C. Menentukan Persamaan Garis Lurus
advertisement
SILABUS
1. Identitas Mata Kuliah
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Nomor Kode
: MT 306
Jumlah SKS
:3
Semester
: 1 (Satu)
Kelompok Mata Kuliah
: MKK
Program Studi/ Jenjang
: Pendidikan Matematika/ S-1
2. Tujuan
Mahasiswa menguasai semua topik yang terdapat dalam mata kuliah Kapita Selekta
Matematika I sebagai latar belakang untuk mengajarkan matematika di sekolah dan
sebagai dasar pengembangan untuk mata kuliah selanjutnya.
3. Deskripsi Isi
Perkuliahan ini dimaksudkan untuk memantapkan penguasaan para mahasiswa
terhadap konsep-konsep dasar matematika SMP. Mata kuliah ini membahas tentang
materi matematika SMP yang esensial yang meliputi: Bilangan bulat, operasi pada
bilangan bulat, dan sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan, Bilangan
pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah,
Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk aljabar, Operasi Hitung
bentuk Aljabar, Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel, Pertidaksamaan
linear satu variabel, Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam perdagangan,
persentase untung rugi, Bunga tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial), Pengertian
perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan berbalik nilai, Grafik perbandingan
dua besaran, Himpunan dan unsur-unsurnya, Garis-garis sejajar, Hubungan sudutsudut pada dua garis sejajar, Melukis dan membagi sudut, Segi empat, segitiga,
Menghitung
besaran-besaran
pada
segitiga,
Menyelesaikan
bentuk
aljabar,
Menentukan faktor-faktor suku aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk
aljabar, Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung nilai fungsi, Persamaan garis
lurus, Gradien suatu garis lurus, Kedudukan dua garis lurus, Membuat persamaan
garis lurus, Jarak dan titik tengah garis lurus, Persamaan linear satu variabel,
Persamaan linear dua variabel, Ssistem persamaan linear dua variabel, Unsur-unsur
dalam
teorema
pythagoras,
Menentukan
teorema
teoremapythagoras, Menentukan panjang garis tinggi.
pythagoras,
Penerapan
4. Metode/ Pendekatan Pembelajaran
Reciprocal teaching, diskusi, seminar, dan tanya jawab
5. Evaluasi
Kompetensi yang dicapai oleh mahaiswa diukur melalui tes tertulis pada UTS dan
UAS
6. Rincian Materi
Pertemuan ke-1
: Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan
sifat-sifat
operasi
bilangan
bulat,
Bilangan
Pecahan
Pertemuan ke-2
: Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan
sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah
Pertemuan ke-3
: Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB
bentuk aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar
Pertemuan ke-4
: Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel,
Pertidaksamaan linear satu variabel
Pertemuan ke-5
: Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam
perdagangan, persentase untung rugi, Bunga
tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial)
Pertemuan ke-6
: Pengertian perbandingan, perbandingan senilai,
Perbandingan berbalik nilai, Grafik perbandingan
duabesaran.
Pertemuan ke-7
: Himpunan dan unsur-unsurnya
Pertemuan ke-8
: Ujian Tengah Semester
Pertemuan ke-9
: Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-sudut pada
dua garis sejajar, Melukis dan membagi sudut
Pertemuan ke-10
: Segi empat, segitiga, Menghitung besaran-besaran
pada segitiga
Pertemuan ke-11
: Menyelesaikan bentuk aljabar, Menentukan faktorfaktor
suku
aljabar,
Menyelesaikan
operasi
pecahan bentuk aljabar
Pertemuan ke-12
: Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung
nilai fungsi
Pertemuan ke-13
: Persamaan garis lurus, Gradien suatu garis lurus,
Kedudukan dua garis lurus, Membuat persamaan
garis lurus, Jarak dan titik tengah garis lurus
Pertemuan ke-14
: Persamaan linear satu variabel, Persamaan linear
dua variabel, Ssistem persamaan linear dua
variabel,
Pertemuan ke-15
: Unsur-unsur
dalam
Menentukan
teorema
teorema
pythagoras,
pythagoras,
Penerapan
teoremapythagoras, Menentukan panjang garis
tinggi
Pertemuan ke-16
: Ujian Akhir Semester
7. Daftar Buku
a. Sukino dan Simangunsong, W., (2006). Matematika SMP Kelas VII, Jakarta:
Erlangga..
b. Sukino dan Simangunsong, W., (2006). Matematika SMP Kelas VIII, Jakarta:
Erlangga..
c. Wahyudin, (2001). Matematika untuk SLTP Kelas 1, Bandung: Epsilon
d. Wahyudin, (2001). Matematika untuk SLTP Kelas 2, Bandung: Epsilon
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 1 (satu)
Pokok Bahasan
: Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan sifat-sifat
operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan
A. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif.
Bilangan cacah = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Bilangan negatif = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ....
Jadi pengertian bilangan bulat = ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Keterangan : (titik tiga kali artinya "dan seterusnya")
Semua bilangan dapat dikatakan sebagai bilangan bulat jika bilangan itu tidak ada
tanda koma (,) dan pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z (yang berasal dari kata
Zahlen, bahasa Jerman yang artinya bilangan).
Bilangan-bilangan lainnya:
• Bilangan Asli = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
• Bilangan Genap = 2, 4, 6, 8, 10, ...
• Bilangan Ganjil = 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
• Bilangan Prima = 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
• Bilangan Desimal = semua bilangan yang memakai tanda koma (,) seperti: 0,5 atau 7,2
dan lain-lain.
• Bilangan Pecahan = semua bilangan yang memakai tanda pecahan (/) seperti 1/2 atau
4/5 dan lain-lain.
B. Operasi pada Bilangan Bulat
Terdapat enam operasi hitung bilangan bulat dan disebut sebagai aturan PEMDAS:
1) Parenthesis (tanda kurung).
2) Exponent (pangkat dan akar).
3) Multiplication (perkalian).
4) Division (pembagian).
5) Addition (penjumlahan).
6) Subtract (pengurangan).
Sesuai dengan urutan di atas, perhitungan yang menggunakan tanda kurung harus
didahulukan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan pangkat, perkalian, pembagian,
penjumlahan, dan pengurangan. Antara perkalian dan pembagian bisa didahulukan salah
satunya, begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan. Tetapi, perkalian dan pembagian
harus didahulukan, kemudian penjumlahan dan pengurangan.
C. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.
1) Sifat tertutup, untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga
bilangan bulat.
2) Sifat komutatif, untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
3) Sifat asosiatif, untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
4) Mempunyai unsur identitas, untuk sembarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 =
0 +a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.
5) Mempunyai invers, untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0.
Invers dari a adalah -a, sedangkan invers dari -a adalah a.
Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).
Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka
Jika p dan q bilangan bulat maka
Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat
1) tertutup terhadap operasi perkalian;
2) komutatif: p x q = q x p;
3) asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
4) distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);
5) distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).
Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat pberlaku p x 1 =
1 x p = p.
Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda
kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.
1) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak
di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
2) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di
sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
3) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+)
dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan
terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).
Latihan:
1. Dapatkah kamu memikirkan suatu cara yang paling mudah intuk mengalikan suatu
bilangan dengan 25?
Kalikan bilangan-nilangan berikut dengan 25.
a. 4895
c. 3791
b. 7862
d. 482412
2. Diketahui perbandingan dua bilangan adalah 4:5. Apabila jumlah kedua bilangan
itu sama dengan 36, tentukan:
a. Bilangan terkecil
b. Selisih kedua bilangan itu
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 2 (dua)
Pokok Bahasan
: Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat
operasi bilangan pecahan masalah
A.
Pengertian Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ditampilkan dalam bentuk:
a
; a, b
b
bilangan bulat dan b≠0.a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Contoh :
Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yang
didapatkan oleh setiap anaknya?
Jawab:
Masing-masing anaknya memperoleh
B.
Bentuk dan Jenis Pecahan
a.
Pecahan Biasa
Contoh:
1 3
,
2 5
b.
Pecahan campuran
4 3
Contoh: 3 , 7
5 5
c.
Pecahan desimal
Contoh: 0,3 ; 0,25
d.
Persen ( perseratus)
Contoh: 30% =
30
100
2
bagian.
3
e.
Permil (perseribu)
Contoh: 20‰ =
C.
20
1000
Pecahan Senilai
Apabila pembilang dan penyebut dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama
a axm a : m
b bxm b : m
Contoh:
1.
2 2 x3 6
3 3 x3 9
D.
Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain
a.
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (dapat dilakukan apabila
pembilang lebih besar dari penyebut)
Contoh:
b.
5
2
2
1 5 dibagi 3 didapatkan 1 dengan sisa kelebihan
3
3
3
Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa
2
22
Contoh: 4
caranya : hasil perkalian 4x5 ditambahkan 2 hasilnya 22
5
5
c.
Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal
d.
Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa
e.
Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan campuran
f.
Mengubah pecahan biasa ke dalam bentuk persen dan permil
g.
Mengubah persen dan permil ke dalam bentuk pecahan biasa
E.
Menyederhanakan Pecahan
Bentuk pecahan dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut
dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).
Contoh: Sederhanakan pecahan
Jawab:
1.
9
...?
15
FPB dari 9 dan 15 adalah 3
9
18
dan
15
45
Sehingga
2.
9
9:3 3
15 15 : 3 5
18
...?
45
FPB dari 18 dan 45 adalah 9
F.
Membandingkan Dua Pecahan
Hubungan antara dua pecahan dapat ditentukan dengan menyamakan penyebut dari
keduapecahan tersebut (dicari KPK dari kedua penyebutnya):
G.
Operasi Pada Pecahan
a.
Penjumlahan
Penjumlahan antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengan menggunakan KPK dari
kedua atau lebih penyebutmya.
1. Jika penyebutnya sama:
a c ac
dengan syarat apabila b≠0
b b
b
2. Jika penyebutnya tidak sama:
a c
ac
Syarat b dan d ≠ 0
b d kpk(b _ dan _ d )
b.
Pengurangan
1. Jika penyebutnya sama:
a c ac
dengan syarat apabila b ≠ 0
b b
b
2. Jika penyebutnya tidak sama :
a c (axd ) (cxb)
Syarat b dan d ≠ 0
b d
bxd
c.
