Aljabar Linier Bebas linier dan Basis
advertisement
Aljabar Linier
Bebas linier dan Basis
khozin mu’tamar
2 Oktober 2014
Pertemuan-3
Pertemuan ke-3 memuat
1. Bebas linier
2. Basis
3. Teorema Himpunan span
4. Basis untuk ruang null dan ruang kolom
1
Bebas Linier
1. Kombinasi linier
2. Bentuk vektor kombinasi linier
3. Bebas linier dan tidak bebas linier
2
Kombinasi linier
Misalkan S = {v1, v2, · · · , vn} adalah ruang vektor dan c1, c2, · · · , cn ∈
R merupakan skalar. persamaan dalam bentuk
n
X
i=1
civi = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn
(1)
disebut dengan linier kombinasi dari ruang vektor S.
3
contoh
contoh. Tunjukkan bahwa vektor
−1
v = 1
10
merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor
1
a1 = 0 ,
1
−2
a2 = 3 ,
−2
−6
a3 = 7
5
solusi. v merupakan kombinasi linier dari a1, a2, dan a3 jika terdapat
4
skalar c1, c2, c3 ∈ R sehingga memenuhi v = c1a1 + c2a2 + c3a3.
1
−6
−2
v = c1 0 + c2 3 + c3 7
5
−2
1
c1 − 2c2 − 6c3
−1
=
3c
+
7c
1
2
3
c1 − 2c2 + 5c3
10
Solusi akhir adalah c1 = 1, c2 = −2 dan c3 = 1.
(2)
(3)
contoh
contoh. Tunjukkan apakah vektor
−5
v = 11
−7
merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor
1
a1 = −2 ,
2
0
a2 = 5 ,
5
2
a3 = 0
8
solusi. v merupakan kombinasi linier dari a1, a2, dan a3 jika terdapat
5
skalar c1, c2, c3 ∈ R sehingga memenuhi v = c1a1 + c2a2 + c3a3.
1
0
2
v = c1 −2 + c2 5 + c3 0
2
5
8
c1 + 2c3
−5
11 =
−2c
+
5c
1
2
2c1 + 5c2 + 8c3
−7
(4)
(5)
contoh Kombinasi linier matriks
Tunjukkan bahwa
1
1
M =
1 0
merupakan kombinasi linier dari
1
0
y =
,
1 1
0
1
x =
,
0 1
1
1
z =
,
1 1
solusi. M merupakan kombinasi linier dari x, y, dan z jika terdapat
skalar c1, c2, c3 ∈ R sehingga memenuhi v = c1x + c2y + c3z.
0
1
1
1
0
1
M = c1
+
c
+
c
2
3
1 1
1 1
0 1
1 c1 + c3
c2 + c3
1
=
1 0
c2 + c3 c1 + c2 + c3
(6)
(7)
Solusi akhir diperoleh c1 = c2 = −1 dan c3 = 2
6
Bebas linier
Misalkan V = {v1, · · · , vn} adalah ruang vektor dan a1, · · · , an ∈ R.
{v1, · · · , vn} dikatakan bebas linier jika
a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0
(8)
HANYA dipenuhi oleh a1 = a2 = · · · = an = 0.
7
Misalkan V = {v1, v2, · · · , vn} adalah himpunan berisi vektor-vektor
dengan n ≥ 2 dengan v1 6= 0.
1. V tidak bebas linier jika dan hanya jika terdapat vektor di dalam
V yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lain
di dalam V .
2. V bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam V yang
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lain di dalam
V.
Bukti. 1. Misalkan V = {v1, v2, · · · , vn} adalah ruang vektor dengan
anggota himpunan lebih dari dua (2) dan c1, c2, · · · , cn ∈ R. Oleh
karena V tidak bebas linier maka terdapat ci 6= 0, i = 1, · · · , n
sehingga
c1v1 + · · · + cnvn = 0
8
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan c1 6= 0, maka v1 ∈ V
dapat dinyatakan sebagai
cn
c
v1 = − 2 v2 + · · · + − vn
c1
c1
yang menyatakan bahwa v1 merupakan kombinasi linier dari vektor
lain di V .
