universitas indonesia interaksi neutrino dengan elektron di atmosfir

UNIVERSITAS INDONESIA
INTERAKSI NEUTRINO DENGAN ELEKTRON DI
ATMOSFIR SUPERNOVA
TESIS
LISTIANA SATIAWATI
0906576561
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER FISIKA
DEPOK
APRIL 2011
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
UNIVERSITAS INDONESIA
INTERAKSI NEUTRINO DENGAN ELEKTRON DI
ATMOSFIR SUPERNOVA
TESIS
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister
Sains
LISTIANA SATIAWATI
0906576561
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI MAGISTER FISIKA
KEKHUSUSAN FISIKA MURNI DAN TERAPAN
DEPOK
APRIL 2011
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Tesis ini adalah hasil karya saya sendiri,
dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk
telah saya nyatakan dengan benar.
Nama
:
Listiana Satiawati
NPM
:
0906576561
Tanda Tangan
:
Tanggal
:
ii
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PENGESAHAN
Tesis ini diajukan oleh :
Nama
NPM
Program Studi
:
:
:
Listiana Satiawati,
0906576561,
Magister Fisika,
Judul Tesis
:
Interaksi Neutrino dengan Elektron di Atmosfir Supernova.
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima
sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Fisika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing
: Dr. Drs. Anto Sulaksono M.Si.
(......................................)
Penguji
: Dr. Drs. Terry Mart
(......................................)
Penguji
: Dr. rer. nat. Agus Salam S.Si., M.Si.
(......................................)
Penguji
: Dr. Imam Fachruddin
(......................................)
Ditetapkan di
Tanggal
: Depok
: 26 April 2011
iii
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Kata Pengantar
Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Alloh swt atas semua rohmat dan hidayahnya, sehingga saya dapat menyelesaikan tesis yang
berjudul “Interaksi Neutrino dengan Elektron di Atmosfir Supernova” ini.
Sholawat dan salam saya panjatkan kepada nabi Muhammad saw beserta
keluarga dan sahabatnya.
Dalam menyelesaikan tesis ini tentunya tidak lepas dari bantuan, bimbingan, dorongan dan do’a dari berbagai pihak. Oleh karena itu, saya mengucapkan terimakasih dan penghargaan kepada :
• Yang saya hormati dosen pembimbing tesis :
Bpk Dr. Drs. Anto Sulaksono M.Si.
• Dosen-dosen penguji tesis :
Bpk Dr. Drs. Terry Mart, Bpk Dr. rer. nat. Agus Salam S.Si., M.Si.
dan Bpk Dr. Imam Fachruddin.
• Dosen pembimbing akademik dan ketua sidang tesis :
Bpk Dr. Drs. Dedi Suyanto.
• Kakanda Ir. H. Prasetyo serta anak-anak, Ilmi Hayyu Dinna S.T.,
Ridho Abdillah dan Sulthon Abdurrosyid.
• Ayahanda Soejatno, ibunda Sri Patmah serta saudara-saudara :
mbak Yul, mbak Yanni, mas Agus dan dik Putra.
• Bapak Suparman, bapak Samidi, mbak Ratna cs dan bapak Samroni.
• Teman-teman seperjuangan: bu Sofie, bu Dina, pak Encu, pak Habib,
pak Asmi, pak Agus j., pak Mufti, sdr Azis dll.
Saya menyadari bahwa pengetahuan dan kemampuan saya masih sangat terbatas. Namun saya berharap tesis ini dapat bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan. Untuk itu, saya mengharapkan saran dan koreksi dari pembaca.
iv
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
v
Akhir kata, semoga Alloh swt berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan tesis ini.
Terimakasih
Depok, 27 April 2011
Penulis
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan
dibawah ini:
Nama
NPM
: Listiana Satiawati
: 0906576561
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Magister Fisika
: Fisika
: Ilmu Pasti Dan Ilmu Alam
Jenis Karya
: Tesis
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan
kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive
Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:
Interaksi Neutrino dengan Elektron di Atmosfir Supernova
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti
Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan
nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagi pemilik Hak Cipta.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di : Depok
Pada tanggal :...................
Yang menyatakan
(Listiana Satiawati)
vi
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Abstrak
Nama
: Listiana Satiawati
Program Studi
Judul
: Magister Fisika
: Interaksi Neutrino dengan Elektron di Atmosfir
Supernova
Telah dihitung polarisasi, penampang lintang diferensial dan jalan bebas
rata-rata pada interaksi neutrino-gas elektron dengan mempertimbangkan
faktor bentuk elektromagnetik neutrino, untuk temperatur berhingga. Faktorfaktor yang dipertimbangkan pada perhitungan adalah retardasi, detail balans dan Pauli bloking serta anti partikel.
Efek banyak benda masuk dalam perhitungan polarisasi melalui pendekatan
korelasi fase random ( random phase approximation ) dan massa foton efektif. Hasil yang didapat digunakan untuk mempelajari interaksi neutrino dengan materi pada atmosfir supernova.
Hasil penelitian ini menunjukkan seberapa besar pengaruh faktor-faktor
temperatur, kerapatan elektron, momen dipol neutrino, jari-jari muatan neutrino, korelasi random phase approximation, massa foton efektif dan koreksi relativitas umum pada jalan bebas rata-rata neutrino pada atmosfir supernova.
Kata kunci
:
xiv+125 halaman :
Daftar Pustaka
:
neutrino, efek materi dan temperatur, atmosfir supernova.
21 gambar; 3 tabel
34 (1974-2011)
vii
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Abstract
Name
:
Listiana Satiawati
Program Study
Title
:
:
Magister Fisika
Neutrino Interaction with Electron in Supernova
Atmosphere
The polarizations, differential cross section and mean free path of neutrinoelectron gas interaction have been calculated by taking into account the neutrino electromagnetic form factor, for finite temperature. The retarded, detailed balance, Pauli blocking and anti-particle factors have been also taken
into account in the calculations.
Many-body effects enter into polarizations calculations through random phase
approximation correlation and photon effective mass. The results are used
to study the interaction of neutrino with matter in supernova atmosphere.
It has also shown how large the influence of temperature, electron density,
neutrino moment dipole, neutrino charge radius, random phase approximation correlation, photon effective mass and general relativity correction
in mean free path at supernova atmosphere.
Keywords
: neutrino, temperature and matter effect, supernova atmosphere.
xiv+125 pages
Bibliography
: 21 pictures; 3 tables
: 34 (1974-2011)
viii
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Daftar Isi
Abstrak
vii
Daftar Isi
viii
Daftar Gambar
xii
Daftar Tabel
xv
1 Pendahuluan
1.1
1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Teori
4
2.1
Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Masalah Neutrino Matahari ( Solar Neutrino Problem ) .
8
2.3
Neutrino Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Interaksi Neutrino dan Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1
2.4.1
Hamburan Neutrino dan Elektron di Vakum . . . . . . 14
2.4.2
Hamburan Neutrino dan Elektron di Medium . . . . . 19
2.4.3
Jalan Bebas Rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Hasil dan Pembahasan
32
3.1
Pendekatan Respon Linier ( linear response ) . . . . . . . . . . . 32
3.2
Random Phase Approximation ( RPA ) dan Massa Foton Efektif
( MPE ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3
Aplikasi pada Atmosfir Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Kesimpulan
50
ix
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
x
Lampiran
52
A Hamburan Neutrino dengan Elektron di Vakum
53
A.1 Kontribusi Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.1.1 Tensor Elektron Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . 53
A.1.2 Tensor Neutrino Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . 56
A.2 Kontribusi Interaksi Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2.1 Tensor Elektron Interaksi Elektromagnetik . . . . . . . 57
A.2.2 Tensor Neutrino Interaksi Elektromagnetik . . . . . . . 58
A.3 Kontribusi Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.3.1 Tensor Elektron Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.3.2 Tensor Neutrino Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . 60
B Polarisasi
61
B.1 Polarisasi Vektor ( Vector Polarization ) . . . . . . . . . . . . . . 67
B.1.1
Polarisasi Longitudinal ( Longitudinal Polarization ) . . . 70
B.1.2
Polarisasi Transversal (Tranverse Polarization) . . . . . . 77
B.2 Polarisasi Aksial (Axial Polarization) . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.3 Polarisasi Vektor-Aksial (Vector-Axial Polarization) . . . . . . . 84
C Pembuktian Fµν (p, p + q) = Fµν (p, p − q)
90
D Tensor Neutrino
92
D.1 Interaksi lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
D.2 Interaksi Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
D.3 Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
E Kontraksi Bagian Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial
96
E.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
E.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
E.3 Bagian Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
F Kontraksi Interaksi Lemah
101
F.1
Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
F.2
Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
F.3
Bagian Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
xi
F.4
Total Kontraksi Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
G Kontraksi Interaksi Elektromagnetik
107
H Kontraksi Interferensi
111
H.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
H.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
H.3 Total Kontraksi Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
I
Random Phase Approximation (RPA)
115
I.1
Polarisasi Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.2
Polarisasi Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
I.3
Polarisasi Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
I.4
Polarisasi Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Daftar Acuan
122
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Daftar Gambar
2.1
Supernova dan bintang neutron (Nasa 2011). . . . . . . . . . .
4
2.2
Left handed neutrino dan right handed anti-neutrino. . . . . .
9
2.3
data dari referensi (Keil & Janka 2003). . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4
Diagram Feynman untuk interaksi neutrino dengan elektron
melalui (a) arus netral dan (b) arus bermuatan. . . . . . . . . . 16
2.5
Diaram Feynman untuk interaksi neutrino dengan elektron
melalui interaksi elektromagnetik. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6
Distribusi partikel fermion untuk temperatur nol dan berhingga, dengan f(ǫ) adalah fungsi distribusi Fermi-Dirac, ǫ energi
partikel, µ potensial kimia partikel dan T temperatur. . . . . . 21
3.1
Perbandingan polarisasi longitudinal ( ΠL ), transversal ( ΠT ),
aksial ( ΠA ), dan vektor-aksial ( ΠV A ) untuk kerapatan elektron tetap tetapi dengan temperatur bervariasi. ( T1 = 0 MeV,
µ1 = 50 MeV, T2 = 20 MeV, µ2 = 26.79 MeV, T3 = 40 MeV,
µ3 = 7, 88 MeV, T4 = 60 MeV, µ4 = 3.52 MeV, Ev = 10 MeV,
3.2
|~q| = 5 MeV ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Perbandingan penampang lintang diferensial interaksi lemah,
elektromagnetik, interferensi dan total untuk T = 0 MeV.
( µ = 50MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 ,
µν = 10−10 µB ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3
Perbandingan penampang lintang diferensial interaksi lemah,
elektromagnetik, interferensi dan total untuk T = 40 MeV.
( µ = 7, 88 MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6
MeV−1 , µν = 10−10 µB ). FDB : Faktor detailed balance, FPB :
Faktor Pauli blocking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xii
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
xiii
3.4
Perbandingan penampang lintang diferensial ( T0 = 0 MeV,
µ0 = 50 MeV, T1 = 20 MeV, µ1 = 26, 79 MeV, T2 = 40 MeV,
µ2 = 7, 88 MeV, T3 = 60 MeV, µ3 = 3, 52 MeV, |~q| = 5 MeV,
Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν = 10−10 µB ). . . . . . . . 37
3.5
Perbandingan penampang lintang diferensial ( T1 = 20 MeV,
µ1 = 26, 79 MeV, T2 = 40 MeV, µ2 = 7.88 MeV, |~q| = 5 MeV,
Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν1 = 10−10 µB , µν2 =
5.10−10 µB , µν3 = 10−9 µB ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6
Perbandingan penampang lintang diferensial ( T = 20 MeV,
µ = 26, 79 MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, µν = 10−10 µB ,
Rν1 = 10−9 MeV−1 , Rν2 = 10−11 MeV−1 , Rν3 = 10−12 MeV−1 ). . 39
3.7
Perbandingan tampang lintang dengan variasi kerapatan elektron ( ρ1 = 2112, 713 MeV3 , ρ2 = 8450, 852 MeV3 , ρ3 = 42254, 26
MeV3 , |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν =
10−10 µB ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8
Jalan bebas rata-rata neutrino interaksi total terhadap kerapatan elektron dengan variasi temperatur dan energi neutrino datang ( T1 = 10 MeV, T2 = 15 MeV, T3 = 20 MeV, Ev1 = 5
MeV, Ev2 = 7, 5 MeV, Ev3 = 10 MeV, µν = 10−10 µB , Rν =
5.10−6 MeV−1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9
Jalan bebas rata-rata neutrino interaksi total, lemah ( Weak ),
lemah + elektromagnetik ( Weak + EM ), terhadap kerapatan
elektron ( T = 10 MeV, Ev = 5 MeV, µν = 10−10 µB , Rν =
5.10−6 MeV−1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 Perbandingan penampang lintang diferensial untuk respon
linier, random phase approximation dan massa foton efektif
pada Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB .
. . 43
3.11 Perbandingan jalan bebas rata-rata untuk respon linier, random phase approximation dan massa foton efektif pada Ev =
10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB . . . . . . . . . . 44
3.12 Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir
supernova untuk respon linier, random phase approximation
dan massa foton efektif pada Ev = 5 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1
dan µν = 10−10 µB . Dengan data : RadiiNW dan RadiiGR. . . . 47
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
xiv
3.13 Perbandingan jalan bebas rata-rata pada atmosfir supernova
terhadap temperatur dan kerapatan elektron pada Ev = 5
MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB . . . . . . . . . . . . 48
3.14 Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir
supernova dengan variasi momen dipol neutrino pada Ev =
5 MeV dan Rν = 0 MeV−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.15 Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir supernova dengan variasi jari-jari muatan neutrino pada
Ev = 5 MeV dan µν = 10−10 µB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Daftar Tabel
3.1
Tabel variasi kerapatan dan potensial kimia elektron. . . . . . 40
3.2
Data : RadiiGR (Keil 2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3
Data : RadiiNW (Keil 2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
xv
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Interaksi neutrino pada materi panas dan termampatkan ( hot and dense
matter) sangat relevan dalam penelitian tentang tingkah laku supernova
dari bintang netron. Karena neutrino merupakan sumber informasi yang
paling akurat untuk mempelajari mekanisme ledakan supernova (Reddy,S.,
et al. 1999, Keil 2003).
Menurut Standard Model, neutrino adalah partikel yang tidak bermuatan
dan tidak bermasa dan berinteraksi hanya dengan interaksi lemah. Tetapi
pada kenyataannya, pengamatan experimen maupun sumber-sumber ruang angkasa menunjukkan bahwa neutrino mempunyai massa walaupun
sangat kecil, yaitu lebih kecil dari 5.7 eV (Giunti & Kim 2007), mempunyai
momen dipol (Daraktcvieva 2003), dan mempunyai jari-jari muatan (Nardi 2002). Sehingga hal ini mengindikasikan bahwa neutrino selain dapat
berinteraksi dengan interaksi lemah (weak), juga diasumsikan dapat berinteraksi dengan interaksi elektromagnetik (electromagnetic), dan interferensi
(interference) keduanya.
Pada penelitian yang terdahulu (Caroline 2004, Parada 2004), sudah dihitung penampang lintang diferensial (differential cross section) dan jalan bebas rata-rata (mean free path) dengan koreksi faktor bentuk elektromagnetik
(electromagnetic form factor) untuk berbagai variasi konstituen dari materi pada kasus temperatur nol.
Pada tulisan ini, hasil-hasil tersebut akan dikembangkan untuk kasus
1
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
2
temperatur berhingga, korelasi antar partikel dan massa photon di medium
juga diperhitungkan. Untuk kasus temperatur berhingga, faktor retardasi
harus ditambahkan pada tensor polarisasi partikel target:
R
ImΠR
αβ → Παβ = tanh
q0
× Παβ .
2T
(1.1)
Juga efek Pauli bloking yang mempengaruhi kemungkinan dari partikel
keluar ( out going particle ) diperhitungkan. Efek ini secara signifikan menurunkan harga penampang lintang diferensial neutrino (Reddy,et al. 1999).
Hal ini dapat dilihat juga pada gambar 3.3. Selain itu berdasarkan theorema
fluktuasi-disipasi ( fluctuation-dissipation theorem ) yang menghendaki invariansi interaksi terhadap inversi ruang, faktor keseimbangan detail ( detailed
balance factor ) juga perlu diperhitungkan (Reddy, Prakash, & Lattimer 1998,
Horowitz & Wehrberger 1991). Jelas elektron adalah fermion maka pada
perhitungan polarisasi elektron untuk temperatur berhingga pada kesetimbangan thermal, digunakan distribusi partikel Fermi-Dirac (Saito, Maruyama, & Soutome 1989, Reddy, Prakash, & Lattimer 1998). Kontribusi anti partikel penting untuk kasus elektron dan untuk kasus potensial kimia
jauh lebih kecil dari pada temperatur ( µe ≪ T ), kondisi ini dipenuhi untuk
elektron-elektron di supernova (Reddy, Prakash, & Lattimer 1998). Maka
faktor ini juga diperhitungkan.
Efek banyak benda ( many-body ) diakomodasi melalui polarisasi-polarisasi
dari elektron. Ada 4 macam polarisasi yaitu: longitudinal, transversal, aksial dan vektor-aksial. Korelasi antar partikel dalam medium ( dalam hal
ini elektron ) dihitung dengan random phase approximation ( RPA ), juga efek
dari massa efektif foton ( pada interaksi elektromagnetik ) juga akan dibahas
disini. Faktor-faktor ini akan mempengaruhi ke empat polarisasi tersebut.
Efek kedua koreksi diatas akan dibahas lebih detail pada bab Teori.
Sehingga pada tesis ini, kami akan mempelajari semua efek koreksi yang
muncul pada penampang lintang hamburan neutrino dengan materi elektron dan jalan bebas rata-ratanya untuk T 6= 0. Baik berdasarkan asumsi
elektron merupakan gas elektron ( pendekatan respon linier ), maupun ji-
ka efek korelasi elektron berdasarkan pendekatan fase random ( RPA ), dan
efek massa foton diperhitungkan. Kemudian kami mengaplikasikan perhi-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
3
tungan numerik yang telah kami kembangkan, pada kasus materi di atmosfir supernova.
Sistimatika tesis ini adalah, pada bab 2 akan dibahas tentang atmosfir supernova, formula tampang lintang diferensial, lintasan bebas rata-rata untuk arus netral dan arus bermuatan pada interaksi neutrino dengan elektron
dengan koreksi faktor bentuk elektromagnetik dengan penambahan faktorfaktor retardasi, keseimbangan, Pauli bloking dan anti partikel. Kemudian
dilanjutkan dengan penurunan persamaan RPA dari persamaan Dyson. Kemudian disajikan persamaan massa foton efektif. Sedangkan yang terakhir
persamaan-persamaan tersebut dimasukkan kedalam persamaan jalan bebas rata-rata. Bab 3 berisi diskusi yang mengacu pada gambar yang telah dihasilkan dari perhitungan numerik, bab 4 berisi kesimpulan dan pada lampiran diberikan penjabaran analitik dari formula-formula yang digunakan
pada tesis secara detail.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Bab 2
Teori
2.1 Supernova
Gambar 2.1: Supernova dan bintang neutron (Nasa 2011).
Supernova adalah ledakan yang bercahaya sangat terang memancar menyinari seluruh galaksi, selama beberapa minggu atau bulan sebelum akhirnya
memudar. Selama interval waktu tersebut supernova dapat memancarkan
energi sebanyak waktu hidup bintang. Ledakan itu memancarkan hampir
semua material bintang dengan kecepatan hingga 30 000 km/s ( 10% dari
4
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
5
kecepatan cahaya ), dengan perantara gelombang kejut ( shock wave ) menuju ke medium antar bintang sekitarnya. Gelombang kejut ini menyapu dan
menyebarkan gas dan debu yang berupa besi dan elemen berat yang lain
dan meninggalkan sisa supernova ( supernova remnant ).
Bintang-bintang dengan minimal 9 × massa matahari berevolusi secara
sempurna, yang nantinya disebut supernova tipe II. Pada inti bintang, hidrogen mengadakan fusi menjadi helium dan energi panas dilepaskan menciptakan tekanan luar yang menjaga inti dalam kesetimbangan hidrostatik dan
mencegah kerutuhan. Adapun rantai reaksi pembentukan inti Hidrogen
menjadi helium adalah (Parada 2004),
3
1
H + 1H →
2
H + e+ + ν,
2
H + 1H →
3
He + γ,
He + 3 He →
4
He + 1 H + 1 H.
Ketika suplay hidrogen ke inti habis, tekanan keluar tidak ada lagi. Maka inti mulai runtuh, menyebabkan kenaikan temperatur dan tekanan yang
menjadi cukup besar untuk memicu helium untuk memulai siklus fusi karbon, menciptakan tekanan luar yang cukup untuk menghentikan keruntuhan. Inti mengembang dan sedikit mendingin, dengan suatu lapisan luar
fusi hidrogen, dengan suatu pusat inti helium yang lebih panas dan tekanan
lebih besar, unsur-unsur lain seperti magnesium, belerang, dan kalsium juga terbentuk.
4
He + 4 He →
8
Be + 4 He →
8
Be + γ,
12
C + γ,
dan seterusnya, proses ini berlanjut beberapa kali, setiap kali inti runtuh,
keruntuhan dihentikan oleh pengapian proses lebih lanjut yang menjadikan
inti menjadi lebih besar dan tekanan dan suhu lebih tinggi. Setiap lapisan
dicegah dari keruntuhan oleh panas dan tekanan keluar dari proses fusi pada lapisan berikutnya, setiap lapisan juga membakar lebih panas dan lebih
cepat dari sebelumnya. Pembakaran terakhir adalah proses transformasi si-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
6
likon menjadi besi. Bintang menjadi berlapis-lapis seperti bawang, dengan
pembakaran lebih mudah melebur unsur yang terjadi pada kulit yang lebih
besar. Jika bintang cukup besar, maka inti besi nikel pada akhirnya akan
melebihi batas Chandrasekhar ( 1.38 massa matahari ), dimana pada titik
ini mekanisme menjadi berubah.
Inti runtuh kedalam dengan kecepatan mencapai 0,23 kecepatan cahaya,
menghasilkan peningkatan tinggi pada suhu dan densitas. Inti runtuh ( collaps )
dan panas. Produknya disebut bintang proto-neutron.
Melalui fotodisintegrasi, sinar gamma merombak besi menjadi inti helium
dan neutron bebas, menyerap energi (Giunti & Chung 2007),
γ + 56 Fe → 13α + 4n,
menurunkan energi kinetik dan tekanan dari elektron.
Sedangkan reaksi elektron capture dari inti adalah,
e− + N (Z, A) → N (Z − 1, A) + νe ,
dan proton bebas,
e− + p+ → n0 + νe ,
menghasilkan neutron dan neutrino elektron yang keluar dari inti. Neutrino pergi membawa energi panas, menyebabkan suatu bintang neutron
terbentuk ( neutron akan menguap jika pendinginan ini tidak terjadi ). Neutrino panas dari semua flavour dalam jumlah yang sangat besar keluar dan
merupakan output utama dalam peristiwa ini. Inti dalam akhirnya mencapai diameter sekitar 30 km, dan kepadatan sebanding dengan suatu inti
atom dan keruntuhan lebih lanjut tiba-tiba dihentikan oleh interaksi gaya
kuat dan degenerasi neutron. Kejatuhan materi, tiba-tiba berhenti, menghasilkan gelombang kejut yang menyebar keluar membawa neutrino dan
sebagian besar komponen bintang. Tetapi hasil-hasil simulasi komputer
saat ini menunjukkan bahwa gelombang kejut ini tidak secara langsung
menyebabkan ledakan supernova. Ketika memasuki phase ini ada beberapa tahapan yang belum dapat dijelaskan, tentang bagaimana ledakan besar
itu terjadi (Keil 2003).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
7
Seperti sudah dijelaskan tadi, sesudah inti dari suatu bintang masif yang
sudah tua berhenti menghasilkan energi dari fusi nuklir, akan mengalami
keruntuhan gravitasi tidak hanya kedalam bentuk bintang neutron ( neutron star ) tetapi juga bisa kedalam bentuk lubang hitam ( black hole ) atau
bintang kerdil putih ( white dwarf star ), bergantung seberapa besar ukuran bintang masif tersebut. Selain dari proses yang diatas masih ada lagi
beberapa mekanisme evolusi bintang yang lain. Hal ini mengakibatkan supernova dapat dikatagorikan menjadi beberapa tipe seperti tipe Ib, Ic atau
II. Semua ini masih dalam penelitian (Wikipedia 2010a).
2.2 Neutrino
Berdasarkan model standar, neutrino adalah partikel elementer (partikel
dasar), melaju dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, muatan netral (tidak bermuatan), interaksi yang melibatkan neutrino dimediasi oleh
interaksi lemah, oleh sebab itu neutrino sukar dideteksi dan mampu melewati jarak yang sangat jauh hampir tanpa hambatan.
Mempunyai massa diam (rest mass) sangat kecil, tetapi tidak sama dengan
nol, karena mempunyai massa, neutrino berinterakasi gravitasi dengan partikel masif yang lain, neutrino mempunyai spin setengah ( 12 ~ ) dan karena
itu termasuk fermion. Neutrino dihasilkan sebagai suatu hasil dari peluruhan radioaktif atau reaksi nuklir seperti yang terjadi pada matahari, reaktor nuklir atau ketika sinar kosmik menumbuk atom. Tetapi kebanyakan
neutrino yang mengenai bumi berasal dari matahari, setiap detik 65 milyar
(6.5 × 1010 ) melewati tiap cm2 tegak lurus terhadap arah matahari.
Ada 3 tipe atau flavour(rasa) dari neutrino, yakni neutrino elektron (νe ),
neutrino muon (νµ ), dan neutrino tau (ντ ), yang masing-masing berhubungan dengan anti partikel dan disebut antineutrino (ν̄). Neutrino (atau
antineutrino) elektron, dihasilkan ketika proton berubah menjadi neutron,
atau sebaliknya, 2 bentuk dari peluruhan beta (β decay). Neutrino pertama kali dipostulatkan pada tahun 1930 oleh Wolfgang Pauli untuk menjaga konservasi atau kekekalan energi, momentum dan momentum angular(sudut) dalam peluruhan beta, yaitu peluruhan inti atom (yang kemuUniversitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
8
dian disebut nuetron) menjadi sebuah proton, sebuah elektron dan sebuah
antineutrino:
n0 → p+ + e− + ν̄e .