Perkalian
Perkalian antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengan mengalikan pembilang
dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
a c axc
x
dengan syarat b dan d ≠ 0
b d bxd
d.
Pembagian
Pembagian bisa disebut sebagai perkalian dengan kebalikan dari pembaginya
1
a : b ax ; dengan b ≠ 0
b
a c a d
: x ; dengan b,c dan d ≠ 0
b d b c
e.
Pemangkatan
n
a a
a
a
x x...x
b b
b
b
sebanyak n faktor
dengan syarat b ≠ 0
Latihan:
1. Apabila massa satu atom hidrogen 1,7x10-27 kg, berapakah massa 4.500 atom
hidrogen? (nyatakan jawabanmu dalam bentuk baku)
2. Ayah memberikan uang Rp. 50.000 kepada Nadi dan Dina. Nadi mendapat
bagian dan Dina sisanya.
a. Berapa bagian yang didapat massing-masinganak?
b. Bila Nadi membelanjakan
2
bagian dari uangnya, berapakah sisanya?
5
c. Bila Dina membelanjakan 60% uangnya, berapak sisanya?
3. Susunlah pecahan berikut dari kecil ke besar!
a.
7 5 2
,
,
10 8 3
b.
11 16 16
, ,
14 19 21
19
25
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 3 (satu)
Pokok Bahasan
: Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk
aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar
A. Bentuk aljabar dan unsur-unsurnya
Perhatikan ilustrasi berikut:
Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan
x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x +5. Jikaa boneka Desy sebanyak 4 buah
maka boneka Rika sebanyak 9 buah.
Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.
Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat
hurup-hurup untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.
variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya, variabel
disebut juga peubah, yang dilambangkan dengan huruf kecil : a,b, c , … , z
- Konstanta adalah suku dari bentuk aljabar yang berupa bilangan (angka), yang tidak
memuat variabel
- Suku adalah variabel beserta koefisien pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda
penjumlahan ( + ) atau selisih ( - ).
- Koefisien adalah bilangan ( angka )didepan variabel (koefisien bisa positif atau negatif ).
- Pangkat atau eksponen adalah angka diatas variabel :
Contoh: (variabel, konstanta, suku, koefisien,pangkat )
- suku satu : 4a
- suku dua : 5a + 7b
- suku tiga : 5a + 7b – 9
- Perhatikan Bentuk Aljabar Berikut :
5a2 – 3a + 7b -9, ( terdiri dari 4 suku )
- suku ke-1 = 5a2, ( 5 disebut koefisien dari variabel a2 )
- suku ke-2 = -3a, ( -3 disebut koefisien dari variabel a )
-suku ke-3 = 7b, ( 7 disebut koefisien dari variabel b )
- suku ke-4 = -9 , ( -9 disebut konstanta )
B. KPK dan FPB dari bentuk aljabar
- KPK : merupakan hasil kali faktor – faktor prima da variabel ( faktor prima dan
Variabel yang sama diambil pangkat yang terbesar )
Contoh : Tentukan KPK dari 20a2b dan 30ab2c
Jawab : 20a2b = 22 x 5 x a2 x b
30ab2c = 2 x 3 x 5 xa x b2xc
Jadi KPK dari 20a2b dan 30ab2c , adalah , 22 x 3 x 5 x a2 = 60a2b2c
- FPB : merupakan hasil kali faktor – faktor prima da variabel yang sama dan
diambil pangkat yang terkecil.
Contoh : Tentukan FPB dari 20a2b dan 30ab2c
Jawab : Dari uraian diatas tampak dengan jelas FPB nya = 2 x 5 a xb = 10ab.
C. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar
a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Pada bentuk aljabar operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku–
suku yang sejenis (yang dijumlah hanya koefisiennya saja).
Contoh : Tentukan hasil penjumlahan dari : 10a – 8b + 1 + 2a + 11b – 5
Jawab : (10 +2 )a + ( -8 + 11 )b + ( 1 – 5 )
= ( 12 )a + ( 3 )b + ( -4 )
= 12a +3b – 4 .
b. Operasi Perkalian
Pada bentuk aljabar operasi perkalian yang dikali koefisien dengan koefisien,
dan variabel yang sama pangkatnya dijumlah.
(1) Perkalian bilangan dengan suku banyak .
Contoh : 4 ( 5a – 3b + 2 ) = 4 (5a ) + 4 (-3b ) + 4 ( 2 ) = 20a – 12b + 8
(2) Perkalian suku dua dengan suku dua
Contoh :
( 2a – 5 ) ( 3a + 4 ) = 2a (3a + 4 )-5 (3a + 4 )
= 6a2 + 8a – 15a – 20
= 6a2 – 7a – 20
( 3m -4n ) ( 2m – 5n )= 3m (2m -5n )-4n ( 2m – 5n )
= 6m2 – 15mn -8mn + 20n2
= 6m2 – 23mn + 20n2
c. Operasi Pembagian
Pembagian bentuk aljabar dilakukan dengan membagi koefisien dengan koefisien dan
variabel yang sama pangkatnya dikurangi.
Contoh :
. 24a5b3c : 8a2bc = 3a3b2
. 35m4n2 : ( -7mn ) = -5m3n
D. Pemangkatan Bentuk Aljabar
Pada pemangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan dengan
Segitiga pascal .
1 ……… (a + b)0 , baris ke-1
1 1 ……… (a + b)1 , baris ke-2
1 2 1 ……… (a +b)2 , baris ke-3
1 3 3 1 ……… (a + b)3 , baris ke-4
1 4 6 4 1 ……… (a + b)4 , baris ke-5
1 5 10 10 5 1 ……… (a + b)5 , baris ke-6
1 6 15 20 15 6 1 ……… (a + b)6 , baris ke-7
………….. dan seterusnya …………….. ……… (a + b)n-1 ,baris ke-n
Contoh : Tentukan hasil perpangkatan berikut:
. ( a + b )2 = 1(a)2 + 2(a)1(b)1 +1(b)2
. ( a + b )4 = 1(a)4 + 4(a)3(b) + 6(a)2(b)2 + 4(a)(b)3 + 1(b)4
. ( 2m + 3n )3 = 1(2m)3 + 3(2m)2(3n) + 3(2m)(3n)2 + 1(3n)3
= 1(8m3) + 3(4m2)(3n) + 3(2m)(9n2) + 1(27n3)
= 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
E. Kuadrat ( pangkat dua ) dari suku tiga
( x + y + z )2 = (x)2+(y)2+(z)2+2(x)(y)+2(x)(z)+2(y)(z)
F. Operasi Hitung Pecahan Pada Bentuk Aljabar
a. Operasi penjumlahan dan pengurangan, dilakukan dengan syarat menyamakan
penyebut ( mencari KPK dari penyebut )
Contoh :
·
2b 4b 10b 12b 22b
3
5
15
15
15
·
5
3 10b 3a 10b 36a
4a 8b 8ab 8ab
8ab
b. Opersi perkalian, dengan mengalikan pembilang dengan pembilang.
c. Operasi Pembagian, dengan mengalikan kebalikan dari penyebut.
Latihan:
1. Tentukan koefisien dari : a2 , a , ab , b , b2, m2 , mn , dan n2 .
a. 7a2 – 11ab – a + 9b – 5b2
c. 22m2 + 25mn – 31n + 18
b. -10a2 + 6a – ab + 15b - 8
d. –m2 – 7n2 + 6mn – 14n – 5
2. Tentukan suku – suku sejenis bentuk berikut :
a. 4a2 – 3ab + b – 11 dan 19a2 – 2ab – 16b – 3
b. 2a3 + 7a2 – ab + b2 + 25 dan 8a2 – 9b2 + 2ab – 4b
c. 9x4 + 8x3 + 10x2y – 12xy2 dan -17x4 + yx2 – x2y2 + 4xy2
d. -15m2n2 + 14m2n – mn – 24 dqan -20m2n2 – 25m2n – 30nm + 35
3. Sederhanakan!
a. 23ab – 25ac + 19bc – 21 – 20ba – 20ac + 11bc + 29
b. a2b3 + 17a2b2 – a2b + 8 + 4a2b3 – 25b2a2 – 19ba2 – 20
c. 54m3n – 67mn2 – 43mn -75m3n – 19mn2 -37nm + 13
d. -21xyz – 16xy + 9xz – 24yz + 22yxz – 19xy + 13yz
4. Tentukan hasil penjumlahan berikut :
a. 12a + 16ab – 19 dan -25a – 33ab + 41
b. 47a3 – 56a2 + 78a dan 29a3 + 44a2 – 55a
c. 6( 3m – 5n + 7 ) dan -4( 9m + 8n – 13 )
d. 4x( 7xy + 9yz ) dan 9x( 5xy – 8yz )
5. Tentukan hasil pengurangan berikut :
a. 10a – 15b – 9 dari 13a – 8b – 14
b. 7( 2a + 4b – 5 ) dari 4( 5a – 6b – 3 )
c. 27m + 18n – 11 dari 6( 4m + 5n – 22 )
d. 9( 6x – 4y ) – 38 dari 5( 12x – 8y – 7 )
6. Tentukan FPB dari :
a. 36a3b4c2 dan 90a2bc2
b. 256x4y3z2 ; 120x2y2z3 dan 196x3y4z5
7. Tentukan hasil dari :
a. 6a2b x ( -7a3b4c )
b. 4a4b3 x 12a3b5c : 8a5b
c. 20m8n5 : ( -5m6n4 ) x ( -3m3n )
8. Tentukan hasil dari :
a. ( 2a + 3b + 4c )2
b. ( 5x + 2y – 3z )2
c. ( 3ab – 4ac – 5bc )2
9. Panjang sisi – sisi sebuah segitiga ( 2x + 2 ) cm , ( x + 4 ) cm, dan ( 3X – 6 ) cm. Susunlah
persamaan dalam x , yang menyatakan kelilingnya .
