tes awal pembinaan olimpiade matematika sma

TES AWAL
PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA
JAWABAN
≤
1. Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan
−
ada sebanyak . . .
(OSK tahun 2010/2011)
Jawaban : 2
(
≤8
− 16
−8
+ 16 ≤ 0
− 4) ≤ 0
(
Karena
− 4) merupakan bilangan kuadrat maka yang hanya berlaku (
Sehingga (
− 4) = 0.
− 4) = 0
( − 2)( + 2)
=2
=0
= −2
Jadi, bilangan bulat yang memenuhi ada 2, yaitu 2 dan -2
2.
Banyak pasangan bilangan asli (x,y) sehingga
+
merupakan bilangan prima
adalah . . . (OSK tahun 2009/2010)
Jawaban : 1 pasang
Jika
dan
+4
dari 2. Jadi, tidak mungkin
Jika
+4
bilangan genap, maka
bilangan ganjil, maka
merupakan bilangan genap yang lebih besar
merupakan bilangan prima.
= (
+4
+2
+2
)(
+2
−2
)=
Mengingat bilangan prima hanya mempunyai faktor 1 dan ,
Maka (
+2
−2
(
−2
)=1
+2
−2
+
+
( − ) +
) = 1 dan (
+2
+2
=1
=1
Mengingat
dan
bilangan asli, maka persamaan di atas terpenuhi jika
Akibatnya, banyak pasangan bilangan asli
= 1 dan
) = . Sehingga
dan
−
−
−
⋯
−
1−
1+
⋯ 1−
= . . . (OSK tahun 2003/2004)
Jawaban :
Kunci : 1 −
1−
↔
∙
↔
∙
= 1−
1+
∙
∙
1+
1−
∙
∙
1+
⋯
∙
=
Kadek Adi Wibawa, S.Pd. | Olimpiade Matematika SMA
= 1.
yang memenuhi hanya ada 1, yaitu
=1
3. Nilai dari
↔
=
1+
∙
4. Jumlah semua digit dari
adalah . . .
Jawaban : 7
4
∙ 125
= 2
∙5
= 2
∙5
∙ 5 = (2 ∙ 5)
∙ 5 = 10
∙ 25
= 2500 ⋯ 00 ( angka 0 sebanyak 4018 kali)
Jadi, semua digitnya adalah 2 + 5 = 7
5. Segitiga
=
sama kaki dengan
garis tinggi
dan memiliki keliling 32 cm. Jika panjang
adalah 8 cm, maka panjang
adalah . . . (OSK tahun 2008/2009)
Jawaban : 10 cm
=
Misalkan
=
Maka 2 + 2 = 32 ↔
=8
Diketahui
=
+8
−
=8
+
= 16 ⋯ (1)
maka
+
−
16 ∙ ( − ) = 64
6. Pada
=4
Jadi, panjang
⋯ (2)
gambar
= 16
=4
2 = 20
= 10
( + )( − ) = 64
−
A
=
dan
di
B
C
b
= 10
, , , , dan
samping
D
berturut-turut
menyatakan besar sudut pada titik ujung bintang lima yang
terletak pada suatu lingkaran. Jumlah
+
+ +
+
= ⋯
(OSK tahun 2005/2006)
Jawaban : 180
B
Perhatikan :
∆
→
+ +
∆
→
+
∆
→ +
∆
→
+ +
+ 1 + 2 = 180
∆
→
+ +
+ 3 + 4 = 180
2
+ 5 + 6 = 180
A
+ + 7 + 8 = 180
+ ) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 10) = 900
2( + + +
+ )+ ( + + +
6
7
D
+ + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10) = 900
+ + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 = 540 (sudut dalam segilima)
2( + + +
+ ) + 540 = 900
2( + + +
+ ) = 360
+ + +
9
E
C
5
8
3( + + +
+ + +
4
10
+ + 9 + 10 = 180
Kita tahu bahwa
3
1
+ = 180
7. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda Internasional terdiri dari 5 orang. Ada 5
orang pria dan 7 wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika
disyaratkan bahwa paling sedikit seorang delegasi harus wanita, banyak cara memilih
anggota delegasi adalah . . . (OSK tahun 2004/2005)
Kadek Adi Wibawa, S.Pd. | Olimpiade Matematika SMA
Jawaban : 791 cara
Kunci : paling sedikit seorang delegasi harus wanita (minimal 1 wanita harus ikut)
Banyak cara yang dapat terjadi adalah
1 wanita 4 pria = 7C1 . 5C4 = 7 . 5 = 35 cara
2 wanita 3 pria = 7C2 . 5C3 = 21 . 10 = 210 cara
3 wanita 2 pria = 7C3 . 5C2 = 35 . 10 = 350 cara
4 wanita 1 pria = 7C4 . 5C1 = 35 . 5 = 175 cara
5 wanita = 7C5 = 21 cara
Jadi, banyak cara memilih adalah 35 + 210 + 350 + 175 + 21 = 791 cara
8. Dalam suatu pertemuan terjadi 28 jabat tangan, dengan setiap dua orang saling berjabat
tangan paling banyak sekali. Banyak orang yang hadir dalam pertemuan tersebut paling
sedikit adalah . . . (OSK tahun 2006/2007)
Jawaban : 8 orang
Misalkan banyak orang = n, maka banyak jabat tangan yang terjadi adalah
2=
!
( − 2)! ∙ 2!
28 =
( − 1)
2
56 =
−
−
− 56 = 0
( − 8)( + 7) = 0
= 8 atau
= −7
Karena n menunjukkan banyak orang maka kita pilih n = 8
Jadi, banyak orang yang hadir ada 8 orang.
Kadek Adi Wibawa, S.Pd. | Olimpiade Matematika SMA