Deteksi neutrino yang pertama kali dilakukan adalah ekperimen neutrino
Cowan Reines. Neutrino dihasilkan dalam reaktor nuklir dengan peluruhan beta, kemudian ditembakkan ke proton menghasilkan neutron dan
positron:
νe + p+ → n0 + e+ ,
positron dengan cepat menemukan elektron dan saling menghilangkan (annihilation) satu sama lain. Kemudian kedua sinar gamma (γ ray) yang dihasilkan dapat dideteksi (Wikipedia 2010b).
2.2.1 Masalah Neutrino Matahari ( Solar Neutrino Problem )
Beberapa eksperimen menemukan bahwa jumlah neutrino elektron yang
datang dari matahari adalah antara
1
2
dan
1
3
dari jumlah yang diprediksi
oleh SSM ( Standard Solar Model ). Standard Model ( SM ) fisika partikel mengasumsikan bahwa neutrino tidak bermassa dan tidak dapat mengubah
rasa atau flavour. Namun, jika neutrino memiliki massa mereka bisa mengubah flavour ( atau berosilasi antara flavour ). Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein
effect ( MSW effect ) menyatakan bahwa osilasi flavour dapat dimodifikasi
ketika neutrino merambat melalui materi. Ini penting karena neutrino yang
dipancarkan oleh fusi matahari melewati materi padat ( dense matter ) di inti matahari sebelum pada akhirnya mencapai detektor di bumi. Neutrino
elektron yang dihasilkan matahari sebagian telah berubah menjadi flavour
lain yang pada waktu itu belum bisa dideteksi dengan percobaan yang
ada. Jadi penemuan osilasi flavour neutrino menunjukkan bahwa neutrino
memiliki massa. Penemuan massa neutrino menguatkan adanya momen
magnetik neutrino, walaupun kecil, dengan orde 10−19 satuan magneton
Bohr ( µB ). Hal ini memberi kemungkinan neutrino melakukan interaksi
elektromagnetik.
Eksperimen yang dilakukan oleh CS Wu dari Universitas Colombia me-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
9
momentum
momentum
spin
Neutrino
spin
Anti-neutrino
Gambar 2.2: Left handed neutrino dan right handed anti-neutrino.
nunjukkan bahwa neutrino selalu left handed. Sifat left-handed dan righthanded disebut helicity. Helicity dari suatu partikel didefinisikan sebagai
ms /s, atau komponen z dari spin dibagi besar ( magnitude ) spin tersebut.
Menurut definisi, dalam kasus ini helicity - 21 untuk neutrino left-handed,
dan helicity + 21 untuk anti neutrino right-handed.
Jadi hanya left handed neutrino dan right handed anti-neutrino seperti terlihat pada gambar 2.2 yang dapat berinteraksi dengan lepton bermuatan
(Halzen & Martin 1976).
2.3 Neutrino Supernova
Neutrino dihasilkan dari mekanisme supernova tipe Ib, Ic dan II. Pada kasus ini density dari inti menjadi sangat tinggi (1017 kg/m3 ). Sehingga degenerasi elektron tidak cukup untuk mencegah proton dan elektron berkombinasi membentuk suatu neutron dan elektron neutrino. Sebagian besar
energi yang dihasilkan supernova terpencar dalam bentuk ledakan neutrino. Bukti eksperimen pertama dari fenomena ini datang pada tahun 1987,
ketika neutrino dari supernova 1987A terdeteksi. Karena begitu sedikitnya
neutrino bereaksi dengan materi, diperkirakan emisi neutrino supernova
membawa informasi tentang daerah terdalam ledakan. Sebagian besar cahaya yang tampak, berasal dari peluruhan radioaktif yang dihasilkan oleh
gelombang kejut supernova. Disisi lain, neutrino melewati gas-gas ini dan
menyediakan informasi tentang inti supernova.
Pada tesis ini, kami meneliti sifat-sifat neutrino ketika berinteraksi dengan elektron. Partikel lain belum kami perhitungkan dalam tulisan ini,
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
10
misalkan interaksi dengan proton atau neutron. Oleh sebab itu didalam
aplikasinya kami memilih data hasil simulasi dari atmosfir supernova, karena didaerah tersebut elektron lebih dominan daripada partikel lain.
Gambar 2.3: data dari referensi (Keil & Janka 2003).
Atmosfir bintang proto-neutron dikarakteristikkan dengan sifat radial dari
temperatur [ T(r) ] dalam MeV, densitas massa nukleon [ ρ(r) ] dalam 1013
gram/cm3 dan jumlah ( fraksi ) elektron dalam nukleon [ Ye (r) ], lihat gambar 2.3. Karena massa neutron ≈ proton, maka densitas massa nukleon dap-
at ditulis sebagai densitas dari jumlah neutron dan proton dikalikan massanya,
ρ(r) = nn mn + np mp .
Fraksi elektron tiap nukleon
Ye (r) =
np
,
nn + np
didapatkan dari kerapatan neutron dan proton, dengan mengasumsikan di
atmosfir supernova netral.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
11
Potensial kimia neutron dan proton ( µn & µp ) didapatkan dari persamaan,
nn,p (r) =
=
Z
Z
dǫ fn,p (ǫ, µn,p )
dǫ
ǫ2
.
1 + exp( ǫ−µTn,p )
Potensial kimia elektron didapatkan dari relasi
nB Ye = ne− − ne+ =
Z
dǫ[f (ǫ, µe ) − f (ǫ, −µe )].
Suku anti partikel muncul pada elektron tapi tidak pada nukleon karena
me ≪ mn . Potensial kimia neutrino didapatkan dari
µνe = µe + µp − µn .
Sehingga dari informasi ini dan gambar 2.3 dapat diekstrak data-data radius ( r ) dalam kilometer, temperatur ( T ) dalam MeV, potensial kimia elektron ( µe ) dalam MeV dan potensial kimia neutrino ( µν ) dalam MeV, seperti
terlihat pada tabel 3.2 dan 3.3.
Kemudian data-data dimasukkan dalam perhitungan numerik yang telah
kami buat. Hasilnya disajikan pada bab 3.
Catatan : mulai dari sini, selanjutnya ada pergantian notasi dimana densitas jumlah partikel ne diganti ρe .
2.4 Interaksi Neutrino dan Elektron
Untuk mempelajari interaksi antara neutrino dan elektron dipelajari tentang hamburan ( scattering ) antara kedua partikel ketika keduanya bertumbukan.
Matriks transisi ( M ) memberikan semua informasi tentang hamburan.Dan
M2 merupakan probabilitas mendapatkan keadaan akhir tertentu setelah
proses interaksi. Probabilitas interaksi berbanding lurus dengan penampang lintang diferensial. Penampang lintang hamburan diferensial adalah
jumlah partikel yang terhambur kedalam suatu sudut ruang per satuan
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
12
waktu dan persatuan flux partikel datang ( incident ).
Menurut model standar, neutrino tidak memiliki sifat elektromagnetik.
Sifat elektromagnetik neutrino muncul melalui koreksi radiasi yang memberikan ’besaran-besaran elektromagnetik’ yang merupakan fungsi massa
neutrino. Jika besaran-besarn ini dibandingkan dengan beberapa prediksi dari astrophysics, kosmologi, dan model matahari tampak terlalu kecil. Oleh sebab itu pendekatan paling sederhana adalah dengan menambahkan suku-suku elektromagnetik fenomenologis pada formulasi hamburan neutrino-elektron.
Maka didalam penelitian ini dihitung penampang lintang diferensial pada
interaksi neutrino dengan gas elektron termampatkan dengan mempertimbangkan faktor bentuk elektromagnetik dari neutrino.
Faktor bentuk suatu partikel adalah beberapa fungsi yang menggambarkan
keadaan internal dari partikel tersebut. Sedangkan penampang lintang diferensial suatu partikel yang mempunyai faktor bentuk, dapat dinyatakan
dσ
dengan penampang lintang titik partikel dΩ
dengan koreksi faktor
titik
bentuk f (q 2) dari partikel tersebut, dengan hubungan sebagai berikut:
dσ dσ
=
|f (q 2 )|2 .
dΩ
dΩ titik
(2.1)
Suatu partikel netral dapat dikarakteristikkan sebagai suatu superposisi dari
2 distribusi muatan yang berbeda tanda. Sehingga faktor bentuk ( f (q 2 ) )
partikel netral, tidak sama dengan nol untuk q 6= 0 (Giunti & Studenikin
2009).
Oleh sebab itu, meskipun tidak bermuatan ( netral ), neutrino mempunyai
faktor bentuk. Sifat elektromagnetik neutrino Dirac ini digambarkan dengan 4 faktor bentuk yaitu Dirac, anapol, magnet dan listrik.
Elemen matrik dari arus elektromagnetik antara keadaan awal vi dengan
momentum ki dan keadaan akhir vj dengan momentum kj dari neutrino
adalah,
2
hvjD (kj )|JµEM |viD (ki )i = i ū(k ′ ) ΓD
µ (q )u(k).
(2.2)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
13
dimana,
i
f2ν (q 2 ) σ αβ qβ
2me
qαqβ i
+g1ν (q 2 ) g αβ − 2 γβ γ 5 −
g2ν (q 2 ) σ αβ qβ γ 5 ,
q
2me
2
2 α
ΓD
µ (q ) = f1ν (q )γ −
dan selanjutnya persamaan 2.2 menjadi,
hvjD (kj )|JµEM |viD (ki )i =
h
Pµ i
′
µ
µ 5
5
ū(k ) fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + i g2ν γ )
u(k),
2me
(2.3)
dengan
k ′ = k + q,
fmν = f1ν + (mν /me )f2ν ,
P µ = k µ + k ′µ = 2k µ − q µ ,
dan f1ν , g1ν , f2ν dan g2ν masing-masing adalah faktor bentuk Dirac, anapol,
magnet dan listrik (Kerimov & Safin 1988, Nardi 2003).
Radius muatan rata-rata neutrino dinyatakan dengan bentuk kedua dari
ekspansi pada faktor bentuk neutrino f (q 2 ) dengan deret power terhadap q 2
(Giunti & Studenikin 2009),
f (q 2) = f (0) + q 2
= 1 − q2
df (q 2)
+ ..,
dq 2 |q2 =0
untuk limit
q2 → 0
hr 2 i
+ ..,
6
maka radius muatan kuadrat neutrino adalah,
hr 2i = −6
df (q 2 )
.
dq 2 |q2 =0
Untuk faktor bentuk Dirac, didapatkan radius muatan vektor kuadrat neutrino,
hrV2 i = −6 fmν (0).
Untuk faktor bentuk anapol, didapatkan radius muatan vektor-aksial kuadrat
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
14
neutrino,
hrA2 i = −6 g1ν (0).
Atau bisa ditulis,
1 2 2
aq
6
1 2 2
=
bq
6
fmν =
g1ν
maka,
2
2
+ g1ν
=
fmν
1 4
1 4 4
(a + b4 )q 4 =
R q
36
36
R adalah besaran yang bisa diamati.
Menurut referensi (Giunti & Studenikin 2009) besar jari-jari muatan neutrino hR2 i = 10−34 cm2 . Jika dikonversikan untuk 1 cm = 5, 07 × 1010 MeV−1 ,
maka diperoleh R ≈ 10−6 MeV−1 . Dalam kasus faktor bentuk magnetik dan
listrik untuk q 2 = 0 memberikan besaran momen statik ( diagonal ) neutrino
dalam satuan magneton Bohr ( µB = e/2me ). Besar momen dipol magnetik
statik: mν = f2ν (0) µB , besar momen dipol listrik statik : dν = g2ν (0) µB ,
2
2
f2ν
(0) + g2ν
(0) =
m 2
ν
µB
µ2ν
≡
,
µ2B
+
d 2
ν
µB
,
1
2
2
(0) + g2ν
(0)] 2 µB .
µν = [f2ν
(2.4)
Menurut referensi (Vogel & Engel 1988) besar momen dipol neutrino adalah
µνe ≈ 10−10 µB .
2.4.1 Hamburan Neutrino dan Elektron di Vakum
Dengan mempergunakan suatu kopling empat-titik efektif ( an effective fourpoint coupling ) untuk interaksi Lagrangian yang relevan dari teory WeinbergSalam dalam bentuk interaksi arus-arus. Dan diasumsikan nilai-nilai dari
momentum transfer jauh lebih kecil daripada massa boson-boson tera lemah
( the weak gauge bosons ) (Niembro, et al. 2001, Sulaksono, et al. 2006).
Maka density Lagrangian untuk interaksi neutrino-elektron dari kontribusi
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
15
arus netral Z 0 dan arus bermuatan W ± adalah,
GF
4πα
Leint = √ ū(k ′ )ΓµW u(k) ū(p′ )JµW u(p) + 2 ū(k ′ )ΓµEM u(k) ū(p′ )JµEM u(p)
q
2
{z
}
|
{z
} |
MEM
MW
(2.5)
Keterangan:
e
u(k) & ū(k ′ )
: elektron sebagai partikel target,
: spinor neutrino sebelum dan sesudah interaksi,
u(p) & ū(p′ )
ΓµW
: spinor elektron sebelum dan sesudah interaksi,
: arus neutrino interaksi lemah
JµW
= γµ (1 + γ 5 ),
: arus elektron interaksi lemah
= γµ (CV + CA γ 5 ),
ΓµEM
: arus neutrino interaksi elektromagnetik
Pµ
=fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
,
2me
: arus elektron interaksi elektromagnetik
= γµ ,
JµEM
CV
:
konstanta kopling vektor
= 2 sin2 θW + 12 ,
CA
:
konstanta kopling aksial
= 12 ,
θW
:
GF
:
α
:
sudut Weinberg
(sin2 θW ≡ 0.223),
konstanta kopling interaksi lemah = 1, 66 × 10−11 (MeV)−2 ,
konstanta struktur halus elektromagnetik
1
e2
≃
.
=
4π
137.036
Secara grafis pers (2.5) dapat disajikan dalam bentuk diagram Feynman
seperti tampak pada gambar 2.4 dan 2.5.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
16
Gambar 2.4: Diagram Feynman untuk interaksi neutrino dengan elektron
melalui (a) arus netral dan (b) arus bermuatan.
Interaksi Lemah
Pada gambar (2.4), arti dari simbol berikut adalah :
e&ν
: spinor elektron & neutrino,
pi & pf
ki & kf
Z0 & W ±
: momentum elektron awal & akhir,
: momentum neutrino awal & akhir,
: mediator arus netral & arus bermuatan,
t
: waktu.
Matrik transisi untuk interaksi lemah,
MW =
GF
√
ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k) ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p) .
{z
}|
{z
}
2 |
|{z}
vertex 1
vertex 2
(2.6)
propagator
Bentuk verteks γ µ (1 + γ 5 ) menunjukkan pelanggaran kekekalan paritas
( parity consevation violation )(Halzen & Martin 1984).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
17
Gambar 2.5: Diaram Feynman untuk interaksi neutrino dengan elektron
melalui interaksi elektromagnetik.
Interaksi Elektromagnetik
Pada gambar (2.5), arti dari simbol berikut adalah
e&ν
pi & pf
: spinor elektron & neutrino,
: momentum elektron awal & akhir,
ki & kf
γ
: momentum neutrino awal & akhir,
: photon,
t
: waktu.
Matrik transisi untuk interaksi elektromagnetik,
MEM =
4πα
ū(p′ )γµ u(p)
2
|
{z
}
q
|{z}
vertex 2
propagator
Pµ
ū(k ′ )[fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
]u(k) .
2me
|
{z
}
(2.7)
vertex 1
Penampang Lintang Diferensial
Untuk menurunkan persamaan penampang lintang harus dihitung terlebih
dahulu matrik transisi ( M ). Matrik transisi berisi informasi interaksi di
dalam proses hamburan.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
18
Kuadrat dari matrik transisi adalah probabilitas interaksi ( M2 ), merupakan probabilitas untuk mendapatkan suatu keadaan akhir setelah ber-
lalunya proses interaksi. Probabilitas interaksi berbanding lurus dengan
penampang lintang diferensial ( dσ ∝ M2 ).
Matrik transisi total interaksi neutrino dan elektron adalah,
Mtotal = MW + MEM .
Probabilitas interaksi ( M2total ) adalah,
M2total = (MW + MEM )2 ,
= (MW + MEM )(MW + MEM )∗ ,
= MW M∗W + MEM M∗EM + MW M∗EM + MEM M∗W ,
= M2W + M2EM + MW M∗EM + MEM M∗W ,
| {z } | {z } |
{z
}
a
c
b
dengan a adalah kontribusi interaksi lemah, b kontribusi interaksi elektromagnetik dan c adalah kontribusi interferensi interaksi lemah dan elektromagnetik. Masing-masing kontribusi dijabarkan pada lampiran A.
Dan hasilnya adalah:
Dari persamaan (A.1), (A.3) dan (A.7) didapatkan kontribusi interaksi lemah,
G 2
F
) µν(W )
M2W = √
Le(W
,
µν Lν
2
dengan,
)
Le(W
= CV2 T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
µν
+ 2CV CA T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν γ 5 ],
+ 2CA2 T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 (6 p + me )γν γ 5 ],
dan,
Lνµν(W ) = T r[(6 k ′ + mν )γ µ (1 + γ5)(6 k + mν )γ ν (1 + γ5)].
Dan dari persamaan (A.8), (A.9) dan (A.10) didapatkan kontribusi interaksi
elektromagnetik,
M2EM
=
4πα 2
q2
) µν(EM )
Lν
,
Le(EM
µν
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
19
dengan
)
Le(EM
= T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
µν
dan
n
h
µ i
)
′
µ
µ 5
5 P
Lµν(EM
=
T
r
(6
k
+
m
))
f
γ
+
g
γ
γ
−
(f
+
ig
γ
)
ν
mν
1ν
2ν
2ν
ν
2me
h
ν io
P
× (6 k + mν ) fmν γ ν + g1ν γ ν γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
.
2me
Serta dari persamaan (A.11), (A.13) dan (A.14) didapatkan kontribusi interferensi,
MEM M∗W + MW M∗EM =
8GF πα e(IN T ) µν(IN T )
√ Lµν
Lν
,
q2 2
dengan
T)
Le(IN
= CV T r[(6 p′ + me )γµ + (6 p + me )γν ]
µν
+ CA T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 + (6 p + me )γν ],
dan,
T)
Lµν(IN
= T r[(6 k ′ + mν )γ µ (1 + γ 5 )(6 k + mν )
ν
h
Pµ i
× fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
.
2me
Sehingga, penampang lintang diferensial dapat ditulis (Caroline 2004),
dσ ∝ M2
∝ M2W + M2EM + MW M∗EM + MEM M∗W
G 2
4πα 2
) µν(W )
) µν(EM )
√F Le(W
L
+
Le(EM
∝
Lν
µν
ν
µν
qµ2
2
8GF πα e(IN T ) µν(IN T )
√ Lµν
+
Lν
.
qµ2 2
(2.8)
2.4.2 Hamburan Neutrino dan Elektron di Medium
Tensor elektron Leµν pada sub-bab yang lalu adalah untuk satu elektron ( di
vakum ), untuk kasus elektron banyak/gas elektron ( di medium ) digunakan tensor polarisasi elektron Πeµν ( Leµν → Πeµν ) .
Hamburan yang terjadi antara neutrino dengan gas elektron harus mem-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
20
pertimbangkan gas elektron sebagai suatu sistem banyak benda. Tumbukan
neutrino dengan satu elektron target dari gas elektron, menimbulkan interaksi dengan elektron-elektron disekitar elektron target. Semua kemungkinan keadaan dari interaksi disebut polarisasi.
Dari persamaan (2.8) didapatkan persamaan penampang lintang diferensial
hamburan neutrino-elektron di medium mampat pada temperatur berhingga, dengan penambahan beberapa faktor koreksi dan korelasi,
2
GF
1 d3 σ
1 Ev′
(W ) Im R(W )
√
Lµν
Πµν
=−
ν
V d2 ΩdEv′
16π 2 Ev
2
2
4πα
8GF πα µν (IN T ) Im R(IN T )
µν (EM ) Im R(EM )
√ Lν
+
Lν
Πµν
Πµν
+
(qµ2 )′
(qµ2 )′ 2
h
q i−1 n
h
E + q + µ i−1 o
0
v
0
ν
× 1 − exp −
× 1 − 1 + exp
. (2.9)
T
T
Keterangan:
L&Π
:
W, EM & INT :
tensor neutrino & tensor polarisasi elektron,
interaksi lemah, elektromagnetik dan interferensi,
Ev &Ev′
:
µν
:
energi neutrino sebelum dan sesudah hamburan
dalam MeV,
potesial kimia neutrino dalam MeV,
T
q0 &qµ
:
:
temperatur satuan MeV,
transfer energi & momentum-empat dalam MeV,
Im(R)
Παβ
= tanh
q0
× ΠIm
αβ
2T
h
q i
0
1 − exp −
T
n
h
E + q + µ i−1 o
v
0
ν
1 − 1 + exp
T
: faktor retardasi,
: faktor detailed balans,
: faktor Pauli blocking.
Ketiga faktor diatas diperhitungkan karena penelitian ini memperhitungkan
temperatur yang berhingga. Sedangkan untuk perhitungan benda banyak
korelasi RPA dan massa foton efektif juga diperhitungkan.
Korelasi RPA ditunjukkan dengan penambahan tanda tilde pada notasi po-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
21
larisasi
Π → Π̃,
dimana Π̃ = Π + △Π, dimana △Π adalah koreksi korelasi RPA.
sedangkan koreksi massa foton efektif adalah,
(qµ2 )′ = qµ2 + m2t (T, ρe ),
(2.10)
dimana
lim m2t = 0,
T,ρ→0
( divakum )
dengan m2t adalah massa foton efektif yaitu yang terdapat pada persamaan
(2.21).
Selain yang tersebut diatas, faktor anti partikel pada persamaan polarisasi juga dipertimbangkan, terutama karena partikel target pada tulisan ini
adalah elektron. Munculnya anti partikel terlihat pada persamaan (2.20).
Penjabaran masing-masing faktor akan kami sajikan pada bagian berikutnya.
Perbedaan distribusi partikel untuk temperatur berhingga dengan tempe-
f( )
T>0
1
T=0
T
=
F
Gambar 2.6: Distribusi partikel fermion untuk temperatur nol dan berhingga, dengan f(ǫ) adalah fungsi distribusi Fermi-Dirac, ǫ energi partikel, µ
potensial kimia partikel dan T temperatur.
ratur nol bisa dilihat pada gambar (2.6). Ketika temperatur nol (T = 0),
partikel dalam keadaan dasar ( ground-state ). Partikel mengisi penuh setiap
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
22
keadaan, dan grafik berbentuk fungsi step, dimana harga potensial kimia
partikel sama dengan energi Fermi, karena
lim µ(T ) = ǫF .
T →0
Ketika temperatur naik (T > 0) maka partikel mulai tereksitasi. Dan ketika temperatur mendekati tidak terhingga (T → ∞), partikel bergerak dan
sebagian besar sudah lepas.
Retardasi
Ketika pada temperatur nol dan untuk energi transfer positip, maka polarisasi kausal ( causal polarization ) dan polarisasi retardasi adalah identik. Hal
ini tidak berlaku dalam temperatur berhingga, karena (Reddy, Prakash &
Lattimer 1998, Horowitz & Wehrberger 1991)
q + (µ − µ ) 0
2
4
Im ΠC ,
2T
= Re ΠC ,
Im ΠR = tanh
Re ΠR
R dan C adalah untuk retardasi dan kausal.
Label 2 dan 4 adalah keadaan awal dan akhir elektron, adalah keadaan kesetimbangan thermal pada temperatur T dan kesetimbangan kimia, dengan
potensial kimia µ2 dan µ4 .
Karena diasumsikan merupakan elektron bebas yang tidak berinteraksi satu
sama lain, sehingga potensial kimia awal dan akhir sama
µ2 = µ4 ,
(2.11)
maka tensor polarisasi elektron retardasi adalah (Horowitz & Wehrberger
1991),
Im ΠR = tanh
Re ΠR
q 0
2T
C
= Re Π .
Im ΠC ,
(2.12)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
23
Faktor Detailed Balance
Hamiltonian dari problem-problem pada teori hamburan adalah invarian
terhadap suatu perubahan tanda dari waktu, yaitu ketika waktu yang akan
datang dan waktu lampau bisa ditukar ( time reversal ).
Menggunakan sifat invarian dari Hamiltonian dengan suatu perubahan tanda dari waktu, didapatkan relasi umum yang berhubungan dengan probabilitas transisi dan penampang lintang untuk proses langsung ( direct )
maupun kebalikan ( inverse ). Detailed balance muncul pada sistem seperti
ini, dan menunjukkan kesamaan probabilitas transisi (Davidov 1976).
Faktor detailed balance adalah (Reddy, Prakash & Lattimer 1998)
n
h −q − (µ − µ ) io−1
0
2
4
fdb = 1 − exp
,
T
menurut persamaan (2.11), maka
h
q i−1
0
.
fdb = 1 − exp −
T
(2.13)
Faktor Pauli Blocking
Keadaan akhir dari partikel setelah proses hamburan ( out-going particle )
untuk fermion pada temperatur berhingga terbatasi oleh faktor degenerasi
target yang disebut Pauli blocking.
Faktor Pauli blocking didefinisikan (Reddy, Prakash & Lattimer 1998),
fP b = [1 − f3 (E3 )],
3 adalah indeks untuk neutrino datang.
Fungsi fi (Ei ) merupakan fungsi distribusi partikel pada kesetimbangan thermal diberikan oleh fungsi Fermi-Dirac
h
E − µ i−1
i
i
fi (Ei ) = 1 − exp
,
kT
maka
fP b
h
E − µ i−1
i
i
= 1 − 1 − exp
.
kT
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
24
Karena untuk density dan temperatur yang diteliti disini, adalah penting
untuk melibatkan faktor Pauli blocking dalam perhitungan, agar hasil yang
didapat mendekati kenyataan.
Polarisasi
Bentuk umum tensor polarisasi gas elektron ( Πeµν ) dari persamaan (2.9)
adalah,
ΠIm
µν
Z
d3 p
1
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν (p, p + q)
=−
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
(2.14)
Penurunannya terdapat pada lampiran (B).