10.Sebuah persegi panjang memilik panjang ( 2x + 8 ) cm dan lebar ( 3x – 4 ) cm. Jika
kelilingnya 68 cm .
a. Susunlah persamaan dalam x , yang menyatakan kelilingnya.
b. Tentukan nilai x.
c. Tentukan luasnya.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 4 (empat)
Pokok Bahasan
: Kalimat
terbuka,
Persamaan
linear
satu
variabel,
Pertidaksamaan linear satu variabel.
A. Kalimat Pernyataan
Perhatikan kalimat berikut ini :
a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang
b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar
c. Balok merupakan bangun ruang
d. 13 adalah bilangan prima
e. 8 3
f.
3 6 9
4 7 11
g. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya
Manakah diantara kalimat di atas yang benar ? mana yang salah ?
Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat pernyataan.
Kalimat Terbuka
Masalah buku
Suatu hari Ricki mambawa sebuah tas yang berisi buku. Sebelum tas dibuka Ricki berkata
pada temannya ”banyak buku dalam tas ada 9 buah”. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan
Ricki ?,benar atau salah ?
Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka. ” suatu
bilangan ” pada kalimat di atas belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang
belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan
huruf kecil x, y, a, n atau bentuk yang lain. ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”.
Jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika
9 – x = 5.
B. Pengertian Persamaan Linear
Masalah 1 :
Sherly membeli pensil sebanyak 20 buah
a. Sampai dirumah, adiknya meminta beberapa pensil, ternyata pensilnya sisa 17 buah, berapa
pensil yang diminta adikny ?
b. Jika Sherly membutuhkan 8 pensil, dan sisanya dibagikan rata kepada keempat adiknya.
Berapapensil yang diterima oleh masing- masing adiknya ?
Pada masalah di atas :
a. Jika banyak pensil yang diminta oleh adik Sherly dimisalkan x buah, maka diperoleh
kalimat : 20 – x = 17
¨ Manakah variabel atau peubah pada kalimat itu ?
¨ Ada berapa variabelnya ?
¨ Apakah 20 – x = 17 merupakan kalimat terbuka ?
¨ Pada kalimat 20 – x = 17 mengunakan tanda hubung ” = ”
¨ Pada kalimat 20 – x = 17 pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.
Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” = ” disebut persamaan.
Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu
disebut persamaan linear.
Persamaan linear yang hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel
(PLSV). Jadi 20 – x = 17 merupakan salah satu contoh PLSV
b. Jika banyak pensil yang diperoleh masing- masing adik Sherly dimisalkan n, maka
diperoleh persamaan 8 + 4n = 20
¨ Jika n diganti dengan 5, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(5) = 20. Dan bernilai salah
¨ Jika n diganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(3) = 20. Dan bernilai benar
Penggnti n supaya 8 + 4n = 20 menjadi benar adalah 3
Pengganti dari variabel ( peubah ) sehingga persaman menjadi benar disebut Penyelesaian
persamaan, sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian disebut himpunan
penyelesaian
TUGAS 1
1. Manakah yang merupakan PLSV ? Berikan alasan !
a. 2x + 6 = 10 e. 5u2 = 80
b. -3y + 8 = -7 f. 3x2 + 2x + 8 = 12
c. 3a – 6 = 2a + 9 g. 4 ( 2t – 5 ) = 3t + 10
d. 4x – 7 = 2y + 1 h. x -3 = x – 3
Pada tugas 1h. x – 3 = x – 3, bukan kalimat terbuka karena untuk x berapapun akan
bernilai benar.
Kalimat x – 3 = x – 3 disebut kesamaan
C. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu
persamaan .
Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu
persamaan linier satu variable , yaitu :
a.
Subtitusi ;
b.
Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :
a.
Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
b.
Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.
Contoh:
Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat.
Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan
menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :
Jawab :
6x – 3 = 2x + 1
6x – 3 + 3 = 2x + 1+3
6x = 2x + 4
6x – 2x = 4
4x = 4
x =1
jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1
D. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)
1. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan ≤ .
Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4
Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya
memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan
≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian
disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).
2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable
Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :
a.
Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan
yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan
pertidaksamaan semula
b.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh
pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula
c.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh
pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari
tanda ketidaksamaan dibalik
d.
Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah
mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya
hilang .
Contoh 1 :
1. Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,…
,15}
Jawab :
3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}
3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2
( kedua ruas dikurangi 2x)
x–7>2
x–7+7>2+7
( kedua ruas dikurangi7 )
x>9
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}
HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}
LATIHAN
1. Buatlah masing- masing empat persamaan yang setara atau ekuivalen dengan persamaan
a. 4y – 12 = 8
b. 6a + 9 = -15
2. Apakah pasangan- pasangan persamaan berikut setara atau tidak ?
a. 2y + 16 = 20 dengan 2y = 4
b. 3x – 5 = 7 dengan x = 5
c. 8n + 12 = 5n – 6 dengan 3n = -18
3. Perhatikan persamaan berikut
a. 4x + 2 = 14
b. 2x + 3 = 6
c. 4x + 9 = 21
d. 12x + 18 = 54
e. 7x + 5 = 3x + 17
Dari persamaan di atas, manakah persamaan yang setara dengan 4x + 6 = 18 ?
3. Pehatikan gambar atau kalimat berikut :
i. Gambar disamping adalah rambu lalu lintas. Artinya adalah kendaraan yang lewat di jalan
itu kecepatannya tidak boleh lebih dari 60 km/jam ( kecepatannya maksimum 60 km/ jam )
ii. Daya angkut 800 kg artinya muatan maksimum yang boleh
diangkut mobil tersebut 800 kg. Dengan kata lain muatan
mobil tersebut harus kurang dari atau sama dengan 800 kg
iii. Usia pemain sepak bola yunior tidak boleh lebih dari 18 tahun.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 5 (lima)
Pokok Bahasan
: Nilai
keseluruhan
dan
nilai
per
unit,
Uang
dalam
perdagangan, persentase untung rugi, Bunga tunggal dan
pajak
1. Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Sebagian
Seorang pemilik toko menjual satu kotak karet penghapus dengan harga Rp8.400,00.
Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12 buah karet penghapus. Seseorang membeli sebuah
karet penghapus dan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp700,00. Dalam hal ini, harga
satu kotak karet penghapus = Rp8.400,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu
buah karet penghapus = Rp700,00 disebut nilai per unit. Seorang pedagang buah membeli 12
buah durian. Ia membayar dengan 3 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang
kembalian sebesar Rp30.000,00.
a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.
b. Tentukan harga pembelian tiap buah.
c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 8 buah durian, berapakah ia harus membayar?
Penyelesaian:
– Rp30.000,00
= Rp300.000,00 – Rp30.000,00
= Rp270.000,00
Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp270.000,00.
b. Harga durian per buah
Jadi, harga tiap buah durian itu adalah Rp22.500,00.
= Rp180.000,00
Jadi, harga 8 buah durian adalah Rp180.000,00.
2.
Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan Rugi
Pak Sirait membeli televisi dengan harga Rp1.250.000,00. Sebulan kemudian televisi tersebut
dijual dengan harga Rp1.400.000,00. Dalam hal ini, Pak Sirait mengalami untung
Rp150.000,00. Jika Pak Sirait hanya mampu menjual dengan harga Rp1.050.000,00,
dikatakan Pak Sirait mengalami rugi Rp200.000,00.
Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut. Harga beli adalah harga barang dari
pabrik, grosir, atau tempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasi tertentu,
modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya.
Harga jual adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli. Untung atau
laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih
dari harga pembelian.
Laba = harga penjualan – harga pembelian
Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga
pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.
Rugi = harga pembelian – harga penjualan
Contoh: Seorang pedagang membeli jeruk sebanyak 40 kg dengan harga Rp6.500,00 per kg.
Kemudian 30 kg di antaranya dijual dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan sisanya dijual
dengan harga Rp6.000,00 per kg. Hitunglah
a. harga pembelian;
b. harga penjualan;
c. besarnya untung atau rugi dari hasil penjualan tersebut.
Penyelesaian:
= Rp260.000,00
Jadi, harga pembelian jeruk adalah Rp260.000,00.
b. Harga penjualan
= Rp210.000,00 + Rp60.000,00
= Rp270.000,00
Jadi, harga penjualannya adalah Rp270.000,00.
c. Karena harga penjualan lebih dari harga pembelian,
maka pedagang tersebut mengalami untung.
Untung = harga penjualan – harga pembelian
= Rp270.000,00 – Rp260.000,00
= Rp10.000,00
Jadi, besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp10.000,00.
3. Persentase Untung atau Rugi
a. Menentukan persentase untung atau rugi
Pada bab yang lalu, kalian telah mengetahui mengenai persen. Coba ingat kembali materi
tersebut. Persen artinya per seratus. Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.
Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan
dalam bentuk persen. Persentase untung =
Persentase rugi =
untung
x100%
h arg apembelian
rugi
x100%
h arg apembelian
Rumus di atas dapat diterapkan pada contoh soal berikut.
Contoh: Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp6.000,00 per kg.
Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp620.000,00.
Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu.
Penyelesaian:
Harga penjualan = Rp620.000,00
Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka pedagang itu mengalami untung.
Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00 = Rp20.000,00
Persentase keuntungan pedagang itu adalah
untung
20.000
x100%
x100% 3.33%
h arg apembelian
600.000
(Menumbuhkan kreativitas)
Amatilah lingkungan di sekitarmu. Carilah barang kebutuhan sehari-hari yang dijual
dengan menggunakan persen. Ceritakan hasil temuanmu di depan kelas.
b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentase untung atau rugi
diketahui
Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat menghitung harga beli atau harga
jualnya. Kalian telah mengetahui bahwa untung (laba) = harga penjualan – harga pembelian,
maka
1) harga penjualan = harga pembelian + untung;
2) harga pembelian = harga penjualan – untung.
Kalian juga telah mengetahui bahwa rugi = harga pembelian – harga penjualan, maka
1) harga penjualan = harga pembelian – rugi;
2) harga pembelian = harga penjualan + rugi.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
b. Harga pembelian Rp75.000,00 dan harga penjualan Rp67.500,00.
1. Tentukan persentase untung atau ruginya.
a. Harga pembelian Rp60.000,00 dan harga penjualan Rp72.000,00.
RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO
1. Rabat (Diskon)
Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Pernahkah kalian
pergi ke swalayan menjelang hari raya atau tahun baru? Biasanya menjelang hari raya atau
tahun baru, toko-toko, supermarket atau swalayan memberikan potongan harga untuk
menarik para pembeli yang akan berbelanja. Potongan harga inilah yang disebut rabat
(diskon). Biasanya diskon (rabat) ini diperhitungkan dengan persen. Dalam pemakaiannya,
terdapat perbedaan istilah antara rabat dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen
kepada grosir, agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen,
atau pengecer kepada konsumen.
Contoh:
Seseorang membeli baju di Toko Anugerah seharga Rp85.000,00. Toko tersebut memberikan
diskon 20% untuk setiap pembelian. Berapakah uang yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Harga pembelian = Rp85.000,00
Diskon 20% = 20 ×Rp85.000,00
100= Rp17.000,00
Uang yang harus dibayar = Rp85.000,00 – Rp17.000,00= Rp68.000,00
Jadi, uang yang harus ia bayarkan sebesar Rp68.000,00
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)
dimana: harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong rabat (diskon).
harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong rabat (diskon).
2. Bruto, Tara, dan Neto
Coba perhatikan pada saat kalian membeli makanan kecil atau saat ibu membeli gula pasir.
Berat barang yang kalian beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah
berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Berat
barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja
disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.
Bruto = neto + tara
Neto = bruto – tara
Tara = bruto – neto
Jika diketahui persen tara dan bruto, kalian dapat mencari tara dengan rumus berikut.
Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh potongan berat (tara) dapat dirumuskan
sebagai berikut. Har
BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK
1. Bunga Tabungan
Apabila kita menyimpan uang di bank, maka kita akan mendapatkan tambahan uang yang
disebut bunga. Bunga tabungan dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung
secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan,
yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya
berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung
berdasarkan besarnya modal dan bunga. Pada pembahasan ini kita hanya akan mempelajari
mengenai bunga tunggal.
Iwan menabung di sebuah
2. Pajak
Perhatikan setiap ibu kalian membayar pajak listrik. Pajak tersebut biasanya dibayarkan
setiap bulan. Perhatikan pula saat kalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya
tertera tulisan harga ini sudah termasuk pajak. Jadi, menurut kalian, apa sebenarnya pajak
itu?
Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan
sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan
pemerintah. Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa. Banyak sekali jenis-jenis pajak,
antara lain Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan Pajak
Penghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kalian pelajari pada bagian ini.
Contoh: Pak Putu memperoleh gaji Rp950.000,00 sebulandengan penghasilan tidak kena
pajak Rp380.000,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahui 10%, berapakah besar gaji yang
diterima Pak Putu per bulan?
Penyelesaian:
Besar gaji = Rp950.000,00;
Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00
PPh = 10%
Besar penghasilan kena pajak
= Rp950.000,00 – Rp380.000,00
= Rp570.000,00
10 Rp570.000,00
100
Rp57.000,00
Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00 = Rp893.000,00
Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalah
Rp893.000,00.
Latihan!
1. Setiap sak semen dengan berat bruto 40 kg dibeli dengan harga Rp24.000,00. Semen
ini dijual eceran dengan harga Rp800,00 tiap kilogramnya, dan tiap sak
pembungkusnya dijual laku Rp500,00. Tentukan keuntungan pengecer tersebut,
apabila semen yang terjual 5 sak dan diketahui tara 114% tiap sak.
2. Seorang pedagang berhasil menjual 200 buah mainan anak-anak dengan memperoleh
uang Rp623.000,00. Setelah dihitung, ternyata ia mengalami rugi sebesar 11%.
Tentukan harga pembelian sebuah mainan anakanak tersebut.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 6 (enam)
Pokok Bahasan
: Pengertian perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan
berbalik nilai, Grafik perbandingan duabesaran
A. Pengertian Perbandingan
Berat badan Riam 24 kg, sedangkan berat badan Yoga 30 kg. Perbandingan berat badan Riam
dan oga dapat dinyatakan dengan dua cara berikut.
a. Berat badan Riam kurang dari berat badan Yoga. Dalam hal ini, yang dibandingkan adalah
selisih berat badan.
b. Berat badan Riam : berat badan Yoga = 24 : 30 = 4 : 5. Dalam hal ini, yang dibandingkan
adalah hasil bagi berat badan Riam dan berat badan Yoga.
Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Ada dua cara dalam
membandingkan dua besaran sebagai berikut.
a. Dengan mencari selisih.
b. Dengan mencari hasil bagi.
B.
Menyederhanakan Perbandingan Dua Besaran Sejenis
Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan lebar meja
dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan mencari selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm
atau dapat pula dengan mencari hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2. Panjang dan lebar meja
adalah dua besaran sejenis, karena mempunyai satuan yang sama, yaitu cm. Namun, panjang
meja dan luas meja adalah dua besaran tidak sejenis, karena mempunyai satuan yang berbeda
sehingga tidak dapat dibandingkan.
Dalam pembahasan ini, kita akan membandingkan dua besaran sejenis dengan cara mencari
hasil bagi
Contoh: berikut dalam bentuk yang paling sederhana.
a. 2 ½ :1 ¼
b. 400 cm3 : 1 l
Penyelesaian:
1 1 5 5
2 :1 :
a.
2 4 2 4
= 10:5 = 2:1
b. 400 cm3 : 1 l = 400 cm3 : (1 1.000) cm3
= 400 : 1.000
= 4 : 10 = 2 : 5
C. Pengertian Skala
Pernahkah kalian menggambar sebuah rumah? Bandingkan ukuran rumah pada gambar
kalian dengan ukuran rumah sesungguhnya, tentu lebih kecil, bukan? Ukuran rumah pada
gambar kalian adalah salah satu contoh gambar berskala. Pada gambar berskala digunakan
perbandingan. Perbandingan antara ukuran rumah pada gambar dengan ukuran rumah
sebenarnya dinamakan skala.
Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar (model)
dengan jarak sebenarnya.
skala
jarakpadagambar (mod el )
jaraksebenarnya
Secara umum, skala 1 : p artinya setiap jarak 1 cm pada gambar (model) mewakili p cm jarak
sebenarnya.
Catatan
Skala biasanya dituliskan pada bagian bawah peta, denah, model gedung, dan gambar
berskala lainnya. Penulisan skala yang baik adalah dalam bentuk perbandingan paling
sederhana.
D. Bentuk-Bentuk Perbandingan
Secara umum ada dua macam perbandingan, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan
berbalik nilai.
1. Perbandingan Senilai (Seharga)
Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? Kalian dapat membeli sejumlah buku sesuai
dengan jumlah uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka harga 5
buah buku = 5xRp2.500,00 = Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar. Perbandingan
seperti ini disebut perbandingan senilai.
Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang
yang dibandingkan
2.Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)
Kalian telah mempelajari bahwa pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan
naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Pada perbandingan berbalik nilai,
hal ini berlaku sebaliknya.
E. Menggambar Grafik Perbandingan
Pada perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai, dapat dibuat grafik
perbandingannya. Menurutmu, berupa apakah grafik perbandingan senilai dan berbalik nilai?
Untuk dapat menjawabnya, perhatikan uraian berikut.
a. Grafik perbandingan senilai
Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh dan waktu yang
diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda.
Jarak(km)
1 2 3 4
5
6
Waktu(menit)
3 6 9 12 15 18
Gambar di atas menunjukkan grafik dari tabel di atas. Tampak bahwa grafik perbandingan
senilai berupa garis lurus. Jika jarak bertambah (makin jauh), waktu yang dibutuhkan
bertambah (makin lama).
b. Grafik perbandingan berbalik nilai
Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau daftar terlebih
dahulu.
F. Memecahkan masalah sehari-hari yang melibatkan konsep perbandingan
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari,banyak di antaranya dapat
diselesaikan dengan konsep perbandingan. Untuk menyelesaikannya, tentukan terlebih
dahulu apakah perbandingan tersebut merupakan perbandingan senilai atau berbalik nilai.
Kemudian, selesaikan perhitungan sesuai dengan jenis perbandingannya. Contoh: Seorang
pedagang membeli 24 kg mangga seharga Rp42.000,00. Pada hari berikutnya, ia membeli 60
kg mangga dengan kualitas yang sama. Tentukan besarnya uang yang harus dibayar oleh
pedagang itu.
Penyelesaian:
Soal di samping termasuk perbandingan senilai, karena semakin banyak mangga yang dibeli,
harga yang harus dibayar juga makin bertambah.
Cara 1
Harga 24 kg mangga = Rp42.000,00
Harga 1 kg mangga =
Rp.42.000
24
= Rp1.750,00
Harga 60 kg mangga = 60 x Rp1.750,00
= Rp105.000,00
Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00.
Cara 2
Banyak Mangga
( kg)
Dibayar (Rp)
24
42.000
60
x
Harga yang Harus
x
60
x 42.000 105.000
24
Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00
Kerjakan soal-soal berikut!
1. Untuk menempuh jarak dua kota dengan kecepatan rata-rata 48 km/jam diperlukan waktu
12 jam. Tentukan lama perjalanan jika kecepatannya 60 km/jam.
2. Sebuah keluarga mempunyai persediaan beras yang cukup untuk 4 orang selama 24 hari.
Jika dalam keluarga itu bertambah 2 orang saudaranya, berapa hari persediaan beras tersebut
akan habis?
3. Skala denah suatu gedung diketahui 1 : 600. Denah tersebut berbentuk persegi panjang
dengan ukuran 5,5 cm 4,5 cm.
a. Berapakah ukuran sesungguhnya gedung tersebut?
b. Berapakah luas tanah yang diperlukan untuk membangun gedung tersebut?
c. Berapakah harga tanah seluruhnya,jika harga 1 m2 tanah tersebut Rp350.000,00?
4. Untuk memperbaiki jalan, diperlukan waktu 37 hari dengan jumlah pekerja 16 orang.
Setelah berjalan 7 hari, pekerjaan terhenti selama 6 hari. Tentukan tambahan pekerja yang
diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu tepat waktu.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 7 (tujuh)
Pokok Bahasan
: Himpunan dan unsur-unsurnya
A. PENGERTIAN HIMPUNAN DAN NOTASI HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,
sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak
termasuk dalam himpunan tersebut.
Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B,
C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan
menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
Perhatikan kumpulan berikut ini:
a. Kumpulan lukisan indah.
b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.
Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut
seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah
tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di
Indonesia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi,
kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.
B. MENYATAKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN
Setiap benda (objek) yang terdapat di dalam himpunan di sebut anggota atau elemen dari
himpunan itu. Untuk menuliskan anggota himpunan dipakai notasi “ ”.
Contoh:
Bila A = {2,3,5,7}, maka:
2 termasuk di A, berarti 2 termasuk anggota A dan ditulis 2 A
3 termasuk di A, berarti 3 termasuk anggota A dan ditulis 3 A
4 tidak termuat di A, berarti 4 termasuk anggota A dan ditulis 4 bukan A
9 tidak termuat di A, berarti 9 termasuk anggota A dan ditulis 9 bukan A
Cara Menyatakan Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut:
a. Dengan kata-kata.
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima
antara 10 dan 40}.
b. Dengan notasi pembentuk himpunan.
Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua
syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah.
Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.
Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.
Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x ∈bilangan prima}.
c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan
kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B
dan dinotasikan A ⊂B atau B ⊃A. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan
adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut
HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota
atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya
dilambangkan dengan S.
Contoh:
Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:
a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing
Penyelesaian:
1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A
adalah:
S = {bilangan prima} atau
S = {bilangan asli} atau
S = {bilangan cacah}.
c. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},
{binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.
Diagram HimpunanTerdiri dari :
C. Macam macam oprasi himpunan adalah sebagai berikut:
1. PERPADUAN
Perpaduan himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen – elemen yang
termasuk dalam A atau B atau keduanya. Kita nyatakan perpaduan A dan B dengan
AUB
Atau dibaca “ perpaduan A dan B “
Contoh 1.1 yang diberi arsiran.
Dalam diagram venn diatas, menunujukkan A U B
Contoh 1.2 : misalkan S = {a,b,c,d} dan T= { r,s,c,u} , maka S U T = {a,b,c,d,r,s,u}
Contoh 1.3 : misal P himpunan bilangan- bilangan riil positif dan Q himpunan
bilangan – bilangan rill negative. Maka P U Q, yaitu perpaduan P dan Q, terdiri dari semua
bilangan rill kecuali nol.
Perpaduan A dan B dapat juga dituliskan
A U B = {x l x A atau x B}
Dari perpaduan diatas dapat disimpulkan :
a.
sesuai perpaduan dua buah himpunan, maka berarti A B = B A
b. A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan-subhimpunan dari A B, yaitu
A (A U B) dan B (A U B)
2. PERPOTONGAN
Perpotongan adalah himpunan dari elementer-elementer yand dimiliki bersama oleh
kedua himpunan. Dinyatakan dengan
A∩B
Dibaca “ perpotongan A dan B
Contoh 2.1 yang diberi arsiran.
Contoh 2.2
misalkanS={a,b,c,d} dan T={f,b,d,g}.Maka
S ∩ T = {b,d}
Perpotongan A dan B dapat juga di definisikan secara ringkas oleh
A ∩ B = {x | x A, x B}
Disini, tanda koma memiliki arti sama dengan “dan”
Pernyataan :
sesuai dengan definisi perpotongan 2 buah himpunan maka
A∩B = B∩A
Pernyataan:
Setiap himpunan A dan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan , jadi
(A∩B) A dan (A∩B) B
Jika himpunan A dan B tidak mempunyai elemen yang dimiliki bersama, jadi berarti
A dan B terpisah maka perpotongan A dan Badalah himpunan kosong yaitu
A ∩ B =Ǿ.
3. SELISIH
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen yang termasuk A tetapi tidak
termasuk B.
A̶ B
Yang dibaca “selisih A dan B” atau, secara singkat, “A kurang B”.
Contoh 3.1 diagram venn disamping
contoh 3.2 :
misal S = {a,b,c,d} dan T={f,b,d,g} maka S ̶ T = {a,c}
contoh 3.1 :
misalkan R himpunan bilangan riil dan Q himpunan bilangan rasional. Maka
R ̶ Q terdiri dari bilangan-bilangan irasional.
Selisih A dapat didefinisikan A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh
A ̶ B = {x | x A , x B}
Pernyataan :
Himpunan A mengandung A −B sebagai subhimpunan,jadi berarti
(A−B) A
Pernyataan :
Himpunan-himpunan (A−B), A∩B dan (B−A) saling terpisah,artinya perpotongan setiap dua
buah himpunan di atas adalah himpunan nol
Selisih dari A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B atau A ~ B.
4. Komplemen
Komplemen dari sebuah himpunanA adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak
termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A
dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat
' = { x | x ,x }
' = { x | x }
Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan
akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.
Pernyataan:
Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan
semesta, yaitu
' = U
Selanjutnya himpunan A dan komplemennya A terpisah, yaitu
'
Pernyataan:
Komplemen himpunan Uadalah himpunan-nol , dan begitu pula sebaliknya,yaitu
U ' = dan ' = U
Pernyataan :
Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri. Secara lebih
singkat, ''
Pernyataan kita yang berikut memperlihatkan bagaimana selisih dua buah himpunan
dapat didefinisikan dalam komplemen sebuah himpunan dan perpotongan dua buah
himpunan. Lebih terinci, kita peroleh hubungan mendasar berikut:
Pernyataan :
selisih A dan B sama dengan perpotongan A dan komplemen B, '
Bukti dari pernyataan tersebut adalah sebagai akibat langsung dari definisi:
x | x , x x | x , x ' '
D. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Sifat
komutatif
A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A
2. Sifat
asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dan A U (B U C) = (A U B) U C
3. Sifat
distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) dan A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4. Hukum
De
Morgan
(A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan (A U B)C = AC U BC
5. Hukum
Identitas
A U A = A, A ∩ A = A, A U Ø = A , A ∩ Ø = Ø dan A U AC =S dan S ∩ AC = Ø
S U A = S, S ∩ A = A, dan (Ø)C = S , (S)C = Ø, dan (AC)C = A
6. Sifat
dasar
n(A
∩
B)
=
n(A)
+
n(A
U
B)
=
n(A)
+
n(B)
n(B)
n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
7. Sifat Absorpsi
,
–
–
himpunan
n
n
(A
(A
U
B)
jika
A
∩
B
≠Ø
∩ B)
jika
A
U
B
≠Ø
8. Sifat Idempoten
,
E. TEOREMA-TEOREMA DALAM OPERASI HIMPUNAN
Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen mempunyai sifat-sifat yang
sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teoremateorema berikut dapat dibuktikan :
TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A,
jadi,bila maka
TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah B,
jadi,bila maka
TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka ' adalah subhimpunan
' , yaitu jika maka ' ' .
TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan
(B−A) adalah B, yaitu, bila maka A B A B
F. SOAL
PERPADUAN
1. Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) , ( b )
A C , ( c ) C , ( d ) .
2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan dalam soal 1. Carilah ( 1 ) ( )
C, (2) C .
PERPOTONGAN
1. Misalakan A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6}. Carilah (a) ,
b C, c C, d .
2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan didalam soal 1. Carilah
a C b C .
SELISIH
1. Misalkan
A
=
{1,2,3,4},
B
=
{2,4,6,8}
dan
C
=
{3,4,5,6}.
Carilah
a , bC , c C , d , e .
2. Berikan arsiran untuk selisih A dan B yaitu A – B dalam diagram-diagram Venn yang
diperlihatkan dalam soal 1.
KOMPLEMEN
1. Dalam
digram-Venn
di
bawah
a' , b ' , c ' , d '' .
ini,
berikan
arsiran
untuk
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 8 (delapan)
Pokok Bahasan
: UTS
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 9 (sembilan)
Pokok Bahasan
: Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-sudut pada dua garis
sejajar, Melukis dan membagi sudut
A. Pengertian sudut
Sudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari pertemuan/ perpotongan dua garis pada
satu titik.
. Kaki sudut adalah garis-garis pembentuk sudut
. Titik sudut adalah titik perpotongan atau pertemuan kedua kaki sudut
. Daerah sudut adalah daerah yang dibatasi oleh kedua kaki sudut.
B. Garis-Garis Sejajar
Dua garis lurus disebut sejajar jika garis itu terletak pada satu bidang dan tidak
berpotongan walaupun kedua garis diperpanjang ke segala arah.
Sifat-sifat garis sejajar :
1. Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan
garis itu.
2. Jika sebuah garis memotong salah satu dari kedua garis, maka garis tersebut juga
memotong garis yang lainnya.
3. Jika sebuah garis sejajar dengan dua buah garis maka kedua garis itu sejajar pula satu
sama lain.
Sudut-sudut yang terjadi jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain. Garis k dan l
sejajar
dipotong
oleh
garis
a
di
titik
O
dan
P.
Berdasarkan gambar di atas, maka :
Sudut-sudut sehadap yang lain adalah :
Sudut dalam berseberangan yang lain
adalah :
Sudut luar berseberangan yang lain
adalah :
Sudut dalam sepihak yang lain adalah :
Sudut luar sepihak yang lain adalah :
Sudut-sudut bertolak belakang lainnya adalah :
C. Hubungan Sudut pada Dua Garis Sejajar
Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar
Dari gambar di atas, diperoleh :
1. Sudut-sudut sehadap pada garis-garis sejajar sama besar
2. Sudut-sudut dalam berseberangan sama besar
3. Sudut-sudut luar berseberangan sama besar
4. Jumlah sudut-sudut dalam sepihak sama dengan 180o
5. Jumlah sudut-sudut luar sepihak sama dengan 180o
6. Sudut-sudut bertolak belakang sama besar
Contoh :
Tiga buah garis masing-masing k, l dan m dalam susunan seperti gambar berikut.
Garis k adalah sejajar dengan garis l dan garis m memotong garis k dan l.