2. Identik dengan pembuktian teorema(1).
teorema 1. Misalkan V = {v1, v2, · · · , vr } adalah himpunan vektorvektor pada Rn. Jika r > n maka V tidak bebas linier.
Bukti. Misalkan
vi,1
vi = ... ∈ V,
vi,n
i = 1, 2, · · · , r
Kombinasi linier dari V
a1v1 + a2v2 + · · · + ar vr = 0
yang dapat dituliskan
a1v1,1 + a2v2,1 + · · · + ar vr,1 =0
...
a1v1,n + a2v2,n + · · · + ar vr,n =0
9
Oleh karena r > n maka jumlah variabel ai lebih banyak dibandingkan
jumlah persamaan. Sistem akan menghasilkan tak hingga banyak solusi.
Atau dengan kata lain, TERDAPAT solusi SELAIN ai = 0 sehingga
dikatakan V tidak bebas linier.
teorema 2. Misalkan diberikan V = {v1, v2, · · · , vn} adalah ruang
vektor. Jika terdapat v = 0 ∈ V maka V tidak bebas linier.
Bukti. Misalkan vk = 0 ∈ V . Misalkan a1 = a2 = · · · = ak−1 =
ak+1 = · · · = an = 0 ∈ R maka akan diperoleh
a1v1 + · · · + ak−1vk−1 + ak vk + ak+1vk+1 + · · · + anvn = 0
0v1 + · · · + 0vk−1 + C · 0 + 0vk+1 + · · · + 0vn = 0
n
ini merupakan salah satu contoh solusi dari kombinasi linier
aivi = 0
i=1
dengan solusi ak 6= 0 ∈ R. Akibatnya, V tidak bebas linier
P
teorema 3. Misalkan V = {v1, v2, · · · , vn} adalah ruang vektor dan
V bebas linier. Misalkan skalar a1, a2, · · · , an ∈ R memenuhi
v=
n
X
i=1
aivi
maka a1, a2, · · · , an ∈ R bersifat tunggal.
Bukti. Misalkan terdapat a1, a2, · · · , an ∈ R dan b1, b2, · · · , bn ∈ R
yang memenuhi
v=
n
X
i=1
aivi dan v =
n
X
i=1
bivi
Oleh karena V bebas linier, maka akan diperoleh
v−v =
n
X
i=1
(ai − bi)vi
yang hanya dipenuhi oleh (ai − bi = 0, i = 1, 2, · · · , n) atau dengan
kata lain ai = bi, i = 1, 2, · · · , n.
definisi 1. Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, v2, · · · , vn} ⊆ V .
S dinamakan basis untuk V jika
1. S bebas linier
2. S merentang V .
10
teorema 4. Misalkan V ruang vektor dan S = {v1, · · · , vp} ⊆ V serta H = span{v1, · · · , vp}. Misalkan suatu vektor vk ∈ S merupakan
kombinasi linier dari vektor-vektor lain di S maka S = {v1, · · · , vp}\{vk }
masih merentang H.
Bukti. Misalkan vk ∈ V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari
vektor lainnya
vk = a1v1 + · · · + ak−1vk−1 + ak+1vk+1 + · · · + apvp
Oleh karena H = span{v1, · · · , vp} maka untuk x ∈ H dapat dinyatakan sebagai
x = c1v1 + · · · + ck−1vk−1 + ck vk + ck+1vk+1 + · · · + cpvp
subtitusikan nilai vk pada x sehingga didapatkan
x = (a1+c1)v1+· · ·+(ak−1+ck−1)vk−1+(ak+1+ck+1)vk+1+· · ·+(ap+vp)vp
11
Jelas bahwa x dapat dinyatakan dalam kombinasi linier oleh {v1, · · · , vp}\{vk }
sehingga dapat disimpulkan bahwa {v1, · · · , vp}\{vk } merentang H.