Polarisasi dibagi menjadi 3 bagian yaitu, pertama bagian polarisasi vektor
V
VA
( ∼ Fµν
), yang kedua bagian polarisasi vektor-aksial ( ∼ Fµν
) dan yang
A
ketiga bagian polarisasi aksial( ∼ Fµν
).
Polarisasi vektor terdiri dari dua komponen yang tidak saling bergantungan, yaitu polarisasi longitudinal ( ΠL ) dan polarisasi transversal ( ΠT )
(Chin 1977). Sedangkan bagian vektor-aksial menghasilkan polarisasi vektoraksial ( ΠV A ) dan bagian aksial menghasilkan polarisasi aksial ( ΠA ).
Selanjutnya dihitung keempat tensor polarisasi gas elektron diatas yang diturunkan dari persamaan (2.14).
1. Polarisasi Longitudinal
ΠIm
L
Z ∞
qµ2
1
1
=
dEp [(Ep + q0 )2 − |~q|2 ]
3
2π|~q| e−
2
4
[F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )].
(2.15)
2. Polarisasi transversal
ΠIm
T
qµ2
=
4π|~q|3
Z
h
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
dEp (Ep + q0 ) + |~q| +
2
4
qµ2
e−
h
i
F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep ) .
(2.16)
∞
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
25
3. Polarisasi aksial
ΠIm
A
m2e
=
(2π)2
Z
∞
dE [F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )]. (2.17)
e−
4. Polarisasi vektor-aksial
ΠV A
Z ∞
qµ2
=
dEp (2Ep + q0 )
8π|~q|3 e−
×[F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )].
dengan
1
1
e− = − q0 + |~q|
2
2
s
1−
(2.18)
4m2e
,
qµ2
penurunan persamaan-persamaan diatas bisa dilihat pada lampiran (B), yaitu
persamaan (B.20), (B.25), (B.29) dan (B.35).
Batas bawah integrasi ( e− ) muncul karena keterbatasan-keterbatasan
kinematik ( kinematic restrictions ). Keterbatasan kinematik sistem elektron
muncul karena elektron tidak sendiri, dan ketika ada neutrino datang/lewat
maka elektron-elektron tersebut akan terpengaruh/bereaksi. Energi yang
terkandung didalamnya disebut energi minimum elektron ( Epmin = z = e− ).
Energi tersebut akan berharga nol untuk kasus satu elektron dan dengan
kerangka sendiri.
Karena neutrino dan elektron termasuk fermion, maka dipakai distribusi
partikel Fermi-Dirac, untuk memudahkan manipulasi lebih menyenangkan
jika kita definisikan F (E, E ∗ ) pada persamaan (2.15) - (2.18) (Saito, Maruyama & Soutome 1989,Reddy & Prakash 1996):
F (E, E ∗) ≡ f+ (E)(1 − f+ (E ∗ )) + sf− (E)(1 − f− (E ∗ )),
dengan
f± (E) =
1
1 + eEβ∓α
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
26
dan s bisa berharga 1 atau -1, tergantung jenis polarisasinya. Sehingga
F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E) =
= f+ (E, β)[1 − f+ (E + q0 , β)] + sf− (E, β)[1 − f− (E + q0 , β)] +
f+ (E + q0 , β)[1 − f+ (E, β)] + sf− (E + q0 , β)[1 − f− (E, β)
= f+ (E, β)[1 − f+ (E + q0 , β)] + f+ (E + q0 , β)[1 − f+ (E, β)] +
sf− (E, β)[1 − f− (E + q0 ), β] + sf− (E + q0 , β)[1 − f− (E, β)]
= F+ (E, q0 ) + sF− (E + q0 , q0 ),
maka, jika
eEβ−α (1 + eβq0 )
,
(1 + eEβ−α )(1 + e(E+q0 )β−α )
eEβ+α (1 + eβq0 )
F− (E + q0 , q0 ) =
,
(1 + eEβ+α )(1 + e(E+q0 )β+α )
F+ (E, q0 ) =
(2.19)
(2.20)
persamaan (2.19) adalah partikel dan persamaan (2.20) adalah anti partikel.
Untuk polarisasi longitudinal, transversal dan aksial s = 1
F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E) = F+ (E, q0 ) + F− (E, q0 ),
untuk polarisasi vektor aksial s = −1
F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E) = F+ (E, q0 ) − F− (E, q0 ).
Persamaan (2.15), (2.16), (2.17) dan (2.18) sesuai dengan hasil pada referensi
(Saito, Maruyama & Soutome 1989, Horowitz & Wehrberger 1991, Reddy,
Prakash & Lattimer 1998).
Tensor Neutrino Lµν
ν
Kemudian kita akan melihat bentuk dari persamaan tensor neutrino, karena neutrino tidak mengalami polarisasi maka perhitungan tensor neutrino
sama ketika berada di vakum dan di medium. Dan perhitungannya juga
analog seperti pada kasus T = 0 MeV.
Perhitungan tensor neutrino untuk interaksi lemah didapatkan dari per-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
27
samaan (A.7),
)
Lµν(W
= 8[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q) − i ǫαµβν kα kβ′ ].
ν
Penjabarannya bisa dilihat pada lampiran (D) dan persamaan (D.1).
Perhitungan tensor neutrino untuk interaksi elektromagnetik didapatkan
dari persamaan (A.10),
)
2
2
Lµν(EM
= 4(fmν
+ g1ν
)[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ )
ν
+ g µν (k.q)] − i 8fmν g1ν ǫαµβν kα kβ′
−
2
2
f2ν
+ g2ν
(k.q)[4k µ k ν − 2(k µ q ν + k ν q µ ) + q µ q ν ].
2
me
Penjabarannya bisa dilihat pada lampiran (D) dan persamaan (D.2).
Perhitungan tensor neutrino untuk interferensi antara interaksi lemah dan
elektromagnetik didapatkan dari persamaan (A.14),
T)
Lµν(IN
= 4(fmν + g1ν )[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q)
ν
− i ǫαµβν kα kβ′ .
Penjabarannya bisa dilihat pada lampiran (D) dan persamaan (D.3).
Sesudah menghitung tensor polarisasi elektron dan neutrino, kemudian dilanjutkan dengan perhitungan kontraksi keduanya.
µν
Kontraksi ΠIm
µν Lν
Total kontraksi untuk interaksi lemah, terdiri dari kontraksi bagian vektor,
vektor-aksial dan aksial.
Diketahui dari persamaan (A.3) dan (B.13),
Im(W )
Lµν
= −8 qµ2 (AW RW1 + RW2 + RW3 BW ),
ν Πµν
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
28
dengan
AW
BW
2E(E − q0 ) + 21 qµ2
=
,
|~q|2
= 2E − q0 ,
RW1 = (CV2 + CA2 )(ΠL + ΠT ),
RW2 = CV2 ΠT + CA2 (ΠT − ΠA ),
RW3 = 2CV CA ΠV A ,
perhitungan terdapat pada lampiran (F), dan persamaan (F.5).
Kontraksi interaksi elektromagnetik hanya terdiri dari bagian vektor saja.
Penurunan kontraksi bagian vektor dapat dilihat pada persamaan (E.3) dan
(E.4). Hasil jadi kontraksi interaksi elektromagnetik adalah,
Im(EM )
Lµν
= AEM REM1 − BEM REM2 ,
ν Πµν
dengan,
2
2
a = 4(fmν
+ g1ν
),
2
2
f +g
b = 2ν 2 2ν ,
me
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
AW =
,
|~q|2
h
1 i
AEM = (bqµ2 − a)AW + bqµ2 qµ2 ,
2
1
bq 2 + a qµ2 ,
BEM =
2 µ
REM1 = ΠL + ΠT ,
REM2 = ΠT ,
perhitungan terdapat pada lampiran (G), dan persamaan (G.1).
2
2
Perlu diketahui bahwa bentuk fmν
+ g1ν
adalah merupakan jari-jari muatan
2
2
neutrino kuadrat, dan f2ν
+ g2ν
adalah kuadrat dari momen dipol neutrino.
Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interferensi terdiri dari bagian
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
29
vektor dan bagian vektor-aksial, dapat dilihat pada persamaan (A.14) dan
(B.13),
Im(IN T )
Lµν
= −4ã qµ2 (AIN T RIN T1 + RIN T2 + BIN T RIN T3 ),
ν Πµν
dengan
ã = fmν + g1ν ,
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
AIN T = AW =
,
|~q|2
BIN T = BW = 2E − q0 ,
RIN T1 = CV (ΠL + ΠT ),
RIN T2 = CV ΠT ,
RIN T3 = CA ΠV A .
perhitungan terdapat pada lampiran (H), dan persamaan (H.4).
Seperti dijelaskan diatas bahwa efek banyak benda mengakibatkan ada
beberapa faktor harus dipertimbangkan, dalam tulisan ini faktor-faktor yang
dipertimbangkan adalah massa foton efektif dan RPA.
Massa Foton Efektif
Pada saat terjadinya interaksi elektromagnetik, foton bertindak sebagai pembawa interaksi. Dan menurut standart model foton adalah partikel yang
tidak bermassa. Tetapi karena pengaruh lingkungan gas elektron, ketika
proses interaksi terjadi ternyata foton mempunyai massa efektif.
Besar massa efektif foton tersebut adalah (Braaten & Segel 1993),
m2t
4α
=
π
Z
∞
0
p2
dp
[f+ (E) + f− (E)].
E
(2.21)
Random Phase Aproximation
Selanjutnya kita pertimbangkan efek dari korelasi RPA relativistik pada tempertur berhingga. Penelitian neutrino mengekstraksi particle-hole dan pasangan partikel dan anti partikel. Pada materi yang termampatkan ( dense
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
30
matter ), ekstraksi ini dapat merambat melalui interaksi dari unsur-unsurnya
(elektron-elektron) (Horowitz 1991a).
RPA mengekpresikan propagator polarisasi sebagai suatu jumlah dari beberapa diagram Feynman, diagram-diagram ini adalah suatu himpunan
bagian dari semua ring diagram, RPA mempertimbangkan beberapa particlehole yang disajikan secara bersama-sama ( simultan ) (Fetter & Walecka
1971).
e yang
RPA dihitung dengan menggantikan polarisasi Π dengan polarisasi Π
didapat dari solusi persamaan Dyson.
Pada tulisan ini, selain korelasi RPA pada temperatur berhingga dihitung
juga korelasi pada temperatur nol untuk perbandingan. Selain dari pada
itu, karena didalam penurunan RPA terdapat unsur propagator interaksi
elektromagnetik, maka koreksi massa foton efektif sudah dipertimbangkan
disini.
Bentuk ekplisit dari korelasi RPA pada polarisasi-polarisasi adalah:
Untuk polarisasi transversal didapatkan
e T = − 1 χγ ΠI [2ΠR + χγ (ΠR2 + ΠI 2 )],
Im δ Π
T
T
T
T
ǫT
Untuk polarisasi vektor-aksial didapatkan
R
I
I
R2
I2
e V A = 1 (−χγ )[(ΠIV A ΠR
Im δ Π
T + ΠV A ΠT ) + χγ ΠV A (ΠT + ΠT )],
ǫT
Untuk polarisasi aksial didapatkan
e A = − 2 (1 + χγ ΠR )χγ ΠR ΠI + 1 χ2 ΠI (ΠR2 − ΠI 2 ),
Im δ Π
T
VA VA
VA
ǫT
ǫT γ T V A
semuanya dengan,
2
2
2 I
ǫT = (1 + χγ ΠR
T ) + χγ ΠT .
Untuk polarisasi longitudinal didapatkan
dengan,
e L = 1 χ̄γ ΠI [2ΠR − χ̄γ (ΠR2 + ΠI 2 )],
Im δ Π
L
L
L
L
ǫL
2
2
2 I
ǫL = (1 − χ̄γ ΠR
L ) + χ̄γ ΠL .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
31
Penurunan persamaan-persamaan ini dapat dilihat pada lampiran I, yaitu
persamaan (I.2), (I.3), (I.4) dan (I.6).
2.4.3 Jalan Bebas Rata-rata
Jalan bebas rata-rata neutrino dalam tulisan ini adalah jarak terdekat dimana neutrino dapat berinteraksi dengan elektron, dan besarnya berban
1
ding terbalik dengan penampang lintang total
≡σ .
λ
Untuk perhitungan dipergunakan integral ganda dan sebagai variabel integrasi adalah momentum transfer ( |~q| ) dan energi transfer ( q0 ).
Jalan bebas rata-rata ( λ ) sebagai fungsi dari energi awal neutrino ( Ev ) pada
suatu kerapatan tertentu ditunjukkan dengan (Reddy, Prakash & Lattimer
1998, Niembro, R., et al. 2001, Sulaksono, Hutauruk & Mart 2005),
1
=
λ(Ev )
Z
2Ev −q0
|q0 |
d|~q|
Z
Ev
−∞
dq0
|~q|
d3 σ
.
2π
Ev′ Ev
V d2 Ω′ dEv′
(2.22)
Persamaan (2.22) identik dengan persamaan jalan bebas rata-rata ketika T =
0 MeV, tetapi dengan koreksi pada batas-batas integrasinya.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Bab 3
Hasil dan Pembahasan
Dalam bab ini akan ditampilkan hasil perhitungan dan pembahasan dari
penampang lintang diferensial dan jalan bebas rata-rata interaksi neutrino
dengan materi yang tersusun dari elektron-elektron, untuk T 6= 0 MeV.
Hasil perhitungan numerik akan disajikan dalam bentuk grafis kemudian
hasilnya dianalisa. Secara garis besar analisa yang dilakukan meliputi : polarisasi longitudinal, transversal, aksial dan vektor aksial, tampang lintang
diferensial dan jalan bebas rata-rata.
Bab ini akan dibagi menjadi 3 sub bab, yaitu yang pertama hasil-hasil
berdasarkan pendekatan respon linier ( LR ), kedua efek random phase approximation ( RPA ) dan massa foton efektif ( MPE ) pada penampang lintang
diferensial dan jalan bebas rata-rata neutrino dimateri. Sedangkan yang terakhir, aplikasi perhitungan interaksi neutrino dengan materi elektron di
atmosfir supernova juga akan dibahas.
3.1 Pendekatan Respon Linier ( linear response )
Yang dimaksud dengan pendekatan respon linier pada interaksi neutrino
dengan materi elektron adalah elektron-elektron dimateri diasumsikan bebas atau tidak berkorelasi satu sama lain atau dengan kata lain korelasi RPA
dan MPE karena medium diabaikan.
Pertama akan dibahas pengaruh variasi energi transfer ( q0 ) terhadap
keempat polarisasi ( ΠL , ΠT , ΠA dan ΠV A ), gambar 3.1 adalah bagian imaginer dari polarisasi gas elektron pada kerapatan yang tetap untuk tempe-
32
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
2.0
VA
(MeV)
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
- Im
- Im
2
T(MeV )
33
1.5
1.0
0.5
0.0
-1 0 1 2 3 4 5 6
q0 (MeV)
0.02
0.01
1000
- Im
A
Im
0.03
T1
T2
T3
T4
2
L(MeV )
0.04
2
(MeV )
0.05
-1 0 1 2 3 4 5 6
q0 (MeV)
0.0
800
600
400
200
0
-0.01
-1 0 1 2 3 4 5 6
q0 (MeV)
-1 0 1 2 3 4 5 6
q0 (MeV)
Gambar 3.1: Perbandingan polarisasi longitudinal ( ΠL ), transversal ( ΠT ),
aksial ( ΠA ), dan vektor-aksial ( ΠV A ) untuk kerapatan elektron tetap tetapi
dengan temperatur bervariasi. ( T1 = 0 MeV, µ1 = 50 MeV, T2 = 20 MeV,
µ2 = 26.79 MeV, T3 = 40 MeV, µ3 = 7, 88 MeV, T4 = 60 MeV, µ4 = 3.52 MeV,
Ev = 10 MeV, |~q| = 5 MeV ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
34
lemah
elektromagnetik
interferensi
total
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
3
d /(Vd
2
’
-9
dEv ) ( 10 /MeVcm)
0.35
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
q0 (MeV)
Gambar 3.2: Perbandingan penampang lintang diferensial interaksi lemah,
elektromagnetik, interferensi dan total untuk T = 0 MeV. ( µ = 50MeV, |~q|
= 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν = 10−10 µB ).
ratur yang berbeda.
Pada polarisasi longitudinal ( ΠL ) dan transversal ( ΠT ), untuk temperatur rendah responnya turun tetapi pada temperatur tinggi responnya
naik. Tetapi pada polarisasi vektor-aksial ( ΠV A ) responnya terus menurun dengan naiknya temperatur. Pada polarisasi aksial ( ΠA ) didapat tidak
adanya perubahan yang signifikan terhadap kenaikan temperatur. Sehingga dapat disimpulkan bahwa variasi temperatur hanya mempengaruhi polarisasi longitudinal, transversal dan vektor-aksial terhadap variasi energi
transfer.
Untuk perbandingan, pada gambar 3.2 disajikan penampang lintang diferensial untuk T = 0 MeV (Caroline 2004), tampak untuk Rν = 5.10−6
MeV−1 dan µν = 10−10 µB efek faktor bentuk elektromagnetik dari neutrino
pada penampang lintang diferensial hamburan neutrino terhadap materi
elektron tidak signifikan.
Gambar 3.3 adalah penampang lintang diferensial neutrino ketika berinteraksi dengan gas elektron untuk temperatur T = 40 MeV, dibedakan
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
35
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
150
100
-9
100
’
’
-9
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
150
50
3
3
2
2
50
0
0
lemah dgn FDB & FPB
EM dgn FDB & FPB
INT dgn FDB & FPB
total dgn FDB & FPB
total tanpa FDB & FPB
total dgn FDB tanpa FPB
total dgn FDB & FPB
-6
-4
-2
0
2
q0 (MeV)
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
q0 (MeV)
Gambar 3.3: Perbandingan penampang lintang diferensial interaksi lemah,
elektromagnetik, interferensi dan total untuk T = 40 MeV. ( µ = 7, 88 MeV,
|~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν = 10−10 µB ). FDB : Faktor
detailed balance, FPB : Faktor Pauli blocking.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
36
untuk interaksi lemah , elektromagnetik dan interferensi . Untuk temperatur berhingga ( T > 0 MeV ), ada beberapa faktor harus dipertimbangkan
yaitu faktor retardasi, Pauli blocking dan detail balans.
Untuk bagian sebelah kiri gambar 3.3, garis ( hitam ) menunjukkan pengaruh faktor retardasi, garis titik-titik ( hijau ) menunjukkan pengaruh
faktor detail balans dan garis putus-putus ( merah ) menunjukkan pengaruh faktor Pauli blocking. Tampak jelas faktor detail balans menaikkan
besarnya penampang lintang diferensial, sedangkan faktor Pauli blocking
menurunkan besarnya penampang lintang diferensial. Secara umum kedua faktor ini menaikkan besarnya harga penampang lintang diferensial.
Sehingga jika temperatur naik maka penampang lintang diferensial hamburan neutrino elektron dimedium juga naik.
Sedangkan bagian sebelah kanan gambar 3.3, diperlihatkan kontribusi dari
masing-masing interaksi ( lemah, elektromagnetik dan interferensi ). Dapat dilihat bahwa interaksi lemah mempunyai kontribusi paling besar, ini
sesuai dengan Standard Model bahwa interaksi neutrino didominasi interaksi lemah. Tetapi ternyata ada kontribusi lain yaitu interaksi elektromagnetik dan interferensi yang diakibatkan faktor bentuk elektromagnetik neutrino, meskipunpun pengaruhnya tidak sesignifikan interaksi lemah. Hal
ini sesuai dengan apa yang diperoleh pada T = 0 MeV.
Untuk gambar-gambar selanjutnya disajikan penampang lintang diferensial total saja, dimana faktor-faktor retardasi, Pauli blocking dan detailed
balance sudah diperhitungkan.
Gambar 3.4 menunjukkan penampang lintang diferensial neutrino dengan menvariasikan temperatur. Jelas terlihat penampang lintang diferensial hamburan neutrino elektron dimateri sangat sensitif terhadap kenaikan
temperatur. Hal ini dikarenakan polarisasi longitudinal dan transversal
yang memberikan kontribusi pada penampang lintang hamburan neutrino
dengan materi elektron sangat sensitif terhadap kenaikan temperatur (gambar 3.1). Untuk aplikasi pada atmosfir supernova nanti akan dipakai temperatur maksimum 20 MeV atau sekitar 3.1011 K.
Gambar 3.5 menunjukkan pengaruh variasi momen dipol neutrino ( µν )
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
T0
T1
T2
T3
250
200
-9
dEv ) ( 10 /MeVcm)
37
’
150
50
3
d /(Vd
2
100
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
q0 (MeV)
Gambar 3.4: Perbandingan penampang lintang diferensial ( T0 = 0 MeV,
µ0 = 50 MeV, T1 = 20 MeV, µ1 = 26, 79 MeV, T2 = 40 MeV, µ2 = 7, 88 MeV,
T3 = 60 MeV, µ3 = 3, 52 MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 ,
µν = 10−10 µB ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
38
T1,
T1,
T1,
250
2
3
1
2
3
200
-9
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
200
150
’
2
’
150
100
3
100
3
2
T2,
T2,
T2,
1
-9
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
250
50
50
0
0
-6
-4
-2
0
2
q0 (MeV)
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
q0 (MeV)
Gambar 3.5: Perbandingan penampang lintang diferensial ( T1 = 20 MeV,
µ1 = 26, 79 MeV, T2 = 40 MeV, µ2 = 7.88 MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV,
Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν1 = 10−10 µB , µν2 = 5.10−10 µB , µν3 = 10−9 µB ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
39
dengan satuan magneton Bohr ( µB ), untuk temperatur yang berbeda. Disini terlihat pengaruh momen dipol neutrino sangat signifikan baik untuk
temperatur rendah maupun temperatur tinggi. Efek ini menjadi semakin
besar jika temperatur materi naik.
R
R
R
15
1
2
3
-9
dEv ) ( 10 /MeVcm)
20
5
3
d /(Vd
2
’
10
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
q0 (MeV)
Gambar 3.6: Perbandingan penampang lintang diferensial ( T = 20 MeV,
µ = 26, 79 MeV, |~q| = 5 MeV, Ev = 10 MeV, µν = 10−10 µB , Rν1 = 10−9
MeV−1 , Rν2 = 10−11 MeV−1 , Rν3 = 10−12 MeV−1 ).
Gambar 3.6 menunjukkan pengaruh variasi jari-jari muatan neutrino ( Rν ).
Dari grafik terlihat penampang lintang diferensial neutrino tidak sensitif
terhadap perubahan jari-jari muatan neutrino Rν . Sehingga dapat disimpulkan, pengaruh jari-jari muatan neutrino tidak memberikan efek yang
signifikan terhadap penampang lintang, hal ini konsisten dengan apa yang
didapat pada kasus T = 0 MeV (Caroline 2004).
Gambar 3.7 membahas pengaruh kerapatan jumlah elektron (ρ) untuk
temperatur berbeda lihat tabel 3.1 (keterangan : µ adalah potensial kimia
elektron).
Disini terlihat dengan jelas pengaruh kerapatan elektron sangat signifikan
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
40
300
300
1
1
2
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
3
250
T = 20 MeV
T = 60 MeV
200
150
’
150
’
2
100
3
2
3
3
250
-9
200
-9
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
2
50
0
100
50
0
-6
-4
-2
0
2
4
q0 (MeV)
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
q0 (MeV)
Gambar 3.7: Perbandingan tampang lintang dengan variasi kerapatan elektron ( ρ1 = 2112, 713 MeV3 , ρ2 = 8450, 852 MeV3 , ρ3 = 42254, 26 MeV3 , |~q| = 5
MeV, Ev = 10 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 , µν = 10−10 µB ).
T (MeV)
20
20
20
60
60
60
ρ (MeV3 ) µ (MeV)
2112.713 15.6585
8450.852 42.1981
42254.260 91.6130
2112.713
1.7626
8450.852
7.0414
42254.260 34.1384
Tabel 3.1: Tabel variasi kerapatan dan potensial kimia elektron.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
41
terutama justru untuk temperatur rendah pada penampang lintang diferensial hamburan neutrino terhadap materi elektron.
0.25
Ev1
Ev2
Ev3
0.1
0.15
6
T= 10 MeV
(10 m)
0.15
6
(10 m)
0.2
T1
T2
T3
0.2
Ev= 5 MeV
0.1
0.05
0.05
0.0
0.0
0
1000 2000 3000 4000 5000
3
(MeV )
0
2000 4000 6000 8000 10000
3
(MeV )
Gambar 3.8: Jalan bebas rata-rata neutrino interaksi total terhadap kerapatan elektron dengan variasi temperatur dan energi neutrino datang
( T1 = 10 MeV, T2 = 15 MeV, T3 = 20 MeV, Ev1 = 5 MeV, Ev2 = 7, 5 MeV,
Ev3 = 10 MeV, µν = 10−10 µB , Rν = 5.10−6 MeV−1 ).
Pada gambar 3.8 dan 3.9, jalan bebas rata-rata neutrino ketika berinteraksi dengan gas elektron sebagai fungsi kerapatan elektron diberikan.