Tentukan:
a) sudut-sudut yang sehadap
b) sudut-sudut yang bertolak belakang
c) sudut-sudut yang berseberangan dalam
d) sudut-sudut yang berseberangan luar
e) sudut-sudut dalam sepihak
f) sudut-sudut luar sepihak
g) sudut-sudut berpelurus
Pembahasan
a) sudut-sudut sehadap adalah:
∠A1 dengan ∠B1
∠A4 dengan ∠B4
∠A2 dengan ∠B2
∠B3 dengan ∠B3
b) sudut-sudut bertolak belakang
∠A1 dengan ∠A3
∠A2 dengan ∠A4
∠B1 dengan ∠B3
∠B2 dengan ∠B4
c) sudut-sudut berseberangan dalam (dalam berseberangan)
∠A3 dengan ∠B1
∠A4 dengan ∠B2
d) sudut-sudut berseberangan luar
∠A2 dengan ∠B4
∠A1 dengan ∠B3
e) sudut-sudut dalam sepihak
∠A3 dengan ∠B2
∠A4 dengan ∠B1
f) sudut-sudut luar sepihak
∠A2 dengan ∠B3
∠A1 dengan ∠B4
g) sudut-sudut berpelurus
∠A1 dengan ∠A2
∠A1 dengan ∠A4
∠A2 dengan ∠A3
∠A3 dengan ∠A4
∠B1 dengan ∠B2
∠B1 dengan ∠B4
∠B2 dengan ∠B3
∠B3 dengan ∠B4
G. Melukis dan membagi sudut
Untuk menggambar sebuah sudut, misalnya <KLM dengan ukuran 600 , langkah-langkah
yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Gambarlah salah satu kaki <KLM, misalnya KL dengan L sebagai titik sudutnya
2. Letakkan busur derajat pada garis KL sedemikian sehingga garis nol padabusur
berimpit dengan garis KL dan titik L berimpit dengan titik tengah(pusat) busur.
3. Perhatikan angka nol pada busur yang berimpit dengan garis KL,ada yang terletak di
dalam dan di luar. Jika letak angka nol ada pada skala bagian luar, maka angka 60 yang
digunakan pada skala bagian luar. Jika angka nol ada pada skala bagian dalam maka
angka 60 yang digunakan pada skala bagian dalam. Beri tanda titik M pada posisi 600.
4. Lepas busur, kemudian tarik garis dari titik sudut L ke titik M yang sudah ditandai tadi.
Buat keterangan sudut 600 dengan garis lengkung dan arsiran.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 10 (sepuluh)
Pokok Bahasan
: Segi empat (jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, dan
trapesium), segitiga, Menghitung besaran-besaran pada
segitiga
A. Segi empat
1. Jajaran Genjang
Perhatikan bentuk bangunan pada Gambar 1. Bangunan tersebut berbentuk segiempat di
mana sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. Sekarang, Anda perhatikan
setiap sudut-sudut yang berhadapan pada ubin sama besar dan besar sudut-sudut yang
bersebelahan saling berpelurus. Bangun datar yang memiliki ciri-ciri seperti bangunan
pada Gambar 1 disebut jajargenjang. Penampang jajargenjang jika digambar akan
tampak sebagai berikut.
Gambar.1
AB = DC AD = BC
A=C
B=D
dan A + D = A + B = B + C = C + D = 180°
Jika keempat sudut pada jajargenjang siku-siku maka akan terbentuk persegipanjang.
Seperti pada bangun datar lainnya, keliling jajargenjang adalah jumlah panjang keempat
sisinya, yaitu sebagai berikut.
K = AB + BC + CD + AD
Oleh karena AB = CD dan BC = AD maka
K = 2AB + 2BC
= 2(AB + BC)
Sebelum mempelajari luas jajargenjang, berikut Anda akan mempelajari terlebih dahulu
tinggi dan alas jajargenjang. Seperti pada segitiga, tinggi jajargenjang adalah garis yang
tegak lurus dengan kedua sisi jajargenjang yang berhadapan. Sisi yang tegak lurus
dengan tinggi disebut alas jajargenjang.
Luas jajargenjang adalah hasil kali alas dengan tingginya. Jika alas jajargenjang
dinyatakan dengan a dan tinggi jajargenjang dinyatakan dengan t maka luas jajargenjang
dapat dicari dengan rumus berikut. L = a × t
2. Belah Ketupat
Berbeda dengan persegi, belahketupat seperti pada Gambar 2 walaupun sama-sama
memiliki sisi-sisi yang sama panjang, pada belahketupat sudut-sudut yang berhadapan
adalah sama besar.
Perhatikan belahketupat ABCD berikut.
Gambar. 2
AB = BC = CD = AD
A = C dan B = D
Jika keempat sudut pada belahketupat siku-siku maka akan terbentuk persegi. Keliling
belahketupat adalah jumlah panjang keempat sisinya. Oleh karena keempat sisi
belahketupat sama panjang, maka keliling belahketupat sama dengan empat kali sisinya.
Perhatikan Gambar 2 di atas
Jika sisi belahketupat dinyatakan dengan s, keliling belahketupat adalah K = 4s
3. Layang-layang
Seperti namanya, layang-layang berbentuk seperti mainan layang-layang. Layang-layang
adalah salah satu bangun segiempat yang masing-masing pasangan sisinya sama panjang
dan sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
Perhatikan gambar layang-layang ABCD berikut.
Keliling layang-layang adalah jumlah panjang keempat sisinya. Jika panjang sisi layanglayang ABCD adalah AB, BC, CD, dan AD dengan AD = CD dan AB = CB maka
keliling layang-layang ABCD adalah K = 2(AD + AB)
Jika diagonal pada layang-layang ABCD adalah AC dan BD maka luas layang-layang
ABCD adalah
L=
𝐴𝐶 × 𝐵𝐷
2
B. Segitiga
Perhatikan Gambar. 1 Berikut.
Gambar.1
Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisi-sisi
yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC. Sudut-sudut yang
terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.
∠ A atau ∠BAC atau ∠ CAB.
∠ B atau ∠ ABC atau∠CBA.
∠C atau ∠ACB atau ∠ BCA.
Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ∠ ABC. Dari uraian di atas dapat disimpulkan
sebagai berikut. Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan
mempunyai tiga buah titik sudut.
Segitiga biasanya dinotasikan dengan “∆”. Pada suatu segitiga setiap sisinya dapat
dipandang sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas merupakan salah satu sisi dari suatu
segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik
sudut yang berhadapan dengan sisi alas.
Perhatikan Gambar. 2 berikut.
Gambar. 2
Pada Gambar. 2 di atas, menunjukkan ∆ 𝐴𝐵𝐶 jika
Alas = AB maka tinggi = CD (CD⊥ AB)
Alas = BC maka tinggi = AE (AE ⊥ BC)
Alas = AC maka tinggi = BF (BF ⊥ AC)
Terdapat macam-mcam bentuk segitiga, ditinjau dari panjang sisinya, besar sudutnya,
dan ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya, antara lain:
Ditinjau dari panjang sisi-sisinya
Segitiga sebarang
Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. Pada Gambar. 3
(i) di bawah tampak bahwa AB ≠ BC ≠ AC.
Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang.
Pada Gambar (ii) di bawah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC
Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga
buah sudut yang sama besar. Pada Gambar.3 (iii) tampak bahwa AB = BC = AC, dan ∠A
=∠B=∠C
Gambar. 3
Ditinjau dari besar sudut-sudutnya
Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga
sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 00 dan 900. Pada
Gambar.4 (i) ketiga sudut ∆ ABC adalah sudut lancip.
Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada
Gambar 4(ii) tampak bahwa ∠ ABC adalah sudut tumpul.
Segitiga siku-siku
Segitia siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku,
yakni 900.
Gambar. 4
Ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya
Segitiga siku-siku sama kaki
Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang keda sisinya sama panjang dan salah
satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. (Lihat Gambar. 5)
Segitiga tumpul sama kaki
Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah
satu sudutnya merupakan sudut tumpul. (Lihat Gambar. 5)
Gambar. 5
Kesimpulan
Suatu segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang disebut segitiga
sama kaki
Suatu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga sama sisi
Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 1800
Segitiga sama kaki dapat diperoleh dari dua segitiga siku-siku yang kongruen
Segitga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang, dan mempinyai dua sudut
yang sama besar yang berhadapan dengan sisi-sisi itu.
Segitiga sama kaki mempunyai saru sumbu simetri
Segitiga sama kaki dapat menempati bingkainya dengan dua cara
Segitiga sama sisi mempunyai tiga sisi yang sama panjang, dan mempunyai tiga sudut
yang sama besar
Segitiga sama sisi dapat menempati bingkaina dengan 6 cara
Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sumbu simetri
Keliling suatu segitiga
Jika K adalah panjang keliling suatu segitiga yang sama panjang sis-sisinya adalah a, b, c
satuan panjang maka:
K= a+b+c
Catatan Penting.
1. Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih
panjang dari pada sisi ketiga
2. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka akan berlaku salah satu dari
ketidak samaa berikut:
a. 𝑎 + 𝑏 > 𝑐
b. 𝑎 + 𝑐 > 𝑏
c. 𝑏 + 𝑐 > 𝑎
Ketidaksamaan tersebut dinamakan ketidaksamaan segitiga
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 11(sebelas)
Pokok Bahasan
: Menyelesaikan bentuk aljabar, Menentukan faktor-faktor suku
aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar
A. Bentuk Aljabar Dan Unsur-Unsurnya
Perhatikan ilustrasi berikut:
Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan
x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x +5. Jikaa boneka Desy sebanyak 4 buah
maka boneka Rika sebanyak 9 buah.
Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.
Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruphurup untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.
1. Variabel, konstanta, dan factor
Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk variabr tetrsebut, huruf x dan y
disebut variabel.
Variabel adalah lambang penganti sutu bilangan yang belumdi ketahui nilainya dengan jelas.
Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c,
…,z.
Adapun bilangan Sembilan pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.
Konstanta adalah sukudari suatau bentuk aljabar yang berupa biangan dan tidak memuat
variabel.
Jika suatu bilangan a dapat di ubah menjadi a = p xq dengn a,p,q bilangn bulat,maka p dan q
disebur faktor-faktor dari a.
Pada bentuk aljabar di atas ,5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 × x atau 5x = 1 ×5x. jadi,
factor-faktor dari 5x adalah 1, 5,x,dan 5x.
