
x2 − 1
−1
x x2 − 1
3/6
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
3.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d (sin v) d (sin v) dv
dv
=
= cos v
dx
dv dx
dx
d (cos v) d (cos v) dv
dv
=
= − sin v
dx
dv dx
dx
d (tan v) d  sin v  cos2 x + sin 2 x dv
dv
= 
= sec2 v
=
2
dx
dx  cos v 
dx
dx
cos x
d (cot v ) d  cos v 
2 dv
=

 = − csc v
dx
dx  sin v 
dx
d (sec v ) d  1  0 + sin v dv
dv
=
= sec v tan v

=
2
dx
dx  cos v 
dx
cos v dx
d (csc v ) d  1 
dv
=

 = − csc v cot v
dx
dx  sin v 
dx
Jika w = f(x), maka
d (sin −1 w)
1
dw
=
2 dx
dx
1− w
1
d (cos−1 w)
dw
=−
2
dx
1 − w dx
1 dw
d (tan −1 w)
=
dx
1 + w2 dx
d (cot −1 w)
1 dw
=−
dx
1 + w2 dx
d (sec −1 w)
1
dw
=
dx
w w2 − 1 dx
d (csc−1 w)
1
dw
=−
2
dx
w w − 1 dx
4/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
3.4. Turunan Fungsi Logaritmik
Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui bahwa fungsi f ( x) = ln x
didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)
f ( x) = ln x =
x1
∫1 t dt
( x > 0)
y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di selang antara t = 1 dan t = x
pada Gb.11.1.
6
5
4
y
1/t
3
ln(x+∆x)−lnx
2
1
0
0
1
2
1/x
3x
x+Δx
4
1/(x+Δx)
Gb.3.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.
Kita lihat pula
ln( x + ∆x ) − ln( x )
1  x + ∆x 1 
=

dt 
∆x
∆x  x
t 
∫
(3.3)
Apa yang berada dalam tanda kurung (3.3) adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x).
Namun jika ∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x
mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada keadaan batas ini (3.3) akan bernilai (1/x).
Jadi
d ln x 1
=
dx
x
(3.4)
Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil
contoh: v = 3x 2 + 4
d ln v d ln v dv
1
d (3 x 2 + 4 )
6x
=
=
=
dx
dv dx 3x 2 + 4
dx
3x 2 + 4
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = ln(x 2 + 2 x) ; y = ln
x
; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x)
2 + 2x
3.5. Turunan Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial berbentuk
y = ex
(3.5)
Persamaan (3.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua
sisinya akan kita dapatkan
5/6
Darpublic
Nopember 2013
d ln y 1 dy
=
=1
dx
y dx
atau
www.darpublic.com
dy
= y = ex
dx
(3.6)
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang tidak berubah terhadap
operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah
bentuk fungsi. Turunan-turunan dari y = e x adalah
y′ = e x
y ′′ = e x
y ′′′ = e x
dst.
Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu fungsi, v = v(x) .
de v de v dv
dv
=
= ev
dx
dv dx
dx
Kita ambil contoh: y = e tan
−1
(3.7)
x
−1
−1
dy
d tan −1 x e tan x
= e tan x
=
dx
dx
1 + x2
6/6 Sudaryatno Sudirham, Turunan Fungsi Trigonometri, Logaritmik, Eksponensial