Sebelah kiri gambar 3.8 ditunjukan variasi energi neutrino datang sedangkan sebelah kanan sebagai variasi temperatur. Dari gambar-gambar
tersebut dapat disimpulkan bahwa semakin besar energi neutrino datang
dan temperatur, semakin kecil jalan bebas rata-ratanya. Hal ini dapat dimengerti, karena semakin besar energinya atau temperaturnya maka semakin sering neutrino berinteraksi dengan elektron sehingga penampang
lintang total hamburannya naik. Padahal kita tahu jalan bebas rata-rata neutrino di materi berbanding terbalik dengan penampang lintang total. Kenyataan semakin besar temperaturnya semakin besar penampang lintang
diferensial dapat dilihat pada gambar 3.4.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
42
0.25
Weak
Weak+EM
Weak+EM+INT=Total
0.15
6
(10 m)
0.2
0.1
0.05
0.0
0
1000 2000 3000 4000 5000
3
(MeV )
Gambar 3.9: Jalan bebas rata-rata neutrino interaksi total, lemah ( Weak ),
lemah + elektromagnetik ( Weak + EM ), terhadap kerapatan elektron ( T =
10 MeV, Ev = 5 MeV, µν = 10−10 µB , Rν = 5.10−6 MeV−1 ).
Gambar 3.9 ditunjukkan pengaruh interaksi-interaksi lemah, elektromagnetik dan total Seperti yang kita harapkan tampak interaksi elektromagnetik dan interferensi tidak memberikan kontribusi yang signifikan terhdap
jalan bebas rata-rata neutrino di materi elektron, meski temperaturnya tidak
nol.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
43
3.2 Random Phase Approximation ( RPA ) dan Massa
Foton Efektif ( MPE )
Pada bagian ini akan dipelajari efek-efek dari korelasi RPA yang merupakan harga pendekatan pada polarisasi elektron ketika semua ring diagram, dalam diagram Feynman dipertimbangkan, dan faktor MPE karena
efek medium, yang menyatakan bahwa ketika foton ( sebagai pembawa interaksi elektromagnetik ) berada dalam lingkungan gas elektron, maka foton tidak lagi bermasa nol. Hasilnya dibandingkan dengan perhitungannya
yang hanya menggunakan pendekatan respon linier.
MPE mempengaruhi besar propagator interaksi elektromagnetik, jadi selain
mempengaruhi penampang lintang, lihat persamaan 2.10, MPE juga mempengaruhi RPA, karena didalam persamaan RPA terdapat juga propagator
interaksi elektromagnetik, lihat persamaan I.1.
10
T= 0 MeV
-9
0.25
-9
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
0.3
LR
LR+RPA
LR+MPE
LR+RPA+MPE
d /(Vd dEv ) ( 10 /MeVcm)
LR
LR+RPA
LR+MPE
LR+RPA+MPE
0.35
T= 10 MeV
6
’
’
0.2
8
4
2
2
0.15
3
3
0.1
2
0.05
0.0
0
0
1
2
3
q0 (MeV)
4
5
-4
-2
0
2
4
q0 (MeV)
Gambar 3.10: Perbandingan penampang lintang diferensial untuk respon
linier, random phase approximation dan massa foton efektif pada Ev = 10
MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
44
Gambar 3.10 sebelah kiri ( T = 0 MeV ) memperlihatkan korelasi RPA
menurunkan penampang lintang diferensial sampai sekitar 20 %, sedangkan gambar sebelah kanan ( T = 10 MeV ) korelasi RPA menurunkan penampang lintang hampir mencapai 80 % dari penampang lintang dihitung
dengan pendekatan linier respon. Ini artinya korelasi RPA terhadap penampang lintang diferensial sangat signifikan untuk temperatur berhingga.
Sedangkan pengaruh MPE tidak terlalu signifikan baik untuk T = 0 MeV
maupun untuk T = 10 MeV dibandingkan efek RPA. Tetapi dengan naiknya
temperatur efek MPE sedikit demi sedikit muncul.
9
0.25
LR
LR+RPA
LR+MPE
LR+RPA+MPE
8
LR
LR+RPA
LR+MPE
LR+RPA+MPE
0.2
T= 0 MeV
T= 10 MeV
0.15
6
(10 m)
6
6
(10 m)
7
5
0.1
4
3
0.05
2
0
5000
10000 15000 20000 25000 30000 35000
3
(MeV )
0
1000
2000
3000
4000
5000
3
(MeV )
Gambar 3.11: Perbandingan jalan bebas rata-rata untuk respon linier, random phase approximation dan massa foton efektif pada Ev = 10 MeV,
Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB .
Gambar 3.11 memperlihatkan efek korelasi RPA dan MPE dalam menaikkan jalan bebas rata-rata. Pengaruh MPE pada jalan bebas rata-rata neutrino tampak lebih nyata untuk T = 0 MeV dibandingkan T = 10 MeV,
karena pada T lebih besar jalan bebas rata-rata neutrino menjadi lebih kecil.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
45
3.3 Aplikasi pada Atmosfir Supernova
Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa simulasi dari dinamika supernova yang ada saat ini cocok dengan tahapan-tahapan awal dari mekanisme supernova, tetapi tidak mampu menjelaskan ledakan supernova
sehingga tampaknya masih ada beberapa fisika yang hilang yang perlu diselidiki (Keil 2003). Transport neutrino merupakan input yang sangat krusial dari simulasi dinamika supernova. Semua jenis neutrino dari berbagai
flavour dipancarkan oleh bintang neutron yang terbentuk melalui ledakan
supernova. Bahkan jika pada proses masih ada cukup kelimpahan proton,
maka sebagian neutrino akan terperangkap dalam inti bintang. Hal ini terjadi jika jalan bebas rata-rata neutrino di bintang lebih pendek dibanding
jari-jari bintang. Disisi lain efek dari propagasi neutrino melalui atmosfir
supernova juga tidak dapat diabaikan pada simulasi mekanisme supernova yang realistik. Sehingga pada sub bab ini akan dipelajari dan dihitung
jalan bebas rata-rata neutrino pada atmosfir supernova.
Karena temperatur di atmosfir supernova tidak dapat dikatakan nol dan
karena massa elektron cukup kecil dibandingkan massa proton dan neutron, maka efek RPA dan MPE mungkin tidak dapat diabaikan. Hal ini akan
menjadi fokus pada sub bab ini. Harga temperatur dan kerapatan elektron
sebagai fungsi jarak relatif terhadap permukaan inti supernova, diambil
dari hasil simulasi Monte Carlo dari referensi (Keil 2003) baik berdasarkan
pendekatan Newton maupun relativitas umum untuk perhitungan gravitasi pada supernova.
Data dari referensi (Keil 2003) dapat dilihat pada tabel 3.2 untuk hasil yang
berdasarkan relativitas umum dan tabel 3.3 untuk hasil yang berdasarkan
pendekatan Newton, dimana r & T adalah radius dan temperatur atmosfir
supernova dan µe & µν adalah potensial kimia elektron dan neutrino.
Pada gambar 3.12 diberikan perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap
jari-jari atmosfir supernova, baik untuk pendekatan respon linier maupun
memperhitungkan koreksi RPA dan MPE, baik untuk kasus Newton maupun
relativitas umum. Jelas tampak korelasi RPA dan MPE tidak signifikan
untuk kasus ini. Hal ini tampaknya dikarenakan terutama karena renggangnya kerapatan elektron pada atmosfir supernova selain tidak konstanUniversitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
46
r (Km)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
T (MeV) µe (MeV) µν (MeV)
18.51
47.110
10.846
9.23
22.438
3.834
5.96
13.251
2.874
4.69
8.933
2.990
4.34
4.793
1.319
3.93
2.978
0.886
3.53
2.171
0.591
3.17
1.915
0.629
2.96
1.540
0.461
Tabel 3.2: Data : RadiiGR (Keil 2003).
r (Km)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
T (MeV) µe (MeV) µν (MeV)
15.99
52.231
15.393
7.10
20.493
2.891
4.24
12.077
3.185
3.79
5.052
0.886
3.50
2.477
0.614
3.03
1.606
0.628
2.64
1.278
0.748
2.29
1.085
0.810
2.06
0.947
0.865
Tabel 3.3: Data : RadiiNW (Keil 2003).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
47
50
NW:LR
NW:LR+RPA
NW:LR+MPE
NW:LR+RPA+MPE
GR:LR
GR:LR+RPA
GR:LR+MPE
GR:LR+RPA+MPE
30
6
(10 m)
40
NW
20
10
GR
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Radii (km)
Gambar 3.12: Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir
supernova untuk respon linier, random phase approximation dan massa
foton efektif pada Ev = 5 MeV, Rν = 5.10−6 MeV−1 dan µν = 10−10 µB .
Dengan data : RadiiNW dan RadiiGR.
nya temperatur dan kerapatan elektron terhadap perubahan jari-jari atmosfir supernova. Dilain pihak tampak jelas bahwa koreksi relativitas umum
sangat signifikan.
Pada panel sebelah kanan gambar 3.13 diberikan jalan bebas rata-rata sebagai fungsi temperatur pada atmosfir supernova, sedangkan pada panel sebelah kiri diberikan jalan bebas rata-rata sebagai fungsi kerapatan elektron
pada atmosfir supernova. Tampak efek korelasi RPA, MPE dan relativitas
umum tidak memberikan efek yang nyata pada kasus-kasus ini.
Pada gambar 3.14 diberikan efek momen dipol neutrino terhadap jalan
bebas rata-rata neutrino pada atmosfir supernova. Jelas tampak bahwa
jalan bebas rata-rata neutrino diatmosfir supernova cukup sensitif terhadap
harga momen dipol neutrino.
Sedangkan harga jari-jari muatan neutrino tidak memberikan pengaruh yang
signifikan pada jalan bebas rata-rata neutrino pada atmosfir supernova. Hal
ini dapat dilihat pada gambar 3.15.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
48
50
50
NW:LR
NW:LR+RPA
NW:LR+MPE
NW:LR+RPA+MPE
GR:LR
GR:LR+RPA
GR:LR+MPE
GR:LR+RPA+MPE
40
NW:LR
NW:LR+RPA
NW:LR+MPE
NW:LR+RPA+MPE
GR:LR
GR:LR+RPA
GR:LR+MPE
GR:LR+RPA+MPE
40
30
6
6
(10 m)
(10 m)
30
20
20
10
10
0
0
1
2
10
5
2
1
2
10
Log temperatur (MeV)
3
10
10
4
10
3
Log (MeV )
Gambar 3.13: Perbandingan jalan bebas rata-rata pada atmosfir supernova
terhadap temperatur dan kerapatan elektron pada Ev = 5 MeV, Rν = 5.10−6
MeV−1 dan µν = 10−10 µB .
-10
14
=10
B
-10
=2.10
B
-10
=4.10
B
12
6
(10 m)
10
Data: RadiiGR
8
6
4
2
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Radii (km)
Gambar 3.14: Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir
supernova dengan variasi momen dipol neutrino pada Ev = 5 MeV dan
Rν = 0 MeV−1 .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
49
-9
-1
R =1.10 MeV
-11
-1
R =1.10 MeV
-12
-1
R =1.10 MeV
14
12
6
(10 m)
10
Data: RadiiGR
8
6
4
2
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Radii (km)
Gambar 3.15: Perbandingan jalan bebas rata-rata terhadap jari-jari atmosfir
supernova dengan variasi jari-jari muatan neutrino pada Ev = 5 MeV dan
µν = 10−10 µB .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Bab 4
Kesimpulan
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan pada tesis ini.
Pada pendekatan respon linier dapat kami simpulkan, pertama pada polarisasi, bahwa variasi temperatur terhadap energi transfer hanya mempengaruhi polarisasi longitudinal, transversal dan vektor-aksial. Untuk polarisasi
aksial tidak ada perubahan signifikan terhadap perubahan temperatur.
Kemudian untuk penampang lintang diferensial, faktor detail balance dan
Pauli blocking menaikkan besarnya harga penampang lintang diferensial. Ditinjau dari segi interaksi, dapat disimpulkan bahwa interaksi lemah
yang mempunyai kontribusi paling besar, ini sesuai dengan standar model,
tetapi kontribusi elektromagnetik dan interfererensi tidak bisa diabaikan,
walaupun pengaruhnya tidak sesignifikan interaksi lemah. Kemungkinan
untuk pengembangan penelitian selanjutnya pengaruh interaksi akibat faktor bentuk ini bisa lebih diteliti dengan penambahan partikel, misal neutron
dan proton ataupun partikel yang lain. Hal ini berguna untuk mempelajari
interaksi neutrino dengan “core” dari supernova.
Penampang lintang diferensial sangat sensitif terhadap kenaikan temperatur, hal ini sesuai dengan kesimpulan tentang polarisasi, kenaikan temperatur mempengaruhi ketiga polarisasi dari empat polarisasi yang ada.
Pengaruh momen dipol sangat sensitif terhadap penampang lintang diferensial, efek ini menjadi semakin besar jika temperatur materi naik. Sebaliknya penampang lintang diferensial tidak sensitif terhadap perubahan
jari-jari muatan, hal ini juga sama dengan yang diperoleh pada penelitian
temperatur nol sebelumnya (Caroline 2004).
50
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
51
Sedangkan untuk variasi kerapatan elektron, penampang lintang diferensial sangat sensitif terutama justru untuk temperatur yang rendah.
Kemudian untuk jalan bebas rata-rata, seperti kita ketahui besaran ini berbanding terbalik dengan penampang lintang diferensial, maka dari hasil
penelitian disimpulkan bahwa semakin besar temperatur dan energi neutrino datang semakin kecil jalan bebas rata-rata nutrino. Dan sama seperti
penampang lintang diferensial, pengaruh interaksi lemah yang paling dominan dan interaksi yang lain yaitu elektromagntik dan interferensi tidak
memberikan kontribusi yang cukup signifikan meski T 6= 0.
Selanjutnya pengaruh korelasi RPA menurunkan penampang lintang diferensial untuk temperatur nol maupun berhingga. Penurunan ini sangat
signifikan untuk temperatur berhingga. Sedangkan pengaruh MPE tidak
terlalu signifikan baik untuk temperatur nol maupun berhingga bila dibandingkan dengan efek RPA. Tetapi dengan naiknya temperatur efek MPE
sedikit demi sedikit mulai muncul.
Efek korelasi RPA dan MPE menaikkan jalan bebas rata-rata. Pengaruh
MPE pada jalan bebas rata-rata tampak lebih nyata untuk temperatur nol
dibandingkan temperatur berhingga, karena pada temperatur lebih besar
jalan bebas rata-rata menjadi lebih kecil.
Untuk aplikasi pada atmosfir supernova, jalan bebas rata-rata neutrino dengan variasi jari-jari atmosfir supernova, tidak sensitif terhadap pengaruh korelasi RPA dan MPE, baik untuk perhitungan Newton maupun
relativitas umum untuk melukiskan gravitasi pada supernova. Hal ini tampaknya dikarenakan terutama karena renggangnya kerapatan elektron pada atmosfir supernova. Selain itu disebabkan juga karena tidak konstannya temperatur dan kerapatan elektron terhadap perubahan jari-jari atmosfir supernova.
Tetapi dilain pihak tampak jelas bahwa korelasi relativitas umum sangat
signifikan efeknya.
Untuk variasi temperatur dan kerapatan elektron terhadap jalan bebas ratarata neutrino, efek korelasi RPA, MPE dan relativitas umum tidak memberikan pengaruh yang nyata.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
52
Akan tetapi jalan bebas rata-rata neutrino di atmosfir supernova cukup sensitif terhadap harga momen dipol neutrino. Dan sama dengan kesimpulan
yang sebelumnya untuk kasus T konstan/µe konstan, harga jari-jari muatan
neutrino tidak tidak memberikan pengaruh yang signifikan pada jalan bebas rata-rata neutrino pada atmosfir supernova.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran A
Hamburan Neutrino dengan
Elektron di Vakum
A.1 Kontribusi Interaksi Lemah
Matrik transisi interaksi lemah dari gambar 2.4 adalah,
GF
MW = √ ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p) ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k),
2
G 2
F
√
M2W =
[ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p)]2 [ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k)]2,
{z
}
{z
}|
2 |
e(W )
Lµν
=
G 2
F
) µν(W )
√
Le(W
,
µν Lν
2
µν(W )
Lν
dengan e dan ν adalah elektron dan neutrino.
A.1.1 Tensor Elektron Interaksi Lemah
)
Le(W
= [ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p)]2 ,
µν
= [ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p)][ū(p′ )γν (CV + CA γ 5 )u(p)]∗,
53
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
(A.1)
54
dengan ketentuan,
ū = u† γ 0 ,
γ 0† = γ 0 ,
(γ 0 γµ )† = 㵆 γ 0† = 㵆 γ 0 = γ 0 㵆 ,
γ 5† = γ 5 .
)
Le(W
= [ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p)][u†(p′ )γ0 γν (CV + CA γ 5 )u(p)]† ,
µν
= [u(p′)γµ (CV + CA γ 5 )u(p)][ū(p′ )γν† γ0† (CV + CA γ 5 )u† (p)],
= [ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p)][u†(p)γ0 γν (CV + CA γ 5 )ū(p′ )],
= [u(p′)γµ (CV + CA γ 5 )u(p)][ū(p)γν (CV + CA γ 5 )u(p′ )],
kemudian dengan menggunakan Casimir trick (Halzen & Martin 1984, Kumerički 2001),
unsur-unsurnya dijadikan komponen matrik,
)
Le(W
=
µν
X
ūα (p′ )γµαβ (CV + CA γ 5 )uβ (p)ūγ (p)γνγδ (CV + CA γ 5 )uδ (p′ ),
dan karena merupakan komponen matrik bukan komponen vektor, maka
unsur-unsurnya bisa ditukar,
)
Le(W
=
µν
X
uδ (p′ )ūα (p′ )γµαβ (CV + CA γ 5 )uβ (p)ūγ (p)γνγδ (CV + CA γ 5 ),
dengan menggunakan completeness relations didapatkan,
)
Le(W
=
µν
)
Le(W
µν
=
X
X
uδ (p′ )ūα (p′ ) γµαβ (CV + CA γ 5 ) uβ (p)ūγ (p) γνγδ (CV + CA γ 5 ),
{z
}
|
| {z }
(6 p′ + me )δα
′
(6 p +
me )βγ γµαβ (CV
(6 p + me )βγ
5
+ CA γ )(6 p + me )βγ γνγδ (CV + CA γ 5 ),
dijadikan bentuk Trace,
)
Le(W
= T r(6 p′ + me )γµ (CV + CA γ 5 )(6 p + me )γν (CV + CA γ 5 ), (A.2)
µν
= T r(6 p′ + me )Jµe(W ) (CV + CA γ 5 )(6 p + me )Jνe(W ) ,
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
55
dimana J e adalah vertex elektron interaksi lemah,
Jµe(W ) = γµ (CV + CA γ 5 ),
Jνe(W ) = γν (CV + CA γ 5 ).
Kemudian persamaan (A.2) dapat ditulis,
)
Le(W
= CV2 T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
µν
+ 2CV CA T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν γ 5 ],
+ 2CA2 T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 (6 p + me )γν γ 5 ],
(A.3)
dan,
e(W )
Lµν
= CV2 T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
{z
}
|
V (p′ , p)
Fµν
+ 2CV CA T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν γ 5 ],
|
{z
}
V A (p′ , p)
Fµν
+ 2CA2 T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 (6 p + me )γν γ 5 ] .
|
{z
}
A (p′ , p)
Fµν
dengan, bagian vektor:
V
Fµν
(p′ , p) = T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
(A.4)
bagian vektor-aksial:
VA ′
Fµν
(p , p) = T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν γ 5 ],
(A.5)
A
Fµν
(p′ , p) = T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 (6 p + me )γν γ 5 ],
(A.6)
bagian aksial:
dan p′ =p + q.
Jadi bisa disimpulkan tensor elektron interaksi lemah terdiri dari bagian
vektor, vektor-aksial dan aksial.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
56
A.1.2 Tensor Neutrino Interaksi Lemah
)
Lµν(W
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)]2,
ν
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][ū(k ′ )γ ν (1 + γ5)u(k)]∗ ,
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][u†(k ′ )γ 0 γ ν (1 + γ5)u(k)]† .
Dengan ketentuan yang sama seperti yang dipakai dibagian elektron maka
didapatkan:
)
Lµν(W
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][u(k ′)γ ν† γ 0 (1 + γ5)u† (k)],
ν
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][u(k ′)γ 0 γ ν (1 + γ5)u† (k)],
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][u†(k)γ 0 γ ν (1 + γ5)u(k ′ )],
= [ū(k ′ )γ µ (1 + γ5)u(k)][ū(k)γ ν (1 + γ5)u(k ′ )],
X
µ
ν
=
ūα (k ′ )γαβ
(1 + γ5)uβ (k)ūγ (k)γγδ
(1 + γ5)uδ (k ′ ),
X
µ
ν
=
uδ (k ′ )ūα (k ′ )γαβ
(1 + γ5)uβ (k)ūγ (k)γγδ
(1 + γ5),
maka,
)
Lµν(W
= T r[(6 k ′ + mν )γ µ (1 + γ5)(6 k + mν )γ ν (1 + γ5)],
ν
(A.7)
= T r[(6 k ′ + mν )Jνµ(W ) (6 k + mν )Jνν(W ) ],
dimana Jν adalah vertex neutrino interaksi lemah,
Jνµ(W ) = γ µ (1 + γ5),
Jνν(W ) = γ ν (1 + γ5).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
57
A.2 Kontribusi Interaksi Elektromagnetik
Matrik transisi interaksi elektromagnetik dari gambar 2.5 adalah,
MEM =
4πα
ū(p′ )γµ u(p)
q2
Pµ
u(k)],
× ū(k ′ )[fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
2me
4πα 2 h
i2
′
=
ū(p )γµ u(p)
q2
|
{z
}
M2EM
e(EM )
×
=
Lµν
io2
h
Pµ
u(k)
,
ū(k ′ ) fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
2me
|
{z
}
n
4πα 2
q2
µν(EM )
Lν
) µν(EM )
Le(EM
Lν
.
µν
(A.8)
A.2.1 Tensor Elektron Interaksi Elektromagnetik
h
i2
ū(p′ )γµ u(p) ,
h
ih
i
= ū(p′ )γµ u(p) ū(p′ )γν u(p) ,∗
)
Le(EM
=
µν
dengan penurunan yang sama dengan pada bagian interaksi lemah, akhirnya
didapatkan,
)
Le(EM
= T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ],
µν
(A.9)
= T r[(6 p′ + me )Jµe (6 p + me )Jνe ],
dengan
Jµe = γµ ,
Jνe = γν .
Persamaan (A.9) dapat dituliskan,
)
Le(EM
= T r[(6 p′ + me )γµ (6 p + me )γν ] .
µν
|
{z
}
V
Fµν
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
58
Jadi bisa disimpulkan tensor elektron interaksi elektromagnetik terdiri dari
bagian vektor saja.
A.2.2 Tensor Neutrino Interaksi Elektromagnetik
)
Lµν(EM
ν
io2
n
h
µ
′
µ
µ 5
5 P
u(k)
=
ū(k ) fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
2me
n
h
io
Pµ
=
ū(k ′ ) fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
u(k)
2me
n
h
io∗
ν
′
ν
ν 5
5 P
× ū(k ) fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
u(k)
2me
dengan penurunan yang sama dengan pada bagian interaksi lemah, akhirnya
didapatkan,
n
h
µ i
)
′
µ
µ 5
5 P
Lµν(EM
=
T
r
(6
k
+
m
))
f
γ
+
g
γ
γ
−
(f
+
ig
γ
)
ν
mν
1ν
2ν
2ν
ν
2me
h
ν io
P
× (6 k + mν ) fmν γ ν + g1ν γ ν γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
,(A.10)
2me
atau
)
Lµν(EM
= T r[(6 k ′ + mν )Jνµ (6 k + mν )Jνν ,
ν
dengan
h
Pµ i
fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
,
2me
h
ν i
ν
ν 5
5 P
.
= fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
2me
Jνµ =
Jνν
A.3 Kontribusi Interferensi
Matrik transisi interferensi dari persamaan (2.6) dan (2.7) adalah,
MEM M∗W =
4πα
ū(p′ )γµ u(p)
q2
h
i
Pµ
× ū(k ′ ) fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
u(k)
2me
hG
i∗
F
× √ ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p) ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k) .
2
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
59
GF
MW M∗EM = √ ū(p′ )γµ (CV + CA γ 5 )u(p) ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k)
2
n 4πα
×
ū(p′ )γµ u(p)
q2
io∗
h
Pµ
.
u(k)
× ū(k ′ ) fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
2me
Kedua faktor bisa dianggap sama, maka
MEM M∗W + MW M∗EM =
4πα G h
ih
i∗
F
′
5
′
√
= 2
ū(p )γµ u(p) ū(p )γµ (CV + CA γ )u(p)
q2
2 |
{z
}
e(INT )
Lµν
h
in
h
io∗
Pµ
× ū(k ′ )γ µ (1 + γ 5 )u(k) ū(k ′ ) fmν γ µ + g1ν γ µ γ 5 − (f2ν + ig2ν γ 5 )
,
u(k)
2me
|
{z
}
µν(INT )
Lν
=
8GF πα e(IN T ) µν(IN T )
√ Lµν
Lν
.
q2 2
(A.11)
A.3.1 Tensor Elektron Interferensi
h
ih
i∗
T)
′
′
5
Le(IN
=
ū(p
)γ
u(p)
ū(p
)γ
(C
+
C
γ
)u(p)
µ
µ
V
A
µν
dengan penurunan yang sama dengan pada bagian interaksi lemah, akhirnya
didapatkan,
T)
Le(IN
= T r[(6 p′ + me )γµ (CV + CA γ 5 )(6 p + me )γν ],
µν
(A.12)
= T r[(6 p′ + me )Jµe (6 p + me )Jνe ,
dengan
Jµe = γµ (CV + CA γ 5 ),
Jνe = γν .
Kemudian persamaan (A.12) dapat ditulis,
T)
Le(IN
= CV T r[(6 p′ + me )γµ + (6 p + me )γν ]
µν
+ CA T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 + (6 p + me )γν ]
(A.13)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
60
dan,
T)
Le(IN
= CV T r[(6 p′ + me )γµ + (6 p + me )γν ]
µν
|
{z
}
V
Fµν
+ CA T r[(6 p′ + me )γµ γ 5 + (6 p + me )γν ] .
{z
}
|
VA
Fµν
Jadi bisa disimpulkan tensor elektron interferensi terdiri dari bagian vektor
dan vektor aksial.
A.3.2 Tensor Neutrino Interferensi
T)
Lµν(IN
ν
h
i
′ µ
5
= ū(k )γ (1 + γ )u(k)
h
µ i∗
′
µ
µ 5
5 P
× ū(k ) fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
,
2me
dengan penurunan yang sama dengan pada bagian interaksi lemah, akhirnya
didapatkan,
T)
Lµν(IN
= T r[(6 k ′ + mν )γ µ (1 + γ 5 )(6 k + mν )
ν
h
µ i
µ
µ 5
5 P
× fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
,
2me
= T r[(6 k ′ + mν )Jνµ (6 k + mν )Jνν ,
(A.14)
dengan
Jνµ = γ µ (1 + γ 5 )
h
µ i
ν
µ
µ 5
5 P
Jν = fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
.