Adapun yang dimaksud koefisien dalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x +3y +8x -6y + 9 . koefisien
pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3 pada suku 8x adalah 8 dan pada suku -6y
adalah -6 .
2. Suku sejenis dan suku tak sejeni
a
suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki pariabel dan pangkat dari masing-masing
variabel yang sama
contoh :5x dan -2x, 3a2, dan a2,y dan 4y,……
a
b. suku-suku takes jenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masingmasing ariabel yang tidak sama.
Contoar : 2x dan -3x2, -y dan –x3, 5x dan -2y,….
Contoh: tentukan kuefisien dari x2 dan vaktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.
a. 7x2
b. 3x2 + 5
c. 2x2 + 4x – 3
penyelesaian:
a. 7x2 = 7 × x × x
koefisien dari x2 adalah 7
Faktor dari 7x2 adalah 1,7,x, x2, 7x, dan 7x2
b. 3x2 +5 = 3 × x × x + 5 × 1
koevisien dari x2 adalah 3
factor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2
factor dari 5 adalah 1 dan 5.
c. 2x2 + 4x – 3 = 2 × x × x + 4 × x -3 × 1
koefisien dari 2x2 adalah 2
Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x
Koefisien dari 4x adalah 4
Faktor dari4x adalah 1, 4, x, dan 4x
Faktor dari -3 adalah -3, -1, 1, dan 3
B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan padasukusuku yang sejenis.
Contoh:
Tentukan hasilpenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut:
a. -4ax + 7ax
b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1)
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)
Penyelesaian:
a. -4ax + 7ax = (-4 – 7 ) ax
= 3ax
b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1) = 2x2 – 3x +2 + 4x2 -5x + 1
= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x +2 + 1
=(2 + 4)x2 +(-3 – 5) x + (2 +1) (kelompokkan suku-suku sejenis)
= 6 x2 – 8x +3
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2
= 3a2 - 4a2 +3a – 2
=(3 – 4) a2 +3a + (5 – 2)
= – a2 +3a +3
2. Perkalian .
a. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua
dinyatakan sebagai berikut.
k(ax) = kax:
k(ax + b) = kax +kb
contoh:
jabarkan bentukaljabar berikut,kemudian sederhanaknlah.
a. 4(p + q)
b. 5 (ax +by)
c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1)
d. -8 (2x – y +3z)
Penyelesaian:
a. 4(p+q) = 4p + 4q
b. 5 (ax + by) = 5ax +5by
c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1) = 3x – 6 + 42x +6
= (3 + 42) x – 6 + 6
= 45x
d. -8 (2x – y +3z) = -16x + 8y – 24 z
b. Perkalian antara dua bentuk aljabar di nyatakan sebagai berikut:
(ax +b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
(ax +b) (cx2 + dx +e) = acx3 + (ad +bc)x2 + (ae + bd) x + be
(x + b) (x – a) = x2 – a2
Contoh:
Tentukn hasilperkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.
a. (2x +3) (3x – 2)
b.(-4a + b) (4a +2b)
Penyelesaian:
a. Cara (1) dengan sifatdistributif
(2x +3) (3x – 2) = 2x (3x – 2) + 3(3x – 2)
= 6x2 – 4x + 9x – 9
= 6x2 + 5x – 6
Cara (2) dengan skema
(2x +3) (3x – 2)
= 2x × 3x + 2x × (-2) + 3 × 3x + 3 × (-2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
b. cara (1) dengan sifat distributive.
(-4a + b) (4a +2b) = -4a (4a +2b) +b ( 4a + 2b)
= – 16a2 – 8ab + 4ab + 2b2
= -16a2 – 4ab + 2b2
Cara (2) dengan skema.
(-4a + b) (4a +2b)
= (-4a) × 4a + (-4a) × 2b + b ×4b + b × 2b
= – 16a2 – 8ab+4ab + 2b2
= – 16a2 – 4ab + 2b2
3. Perkalian
Pada perpankatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segi di
(a + b)0= 0
(a + b)1= a + b
(a +b)2 = a2 + 2ab + b2
(a +b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4
(a + b)5
(a + b)6 dst
Contoh:
Jabarkan bentuk aljabar berikut
a. (3x + 5)2
b. (2x – 3y)2
c. (x + 3y)3
d. (a – 4)4
Penyelesaian:
a. (3x + 5)2 = 1 (3x)2 + 2 × 3x × 5 + 1 × 52
= 9x2 + 30x + 25
b. b. (2x – 3y)2= 1 (2x)2 + 2(2x) (-3y) +1 × (-3y)2
= 4x2 – 12xy + 9y2
c. (x + 3y)3 = 1 (x3) + 3 × x2 × (3y)1 + 3 × x × (3y)2 + 1 ×(3y)3
= x3 + 9x2y +27y3
d. (a – 4)4 = 1a4+ 4 × a3 ×(-4)1 + 6 × a2 × (-4)2 + 4 × a × (-4)3 +1 × (-4)4
= a4 – 16 × a3 + 6a2 × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256
= a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 256
4. Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu factor
sekutu masing – masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada
pembilng dan penyebut.
Contoh:
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut
a. 3xy :2y
b. 6a3b2 : 3a2b
c. (x3y : (x2y3 : xy)
d. (24p2q + 18pq2) : 3pq
Penyelesaian
a.
faktor sekutu y
b. 6a3b2 : 3a2b =
=
= 2ab
c. (x3y : (x2y3 : xy) = x3y :
= x3 y :
= x3y : xy =
= x2
d. (24p2q + 18pq2) : 3pq =
=
= 2 (4p + 3q)
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 12 (duabelas)
Pokok Bahasan
: Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung nilai fungsi
A. Relasi,Pemetaan(fungsi),Grafik
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
dengan diagram panah
dengan himpunan pasangan berurutan, dan
dengan diagram kartesius.
Contoh pemetaan/fungsi :
Contoh bukan pemetaan/fungsi :
Pada Himpunan pasangan berurutan : terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari
satu kali.
Contoh pemetaan/fungsi :
{(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)}
Contoh bukan pemetaan/fungsi :
{(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)}
9. Fungsi (Pemetaan)
Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini: Fungsi/pemetaan dari
himpunan A ke himpun
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Tepat satunya artinya tidak boleh dari dan
tidak boleh kurang dari satu.
Himpunan A disebut daerah asal (domain).
Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).
Himpunan dari anggota-anggota him,punan B yang mempunyai pasangan di A disebut daerah
hasil (range).
c.
Nilai Fungsi
Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk:
f : x → f(x)
Nilai fungsi untuk setiap nilai x yang diberikan dihitung dengan cara mensubtitusikan nilai x
pada fungsi tersebut.
Contoh:
Fungsi f(x) = 5x – 4. Nilai f(-3) adalah...
d.
Daerah Hasil Fungsi
Daerah hasil (range) dari suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilai fungsi dari setiap anggota
daerah asal (domain.
e.
Grafik Fungsi
Gambar grafik suatu fungsi dalam koordinat Cartecius dapat diperoleh dengan langkahlangkah berikut.
1)
Menentukan pasangan berurutan fungsi tersebut.
2)
Menggambarkan pasangan berurutan sebagai titik dalam koordinat Cartecius
Latihan:
1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan:
a. A = { becak , mobil , kapal , pesawat terbang , kereta api , perahu }
B = { darat , laut , udara } Aturan relasi: alat transportasi
Buatlah diagram panah dari relasi tiga kalinya dari antara K = {9, 12, 15, 21} dan L = {3,
4, 5, 7}
Diketahui enam orang anak di kelas VIII SMP Palangkaraya, yaitu Dina, Alfa, Sita, Bima,
Doni, dan Rudi. Mereka mempunyai ukuran sepatu yang berbeda-beda. Dina dan Sita
mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu nomor 38. Alfa mempunyai ukuran sepatu 37.
Bima mempunyai ukuran sepatu nomor 40. Sedangkan Doni dan Rudi mempunyai ukuran
sepatu yang sama yaitu 39.
a. Gambarlah diagram panah yang menghubungkan semua nama anak di kelas VIII SMP
Palangkaraya dengan semua ukuran sepatunya. Denpasar Kendari Padang
Surabaya Bali Jawa timur Jawa Barat Sulawesi tenggara Sumatera Barat
b. Gambarlah relasi tersebut dengan menggunakan koordinat Cartesius.
c. Tulislah semua pasangan berurutan yang menyatakan relasi tersebut.
Empat siswa yang bernama Sirwanto, Cahyo, Soni dan Agung sedang membaca buku di
perpustakaan yang menyediakan jenis buku: ilmiah, fiksi, non fiksi, ensiklopedia dan
komik. Sirwanto dan Soni membaca buku non fiksi, Cahyo asyik membaca komik dan
Agung lagi serius membaca buku ilmiah.
a. Jika A adalah himpunan siswa dan B adalah himpunan jenis buku, tulis himpunan A dan
himpunan B dengan cara mendaftar anggotanya.
b. Buat diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan tulis aturan relasinya.
c. Relasi tersebut apakah fungsi?
d. Tulis Domain, Kodomain dan Rangenya
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 13(tigabelas)
Pokok Bahasan
: Persamaan garis lurus, Gradien suatu garis lurus, Kedudukan
dua garis lurus, Membuat persamaan garis lurus, Jarak dan
titik tengah garis lurus
A. Pengertian Persamaan Garis Lurus
Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali
materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat
Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.
1. Koordinat Cartesius
Pada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan
Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang
memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik
potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar
3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana
menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius?
a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius
Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y,
di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y
(disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada
Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan
menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam
bentuk sebagai berikut.
b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius.
Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan
Gambar 3.3
Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar
3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu
garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis
lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.
2. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus
Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang
persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan
ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar
persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat
bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.
Gradien
Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini.
Dari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut
melalui titik A(–6, –3), B(–4, –2), C(–2, –1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan
antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut.
Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut.
Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu 1/2. Nilai tetap atau konstanta dari
perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.
Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien?
Coba kamu pelajari uraian berikut ini.