2me
Jadi penampang lintang diferensial dapat ditulis,
dσ ∝ M2
∝ M2W + M2EM + MW M∗EM + MEM M∗W
G 2
4πα 2
F
) µν(W )
) µν(EM )
√
∝
Le(W
L
+
Le(EM
Lν
µν
ν
µν
2
q
2
µ
8GF πα e(IN T ) µν(IN T )
√ Lµν
+
Lν
.
qµ2 2
(A.15)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran B
Polarisasi
Tensor polarisasi elektron dari persamaan (2.9) adalah (Horowitz & Wehrberger 1991):
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
T r[G(p) Jµe G(p + q) Jνe ].
4
2π
(B.1)
Dimana Jµe dan Jνe adalah verteks elektron dan propagator partikel target
adalah,
G(p) = GF (p) + GD (p),
G(p + q) = GF (p + q) + GD (p + q).
(B.2)
GD adalah propagator yang bergantung pada kerapatan, yang mengakomodasi efek korelasi gas elektron.
GF adalah propagator fermion standard.
Jika persamaan (B.2) disubstitusi ke persamaan (B.1) maka akan menghasilkan:
Z
d4 p
T r{[GF (p) + GD (p)] Jµe [GF (p + q) + GD (p + q)] Jνe ]}
2π 4
Z 4
dp
= −i
T r[GF (p) Jµe GF (p + q) Jνe + GF (p) Jµe GD (p + q) Jνe
2π 4
+GD (p) Jµe GF (p + q) Jνe + GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe ].
Πµν (q) = −i
61
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
62
Dengan pendekatan medan rata-rata, suku GF (p) Jµe GF (p + q) Jνe diabaikan
karena kontribusinya kecil. Persamaan menjadi:
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
1
T r[ GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe + GF (p) Jµe GD (p + q) Jνe
4
2π
2
1
+ GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p + q) Jνe ].
2
Jika p = p − q, maka:
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
1
T
r[
GD (p − q) Jµe GD (p) Jνe + GF (p − q) Jµe GD (p) Jνe
4
2π
2
1
+ GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p + q) Jνe ],
2
dengan menggunakan theorema Trace : T r(γµ γν γβ γσ ) = T r(γβ γν γµ γσ ), maka persamaan menjadi:
Πµν (q) = −i
Z
1
d4 p
T r[ GD (p) Jµe GD (p − q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p − q) Jνe
4
2π
2
1
+ GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p + q) Jνe ]
2Z
d4 p
1
= −i
T r[ GD (p) Jµe GD (p + q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p + q) Jνe
4
2π
2
1
+ GD (p) Jµe GD (p − q) Jνe + GD (p) Jµe GF (p − q) Jνe ].
(B.3)
2
Bentuk eksplisit dari propagator GD dan GF adalah:
GD (p)
GD (p ± q)
GF (p)
GF (p ± q)
=
gD (p)(6 p + me ),
= gD (p ± q)(6 p± 6 q + me ),
= gF (p)(6 p + me ),
= gF (p ± q)(6 p± 6 q + me ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
63
Kemudian dimasukkan ke persamaan (B.3), hasilnya:
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
2π 4
1
× T r[ gD (p)(6 p + me ) Jµe gD (p + q)(6 p+ 6 q + me ) Jνe
2
+ gD (p)(6 p + me ) Jµe gF (p + q)(6 p+ 6 q + me ) Jνe
1
+
gD (p)(6 p + me ) Jµe gD (p − q)(6 p− 6 q + me ) Jνe
2
+ gD (p)(6 p + me ) Jµe gF (p − q)(6 p− 6 q + me ) Jνe ],
dan dikelompokkan serta diberi nama,
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
2π 4
1
×{[ gD (p)gD (p + q) + gD (p)gF (p + q)] T r(6 p + me ) Jµe (6 p+ 6 q + me ) Jνe
{z
}
|2
{z
}|
I(p, p + q)
Fµν (p, p + q)
1
+{[ gD (p)gD (p − q) + gD (p)gF (p − q)] T r(6 p + me ) Jµe (6 p− 6 q + me ) Jνe }.
{z
}
|2
{z
}|
I(p, p − q)
Fµν (p, p − q)
Sehingga dapat ditulis,
Πµν (q) = −i
Z
d4 p
[I(p, p + q)Fµν (p, p + q)] + [I(p, p − q)Fµν (p, p − q)] . (B.4)
|
{z
}
2π 4
disingkat (q → −q)
Sistimatika penurunan yang kami lakukan untuk polarisasi elektron adalah
pertama kami lakukan penurunan untuk kasus T = 0 MeV, sedangkan generalisasi untuk kasus T 6= 0 MeV dilakukan dengan mengganti fungsi θ
dengan distribusi Fermi-Dirac serta memperhitungkan adanya anti partikel
(tidak muncul pada T = 0 MeV).
Karena bentuk eksplisit propagator partikel target untuk T = 0 MeV adalah,
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
64
gD (p) =
gD (p ± q) =
gF (p) =
gF (p ± q) =
iπ
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|),
Ep
iπ
δ(p0 ± q0 − Ep±q ) θ(kF − |~p ± ~q|),
Ep±q
1
,
2
p − m2e + iǫ
1
,
2
(p ± q) − m2e + iǫ
dengan kF adalah momentum-4 elektron pada level Fermi, maka I(p, p ± q)
pada T = 0 MeV dapat ditulis sebagai:
π2
2Ep Ep ± q
× δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 ± q0 − Ep±q ) θ(kF − |~p ± ~q|)
iπ δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)
.
(B.5)
+
Ep (p ± q)2 − m2e + iǫ
I(p, p ± q) = −
Pendekatan limit ǫ mendekati nol digunakan untuk menghindari singularitas:
(p ±
q)2
P
iπ
1
=
−
δ(p0 ± q0 − Ep±q ),
2
2
2
− me + iǫ
(p ± q) − me 2Ep±q
dengan P adalah Principle Value.
Maka persamaan (B.5) dapat ditulis:
π2
2Ep Ep ± q
× δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 ± q0 − Ep±q ) θ(kF − |~p ± ~q|)
iπ
+
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)
Ep
P
iπ
× [
−
δ(p0 ± q0 − Ep±q )].
(B.6)
2
2
(p ± q) − me 2Ep±q
I(p, p ± q) = −
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
65
Persamaan (B.6) disubstitusikan kedalam persamaan (B.4), hasilnya
Πµν (q) =
×
+
×
Z
d4 p
2π 4
iπ 2
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep+q ) θ(kF − |~p + ~q|)
2Ep Ep + q
π
P
iπ
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)
δ(p
+
q
−
E
)
−
0
0
p+q
Ep
(p + q)2 − m2e 2Ep+q
Fµν (p, p + q) + (q → −q).
(B.7)
(2)
= Π(1)
µν (q) + Πµν (q).
Persamaan (B.7) dibagi menjadi 2 bagian, bagian real dan bagian imaginer,
tetapi bagien real masih bisa dibagi lagi menjadi bagian real dan imaginer
juga, maka bagian real dari persamaan (B.7) adalah,
Π(1)
µν (q)
Z 4
dp
π
=
4
(2π)
Ep
P
iπ
×
−
δ(p0 + q0 − Ep+q )
2
2
(p + q) − me 2Ep+q
|
{z
} |
{z
}
real
imaginer
× δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)Fµν (p, p + q) + (q → −q),
(B.8)
dan bagian imaginer adalah,
Z
iπ 2
d4 p
=
(2π)4
2Ep Ep+q
× δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep+q ) θ(kF − |~p + ~q|)
Π(2)
µν (q)
× Fµν (p, p + q) + (q → −q).
(B.9)
Kemudian persamaan (B.8) dibagi lagi menjadi bagian real dan imaginer,
Re
Π(1)
µν (q)
Im
Z 4
π
dp
P
=
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)
(2π)4
Ep (p + q)2 − m2e
× Fµν (p, p + q) + (q → −q).
(B.10)
Π(1)
µν (q)
Z
π2
d4 p
= −
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|)
(2π)4
2Ep Ep+q
× δ(p0 + q0 − Ep+q )Fµν (p, p + q) + (q → −q).
(B.11)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
66
Maka imaginer total dari tensor polarisasi elektron didapatkan dengan menggabungkan persamaan (B.9) dengan persamaan (B.11), didapatkan:
Z
d4 p
π2
=
(2π)4
2Ep Ep+q
× δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep+q ) θ(kF − |~p + ~q| − 1 )
ΠIm
µν
× Fµν (p, p + q) + (q → −q).
Suku (q → −q) dikembalikan ke bentuk semula,
ΠIm
µν
=
×
+
×
Z
π2
d4 p
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep+q )
(2π)4
2Ep Ep+q
θ(kF − |~p + ~q| − 1 )Fµν (p, p + q)
Z
d4 p
π2
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep−q )
(2π)4
2Ep Ep−q
θ(kF − |~p − ~q| − 1 )Fµν (p, p − q).
(B.12)
Dengan menggunakan sifat fungsi θ ( theta / step function ): θ(−x) = 1 −
θ(x), dan dari prinsip konservasi arus q µ Fµν = 0 yang membuktikan bahwa
Fµν (p, p + q) = Fµν (p, p − q) (seperti terlihat pada lampiran C), serta dengan
mengganti p → p+2q, maka dari persamaan (B.12) didapat tensor polarisasi
elektron untuk T = 0 MeV adalah,
ΠIm
µν
Z
π2
d4 p
= −
δ(p0 − Ep ) θ(kF − |~p|) δ(p0 + q0 − Ep+q )
(2π)4
2Ep Ep+q
× θ(|~p + ~q| − kF )Fµν (p, p + q).
Modifikasi polarisasi untuk T 6= 0 MeV ( kasus temperatur berhingga )
adalah fungsi θ diganti fungsi distribusi Fermi-Dirac, dan efek anti partikel tidak dapat diabaikan (Saito, Maruyama & Soutome 1989, Horowitz
& Wehrberger 1991, Reddy, Prakash & Lattimer 1998, Reddy,S.,et al.1999).
Hal ini dilakukan dengan mengganti:
θ(kF − |~p|) → f (Ep ),
θ(|~p + ~q| − kF ) → [1 − f (Ep+q )],
δ(Ep + q0 − Ep+q ) → {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]},
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
67
pada setiap polarisasi, dan karena
d4 p = dp0 d3 p,
serta Fungsi delta Dirac:
Z
dp0 δ(p0 − Ep ) = 1 dan p0 = Ep ,
maka
maka didapat tensor polarisasi elektron untuk T 6= 0 MeV sebagai
ΠIm
µν
Z
1
d3 p
=−
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν (p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
(B.13)
B.1 Polarisasi Vektor ( Vector Polarization )
Untuk menghitung secara eksplisit polarisasai vektor ( yang kemudian dipakai untuk menghitung polarisasi longitudinal dan transversal ), diselidiki
dahulu harga-harga yang tidak sama dengan nol.
Dari persamaan (A.4) dihitung dengan menggunakan aljabar Trace:
V
Fµν
(p, p + q) = T r[(6 p + me )γµ (6 p+ 6 q + me )γν ],
= T r(6 pγµ 6 pγν + 6 pγµ 6 qγν + 6 pγµ me γν
+me γµ 6 pγν + me γµ 6 qγν + me γµ me γν ),
= T r(γα pα γµ γβ pβ γν + γα pα γµ γβ q β γν + γα pα γµ me γν
+me γµ γα pα γν + me γµ γα q α γν + me γµ me γν ),
= T r(γα γµ γβ γν )pα pβ + T r(γαγµ γβ γν )pα q β +me T r(γαγµ γν ) pα
{z
} |
{z
}
|
{z
}
|
2
1
=0
α
α
m2e
+me T r(γµγα γν ) p + me T r(γµγα γν ) q +
|
{z
}
|
{z
}
|
=0
=0
T r(γµ γν ) .
{z
}
3
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
68
Berdasarkan theorema Trace:
T r(γµ γν ) = T r(γν γµ ) = 4gµν .
T r(γα γµ γβ γν ) = 4(gαµ gβν + gαν gµβ − gαβ gµν ).
T r(γµ.....γν ) = 0.
| {z }
ganjil
keterangan:
1. T r(γα γµ γβ γν )pα pβ = 4(gαµ gβν + gαν gµβ − gαβ gµν )pα pβ ,
= 4(gαµ pα gβν pβ + gαν pα gµβ pβ − gαβ pα gµν pβ ),
= 4pµ pν + 4pν pµ − 4pβ pβ gµν ,
= 8pµ pν − 4p2 gµν .
2. T r(γαγµ γβ γν )pα q β = 4(gαµ pα gβν q β + gαν pα gµβ q β − gαβ pα gµν q β ),
= 4pµ qν + 4pν qµ − 4pβ q β gµν ,
= 4pµ qν + 4pν qµ − 4p.qgµν .
3. m2e T r(γµγν ) = 4 m2e gµν ,
= 4 p2 gµν .
Persamaan menjadi:
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ).
(B.14)
Untuk memudahkan perhitungan, tanpa mengurangi keumuman, dipilih
kerangka dimana salah satu sumbunya dihimpitkan:
q ≡ (q0 , q1 , q2 , q3 )
p ≡ (p0 , p1 , p2 , p3 )
≡ (q0 , |~q|,0,0),
≡ (E, px , py , pz ),
dengan
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
69
px
=
py
pz
=
=
|~p| cos θ,
|~p| sin θ cos ϕ,
|~p| sin θ sin ϕ.
Harga-harga metric tensor dalam notasi matrik adalah:
gµν

1 0
0
0

 0 −1 0
0
= 
 0 0 −1 0

0 0
0 −1



.


Dan dengan menggunakan ketentuan integrasi fungsi ganjil,
Z
2π
sin ϕdϕ = 0,
0
Z
2π
cos ϕdϕ = 0.
0
dan dari perhitungan trigonometri,
cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ,
| {z }
fs. ganjil
cos2 ϕ = sin2 ϕ,
V
V
digunakan untuk membuktikan F22
= F33
.
V
Kemudian dihitung Fµν
untuk harga-harga µ dan ν dari 0 sampai 3,
hasil yang didapatkan adalah:
V
F00
= 4(2E 2 + Eq0 + |~p||~q| cos θ),
V
V
F10
= F01
= 4(2E|~p| cos θ + E|~q| + |~p|q0 cos θ,
V
F11
= 4(2|~p|2 cos2 θ + Eq0 + |~p||~q| cos θ),
V
F22
= 4(2|~p|2 sin2 θ cos2 ϕ + Eq0 + |~p||~q| cos θ),
V
F33
= 4(2|~p|2 sin2 θ sin2 ϕ + Eq0 + |~p||~q| cos θ).
(B.15)
Sedangkan,
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F02
= F03
= F12
= F13
= F20
= F21
= F23
= F30
= F31
= F32
= 0.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
70
Dengan demikian, polarisasi vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
Im
ΠVµν

Π00 Π01 0
0

 Π10 Π11 0
0
= 
 0
0 Π22 0

0
0
0 Π33



.


(B.16)
B.1.1 Polarisasi Longitudinal ( Longitudinal Polarization )
Pada polarisasi vektor, secara umum berlaku hukum kekekalan arus q µ Πµν =0,
maka konsekuensinya untuk harga-harga µ dan ν = 0, 1 adalah:
q 0 Π00 + q 1 Π10 = 0
q 0 Π00 + |~q|Π10 = 0
Π10 = −
q0
Π00 ,
|~q|
q 0 Π01 + q 1 Π11 = 0
q 0 Π01 + |~q|Π11 = 0
Π11 = −
q0
Π01 ,
|~q|
Π10 = Π01 ,
q0 q0
Π00 ,
|~q| |~q|
q2
= − 02 Π00 .
|~q|
Π11 = −
Π11
Dengan menggunakan hubungan ΠL = Π00 − Π11 , maka diperoleh:
ΠIm
L
qµ2 Im(V )
= − 2 Π00 .
|~q|
(B.17)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
71
Dari persamaan (B.13) untuk bagian polarisasi vektor dan harga µ dan ν = 0
adalah,
Z
d3 p
1
V
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
=−
(p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
Im(V )
Π00
Dipisah menjadi 2 masing-masing delta fuction:
Im(V )
Π00
Z
1
d3 p
V
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
= −
(p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep+q − Ep )],
(B.18)
dan
ΠIm
00 (V
Z
d3 p
1
V
)= −
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
(p, p + q)
2
(2π)
8Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
(B.19)
Perhitungan persamaan (B.18):
Im(V )
Π00
1
=−
(2π)2
Z
d3 p
V
(p, p + q)
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
8Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep+q − Ep )],
elemen volume:
d3 p = −|~p|2 d|~p| dϕ d cos θ,
x = cos θ,
d3 p = −|~p|2 d|~p| dϕ dx.
Karena integrand tidak tergantung ϕ, maka integrasi dϕ = 2π:
d3 p = −2π| p~|2 d|~p| dx,
jika g(x) ≡ q0 − Ep+q + Ep , maka:
Im(V )
Π00
1
=−
(2π)
Z
|~p|2 d|~p| dx
V
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
(p, p + q) δ[g(x)].
8Ep Ep+q
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
72
Dan karena:
2
Ep+q
= (~p + ~q)2 + m2e ,
maka:
1
g(x) = Ep + q0 − (|~p|2 + |~q|2 + 2|~p||~q|x + me ) 2 .
Turunan g(x):
dg(x)
dx
1
1
= − (|~p|2 + |~q|2 + 2|~p||~q|x + me ) 2 2|~p||~q|
2
|~p||~q|
.
= −
Ep+q
g ′ (x) =
Karena:
g(x)|x=xi = 0,
maka:
Ep+q = Ep + q0
2
Ep+q
= (Ep + q0 )2 = Ep2 + 2Ep q0 + q02 .
Jadi:
|~p|2 + |~q|2 + 2|~p||~q|xi + m2e = Ep2 + 2Ep q0 + q02
−Ep2 + me + |~p|2 + ~q|2 − q02 +2|~p||~q|xi = 2Ep q0 ,
{z
} | {z }
|
2
=−qµ
=0
−qµ2 + 2|~p||~q|xi = 2Ep q0
xi
2Ep q0 + qµ2
=
.
2|~p||~q|
Fungsi delta Dirac:
δ[g(x)] =
δ(x − xi )
δ(x − xi )
=
Ep+q ,
|g ′(x)|xi
|~p||~q|
maka:
Im(V )
Π00
1
=−
2π
Z
|~p|2 d|~p|dx
V
(p, p + q) δ[g(x)].
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
8Ep Ep+q
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
73
Jika:
f (Ep+q ) = f (Ep + q0 ),
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] = F (Ep , Ep+q ),
f (Ep )[1 − f (Ep + q0 )] = F (Ep , Ep + q0 ),
dan
Ep2 = p2 + m2e ,
Ep dEp = pdp,
maka:
Im(V )
Π00
Z
|~p|2 d|~p|dx
δ(x − xi )
1
V
= −
F (Ep , Ep + q0 ) F00
(p, p + q)
Ep+q ,
2π
8Ep Ep+q
|~p||~q|
Z
1
Ep dEp
= −
F (Ep , Ep + q0 ) F00 (p, p + q),
2π|~q|
8Ep
Z
1
V
= −
dEp F (Ep , Ep + q0 ) F00
(p, p + q).
16π|~q|
dari persamaan (B.14),
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ),
V
F00
(p, p + q) = 4(2p0 p0 + p0 q0 + p0 q0 − p.qg00 ).
Diketahui g00 = 1 dan untuk elektron p.q = − 12 qµ2 , maka:
1
V
F00
(p, p + q) = 4(2Ep2 + 2Ep q0 + qµ2 ).
2
Maka
Im(V )
Π00
=
=
=
=
Z
1
−
4π|~q|
Z
i
−
2π|~q|
Z
1
−
2π|~q|
Z
1
−
2π|~q|
1
dEp (2Ep2 + 2Ep q0 + qµ2 ) F (Ep , Ep + q0 ),
2
1
dEp (Ep2 + Ep q0 + qµ2 ) F (Ep , Ep + q0 ),
4
1
1
dEp (Ep2 + Ep q0 + q02 − |~q|2 ) F (Ep , Ep + q0 ),
4
4
1 2 1 2
dEp [(Ep + q0 ) − |~q| ] F (Ep , Ep + q0 ).
2
4
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
74
Dan dari persamaan (B.17),
ΠIm
L
qµ2 Im(V )
= − 2 Π00
|~q|
Z
qµ2
1 2 1 2
=
dE
[(E
+
q0 ) − |~q| ] F (Ep , Ep + q0 ).
p
p
2π|~q|3
2
4
Perhitungan persamaan (B.19):
Im(V )
Π00
1
=−
(2π)2
Z
d3 p
V
f (Ep )[1−f (Ep+q ] F00
(p, p+q) δ[q0 −(Ep −Ep+q )].
8Ep Ep+q
Penurunan seperti pada persamaan (B.18)tetapi untuk g(x) ≡ g0 −Ep +Ep+q ,
Im(V )
Π00
1
=−
2π
Z
|~p|2 d|~p|dx
V
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
(p, p + q) δ[g(x)].
8Ep Ep+q
2
Karena Ep+q
= (~p + ~q)2 + m2e , maka:
1
g(x) = −Ep + q0 + Ep+q = −Ep + q0 + [(~p + ~q)2 + m2e ] 2
1
= −Ep + q0 + [|~p|2 + |~q|2 + 2|~p||~q|x + m2e ] 2 .
Turunan dari g(x) adalah
g ′(x) =
|~p||~q|
dg(x)
=
,
dx
Ep+q
dan g(x)|x=xi = 0, maka
Ep+q = Ep − q0
2
Ep+q
= (Ep − q0 )2 = Ep2 − 2Ep q0 + q02 .
Jadi
|~p|2 + |~q|2 + 2|~p||~q|xi + m2e = Ep2 − 2Ep q0 + q02 ,
−Ep2 + m2e + |~p| + |~q|2 − q02 +2|~p||~q|xi = −2Ep q0 ,
{z
} | {z }
|
=0
2
= −qµ
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
75
−qµ2 + 2|~p||~q|xi = −2Ep q0 ,
xi =
−2Ep q0 + qµ2
.
2|~p||~q|
Fungsi delta Dirac:
δ[g(x)] =
δ(x − xi )
δ(x − xi )
=
Ep+q .
′
|g (x)|xi
|~p||~q|
Maka:
Im(V )
Π00
1
=−
2π
Z
|~p|2 d|~p|dx
V
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F00
(p, p + q) δ[g(x)],
8Ep Ep+q
jika:
f (Ep+q ) = f (Ep − q0 ),
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] = F (Ep , Ep+q ),
f (Ep )[1 − f (Ep + q0 )] = F (Ep , Ep − q0 ),
dan
Ep2 = p2 + m2e ,
Ep dEp = pdp,
maka:
Im(V )
Π00
Z
1
|~p|2 d|~p|dx
δ(x − xi )
V
= −
F (Ep , Ep − q0 ) F00
(p, p + q)
Ep+q
2π
8Ep Ep+q
|~p||~q|
Z
1
Ep dEp
V
= −
F (Ep , Ep − q0 ) F00
(p, p + q)
2π|~q|
8Ep
Z
1
V
= −
dEp F (Ep , Ep − q0 ) F00
(p, p + q).
16π|~q|
dari persamaan (B.14),
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ),
V
F00
(p, p + q) = 4(2p0 p0 − p0 q0 − p0 q0 − p.qg00 ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
76
Diketahui g00 = 1 dan untuk elektron p.q = − 12 qµ2 , maka:
1
V
F00
(p, p + q) = 4(2Ep2 − 2Ep q0 + qµ2 ).
2
Maka dengan cara seperti persamaan (B.18)
Im(V )
Π00
1
=−
2π|~q|
Z
1
1
dEp [(Ep − q0 )2 − |~q|2 ] F (Ep , Ep − q0 ).
2
4
Misalkan
E + q0 = E ′ ,
dE = dE ′ ,
maka:
1
1
Ep − q0 = Ep′ + q0 − q0 ,
2
2
1
= Ep′ + q0 ,
2
substitusi kedalam integrasi:
Im(V )
Π00
1
=−
2π|~q|
Z
1
1
dEp′ [(Ep′ + q0 )2 − |~q|2 ] F (Ep′ + q0 , Ep′ ),
2
4
1
=−
2π|~q|
Z
1
1
dEp [(Ep + q0 )2 − |~q|2 ] F (Ep + q0 , Ep ).
2
4
atau
Im(V )
Π00
Dari persamaan (B.17),
ΠIm
L
qµ2 Im(V )
= − 2 Π00
|~q|
Z
qµ2
1 2 1 2
=
dE
[(E
+
q0 ) − |~q| ] F (Ep + q0 , Ep ).
p
p
2π|~q|3
2
4
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
77
Hasil penurunan persamaan (B.18) ditambah persamaan (B.19) adalah
ΠIm
L
Z ∞
qµ2
1
1
=
dEp [(Ep + q0 )2 − |~q|2 ]
3
2π|~q| e−
2
4
[F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )].
(B.20)
= ImΠL (q0 , q).
dengan
1
1
e− = − q0 + |~q|
2
2
s
1−
4m2e
qµ2
B.1.2 Polarisasi Transversal (Tranverse Polarization)
Pada polarisasi transversal per definisi:
Im(V )
ΠIm
T = Π22
.
(B.21)
Dan dari persamaan (B.13) untuk bagian polarisasi vektor dan harga µ dan
ν = 2 adalah,
Im(V )
Π22
Z
1
d3 p
V
=−
(p, p + q)
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F22
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
Dipisah menjadi 2 masing-masing delta function:
Im(V )
Π22
Z
1
d3 p
V
= −
(p, p + q)
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F22
(2π)2
8Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep+q − Ep ],
(B.22)
dan
Im(V )
Π22
Z
1
d3 p
V
= −
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F22
(p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
(B.23)
Perhitungan persamaan (B.22):
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
78
(B.18), maka persamaan (B.22) menjadi:
Im(V )
Π22
1
=−
16π|~q|
Z
V
dEp F (Ep , Ep + q0 ) F22
(p, p + q),
dari persamaan (B.14),
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ),
V
F22
(p, p + q) = 4(2p2 p2 + p2 q2 + p2 q2 − p.qg22 ).
diketahui g22 = −1 dan untuk elektron p.q = − 12 qµ2 , maka:
1
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2|~p|2 sin2 θ cos2 ϕ − qµ2 ),
2
dan
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
1
dEp (2|~p|2 sin2 θ cos2 ϕ − qµ2 ) F (Ep , Ep + q0 ),
2
dimana
2 sin2 θ cos2 ϕ = sin2 θ(cos 2ϕ + 1),
sin2 θ = 1 − cos2 θ,
dan integrasi fungsi ganjil,
Z
2π
cos 2ϕ = 0.
0
Sehingga,
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
1
dEp [|~p|2 (1 − cos2 θ) − qµ2 ] F (Ep , Ep + q0 ).
2
Dengan,
|~p|.|~q| = |~p||~q| cos θ,
2
Ep+q
= (|~p| + |~q|)2 + m2e = |~p|2 + 2|~p|.|~q| + |~q|2 + m2e ,
g(x) = p0 + q0 − Ep+q = 0,
Ep+q = Ep + q0 ,
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
79
2
2|~p|.|~q| = Ep+q
− |~p|2 − |~q|2 − m2e ,
= (Ep + q0 )2 − |~p|2 − |~q|2 − m2e
= Ep2 + 2Ep q0 + q02 − |~p|2 − |~q|2 − m2e ,
= 2Ep q0 + q02 − |~q|2 ,
= 2Ep q0 + qµ2 ,
1
|~p|.|~q| = Ep q0 + qµ2 ,
2
maka
cos θ =
Persamaan menjadi:
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
dEp
Z
n
Ep q0 + 12 qµ2
.
|~p||~q|
h
Ep q0 + 1 q 2 2 i 1 o
2 µ
|~p| 1 −
− qµ2 F (Ep , Ep + q0 ),
|~p||~q|
2
2
h
4E 2 q 2 4E q q 2
qµ4 2 1 2 i
p 0 µ
p 0
dEp |~p|2 (1−
+
+
− qµ F (Ep , Ep +q0 ),
4|~q|2
4|~q|2
4|~p|2
2
Z
qµ4 2 1 2 Ep2 q02 Ep q0 qµ2
1
2
2
=−
dEp Ep −me − 2 −
−
− qµ F (Ep , Ep +q0 ),
4π|~q|
|~q|
|~q|2
4|~p|2
2
Z
h |~q|2 − q 2 Ep q0 q 2
i
qµ4
1
µ
0
2 1 2
=−
dEp Ep2
−
−
−m
−
q
F (Ep , Ep +q0 ),
e
4π|~q|
|~q|2
|~q|2
4|~p|2
2 µ
Z
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 1 2 2
dE
E
+
E
q
+
q − |~q| +
+ |~q F (Ep , Ep + q0 ),
=
p
p 0
p
4π|~q|3
4 0 4
qµ2
2
Z
h
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
Im(V )
Π22
=
dE
(E
+
q0 ) + |~q| +
F (Ep , Ep + q0 ).
p
p
4π|~q|3
2
4
qµ2
1
=−
4π|~q|
Dari persamaan (B.21),
Im(V )
ΠIm
= Π22
T
Z
h
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
=
dE
(E
+
q0 ) + |~q| +
F (Ep , Ep + q0 ).
p
p
4π|~q|3
2
4
qµ2
Perhitungan persamaan (B.23):
Im(V )
Π22
Z
1
d3 p
V
= −
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] F22
(p, p + q)
2
(2π)
8Ep Ep+q
×δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
(B.24)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
80
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
(B.19), maka persamaan (B.24) menjadi:
Im(V )
Π22
1
=−
16π|~q|
Z
V
dEp F (Ep , Ep − q0 ) F22
(p, p + q).
Dari persamaan (B.14),
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ),
V
F22
(p, p + q) = 4(2p2 p2 + p2 q2 + p2 q2 − p.qg22 ).
Diketahui g22 = −1 dan untuk elektron p.q = − 12 qµ2 , maka,
1
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2|~p|2 sin2 θ cos2 ϕ − qµ2 ),
2
dan
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
1
dEp (2|~p|2 sin2 θ cos2 ϕ − qµ2 ) F (Ep , Ep − q0 ),
2
dan
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
1
dEp [|~p|2 (1 − cos2 θ) − qµ2 ] F (Ep , Ep − q0 ),
2
dengan,
|~p|.|~q| = |~p||~q| cos θ,
2
Ep+q
= (|~p| + |~q|)2 + m2e = |~p|2 + 2|~p|.|~q| + |~q|2 + m2e ,
g(x) = −p0 + q0 + Ep+q = 0,
Ep+q = Ep − q0 ,
2
2|~p|.|~q| = Ep+q
− |~p|2 − |~q|2 − m2e ,
= (Ep − q0 )2 − |~p|2 − |~q|2 − m2e ,
= Ep2 − 2Ep q0 + q02 − |~p|2 − |~q|2 − m2e ,
= −2Ep q0 + q02 − |~q|2 ,
= −2Ep q0 + qµ2 ,
1
|~p|.|~q| = −Ep q0 + qµ2 ,
2
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
81
maka
cos θ =
Persamaan menjadi:
Im(V )
Π22
1
=−
4π|~q|
Z
Z
−Ep q0 + 12 qµ2
.
|~p||~q|
n h
−Ep q0 + 1 q 2 2 i 1 o
2
2 µ
dEp |~p| 1 −
− qµ2 F (Ep , Ep − q0 ),
|~p||~q|
2
h
4E 2 q 2 4Ep q0 q 2
qµ4 2 1 2 i
p 0
µ
− qµ F (Ep , Ep −q0 ),
dEp |~p|2 (1−
−
+
4|~q|2
4|~q|2
4|~p|2
2
Z
Ep2 q02 Ep q0 qµ2
qµ4 2 1 2 1
− qµ F (Ep , Ep +q0 ),
=−
dEp Ep2 −m2e − 2 −
−
4π|~q|
|~q|
|~q|2
4|~p|2
2
Z
h |~q|2 − q 2 Ep q0 q 2
i
qµ4
1
µ
0
2
2 1 2
=−
dEp Ep
+
−
−me − qµ F (Ep , Ep −q0 ),
4π|~q|
|~q|2
|~q|2
4|~p|2
2
Z
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 2
dE
E
−
E
q
+
q + |~q| +
F (Ep , Ep − q0 ),
=
p
p 0
p
4π|~q|3
4 0 4
qµ2
Z
h
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
Im(V )
Π22
=
dEp (Ep − q0 ) + |~q| +
F (Ep , Ep − q0 ).
4π|~q|3
2
4
qµ2
1
=−
4π|~q|
Substitusi seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan (B.19)
Im(V )
Π22
qµ2
=
4π|~q|3
Z
dEp′
qµ2
=
4π|~q|3
Z
h
1
1
m2 |~q|2 i
dEp (Ep + q0 )2 + |~q|2 + e 2
F (Ep + q0 , Ep ).
2
4
qµ
h
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
′
F (Ep′ + q0 , Ep′ ),
(Ep + q0 ) + |~q| +
2
2
4
qµ
atau
Im(V )
Π22
Dari persamaan (B.21),
Im(V )
ΠIm
= Π22 ,
T
Z
h
qµ2
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
dEp (Ep + q0 ) + |~q| +
F (Ep + q0 , Ep ).
=
4π|~q|3
2
4
qµ2
Hasil penurunan persamaan (B.22) ditambah persamaan (B.23) adalah
ΠIm
T
qµ2
=
4π|~q|3
Z
h
1 2 1 2 m2e |~q|2 i
dEp (Ep + q0 ) + |~q| +
2
4
qµ2
e−
h
i
F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep ) .
∞
(B.25)
= Im ΠT (q0 , q).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
82
B.2 Polarisasi Aksial (Axial Polarization)
Dari persamaan (B.13) untuk bagian aksial adalah:
ΠIm(A)
µν
Z
d3 p
1
A
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν
(p, p + q)
=−
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
A
Perhitungan Fµν
(p, p + q).
Dari persamaan (A.6),
A
Fµν
(p, p + q) = T r[(6 p + me )γµ γ 5 (6 p+ 6 q + me )γν γ 5 ],
= T r(6 pγµ γ 5 6 pγν γ 5 + 6 pγµ γ 5 6 qγν γ 5 + 6 pγµ γ 5 me γν γ 5
+me γµ γ 5 6 pγν γ 5 + me γµ γ 5 6 qγν γ 5 + me γµ γ 5 me γν γ 5 ),
= T r(γαpα γµ γ 5 γβ pβ γν γ 5 + γα pα γµ γ 5 γβ q β γν γ 5 + γα pα γµ γ 5 me γν γ 5
+me γµ γ 5 γα pα γν γ 5 + me γµ γ 5 γα q α γν γ 5 + me γµ γ 5 me γν γ 5 ).
Dari sifat matriks (γ 5 )2 = 1 dan theorema Trace seperti pada bagian longitudinal maka persamaan menjadi,
A
Fµν
(p, p + q) = T r(γα γµ γβ γν )pα pβ + γα γµ γβ γν )pα q β − m2e T r(γµγν ),
A
Fµν
(p, p + q) = 4(pµ pν + pν pµ − p2 gµν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ) − m2e (4gµν ),
= 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.q gµν − 2 m2e gµν ),
dari persamaan (B.14),
V
Fµν
(p, p + q) = 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.q gµν ),
maka:
A
V
V
Fµν
(p, p + q) = Fµν
− 8 m2e gµν = Fµν
+ FA gµν .
FA = −8 m2e .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
83
Persamaan polarisasi menjadi:
ΠIm(A)
µν
Z
1
d3 p
V
(Fµν
− 8 m2e gµν )f (Ep )[1 − f (Ep+q )]
= −
2
(2π)
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]},
= ΠIm(v)
+ ΠA gµν .
µν
ΠIm
A
(B.26)
Z
1
d3 p
=
m2e f (Ep )[1 − f (Ep+q )]
2
(2π)
Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
Dipisah menjadi 2 masing-masing delta function:
ΠIm
A
Z
d3 p
1
m2e f (Ep )[1 − f (Ep+q )]
=
2
(2π)
Ep Ep+q
× δ[q0 − (Ep+q − Ep )],
(B.27)
dan
ΠIm
A
Z
1
d3 p
=
m2 f (Ep )[1 − f (Ep+q )]
(2π)2
Ep Ep+q e
× δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
(B.28)
Perhitungan persamaan (B.27):
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
(B.18), maka persamaan (B.27) menjadi:
ΠIm
A
m2e
=
(2π)2
Z
dE F (Ep , Ep + q0 ).
Perhitungan persamaan (B.28):
ΠIm
A
Z
d3 p
1
=
m2 f (Ep )[1 − f (Ep+q )]
(2π)2
Ep Ep+q e
× δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
(B.19), maka persamaan diatas menjadi:
ΠIm
A
m2e
=
(2π)2
Z
dE F (Ep − q0 , Ep ).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
84
Dengan substitusi seperti pada polarisasi longitudinal juga, yaitu persamaan
(B.19), maka
ΠIm
A
m2e
=
(2π)2
Z
dE F (Ep + q0 , Ep ).
Hasil penurunan persamaan (B.27) ditambah persamaan (B.28) adalah
ΠIm
A
Z ∞
m2e
=
dE [F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )].
(2π)2 e−
= Im ΠA (q0 , q).
(B.29)
B.3 Polarisasi Vektor-Aksial (Vector-Axial Polarization)
Dan dari persamaan (B.13) untuk bagian vektor-aksial adalah,
A)
ΠIm(V
µν
Z
d3 p
1
VA
=−
(p, p + q)
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν
(2π)2
8Ep Ep+q
× {δ[q0 − (Ep+q − Ep )] + δ[q0 − (Ep − Ep+q )]}.
Dipisah menjadi 2 masing-masing delta function:
A)
ΠIm(V
µν
Z
d3 p
1
VA
= −
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν
(p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
×δ[q0 − (Ep+q − Ep ],
(B.30)
dan
A)
ΠIm(V
µν
Z
1
d3 p
VA
= −
(p, p + q)
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν
2
(2π)
8Ep Ep+q
×δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
(B.31)
Perhitungan persamaan (B.30):
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
(B.18), maka persamaan (B.30) menjadi:
A)
ΠIm(V
µν
1
=
16π|~q|
Z
VA
dEp F (Ep , Ep + q0 ) Fµν
(p, p + q).
(B.32)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
85
VA
Perhitungan Fµν
(p, p + q):
menurut persamaan (A.5),
1
VA
Fµν
(p, p + q) = T r (6 p + me )γµ γ 5 (6 p+ 6 q + me )γν
2
1
+T r (6 p + me )γµ (6 p+ 6 q + me )γν γ 5 ,
2
1
= T r (6 pγµ γ 5 6 pγν + 6 pγµ γ 5 6 qγν + 6 pγµ γ 5 me γν
2
+me γµ γ 5 6 pγν + me γµ γ 5 6 qγν + me γµ γ 5 me γν
+ 6 pγµ 6 pγν γ 5 + 6 pγµ 6 qγν γ 5 + 6 pγµ me γν γ 5
+me γµ 6 pγν γ 5 + me γµ 6 qγν γ 5 + me γµ me γν γ 5 ),
1
= T r (γα pα γµ γ 5 γβ pβ γν + γα pα γµ γ 5 γβ q β γν + γα pα γµ γ 5 me γν
2
+me γµ γ 5 γα pα γν + me γµ γ 5 γα q α γν + me γµ γ 5 me γν
+γα pα γµ γβ pβ γν γ 5 + γα pα γµ γβ q β γν γ 5 + γα pα γµ me γν γ 5
+me γµ γα pα γν γ 5 + me γµ γα q α γν γ 5 + me γµ me γν γ 5 ).
Dengan menggunakan theorema Trace:
T r(γ5 γµ....... ) = 0
| {z }
kurang dari 4
γµ γ5 = −γµ γ5 ,
maka
VA
Fµν
(p, p + q) = T r(γ 5 γα γµ γβ γν )pα pβ + T r(γ 5 γα γµ γβ γν )pα q β ,
= T r(γ 5 γα γµ γβ γν )(pα pβ + pα q β ).
dan theorema Trace lagi:
T r(γ5 γµ γν γα γβ = 4iǫµναβ ,
maka:
VA
Fµν
(p, p + q) = 4iǫαµβν (pα pβ + pα q β ),
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
86
atau
VA
Fµν
(p, p + q) = −4iǫµναβ (pα pβ + pα q β ).
Tensor levi-civita:
1
(ǫαµβν pα pβ + ǫβµαν pβ pα ),
2
1
=
(ǫαµβν pα pβ − ǫαµβν pβ pα ),
2
1
=
ǫαµβν (pα pβ − pβ pα ),
2
= 0.
ǫαµβν pα pβ =
Maka persamaan (B.32) menjadi:
VA
Fµν
(p, p + q) = −4i ǫµναβ pα q β .
(B.33)
Kemudian diketahui,
qµ = (q0 , q1 , q2 , q3 ),
karena sumbu z dihimpitkan maka:
qµ = (q0 , |~q|, 0, 0),
dan
pµ = (p0 , p1 , p2 , p3 ),
= (p0 , |~p| cos θ, |~p| sin θ cos ϕ, |~p| sin θ sin ϕ),
fungsi-fungsi ganjil:
Z
2π
sin ϕdϕ = 0,
0
Z
2π
cos ϕdϕ = 0,
0
maka:
pµ = (p0 , |~p| cos θ, 0, 0) = (Ep , |~p| cos θ, 0, 0).
Karena,
µ, ν, α, β
tidak boleh ada yang sama
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
87
maka yang berharga tidak sama dengan nol adalah
α = 1, β = 0
dan α = 0, β = 1,
maka persamaan (B.33) menjadi,
VA
Fµν
= −4i ǫµναβ pα q β = 4i ǫαµβν pα q β ,
= 4i ǫ1µ0ν p1 q 0 + 4i ǫ0µ1ν p0 q 1 ,
= 4i (ǫ1µ0ν p1 q 0 + ǫ0µ1ν p0 q 1 ),
= 4i (ǫ1µ0ν |~p|q0 cos θ + ǫ0µ1ν Ep |~q|),
= 4i (ǫ1µ0ν |~p|q0 cos θ − ǫ1µ0ν Ep |~q|),
= 4i ǫ1µ0ν (|~p|q0 cos θ − Ep |~q|).
Substitusi kedalam persamaan (B.32):
A)
ΠIm(V
µν
Z
1
=
dEp 4i ǫ1µ0ν (|~p|q0 cos θ − Ep |~q|) F (Ep , Ep + q0 ),
16π|~q|
Z
i ǫ1µ0ν
dEp (|~p|q0 cos θ − Ep |~q|) F (Ep , Ep + q0 ).
=
4π|~q|
Seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan (B.18),
cos θ =
A)
ΠIm(V
µν
=
=
=
=
Z
1
16π|~q|
Z
i ǫ1µ0ν
4π|~q|
Z
i ǫ1µ0ν
8π|~q|2
Z
i ǫ1µ0ν
8π|~q|2
Z
i ǫ1µ0ν
8π|~q|2
2Ep q0 + qµ2
,
2|~p||~q|
dEp 4i ǫ1µ0ν (|~p|q0 cos θ − Ep |~q|) F (Ep , Ep + q0 ),
2Ep q0 + qµ2
dEp [|~p|q0 (
) − Ep |~q|] F (Ep , Ep + q0 ),
2|~p||~q|
dEp (2Ep q02 + qµ2 q0 − 2Ep |~q|2 ) F (Ep , Ep + q0 ),
dEp [2Ep (q02 − |~q|2 ) + qµ2 q0 ] F (Ep , Ep + q0 ),
dEp (2Ep qµ2 + qµ2 q0 ) F (Ep , Ep + q0 ),
h q2 Z
i
µ
= i ǫ1µ0ν |~q|
dEp (2Ep + q0 ) F (Ep , Ep + q0 ) .
8π|~q|3
=
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
88
Im(V A)
Secara umum persamaan Πµν
dapat ditulis sebagai,
A)
ΠIm(V
= i ǫ1µ0ν |~q| ΠV A ,
µν
dengan,
ΠV A
qµ2
=
8π|~q|3
Z
dEp (2Ep + q0 ) F (Ep , Ep + q0 ).
Perhitungan persamaan (B.31):
A)
ΠIm(V
µν
Z
1
d3 p
VA
= −
f (Ep )[1 − f (Ep+q )] Fµν
(p, p + q)
(2π)2
8Ep Ep+q
×δ[q0 − (Ep − Ep+q )].
Dengan penurunan seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamaan
(B.19) maka persamaan menjadi:
A)
ΠIm(V
µν
1
=
16π|~q|
Z
VA
dEp F (Ep , Ep − q0 ) Fµν
(p, p + q),
dan,
VA
Fµν
= −4i ǫ1µ0ν (|~p|q0 cos θ + Ep |~q|),
maka,
A)
ΠIm(V
µν
1
=−
16π|~q|
Z
dEp [4i ǫ1µ0ν (|~p|q0 cos θ + Ep |~q|)] F (Ep , Ep − q0 ).
Juga seperti pada polarisasi longitudinal persamaan (B.19),
−2Ep q0 + qµ2
cos θ =
,
2|~p||~q|
A)
ΠIm(V
µν
=
=
=
=
=
Z
h
−2Ep q0 + q 2 i
i ǫ1µ0ν
µ
−
dEp |~p|q0
+ Ep |~q| F (Ep , Ep − q0 ),
4π|~q|
2|~p||~q|
Z
i ǫ1µ0ν
−
dEp (−2Ep q02 + q0 qµ2 + 2Ep |~q|2 ) F (Ep , Ep − q0 ),
2
8π|~q|
Z
i ǫ1µ0ν
dEp [−2Ep (q02 − |~q|2 ) + q0 qµ2 ] F (Ep , Ep − q0 )
−
2
8π|~q|
Z
i ǫ1µ0ν
−
dEp (−2Ep qµ2 + q0 qµ2 ) F (Ep , Ep − q0 ),
8π|~q|2
Z
i ǫ1µ0ν qµ2
dEp (2Ep − q0 ) F (Ep , Ep − q0 ).
8π|~q|2
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
89
Substitusi seperti pada polarisasi longitudinal yaitu persamman (B.19)
A)
ΠIm(V
µν
i ǫ1µ0ν qµ2
=
8π|~q|2
Z
dEp′ (2Ep′ + q0 ) F (Ep′ + q0 , Ep′ ),
atau
A)
ΠIm(V
µν
Z
i ǫ1µ0ν qµ2
=
8π|~q|2
= i ǫ1µ0ν
= i ǫ1µ0ν
dEp (2Ep + q0 ) F (Ep + q0 , Ep ),
i
h q2 Z
µ
|~q|
dEp (2Ep + q0 ) F (Ep + q0 , Ep ) ,
8π|~q|3
|~q| ΠV A ,
Im(V A)
Secara umum persamaan Πµν
dapat ditulis sebagai,
A)
ΠIm(V
(q) = ǫαµ0ν q α ΠV A
µν
dengan,
ΠV A
qµ2
=
8π|~q|3
Z
(B.34)
dEp (2Ep + q0 ) F (Ep + q0 , Ep ).
Hasil penurunan persamaan (B.30) ditambah persamaan (B.31) adalah
ΠV A
Z ∞
qµ2
=
dEp (2Ep + q0 )
8π|~q|3 e−
×[F (Ep , Ep + q0 ) + F (Ep + q0 , Ep )].
(B.35)
= Im ΠV A (q0 , q).
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran C
Pembuktian
Fµν (p, p + q) = Fµν (p, p − q)
Misal untuk bagian vektor digunakan persamaan (A.4):
V
Fµν
(p, p + q) = T r[(6 p + me )γµ (6 p+ 6 q + me )γν ],
= 4(2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ).
(C.1)
Prinsip konservasi arus: q µ Fµν = 0, maka:
V
q µ Fµν
(p, p + q) = 0,
4q µ (2pµ pν + pµ qν + pν qµ − p.qgµν ) = 0,
8p.qpν + 4p.qqν + 4q 2 pν − 4qν p.q = 0,
8p.qpν + 4q 2 pν = 0,
2p.q = −q 2 → p.q = −
q2
2
dan
−2
p.q
= 1.
q2
(C.2)
Persamaan (C.2) disubstitusikan ke persamaan (C.1), diperoleh:
V
Fµν
(p, p
p.q
q2
+ q) = 4 2pµ pν − 2 2 (pµ qν + pν qµ ) + gµν .
q
2
(C.3)
Kemudian (p, p + q) diganti (p, p − q) juga pada persamaan (A.4):
V
Fµν
(p, p − q) = T r[(6 p + me )γµ (6 p− 6 q + me )γν ],
= 4(2pµ pν − pµ qν − pν qµ + p.qgµν ).
90
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
(C.4)
91
Dengan menggunakan cara yang sama diperoleh:
V
q µ Fµν
(p, p − q) = 0,
4q µ (2pµ pν − pµ qν − pν qµ + p.qgµν ) = 0,
8p.qpν − 4p.qqν − 4q 2 pν + 4qν p.q = 0,
8p.qpν − 4q 2 pν = 0,
2p.q = q 2 → p.q =
q2
2
dan 2
p.q
= 1.
q2
(C.5)
Juga persamaan (C.5) disubstitusikan ke persamaan (C.4), diperoleh:
V
Fµν
(p, p
p.q
q2
+ q) = 4 2pµ pν − 2 2 (pµ qν + pν qµ ) + gµν .
q
2
(C.6)
Tampak bahwa persamaan (C.3) sama dengan persamaan (C.6), sehingga
dapat disimpulkan bahwa:
Fµν (p, p + q) = Fµν (p, p − q).
Untuk kontribusi yang lain ( vektor-aksial dan aksial ) dengan cara yang
serupa akan diperoleh hasil yang sama.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran D
Tensor Neutrino
D.1 Interaksi lemah
Perhitungan tensor neutrino untuk interaksi lemah didapatkan dari persamaan (A.7),
)
Lµν(W
= T r[(6 k + mν )γ µ (1 + γ 5 )(6 k ′ + mν )γ ν (1 + γ 5 )].
ν
Massa neutrino dianggap nol ( mν ≈ 0 ), maka:
)
Lµν(W
= T r[6 k(γ µ + γ µ γ 5 ) 6 k ′ (γ ν + γ ν γ 5 )],
ν
= T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν ] + T r[6 kγ µ γ 5 6 k ′ γ ν ]
+ T r[6 kγ µ γ 5 6 k ′ γ ν γ 5 ] + T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν γ 5 ]
= 2T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν ] + 2T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν γ 5 ],
karena 6 k = kα γ α = k α γα , maka:
Lνµν(W ) = 2kα kβ′ (T r[γ α γ µ γ β γ ν ] + T r[γ α γ µ γ β γ ν γ 5 ]).
Dengan menggunakan theorema Trace:
T r[γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = 4[g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ]
T r[γ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5 ] = T r[γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = −4i ǫµνρσ ,
92
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
93
persamaan menjadi:
µ
)
Lµν(W
= 2kα kβ′ [4(g α g βν + g αν g βµ − g αβ g µν )
ν
− 4i ǫαµβν ],
karena kα g αµ = k µ dan k α k α ′ = k.k ′ , maka:
Lνµν(W ) = 8[k µ k ν ′ + k ν k µ′ − g µν (k.k ′ ) − i ǫαµβν kα kβ′ ],
dan karena k ν ′ = k ν − q ν , k.k ′ = −k.q dan k.k = k 2 = 0,
maka didapatkan tensor neutrino interaksi lemah adalah,
)
Lµν(W
= 8[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q) − i ǫαµβν kα kβ′ ].
ν
(D.1)
D.2 Interaksi Elektromagnetik
Perhitungan tensor neutrino untuk interaksi elektromagnetik didapatkan
dari persamaan (A.10),
)
Lµν(EM
ν
µ
5
5 Pµ
= T r (6 k + mν ) fmν γ + g1ν γµ γ − (f2ν + ig2ν γ )
2me
′
µ
5
5 Pν
×(6 k + mν ) fmν γ + g1ν γµ γ − (f2ν + ig2ν γ )
.