1. Pengertian Gradien
Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk
dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada
yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan
tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus
pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau
gradien garis tersebut adalah
1
/2.
2. Perhitungan Gradien
Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung
pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan
diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui
perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar
nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut
diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.
b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien
pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.
c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan
dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c.
Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.
d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik
Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.
Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring
dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan
perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai
berikut.
Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada
bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu
tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan
ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:
Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah 1/2. Dari uraian
tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik,
sebagai berikut.
3. Sifat-Sifat Gradien
Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang
sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang
sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat
gradien tersebut.
a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x
Perhatikan gambar berikut.
Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut
sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.
Untuk titik A(–1, 2) maka x1 = –1, y1 = 2.
Untuk titik B(3, 2) maka x2 = 3, y2 = 2.
Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai
gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar
dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.
Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.
b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y
Perhatikan gambar berikut.
Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan
sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.
Untuk titik C(1, 3) maka x1 = 1, y1 = 3.
Untuk titik D(1, –1) maka x2 = 1, y2 = –1.
Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.
c. Gradien Dua Garis yang Sejajar
Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9
Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut?
Perhatikan uraian berikut.
• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).
Untuk titik A(–2, 0) maka x1 = –2, y1 = 0.
Untuk titik B(0, 2) maka x2 = 0, y2 = 2.
• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).
Untuk titik C(0, –1) maka x1 = 0, y1 = –1.
Untuk titik D(1, 0) maka x2 = 1, y2 = 0.
Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus
Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus
dengan garis l.
Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.
• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).
Untuk titik C(3, 0) maka x1 = 3, y1 = 0.
Untuk titik D(0, 3) maka x2 = 0, y2 = 3.
• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).
Untuk titik A(–1, 0) maka x1 = –1, y1 = 0.
Untuk titik B(0, 1) maka x2 = 0, y2 = 1.
Hasil kali kedua gradien tersebut adalah
mAB × mCD = 1 × –1 = –1
Uraian tersebut memperjelas hal berikut:
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.
C. Menentukan Persamaan Garis Lurus
Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis
lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis.
Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih
ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk
tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai
bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui
titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal
Contoh Soal :Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan
memiliki:
a. gradien 2,
b. gradien –3,
c. gradien 1.
Jawab :
y = 2xa. y = mx maka y = (2)x
y = –3xb. y = mx maka y = (–3)x
y = xc. y = mx maka y = (1)x
Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut.
Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan
konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh
persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).
Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini
akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau
gradien.
1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat
Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k
pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x1, y1) dan tidak melalui titik
pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:
y1 = mx1 + c ….(1)
Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:
y = mx + c ….(2)
Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:
Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui
gradien dan titik koordinat, yaitu:
2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik
Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang
melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari
bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan
rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.
Coba kamu perhatikan uraian berikut :
• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.
Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah
3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus
Coba kamu perhatikan Gambar 3.12
Dari Gambar 3.12 , terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam
Gambar 3.12(a) , kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b) , kedua garis
tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1).
Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar.
Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis yang
diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara
substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
a. Cara Grafik
Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius
sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.
b. Cara Substitusi
Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan
(disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.
4. Aplikasi Persaman Garis Lurus
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi
persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan
perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal.
Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang
yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarakwaktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 14(empatbelas)
Pokok Bahasan
: Persamaan linear satu variabel, Persamaan linear dua variabel,
Ssistem persamaan linear dua variabel,
A. Pengertian SPLDV
Untuk memahami pengertian dan konsep dasar SPLDV, ada baiknya mengulang kembali
materi tentang persamaan linear satu variabel. Pelajarilah uraian berikut secara saksama.
1. Persamaan Linear Satu Variabel
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari materi tentang persamaan linear satu variabel. Masih
ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel? Coba kamu
perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut.
Bentuk-bentuk persamaan tersebut memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya.
Bentuk persamaan seperti inilah yang dimaksud dengan linear satu variabel. Untuk lebih
jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.1 secara seksama.
Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, untuk penyelesaian dari persamaan linear satu
variabel dapat digunakan beberapa cara. Salah satu di antaranya dengan sifat kesamaan.
Perhatikan uraian persamaan berikut.
Jadi, diperoleh nilai x = 4 dan himpunan penyelesaian, Hp = {4}. Untuk lebih jelasnya, coba
kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.2 berikut.
1. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV)
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana
pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk Umum PLDV :
ax + by = c
x dan y disebut variabel
Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang
mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV :
ax + by = c
px + qy = r
dengan x , y disebut variabel
a, b, p, q disebut keifisien
c , r disebut konstanta
C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Metode Substitusi
Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain
contoh :
Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi :
2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y =10/5 = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x+4=8
x=8–4
x=4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
2. Metode Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.
contoh :
Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i)
mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | � 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | � 2x - y = 6 - ………*
5y = 10
y=2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x+2y=8
x + 2. 2 = 8
x+4=8
x=8–4
x=4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | � x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | � 4x - 2y = 12 + ……*
5x = 20
x=
5
20
x=4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y=
2
4=2
HP = {4, 2}
* catatan
nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0
Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda (ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +
D. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable
Contoh:
Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5
buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model
matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y=
7
7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x =3000/2
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000
= Rp. 11.000,4. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan grafik garis
lurus.
Penyelesaiannya didapatkan dengan menggunakan titik potong antara dua garis
lurus tersebut pada grafik garis lurus.
Contoh : kita ambil contoh soal di atas
Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Langkah-langkah penyelesaiannya :
1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan
Persamaan (1)
x + 2y = 8
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
x + 2y = 8
x + 2.0 = 8
x=8
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
x + 2y = 8
0 + 2.y = 8
2y = 8
y=
2
8=4
tabelnya :
X+2y=8
X
8
0
y
0
4
2x - y = 6
titik potong dengan sumbu x apabila y = 0
2x - y = 6
2x - .0 = 6
2x = 6
x =6/2= 3
titik potong dengan sumbu y apabila x = 0
2x - y = 6
0 - .y = 6
-y = 6
y = -6
tabelnya :
X
y
2x-y=6
3
0
0
-6
1. Buatlah grafik garis lurus menggunakan tabel-tabel di atas :
X
y
X+2y=8
8
0
0
4
X
y
2x-y=6
3
0
0
-6
2. Menentukan titik potong kedua persamaan tersebut (x,y)
Terlihat titik potongnya adalah x =4 dan y =2
,
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah (4,2)
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 15(limabelas)
Pokok Bahasan
: Unsur-unsur dalam teorema pythagoras, Menentukan teorema
pythagoras,
Penerapan
teoremapythagoras,
Menentukan
panjang garis tinggi
A. Teorema Pythagoras
1. Pengertian Teorema Pythagoras
Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat
berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475 sebelum Masehi. Sebagai ahli
metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku
adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi - sisi yang lain. Untuk membuktikan hal ini,
coba kamu lakukan Kegiatan 5.1.
2. Penulisan Teorema Pythagoras
Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari teorema Pythagoras pada segitiga sikusiku. Coba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku
ABC dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas c, dan tinggi a. Berdasarkan, teorema
Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku:
Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? seperti panjang sisi alas c atau
tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan
sebagai berikut.
Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat
dituliskan sebagai berikut.
3. Penggunaan Teorema Pythagoras
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, teorema Pythagoras banyak sekali digunakan
dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi
segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada
suatu bangun ruang. Berikut ini akan diuraikan penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga
dan bangun datar.
a. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-Sisi Segitiga.
Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menghitung panjang
. b. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar
Pada kondisi tertentu, teorema Pythagoras digunakan dalam perhitungan bangun datar.
Misalnya, menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain
sebagainya
4. Penerapan Teorema Pythagoras
Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah - masalah yang dapat dipecahkan
menggunakan teorema Pythagoras. Untuk mempermudah perhitungan, alangkah baiknya jika
permasalahan tersebut dituangkan dalam bentuk gambar.
Latihan!
Soal No. 1
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:
Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki
panjang 28 cm.
Tentukan luas segitiga tersebut!
Pembahasan
Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:
Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:
Soal No. 2
Perhatikan gambar segitiga berikut!
Tentukan panjang sisi AB!
Pembahasan
Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai
berikut:
Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:
Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan dengan sudutsudut 30o dan 60o
Soal No. 3
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!
Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
Pembahasan
Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60°
kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:
Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:
Soal No. 4
Perhatikan gambar!
Panjang AD adalah....
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
(Dari Soal UN Matematika SMP - 2011 Teorema Pythagoras)
Pembahasan
Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan
mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing
segitiga.
B. Garis-Garis Pada Segitiga
Di kelas VII, kamu telah mengenal berbagai macam garis pada segitiga. Garis-garis pada
segitiga tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu. Masih ingatkah
kamu pengertian untuk masing-masing garis tersebut ?
Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan dan menghitung panjang
garis-garis pada segitiga. Namun, garis-garis pada segitiga yang dibahas pada bab ini dibatasi
hanya garis tinggi dan garis berat.
1. Garis Tinggi Pada Segitiga
Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih
dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis
tinggi pada segitiga. Coba kamu pelajari uraian berikut.
a. Proyeksi
Untuk memahami apa yang dimaksud dengan proyeksi, coba kamu perhatikan Gambar
5.7(a). Pada gambar tersebut terlihat titik P diproyeksikan terhadap garis AB. Hasil proyeksi
titik P tersebut adalah titik P'. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 5.7(b) gambar
tersebut menunjukan proyeksi titik P terhadap garis AB dengan posisi yang berbeda. Hasil
proyeksi titik P tersebut adalah P'.
Dari uraian ini apa yang dapat kamu ketahui? Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan
bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis hubung titik dan titik hasil
proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut.
Bagaimana panjang garis proyeksi tersebut ? Ada dua macam perhitungan yang dapat kamu
lakukan. Berdasarkan materi persamaan garis lurus yang telah kamu pelajari, dapat diuraikan
sebagai berikut.
HAND OUT PERKULIAHAN
Nama Mata Kuliah
: Kapita Selekta Matematika I
Kode Mata Kuliah
: MT 306
Jumlah SKS
: 3 (Tiga)
Pertemuan ke
: 16 (enambelas)
Pokok Bahasan
: UAS (Ujian Akhir Semester)