2me
Massa neutrino dianggap nol ( mν ≈ 0 ), maka:
)
Lµν(EM
ν
Pµ
= T r 6 k fmν γ + g1ν γµ γ − (f2ν + ig2ν γ )
2me
′
µ
5
5 Pν
× 6 k fmν γ + g1ν γµ γ − (f2ν + ig2ν γ )
.
2me
5
µ
5
Dengan menggunakan theorema Trace:
T r[γµ .....γν ] = 0
| {z }
ganjil
T r[γ5 γµ....... ] = 0,
| {z }
kurang dari 4
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
94
maka persamaan menjadi,
)
2
2
Lµν(EM
= fmν
T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν ] + g1ν
T r[6 kγ µ γ 5 6 k ′ γ ν γ 5 ]
ν
+ fm νg1ν T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν γ 5 ] + fm νg1ν T r[6 kγ µ γ 5 6 k ′ γ ν ]
µ ν
µ ν
′
2 P P
2 P P
+ f2ν
T r[6 k 6 k ] − g2ν
T r[6 kγ 5 6 k ′ γ 5 ]
2
2
4me
4me
2
2
µ
′ ν
= (fmν + g1ν T r[6 kγ 6 k γ ]
f 2 + g2
+ 2ν 2 2ν P µ P ν T r[6 k 6 k ′ ]
4me
+ 2fmν g1ν T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν γ 5 ].
Dengan menggunakan P µ = 2k µ − q µ ,
)
2
2
Lµν(EM
= 4(fmν
+ g1ν
)[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ )
ν
+ g µν (k.q)] − i 8fmν g1ν ǫαµβν kα kβ′
f 2 + g2
− 2ν 2 2ν 4(2k µ − q m u)(2k ν − q n u)(k.q),
4me
maka didapatkan tensor neutrino interaksi elektromagnetik adalah,
)
2
2
Lµν(EM
= 4(fmν
+ g1ν
)[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ )
ν
+ g µν (k.q)] − i 8fmν g1ν ǫαµβν kα kβ′
2
2
f2ν
+ g2ν
(k.q)[4k µ k ν − 2(k µ q ν + k ν q µ ) + q µ q ν ].
−
2
me
(D.2)
D.3 Interferensi
Perhitungan tensor neutrino untuk interferensi antara interaksi lemah dan
elektromagnetik didapatkan dari persamaan (A.14),
T)
Lµν(IN
ν
= T r (6 k + mν )γ µ (1 + γ 5 )(6 k ′ + mν )
ν
ν 5
5 Pν
× fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
.
2me
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
95
Massa neutrino dianggap nol ( mν ≈ 0 ), maka:
T)
Lµν(IN
ν
= T r 6 k(γ µ + γ µ γ 5 ) 6 k ′
ν
ν 5
5 Pν
.
× fmν γ + g1ν γ γ − (f2ν + ig2ν γ )
2me
Dengan menggunakan theorema Trace seperti pada interaksi lemah dan
elektromagnetik didapatkan,
T)
Lµν(IN
= fmν T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν ] + g1ν T r[6 kγ µ γ 5 6 k ′ γ ν γ 5 ]
ν
+ (fmν + g1ν )T r[γ 5 6 kγ µ 6 k ′ γ ν ],
= (fmν + g1ν ){T r[6 kγ µ 6 k ′ γ ν ] + T r[γ 5 6 kγ µ 6 k ′ γ ν ]},
maka didapatkan tensor neutrino untuk interferensi adalah,
T)
Lµν(IN
= 4(fmν + g1ν )[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q)
ν
− i ǫαµβν kα kβ′ .
(D.3)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran E
Kontraksi Bagian Vektor,
Vektor-Aksial dan Aksial
Untuk mempermudah perhitungan kontraksi interaksi lemah, elektromagnetik dan interferensi dihitung terlebih dahulu kontraksi bagian vektor, vektoraksial dan aksial.
E.1 Bagian Vektor
Dari matrik (B.16) diketahui suku-suku yang memberi kontribusi pada polarisasi yaitu:
Π00 , Π01 , Π10 , Π11 , Π22
dan Π33 .
Dengan demikian kontraksinya adalah:
Im(V )
Lµν
= L00 Π00 + L01 Π01 + L10 Π10 + L11 Π11 + L22 Π22 + L33 Π33 , (E.1)
ν Πµν
karena L01 = L10 , Π01 = Π10 , L22 = L33 dan Π22 = Π33 , maka
Im(V )
Lµν
= L00 Π00 + 2L10 Π10 + L11 Π11 + 2L22 Π22 .
ν Πµν
Juga untuk memudahkan perhitungan, tanpa mengurangi keumuman, dipilih kerangka dimana salah satu sumbunya dihimpitkan:
q µ = (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) = (q0 , |~q|, 0, 0),
96
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
97
dan dari konservasi arus elektron q µ Πµν = 0,
serta konservasi arus neutrino q µ Lµν = 0,
didapatkan,
q02 00
q02
11
=
Π00 , L = 2 L ,
|~q|2
|~q|
q0
q0
10
= − Π00 , L = − L00 ,
|~q|
|~q|
2
qµ
qµ2
= − 2 Π00 , LL = − 2 L00 ,
|~q|
|~q|
Π11
Π10
ΠL
(E.2)
dan dari definisi:
ΠL = Π00 − Π11 , LL = L00 − L11
Π22 + Π33
L22 + L33
ΠT =
, LT =
,
2
2
(E.3)
persamaan (E.1) menjadi,
Im(V )
Lµν
ν Πµν
q04
q02
=
1 + 2 2 + 4 L00 Π00 + 2L22 Π22 ,
|~q|
|~q|
2
q2
=
1 + 02 L00 Π00 + 2L22 Π22 ,
|~q|
2
qµ
= − 2 L00 ΠL + 2LT ΠT
|~q|
Sehingga kontraksi bagian vektor adalah,
Im(V )
Lµν
=−
ν Πµν
qµ2 00
L ΠL + 2LT ΠT
|~q|2
(E.4)
atau
Im(V )
Lµν
= LL ΠL + 2LT ΠT
ν Πµν
E.2 Bagian Vektor-Aksial
Dari persamaan (B.35) didapatkan:
A)
ΠIm(V
(q) = ǫαµ0ν q α ΠV A .
µν
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
98
Dan dipilih kerangka,
q α = (q 0 , q 1, q 2 , q 3 ) = (q0 , |~q|, 0, 0),
kemudian diselidiki harga-harga Π yang memberi kontribusi untuk,
µ, ν = 0, .., 3
yaitu yang tidak ada faktor q 2 dan q 3 , dan tidak ada indeks yang sama,
Π00 , Π01 , Π02 , Π03 , Π10 , Π11 , Π12 , Π13 , Π20 , Π21 , Π22 , Π30 , Π31 , Π33 = 0.
Sedangkan,
Im(V A)
Π23
= iǫα203 q α ΠV A ,
= i(ǫ0203 q 0 +ǫ1203 q 1 + ǫ2203 q 2 + ǫ3203 q 3 )ΠV A ,
| {z }
| {z } | {z }
=0
=0
=0
1
= iǫ1203 q ΠV A ,
Im(V A)
secara umum Π23
= iǫα203 q α ΠV A ,
dan
Im(V A)
Π32
= iǫα302 q α ΠV A ,
= i(ǫ0302 q 0 +ǫ1302 q 1 + ǫ2302 q 2 + ǫ3302 q 3 )ΠV A ,
| {z }
| {z } | {z }
=0
=0
1
1
=0
= iǫ1302 q ΠV A = −iǫ1203 q ΠV A ,
Im(V A)
atau Π32
sehingga,
= iǫα302 q α ΠV A = −iǫα203 q α ΠV A ,
Im(V A)
Π23
Im(V A)
= −Π32
,
dan,
Im(V A)
Im(V A)
Lµν
= L23 Π23
ν Πµν
Im(V A)
+ L32 Π32
,
Maka kontraksi bagian vektor-aksial adalah,
Im(V A)
Im(V A)
Lµν
= (L23 − L32 )Π23
ν Πµν
.
(E.5)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
99
E.3 Bagian Aksial
Seperti pada persamaan (E.1) pada bagian vektor, bagian aksial yang memberi kontribusi adalah:
Im(A)
Lµν
= L00 Π00 + L01 Π01 + L10 Π10 + L11 Π11 + L22 Π22 + L33 Π33 . (E.6)
ν Πµν
Dari persamaan (B.26) didapatkan,
)
ΠIm(A)
(q) = ΠIm(V
(q) + gµν ΠA ,
µν
µν
dapat diperoleh,
Im(V )
(q) + g00 = Π00
Im(V )
(q) + g01 = Π01
Im(V )
(q) + g10 = Π10
Im(V )
(q) + g11 = Π11
Im(V )
(q) + g22 = Π22
Im(V )
(q) + g33 = Π33
Im(A)
(q) = Π00
Im(A)
(q) = Π01
Im(A)
(q) = Π10
Im(A)
(q) = Π11
Im(A)
(q) = Π22
Im(A)
(q) = Π33
Π00
Π01
Π10
Π11
Π22
Π33
Im(V )
(q) + ΠA ,
Im(V )
(q),
Im(V )
(q),
Im(V )
(q) − ΠA ,
Im(V )
Im(V )
(q) − ΠA ,
(q) − ΠA .
(E.7)
Persamaan (E.7) disubstitusi kedalam persamaan (E.6), didapatkan:
Im(A)
Im(A)
Lµν
= L00 Π00
ν Πµν
Im(A)
+ L01 Π01
Im(A)
+L11 Π11
Im(V )
= L00 (Π00
Im(A)
+ L22 Π22
Im(V )
Im(V )
Im(V )
Im(V )
Im(V )
Im(V )
− ΠA ) + L33 (Π33
Im(V )
+ L10 Π10
Im(V )
+ L33 Π33
,
+ L10 Π10
Im(V )
− ΠA ) + L22 (Π22
+ L01 Π01
Im(V )
+L22 Π22
Im(A)
+ L33 Π33
+ ΠA ) + L01 Π01
+L11 (Π11
= L00 Π00
Im(A)
+ L10 Π10
Im(V )
− ΠA ),
+ L11 Π11
+ (L00 − L11 − L22 − L33 ) ΠA ,
Im(V )
= Lµν
+ (L00 − L11 − L22 − L33 ) ΠA .
ν Πµν
(E.8)
Dari persamaan (E.2) dan (E.3) diketahui,
L22 + L33
→ L22 + L33 = 2LT ,
2
qµ
q02 00
=
L → L00 − L11 = − 2 L00 .
2
|~q|
|~q|
LT =
L11
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
100
Persamaan (E.8) menjadi,
Im(A)
Lµν
ν Πµν
=
=
+
=
qµ2 00
+ (− 2 L − 2LT ) ΠA ,
|~q|
qµ2 1 2
Im(V )
Lµν
Π
+
−
8
2E(E
−
q
)
+
q
0
ν
µν
|~q|2
2 µ
qµ2 1 2
2
8
2E(E
−
q
)
+
q
+
|~
q
|
ΠA ,
0
|~q|2
2 µ
qµ2
Im(V )
Lµν
Π
+
8|~q|2 ΠA ,
ν
µν
|~q|2
Im(V )
Lµν
ν Πµν
Sehingga kontraksi bagian aksial adalah,
Im(A)
Im(V )
Lµν
= Lµν
+ 8qµ2 ΠA .
ν Πµν
ν Πµν
(E.9)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran F
Kontraksi Interaksi Lemah
Total kontraksi untuk interaksi lemah, terdiri dari kontraksi bagian vektor,
vektor-aksial dan aksial. Diketahui dari persamaan (A.3) dan (B.13)
Im(W )
Im(V )
Im(V A)
Im(A)
Lµν
= CV2 Lµν
+ 2CV CA Lµν
+ CA2 Lµν
.
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
(F.1)
F.1 Bagian Vektor
Kontraksi bagian vektor diketahui dari persamaan (E.3) dan (E.4),
Im(V )
Lµν
=−
ν Πµν
qµ2 00
L ΠL + 2LT ΠT ,
|~q|2
dengan LT =
L22 + L33
.
2
Dengan menggunakan tensor neutrino interaksi lemah pada persamaan
(D.1),
)
Lµν(W
= 8[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q) − i ǫαµβν kα kβ′ ].
ν
Kemudian dihitung L00 dan LT , dengan ketentuan:
kerangka yang dipakai adalah,
(q 0 , q 1, q 2 , q 3 ) = (q0 , |~q|, 0, 0),
(k 0 , k 1 , k 2 , k 3 ) = (E, |~k| cos θ, |~k| sin θ cos ϕ, |~k| sin θ sin ϕ),
101
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
102
dan untuk neutrino
1 2
q ,
2 µ
Eq0 − 12 qµ2
2Eq0 − qµ2
=
.
cos θ =
|~k||~q|
2|~k||~q|
k.q =
L00 = 8[2(k 0 k 0 − (k 0 q 0 + k 0 q 0 ) + g 00 k.q − iǫα0β0 kα kβ′ ],
dengan g 00 = 1 dan ǫα0β0 = 0, maka
1
L00 = 8[2E 2 − 2Eq0 + qµ2 ],
2
1 2
= 8[2E(E − q0 ) + qµ ].
2
Dan,
L22 = 8(2k 2 k 2 − (k 2 q 2 + k 2 q 2 ) + g 22 )k.q − iǫα2β2 kα kβ′ ,
dengan q 3 = 0, g 22 = −1 dan ǫα2β2 = 0, maka
L22 = 8[2(k 2 )2 − k.q].
L33 = 8[2k 3 k 3 − (k 3 q 3 + k 3 q 3 ) + g 33 k.q − iǫα3β3 kα kβ′ ,
dengan q 3 = 0, g 33 = −1 dan ǫα3β3 = 0, maka
L33 = 8[2(k 3 )2 − k.q].
Sehingga,
L22 + L33
,
2
= 8[(k 2 )2 + (k 3 )2 − k.q],
1 = 8 |~k|2 sin2 θ cos2 ϕ + |~k|2 sin2 θ sin2 ϕ) − qµ2 ,
2
2 2
1
2
2
2
= 8 |~k| sin θ(cos ϕ + sin ϕ) − qµ ,
2
LT =
LT
dengan sin2 θ(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = sin2 θ = 1 − cos2 θ, maka
n h
Eq − 1 q 2 2 i 1 o
0
2 µ
2
~
LT = 8 |k| 1 −
− qµ2 ,
2
|~k||~q|
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
103
karena
kµ2 = k02 − |~k|2 ,
kµ2 = m2ν = 0
karena massa neutrino dianggap nol, maka
|~k|2 = k02 = E 2 .
Persamaan menjadi,
qµ4
E 2 q02 Eq0 qµ2
1 2
2
= 8 E −
+
−
− q ,
|~q|2
|~q|2
4|~q|2 2 µ
E 2 q 2 Eq0 q 2
qµ4
1 2
µ
µ
+
−
−
q ,
= 8 −
|~q|2
|~q|2
4|~q|2 2 µ
qµ2 2
1 2 1 2
= −8 2 E − Eq0 + qµ + |~q| ,
|~q|
4
2
2 h
i
qµ
1
= −4 2 2E(E − q0 ) + qµ2 + |~q|2 .
|~q|
2
LT
Dan,
2LT = −8
Dengan demikian maka,
i
qµ2 h
1 2
2
2E(E
−
q
)
+
q
+
|~
q
|
.
0
|~q|2
2 µ
Im(V )
Lµν
=
ν Πµν
i
i
qµ2 h
qµ2 h
1 2
1 2
2
2
2E(E
−
q
)
+
q
+
|~
q
|
Π
−
8
2E(E
−
q
)
+
q
+
|~
q
|
ΠT ,
0
L
0
|~q|2
2 µ
|~q|2
2 µ
h 2E(E − q0 ) + 1 q 2 |~q|2 i
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
2 µ
2
2
ΠL − 8qµ
+ 2 ΠT ,
= −8qµ
2
2
|~q|
|~q|
|~q|
1 2
2E(E − q0 ) + 2 qµ
= −8qµ2
(ΠL + ΠT ) − 8qµ2 ΠT .
|~q|2
|
{z
}
= −8
= AW
Sehingga bagian vektor kontraksi interaksi lemah adalah
Im(V )
Lµν
= −8qµ2 AW (ΠL + ΠT ) − 8qµ2 ΠT
ν Πµν
(F.2)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
104
F.2 Bagian Vektor-Aksial
Bagian vektor-aksial didapat dari persamaan (E.5),
Im(V A)
Im(V A)
Lµν
= L23 Π23
ν Πµν
Im(V A)
+ L32 Π32
= (L23 − L32 )ΠV23A .
Sama dengan bagian vektor, digunakan tensor neutrino interaksi lemah
yaitu persamaan (D.1),
)
Lµν(W
= 8[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q) − i ǫαµβν kα kβ′ ].
ν
Kemudian dihitung L23 dan L32 ,
L23 = 8[2k 2 k 3 − (k 2 q 3 + k 3 q 2 ) + g 23 k.q − i ǫα2β3 kα kβ′ ],
L32 = 8[2k 3 k 2 − (k 3 q 2 + k 2 q 3 ) + g 32 k.q − i ǫα3β2 kα kβ′ ],
karena g 23 = 0, g 32 = 0 dan q 2 = q 3 = 0, maka
L23 = 8[2k 2 k 3 − i ǫα2β3 kα kβ′ ],
L32 = 8[2k 3 k 2 − i ǫα3β2 kα kβ′ ].
Sehingga
Im(V A)
Lµν
= (L23 − L32 )ΠV A ,
ν Πµν
= 8[2k 2 k 3 − i ǫα2β3 kα kβ′ − (2k 3 k 2 − i ǫα3β2 kα kβ′ )] ΠV23A ,
= 8i kα kβ′ (−i ǫα2β3 + i ǫα3β2 kα kβ′ ) ΠV23A ,
= 8i kα kβ′ (ǫα3β2 + ǫα3β2 kα kβ′ ) ΠV23A ,
= 16i kα kβ′ ǫα3β2 ΠV23A ,
= 16i kα kβ′ ǫα3β2 (iǫ23α0 q α ΠV A ),
dengan ketentuan,
ǫ23α0 q α = ǫ23σ0 q σ ,
ǫ23αβ ǫ23σρ = gσα gρβ − gρα gσβ ,
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
105
persamaan menjadi,
Im(V A)
Lµν
= −16 q σ kα kβ′ ΠV A ǫα3β2 ǫ23σ0 ,
ν Πµν
= −16 q σ kα kβ′ ΠV A ǫ23αβ ǫ23σ0 ,
= −16 q σ kα kβ′ ΠV A ǫ23αβ ǫ23σρ δρ0 ,
= −16 q σ kα kβ′ ΠV A (gσα gρβ − gρα gσβ )δρ0 ,
= −16 q σ (kα kρ′ ΠV A gσα − kρ kβ′ ΠV A gσβ )δρ0 ,
= −16 q σ (kσ kρ′ ΠV A − kρ kσ′ ΠV A )δρ0 ,
= −16 ΠV A (q σ kσ kρ′ − q σ kρ kσ′ )δρ0 ,
= −16 ΠV A (q.kkρ′ − q.k ′ kρ )δρ0 ,
= −16 ΠV A (q.kk0′ − q.k ′ k0 ),
= −16 ΠV A [q.k(k0 − q0 ) − q.(k − q)k0],
= −16 ΠV A (q.kk0 − q.kq0 − q.kk0 + q 2 k0 ),
= −16 ΠV A (−q.kq0 + q 2 k0 ],
qµ2
= −16 ΠV A (− q0 + qµ2 E),
2
Sehingga bagian vektor-aksial kontraksi interaksi lemah adalah,
Im(V A)
Lµν
= −8 qµ2 (2E − q0 )ΠV A .
ν Πµν
(F.3)
F.3 Bagian Aksial
Telah diketahui dari persamaan (E.9), bagian aksial kontraksi interaksi lemah,
Im(A)
Im(V )
Lµν
= Lµν
+ 8qµ2 ΠA .
ν Πµν
ν Πµν
(F.4)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
106
F.4 Total Kontraksi Interaksi Lemah
Substitusi persamaan-persamaan (F.2), (F.3) dan (F.4) ke persamaan (F.1),
menghasilkan:
Im(W )
Im(V )
Im(V A)
Im(A)
Lµν
= CV2 Lµν
+ 2CV CA Lµν
+ CA2 Lµν
,
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
Im(V )
= CV2 Lµν
+ 2CV CA [−8 qµ2 (2E − q0 )ΠV A ]
ν Πµν
Im(V )
+ CA2 [Lµν
+ 8qµ2 ΠA ],
ν Πµν
Im(V )
= (CV2 + CA2 ) Lµν
+ 2CV CA [−8 qµ2 (2E − q0 )ΠV A ]
ν Πµν
+ CA2 8qµ2 ΠA ,
Im(W )
Lµν
= (CV2 + CA2 )[−8qµ2 AW (ΠL + ΠT ) − 8qµ2 ΠT ]
ν Πµν
+ 2CV CA [−8 qµ2 (2E − q0 )ΠV A ] + CA2 8qµ2 ΠA ,
= −8 qµ2 [AW (CV2 + CA2 )(ΠL + ΠT ) + (CV2 + CA2 )ΠT
+ 2CV CA ΠV A (2E − q0 ) − CA2 ΠA ],
= −8 qµ2 [AW (CV2 + CA2 )(ΠL + ΠT ) + CV2 ΠT + CA2 (ΠT − ΠA )
{z
} |
{z
}
|
= RW1
= RW2
+ 2CV CA ΠV A (2E − q0 )].
{z
} | {z }
|
= RW3
= BW
Jadi total kontraksi interaksi lemah adalah,
Im(W )
Lµν
= −8 qµ2 (AW RW1 + RW2 + RW3 BW ),
ν Πµν
(F.5)
dengan
2E(E − q0 ) + 21 qµ2
,
|~q|2
= 2E − q0 ,
AW =
BW
RW1 = (CV2 + CA2 )(ΠL + ΠT ),
RW2 = CV2 ΠT + CA2 (ΠT − ΠA ),
RW3 = 2CV CA ΠV A .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran G
Kontraksi Interaksi
Elektromagnetik
Kontraksi interaksi elektromagnetik hanya terdiri dari bagian vektor saja.
Kontraksi bagian vektor dapat dilihat pada persamaan (E.3) dan (E.4),
Im(EM )
Im(V )
Lµν
= Lµν
=−
ν Πµν
ν Πµν
,
dengan LT =
L22 + L33
.
2
qµ2 00
L ΠL + 2LT ΠT ,
|~q|2
Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino interaksi elektromagnetik
pada persamaan (D.2), maka diperoleh
)
2
2
Lµν(EM
= 4(fmν
+ g1ν
)[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ )
ν
+ g µν (k.q)] − i 8fmν g1ν ǫαµβν kα kβ′
−
2
2
f2ν
+ g2ν
(k.q)[4k µ k ν − 2(k µ q ν + k ν q µ ) + q µ q ν ].
m2e
Misalkan,
2
2
a = 4(fmν
+ g1ν
),
2
2
f +g
b = 2ν 2 2ν ,
me
107
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
108
Kemudian dihitung L00 , −
qµ2 00
L ΠL , L22 , L33 dan L22 + L33 ,
|~q|2
L00 = a[2k 0 k 0 − (k 0 q 0 + k 0 q 0 ) + g 00 k.q] − 8i fmν g1ν ǫα0β0 kα kβ′
− b(k.q)[4k 0 k 0 − 2(k 0 q 0 + q 0 k 0 ) + q 0 q 0 ],
1
1
= a(2E 2 − 2Eq0 + qµ2 ) − bqµ2 (4E 2 − 4Eq0 + q02 ),
2
2
1
1
1
= a(2E 2 − 2Eq0 + qµ2 ) − bqµ2 (2E 2 − 2Eq0 + qµ2 ) − b|~q|2 qµ2 ,
2
2
2
1
1
= −(bqµ2 − a)[2E(E − q0 ) + qµ2 ] − b|~q|2 qµ2 .
2
2
−
qµ2 00
2E(E − q0 ) + 12 qµ2 1 2 2
2
2
L
Π
=
[q
(bq
−
a)
+ bqµ qµ ]ΠL ,
L
µ
µ
|~q|2
|~q|2
2
|
{z
}
= AW
1
= [(bqµ2 − a)AW + bqµ2 ]qµ2 ΠL .
|
{z 2
}
= AEM
L22 = a[2k 2 k 2 − (k 2 q 2 + k 2 q 2 ) + g 22 k.q] − 8i fmν g1ν ǫα2β2 kα kβ′
− b(k.q)[4k 2 k 2 − 2(k 2 q 2 + q 2 k 2 ) + q 2 q 2 ],
1
1
= a[2(k 2 )2 − qµ2 ] − bqµ2 [4(k 2 )2 ],
2
2
1
2
2
2
= a[2|~k| sin θ cos ϕ − qµ2 ] − bqµ2 (2|~k| sin2 θ cos2 ϕ),
2
1
2
2
2
= [2|~k| sin θ cos ϕ](a − bqµ2 ) − aqµ2 .
2
1
1
L33 = a[2(k 3 )2 − qµ2 ] − bqµ2 [4(k 3 )2 ],
2
2
1
= a[2|~k|2 sin2 θ sin2 ϕ − qµ2 ] − bqµ2 (2|~k|2 sin2 θ sin2 ϕ),
2
1
= [2|~k|2 sin2 θ sin2 ϕ](a − bqµ2 ) − aqµ2 .
2
L22 + L33 = (a − bqµ2 )[2|~k|2 sin2 θ(sin2 ϕ + cos2 ϕ)] − aqµ2 ,
= −(bqµ2 − a)[2|~k|2 (1 − cos2 θ)] − aqµ2 ,
h
2Eq0 − q 2 2 i
µ
= −(bqµ2 − a) 2|~k|2 − 2|~k|2
− aqµ2 ,
~
2|k||~q|
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
109
qµ4 4E 2 q02 4Eq0 qµ2
L22 + L33 = −(bqµ2 − a) 2E 2 −
+
−
− aqµ2 ,
2|~q|2
2|~q|2
2|~q|2
qµ2
qµ4 q2
2
2 µ
= −(bqµ − a) − 2E
+ 2Eq0 2 −
− aqµ2 ,
2
2
|~q|
|~q|
2|~q|
2 2E 2 2Eq
qµ
0
= (bqµ2 − a)qµ2
−
+
− aqµ2 ,
2
2
|~q|
|~q|
2|~q|2
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
2
2
= (bqµ − a)qµ
−aqµ2 ,
2
|~q|
|
{z
}
= AW
h
1 2i 2 1 2
2
= (bqµ − a)AW + bqµ qµ − bqµ + a qµ2 ,
{z 2
} | 2 {z
}
|
= AEM
= BEM
= AEM − BEM .
Dan selanjutnya,
qµ2 00
L ΠL + (L22 + L33 )ΠT ,
|~q|2
= AEM ΠL + (AEM − BEM )ΠT ,
Im(EM )
Lµν
= −
ν Πµν
= AEM (ΠL + ΠT ) −BEM ΠT ,
|{z}
| {z }
= REM1
= REM2
Jadi kontraksi interaksi elektromagnetik adalah,
Im(EM )
Lµν
= AEM REM1 − BEM REM2 ,
ν Πµν
(G.1)
dengan,
2
2
a = 4(fmν
+ g1ν
),
2
2
f +g
b = 2ν 2 2ν ,
me
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
,
AW =
|~q|2
h
1 i
AEM = (bqµ2 − a)AW + bqµ2 qµ2 ,
2
1
BEM =
bq 2 + a qµ2 ,
2 µ
REM1 = ΠL + ΠT ,
REM2 = ΠT .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
110
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran H
Kontraksi Interferensi
Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interferensi terdiri dari bagian vektor dan bagian vektor-aksial, dapat dilihat pada persamaan (A.14) dan (B.13),
Im(IN T )
Im(V )
Im(V A)
Lµν
= CV Lµν
+ CA Lµν
.
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
(H.1)
H.1 Bagian Vektor
Kontraksi bagian vektor diketahui dari persamaan (E.3) dan (E.4),
Im(V )
Lµν
=−
ν Πµν
qµ2 00
L ΠL + 2LT ΠT ,
|~q|2
dengan LT =
L22 + L33
.
2
Dengan menggunakan tensor neutrino untuk interferensi seperti pada persamaan (D.3),
T)
Lµν(IN
= 4(fmν + g1ν )[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q)
ν
− i ǫαµβν kα kβ′ .
Misalkan,
ã = fmν + g1ν ,
111
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
112
Kemudian dihitung L00 , −
qµ2 00
L ΠL , L22 , L33 dan L22 + L33 ,
|~q|2
L00 = 4ã[2k 0 k 0 − (k 0 q 0 + k 0 q 0 ) + g 00 k.q − iǫα0β0 kα kβ′ ],
1
= 4ã(2E 2 − 2Eq0 + qµ2 ),
2
1 2
= 4ã(2E(E − q0 ) + qµ ).
2
qµ2 00
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
2
− 2 L ΠL = −4ã qµ
ΠL ,
|~q|
|~q|2
|
{z
}
= −4ã
= AINT = AW
2
qµ AIN T ΠL .
L22 = 4ã[2k 2 k 2 − (k 2 q 2 + k 2 q 2 ) + g 22 k.q − iǫα2β2 kα kβ′ ],
1
1
= 4ã[2(k 2 )2 − qµ2 ] = 4ã(2|~k|2 sin2 θ cos2 ϕ − qµ2 ),
2
2
1
1
L33 = 4ã[2(k 3 )2 − qµ2 ] = 4ã(2|~k|2 sin2 θ sin2 ϕ − qµ2 ).
2
2
Dengan perhitungan yang sejenis dengan bagian vektor kontraksi interaksi
lemah dan elektromagnetik, didapatkan:
L22 + L33 = 4ã(2|~k|2 sin2 θ − qµ2 ),
= 4ã[2|~k|2 (1 − cos2 θ) − qµ2 ],
= 4ã[2|~k|2 (1 − cos2 θ) − qµ2 ],
h
2Eq0 − q 2 2
i
µ
2
2
2
= 4ã 2k − 2k
− qµ ,
2|~k||~q|
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
2
= −4ã qµ
+1,
|~q|2
|
{z
}
= −4ã
= AINT = AW
2
qµ (AIN T + 1)
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
113
Kemudian dihitung,
Im(V )
Lµν
ν Πµν
qµ2 00
= − 2 L ΠL + (L22 + L33 )ΠT ,
|~q|
= −4ã qµ2 AIN T ΠL − 4ã qµ2 (AIN T + 1)ΠT ,
= −4ã qµ2 AIN T ΠL − 4ã qµ2 AIN T ΠT − 4ã qµ2 ΠT ,
= −4ã qµ2 AIN T (ΠL + ΠT ) − 4ã qµ2 ΠT .
Sehingga bagian vektor kontraksi interferensi adalah,
Im(V )
Lµν
= −4ã qµ2 AIN T (ΠL + ΠT ) − 4ã qµ2 ΠT .
ν Πµν
(H.2)
H.2 Bagian Vektor-Aksial
Kontraksi bagian vektor-aksial didapat dari persamaan (E.5),
Im(V A)
Im(V A)
Lµν
= L23 Π23
ν Πµν
Im(V A)
+ L32 Π32
= (L23 − L32 )ΠV23A .
Dengan menggunakan tensor neutrino untuk interferensi seperti pada persamaan (D.3),
T)
Lµν(IN
= 4(fmν + g1ν )[2k µ k ν − (k µ q ν + k ν q µ ) + g µν (k.q)
ν
− i ǫαµβν kα kβ′ .
Misalkan,
ã = fmν + g1ν ,
Im(V A)
Dihitung Lµν
ν Πµν
, dengan perhitungan yang sejenis dengan bagian vektor-
aksial interaksi lemah,
L23 = 4ã(2k 2 k 3 − iǫα2β3 kα kβ′ ),
L32 = 4ã(2k 3 k 2 − iǫα3β2 kα kβ′ ),
L23 − L32 = 4iãkα kβ′ (−ǫα2β3 + ǫα3β2 ),
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
114
kontraksi bagian vektor-aksial didapat dari persamaan (E.5), dan polarisasi
vektor-aksial didapat dari persamaan (B.34),
Im(V A)
Lµν
= (L23 − L32 )ΠV23A ,
ν Πµν
ΠV23A = iǫα203 q α ΠV A ,
sehingga bagian vektor-aksial kontraksi interferensi adalah,
Im(V A)
Lµν
= −4ã qµ2 (2E − q0 )ΠV A ,
ν Πµν
(H.3)
H.3 Total Kontraksi Interferensi
Total kontraksi interferensi didapatkan dengan mensubstitusi persamaan
(H.2) dan (H.3) ke persamaan (H.1),
Im(IN T )
Im(V )
Im(V A)
Lµν
= CV Lµν
+ CA Lµν
,
ν Πµν
ν Πµν
ν Πµν
= CV [−4ã qµ2 AIN T (ΠL + ΠT ) − 4ã qµ2 ΠT ]
+CA [−4ã qµ2 (2E − q0 )ΠV A ],
= −4ã qµ2 [AIN T CV (ΠL + ΠT ) + CV ΠT + (2E − q0 ) CA ΠV A ].
|
{z
} | {z } | {z } | {z }
=RINT1
=RINT2
=BINT
=RINT3
Jadi total kontraksi interferensi adalah,
Im(IN T )
Lµν
= −4ã qµ2 (AIN T RIN T1 + RIN T2 + BIN T RIN T3 ),
ν Πµν
(H.4)
dengan
ã = fmν + g1ν ,
2E(E − q0 ) + 12 qµ2
AIN T = AW =
,
|~q|2
BIN T = BW = 2E − q0 ,
RIN T1 = CV (ΠL + ΠT ),
RIN T2 = CV ΠT ,
RIN T3 = CA ΠV A .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Lampiran I
Random Phase Approximation
(RPA)
I.1 Polarisasi Transversal
Persamaan Dyson untuk polarisasi transversal:
dengan solusi:
e T = ΠT + Π
e T DT ΠT ,
Π
eT = Π
e T − ΠT = ΠT (1 − DT ΠT )−1 DT ΠT ,
δΠ
= ΠT (1 + χγ ΠT )−1 (−χγ ΠT ),
DT = −χγ ,
e2
χγ = − 2 ,
qµ
Ditambahkan koreksi massa foton efektif maka
−
e2
e2
→
−
,
qµ2
qµ2 + m2t
115
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
(I.1)
116
dengan m2t adalah massa foton efektif seperti pada persamaan (2.21).
eT =
δΠ
ΠT (1 + χγ ΠT )−1 (−χγ )ΠT ,
I −1
R
I 2
= −χγ (1 + χγ ΠR
T + i χγ ΠT ) (ΠT + i ΠT ) ,
1
I
R2
I2
R I
= − χγ (1 + χγ ΠR
T − i χγ ΠT )(ΠT − ΠT + i 2ΠT ΠT ),
ǫT
1
i
R2
I2
R I
χγ (1 + χγ ΠR
= − χγ (1 + χγ ΠR
T )(ΠT − ΠT ) −
T )(2ΠT ΠT )
ǫT
ǫT
2
i 2 I R2
2
I2
− χ2γ ΠR
χγ ΠT (ΠT − ΠIT ),
T ΠT +
ǫT
ǫT
dan
eT =
Im δ Π
1
R I
2 I
R2
I2
[−2(1 + χγ ΠR
T )χγ ΠT ΠT + χγ ΠT (ΠT − ΠT )]).
ǫT
Sehingga korelasi RPA untuk polarisasi transversal dapat ditulis,
eT = −
Im δ Π
dengan,
1
R2
I2
χγ ΠIT [2ΠR
T + χγ (ΠT + ΠT )],
ǫT
(I.2)
2
2
2 I
ǫT = (1 + χγ ΠR
T ) + χγ ΠT .
I.2 Polarisasi Vektor-Aksial
Persamaan Dyson untuk polarisasi vektor-aksial adalah
dengan solusi
eV A =
δΠ
e V A = ΠV A + Π
e V A DT ΠT ,
Π
e V A − ΠV A = ΠV A (1 − DT ΠT )−1 DT ΠT ,
Π
ΠV A (1 + χγ ΠT )−1 (−χγ )ΠT ,
1
I
R
I
R
I
=
(−χγ )(1 + χγ ΠR
T − i χγ ΠT )[(ΠV A + i ΠV A )(ΠT + i ΠT )],
ǫT
1
R
R
I
I
=
(−χγ )(1 + χγ ΠR
T )[(ΠV A ΠT − ΠV A ΠT )
ǫT
R
I
R
+i (ΠIV A ΠR
T + ΠV A ΠT )](1 + χγ ΠT )
1
R
I
I
I
R
R
I
+ χ2γ ΠIT [i (ΠR
V A ΠT − ΠV A ΠT ) − (ΠV A ΠT + ΠV A ΠT )],
ǫT
=
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
117
dan,
1
I
R
R
I
(−χγ )(1 + χγ ΠR
T )(ΠV A ΠT + ΠV A ΠT )
ǫT
1 2 I R R
χγ ΠT (ΠV A ΠT − ΠIV A ΠIT ).
+
ǫT
eV A =
Im δ Π
Sehingga korelasi RPA untuk polarisasi vektor-aksial dapat ditulis,
e V A = 1 (−χγ )[(ΠI ΠR + ΠR ΠI ) + χγ ΠI (ΠR2 + ΠI 2 )],
Im δ Π
VA T
VA T
VA
T
T
ǫT
(I.3)
dengan,
2
2
2 I
ǫT = (1 + χγ ΠR
T ) + χγ ΠT .
I.3 Polarisasi Aksial
persamaan Dyson untuk polarisasi aksial
dengan solusi
eA =
δΠ
=
=
e A = ΠA + ΠV A DT Π
e V A,
Π
e A − ΠA = ΠV A DT Π
e V A,
Π
ΠV A DT (1 − DT ΠT )−1 ΠV A ,
ΠV A (−χγ )(1 + χγ ΠT )−1 ΠV A ,
= −χγ Π2V A (1 + χγ ΠT )−1 ,
1
I
R2
I2
R
I
= − χγ (1 + χγ ΠR
T − i χγ ΠT )(ΠV A − ΠV A + i 2ΠV A ΠV A ),
ǫT
1
R2
I2
R
I
I
= − χγ [(1 + χγ ΠR
T )(ΠV A − ΠV A ) + 2χγ ΠV A ΠV A ΠT
ǫT
2
I2
R
R
I
+ i(−χγ ΠIT (ΠR
V A − ΠV A ) + 2(1 + χγ ΠT )ΠV A ΠV A )].
Sehingga korelasi RPA untuk polarisasi aksial dapat ditulis,
e A = − 2 (1 + χγ ΠR )χγ ΠR ΠI + 1 χ2 ΠI (ΠR2 − ΠI 2 ),
Im δ Π
T
VA VA
VA
ǫT
ǫT γ T V A
(I.4)
dengan,
2
2
2 I
ǫT = (1 + χγ ΠR
T ) + χγ ΠT .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
118
I.4 Polarisasi Longitudinal
persamaan Dyson untuk polarisasi longitudinal
e L = ΠL + Π
e L DL ΠL ,
Π
dengan solusi
eL = Π
e L − ΠL = ΠL (1 − DL ΠL )−1 DL ΠL ,
δΠ
DL = −χ̃γ = −
qµ2
qµ2
e2
e2
(χ
)
=
−
(−
)
=
= χ̄γ ,
γ
|~q|2
|~q|2 qµ2
|~q|2
Ditambahkan koreksi massa foton efektif maka bentuknya menjadi,
−
e2
e2
→
−
|~q|2
|~q|2 + m2t
(I.5)
dengan m2t adalah massa foton efektif seperti pada persamaan (2.21).
eL =
δΠ
ΠL (1 − χ̄γ ΠL )−1 χ̄γ ΠL ,
I −1
R
I 2
χ̄γ (1 − χ̄γ ΠR
L − i χ̄γ ΠL ) (ΠL + iΠL ) ,
1
I
R2
I2
R I
=
χ̄γ (1 − χ̄γ ΠR
L + i χ̄γ ΠL )(ΠL − ΠL + i 2ΠL ΠL ),
ǫL
1
R2
I2
2 R I2
[χ̄γ (1 − χ̄γ ΠR
=
L )(ΠL − ΠL ) − χ̄γ ΠL ΠL ],
ǫL
1
R I
I
R2
I2
+ [i 2χ̄γ (1 − χ̄γ ΠR
L )ΠL ΠL + i χ̄γ ΠL (ΠL − ΠL ),
ǫL
=
dan
e L = 1 [2χ̄γ (1 − χ̄γ ΠR )ΠR ΠI + χ̄γ ΠI (ΠR2 − ΠI 2 )]
Im δ Π
L
L L
L
L
L
ǫL
Sehingga korelasi RPA untuk polarisasi longitudinal dapat ditulis,
dengan,
eL =
Im δ Π
1
R2
I2
χ̄γ ΠIL [2ΠR
L − χ̄γ (ΠL + ΠL )],
ǫL
(I.6)
2
2
2 I
ǫL = (1 − χ̄γ ΠR
L ) + χ̄γ ΠL .
Bentuk eksplisit dari komponen real dan imaginer polarisasi untuk temperatur nol didapat dari referensi (Lim & Horowitz 1989, Horowitz & Wehr-
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
119
berger 1991a) adalah,
Re ΠL
qµ2 h 2
1 2 kF + EF =
k
E
−
|~q| ln
F
F
π 2 |~q|2 3
6
me
2
2
EF (3qµ2 + 4EF2 )
q0
q − 3|~q|
+
EF2 + 0
ln |α| −
ln |β|
4|~q|
12
24|~q|
i
|~q2 |
2
2
2
2
+
(2m
+
q
)(4m
−
q
)
Λ
.
e
µ
e
µ
12qµ2
Re ΠT
1 h1
2q02 1 2 kF + EF =
kF EF 1 + 2 + qµ ln
2π 2 3
|~q|
3
me
2 2
2
2
2
q0 qµ q0 + 3|~q|
|~q| me
+
+
+ EF2 ln |α|
3
4|~q|
12
qµ2
EF |~q|4 − q04 m2e qµ2 EF2 −
−
ln |β|
+
|~q|
8|~q|2
2
6|~q|2
i
1
2
2
2
2
− (2me + qµ )(4me − qµ ) Λ .
6
Re ΠV A =
qµ2 n me h
1
|~q|kF + q0 EF ln |α|
2
2
2|~q| me 2π |~q|
2
o
q2 E 2
2 2 |~q| me
µ
F
ln |β| .
−
+
+
8
2
2qµ2
dengan,
α =
qµ4 − 4(q0 EF − |~q|kF )2
,
qµ4 − 4(q0 EF + |~q|kF )2
(qµ2 + 2|~q|kF )2 − 4q02 EF2
,
(qµ2 − 2|~q|kF )2 − 4q02 EF2
1 qµ4 EF − 4q0 m2e (q0 EF
ln 4
Λ =
2ξ
qµ EF − 4q0 m2e (q0 EF
1 qµ4 EF − 4q0 m2e (q0 EF
ln 4
+
2ξ
qµ EF − 4q0 m2e (q0 EF
q
ξ =
qµ2 (qµ2 − 4m2e ).
β =
− |~q|kF ) − kF qµ2 ξ − |~q|kF ) + kF qµ2 ξ
+ |~q|kF ) − kF qµ2 ξ ,
+ |~q|kF ) + kF qµ2 ξ
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
120
Dan,
i
qµ2 h qµ2
q0 2
1 3
2
3
(E
−
E)
+
(E
−
E
)
+
(E
−
E
)
.
F
2π|~q|3 4
2 F
3 F
qµ4 q0 qµ2 2
1 h 2 qµ2
=
me +
+
(E
−
E)
+
(E − E 2 )
F
4π|~q|
2
4|~q|2
2|~q|2 F
i
qµ2
3
3
(E
−
E
)
.
+
3|~q|2 F
qµ2
=
[q0 (EF − E) + (EF2 − E 2 )].
8π|~q|3
m2e
=
(EF − E).
2π|~q|
Im ΠL =
Im ΠT
Im ΠV A
Im ΠA
Untuk komponen polarisasi yang riel perhitungannya serupa, tetapi karena
keterbatasan waktu kami hanya mengambil hasil yang diperoleh dari referensi (Horowitz & Wehrberger 1991b).
Bentuk eksplisit dari komponen riel polarisasi untuk temperatur berhingga
adalah,
Re ΠL
Z ∞
i
2qµ2
kdk h
βEk −α −1
βEk +α −1
=
(1 + e
) + (1 + e
)
π 2 |~q|3 0 EK
h
i
1 2
1
1 2
1
× |~k||~q| − (EK
− EK q0 + qµ2 )L(EK ) − (EK
+ EK q0 + qµ2 )L(−EK ) .
2
4
2
4
Re ΠT
Z ∞
i
2
kdk h
βEk −α −1
βEk +α −1
=
(1
+
e
)
+
(1
+
e
)
π 2 |~q|3 0 EK
n1
i
1
1h
1
×
|~k||~q|(q02 + |~q|2 ) − m2e |~q|2 + qµ2 (Ek − q0 )2 + qµ2 |~q|2 L(Ek )
2
4
2
4
i
o
1h 2 2
1
1
− me |~q| + qµ2 (Ek + q0 )2 + qµ2 |~q|2 L(−Ek ) .
4
2
4
Re ΠV A
dengan,
n −2m Z ∞ kdk h
i
qµ2
e
βEk −α −1
βEk +α −1
=
(1
+
e
)
−
(1
+
e
)
2|~q|2 me 2π 2 |~q| 0 Ek
h
io
1
1
× (Ek − q0 )L(Ek ) + (Ek + q0 )L(−Ek ) .
2
2
2xq − q 2 − 2|~k||~q| 0
µ
L(x) = ln
,
2
~
2xq0 − qµ + 2|k||~q|
q
Ek = m2e + ~k 2 .
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
121
Bentuk eksplisit dari komponen imaginer Polarisasi untuk temperatur berhingga didapat dari persamaan (B.17), (B.20), (B.21) dan (B.25):
Im ΠL =
Im ΠT =
Im ΠV A =
Im ΠA =
Z ∞
qµ2
1
1
dE[(E + q0 )2 − |~q|2 ] × [F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E)].
3
2π|~q| e−
2
4
Z ∞
2
qµ
1 2 1 2 |~q|2 m2e
dE[(E
+
q0 ) + |~q| +
]
4π|~q|3 e−
2
4
qµ2
×[F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E)].
Z ∞
qµ2
dE[2E + q0 ] × [F (E, E + q0 ) − F (E + q0 , E)].
8π|~q|3 e−
Z ∞
m2e
dE × [F (E, E + q0 ) + F (E + q0 , E)].
2π|~q| e−
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
Daftar Acuan
[1] Balantekin, A. B., Volpe, C., dan Welzel, J. (2007). Impact of the neutrino
magnetic moment on supernova r-process nucleosynthesis. Journal of
Cosmologi Astroparticle Physics 0709, 016. arXiv:0706.3023v1[astro-ph].
[2] Braaten, E., dan Segel, D. (1993). Neutrino energy loss from the plasma process at all temperatur and densities. Physical Review D 48,1478.
arXiv: hep-ph/9302213v1.
[3] Burrows, A., Reddy, S. dan Thompson, T. A. (2006). Neutrino opacities
in nuclear matter. Nuclear Physics A777, 356. arXiv: astro-ph/0404432v1.
[4] Caroline (2004). Efek faktor bentuk elektromagnetik neutrino pada interaksi
neutrino dengan materi mampat. Tesis. Universitas Indonesia. Depok.
[5] Chin, S. A. (1977). A Relativistic many-body theory of high density
matter. Annals of physics 108, 301.
[6] Daraktchieva, Z., et al. (2003). Limits on the neutrino magnetic moment from MUNU experiment. Physics Letter B564, 190. arXiv:hepex/030411v2.
[7] Davidov, A. S. (1976). Quantum Mechanics. Oxford: Pergamon Press
[8] Fetter, A. L., dan Walecka, J. D. (1971), Quantum theory of many-particle
systems. New York: McGraw-Hill Book Company
[9] Glandenning, N. K. (2000), Compact stars nuclear physics, particle physics,
and general relativity. New York: Springer.
[10] Giunti, C., dan Chung, W. K.(2007). Fundamentals of neutrino physics and
astrophysics. New York: Oxford University Press.
122
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
123
[11] Giunti, C., dan Studenikin, A. (2009). Neutrino electromagnetic properties. Physics Atom Nuclear 72 2089. arXiv:0812.3646v5.
[12] Halzen, F., dan Martin, A.D . (1984). Quarks and Leptons: an introductory
course in modern particle physics. New York: John Wiley & Sons.
[13] Horowitz, C. J., dan Wehrberger, K. (1991a). Neutrino neutral current
interactions in nuclear matter. Nuclear Physics A531, 665.
[14] Horowitz, C. J., dan Wehrberger, K. (1991b). Neutrino neutral current
interactions in hot dense matter. Physics Letter B266, 236.
[15] Horowitz, C. J., dan Pérez-Garcı́a, M. A. (2003). Realistic neutrino
opacities for supernova simulations with correlations and weak magnetism. Physical Review C 68, 025803.
[16] Hutauruk, P. T. P. (2004). Lintasan bebas rata-rata neutrino di bintang neutron. Tesis. Universitas Indonesia. Depok.
[17] Keil, M. T. (2003). Supernova neutrino spectra and applications to flavor oscillations. Dissertation. Institut für Theoretische Physik T30. Univ.-Prof.
Dr. Manfred Lindner. München arXiv:astro-ph/0308228v1.
[18] Keil, M. T., Raffelt, G. G., dan Janka, H. T. (2003). Monte Carlo study
of supernova neutrino spectra formation. Astrophysics J590, 971. arXiv:
astro-ph/0208035.
[19] Kerimov, B. K., Safin, M. Ya., dan Nazih, H. (1988). Neutrino electromagnetic moments and elastic neutrino and reactor-antineutrino scattering at electrons. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Fizicheskaya 52,
136.
[20] Kumerički, K. (2001). Feynman diagrams for beginners.Notes. University
of Zagreb. Split.
[21] Lim, K. dan Horowitz,C.J. (1989). Collective modes in a relativistic
meson-nucleon system. Nuclear Physics A501, 729.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
124
[22] Nardi, E. (2003). On the neutrino vector and axial vector charge radius.
American Institut of Physics Conference Proceedings 670, 118. arXiv:hepph/0212266v1.
[23] Nasa (2011). Cooling neutron star. Astronomy picture of the day,
http://apod.nasa.gov/apod/ap 110305.html.
[24] Niembro, R., et al. (2001). Neutrino cross section and mean free path in
neutron star in the framework of the Dirac-Hartree-Fock approximation. Physical Review C 64, 055802.
[25] Nuccioti, A. (2010). Neutrino mass calorimetric searches in the MARE
experiment. Nuclear Physics B proceedings Supplement 00, 1. arXiv:
1012.2290v1 [hep-ex].
[26] Reddy, S., Prakash, M., dan Lattimer, J. M. (1998). Neutrino interactions
in hot and dense matter. Physical Review D 58, 013009.
[27] Reddy, S., dan Prakash, M. (1996). Neutrino scattering in a newly born neutron star. The Astrophysical Journal 478, 689. arXiv:astroph/9610115v2.
[28] Reddy, S., et al. (1999). Effects of strong and electromagnetic correlations on neutrino interactions in dense matter. Physical Review C59,
2888.
[29] Saito, K., Maruyama, T., dan Soutome, K. (1989). Collective modes in
hot and dense matter. Physical Review C40, 407.
[30] Sulaksono, A., Hutauruk, P. T. P., dan Mart, T. (2005). Isovector channel
role of relativistic mean field models in the neutrino mean free path.
Physical Review C72, 065801. arXiv:nucl-th/0512093v1.
[31] Sulaksono, A., et al. (2006). Neutrino electromagnetic form factors effect on the Neutrino cross section in dense matter. Physical Review C73,
025803. arXiv:nucl-th/0601002v1.
[32] Vogel, P., dan Engel, J., (1988). Neutrino electromagnetic form factor.
Physical Review D39, 3378.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011
125
[33] Wikipedia (2010a). Supernova. http//en.wikipedia.org/wiki/Supernova.
[34] Wikipedia (2010b). Neutrino. http//en.wikipedia.org/wiki/Neutrino.
Universitas Indonesia
Interaksi neutrino..., Listiana Satiawati, FMIPA UI, 2011