Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham
Analisis
Rangkaian Listrik
Di Kawasan s
2-2
Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
BAB 2
Analisis Rangkaian Menggunakan
Transformasi Laplace
Setelah mempelajari bab ini kita akan
• memahami konsep impedansi di kawasan s.
• mampu melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s.
• mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan s.
Di bab sebelumnya kita menggunakan transformasi Laplace untuk
memecahkan persamaan rangkaian. Kita harus mencari terlebih dahulu
persamaan rangkaian di kawasan t sebelum perhitungan-perhitungan di
kawasan s kita lakukan. Berikut ini kita akan mempelajari konsep
impedansi dan dengan konsep ini kita akan dapat melakukan
transformasi rangkaian ke kawasan s. Dengan transformasi rangkaian ini,
kita langsung bekerja di kawasan s, artinya persamaan rangkaian
langsung dicari di kawasan s tanpa mencari persamaan rangkaian di
kawasan t lebih dulu.
Sebagaimana kita ketahui, elemen dalam analisis rangkaian listrik adalah
model dari piranti yang dinyatakan dengan karakteristik i-v-nya. Jika
analisis dilakukan di kawasan s dimana v(t) dan i(t) ditransformasikan
menjadi V(s) dan I(s), maka pernyataan elemenpun harus dinyatakan di
kawasan s.
2.1. Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s
2.1.1. Resistor
Hubungan arus dan tegangan resistor di kawasan t adalah
vR (t ) = RiR(t)
Transformasi Laplace dari vR adalah
VR ( s ) =
∞
∫0 vR (t )e
− st
dt =
∞
∫0 RiR (t )e
− st
dt =RI R(s)
Jadi hubungan arus-tegangan resistor di kawasan s adalah
VR ( s ) = R I R ( s )
(2.1)
2-1
2.1.2. Induktor
Hubungan antara arus dan tegangan induktor di kawasan t adalah
v L (t ) = L
diL(t)
dt
Transformasi Laplace dari vL adalah (ingat sifat diferensiasi dari
transformasi Laplace) :
VL ( s ) =
∞
∫0 vL (t )e
− st
dt =
∞
∫0 L
diL (t )  − st
e dt = sLI L ( s) − LiL (0)
dt 
Jadi hubungan tegangan-arus induktor adalah
VL ( s) = sLI L ( s) − LiL (0)
(2.2)
dengan iL (0) adalah arus induktor pada saat awal integrasi dilakukan atau
dengan kata lain adalah arus pada t = 0. Kita ingat pada analisis transien
di kawasan waktu, arus ini adalah kondisi awal dari induktor, yaitu i(0+)
= i(0−).
2.1.3. Kapasitor
Hubungan antara tegangan dan arus kapasitor di kawasan t adalah
vC (t ) =
1
C
t
∫0 iC (t )dt + vc (0)
Transformasi Laplace dari tegangan kapasitor adalah
I ( s) vC (0)
VC ( s ) = C
+
sC
s
(2.3)
dengan vC(0) adalah tegangan kapasitor pada t =0. Inilah hubungan
tegangan dan arus kapasitor di kawasan s.
2.2. Konsep Impedansi di Kawasan s
Impedansi merupakan suatu konsep di kawasan s yang didefinisikan
sebagai berikut.
Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di
kawasan s dengan kondisi awal nol.
2-2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Sesuai dengan definisi ini, maka impedansi elemen dapat kita peroleh
dari (2.1), (2.2), dan (2.3) dengan iL (0) = 0 maupun vC (0) = 0,
V ( s)
V (s)
V (s)
1
ZR = R
= R ; ZL = L
= sL ; Z C = C
=
I R (s)
IL ( s )
IC ( s) sC
(2.4)
Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk
resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana, mirip dengan relasi
hukum Ohm.
VR ( s) = RI R (s) ;
VL ( s) = sLI L (s) ;
VC =
1
I C ( s)
sC
(2.5)
Sejalan dengan pengertian impedansi, dikembangkan pengertian
admitansi, yaitu Y = 1/Z sehingga untuk resistor, induktor, dan kapasitor
kita mempunyai
YR =
1
R
YL =
;
1
sL
YC = sC
;
(2.6)
2.3. Representasi Elemen di Kawasan s
Dengan pengertian impedansi seperti dikemukakan di atas, dan hubungan
tegangan-arus elemen di kawasan s, maka elemen-elemen dapat
direpresentasikan di kawasan s dengan impedansinya, sedangkan kondisi
awal (untuk induktor dan kapasitor) dinyatakan dengan sumber tegangan
yang terhubung seri dengan impedansi tersebut, seperti terlihat pada Gb.
2.1.
+
IR (s)
+
IC (s)
+
IL (s)
1
sC
sL
R
VR(s)
VL (s)
−
+
LiL(0)
VC (s)
−
−
Resistor
Induktor
+
−
vC (0)
s
−
Kapasitor
Gb.2.1. Representasi elemen di kawasan s.
VR ( s ) = R I R ( s ) ;
VL ( s) = sLI L ( s) − LiL (0) ;
I ( s ) vC (0)
VC ( s ) = C
+
sC
s
2-3
Representasi elemen di kawasan s dapat pula dilakukan dengan
menggunakan sumber arus untuk menyatakan kondisi awal induktor dan
kapasitor seperti terlihat pada Gb.2.2.
+
VR(s)
R
sL
IC (s)
IL (s)
IR (s)
+
VL (s)
−
iL (0)
s
1
sC
+
VC (s)
−
CvC(0)
−
Gb.2.2. Representasi elemen di kawasan s.
i ( 0) 

VL ( s ) = sL I L ( s ) − L
;
s 

VR ( s ) = R I R ( s ) ;
VC ( s ) =
1
(I C ( s) + CvC (0) )
sC
2.4. Transformasi Rangkaian
Representasi elemen ini dapat kita gunakan untuk mentransformasi
rangkaian ke kawasan s. Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu
kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan
mengandung simpanan energi awal atau tidak. Jika tidak ada, maka
sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi elemen tidak
perlu kita gambarkan.
CO+TOH 2.1: Saklar S pada rangkaian berikut telah lama ada di posisi
1. Pada t = 0 saklar
1
dipindahkan ke
S
posisi 2 sehingga
2
+
3Ω 1H
+
rangkaian RLC
8V−
+
−3t
1/2
F
2e
V
vC
seri terhubung ke
−
−
sumber tegangan
2e−3t V.
Transformasikan rangkaian ke kawasan s untuk t > 0.
Penyelesaian :
Pada t < 0, keadaan telah mantap. Arus induktor nol dan tegangan
kapasitor sama dengan tegangan sumber 8 V.
2-4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Untuk t > 0, sumber tegangan adalah vs = 2e−3t yang transformasinya
ke kawasan s adalah
Vs ( s ) =
2
s+3
Representasi kapasitor adalah impedansinya 1/sC = 2/s seri dengan
sumber tegangan 8/s karena tegangan kapasitor pada t = 0 adalah 8
V. Representasi induktor impedansinya sL = s tanpa diserikan
dengan sumber tegangan karena arus induktor pada t = 0 adalah nol.
Transformasi rangkaian ke kawasan s untuk t > 0 adalah
s
3
2
s+3
+
−
2
s
8
s
+
−
+
VC(s)
−
Perhatikan bahwa tegangan kapasitor VC (s) mencakup sumber
tegangan (8/s) dan bukan hanya tegangan pada impedansi (2/s) saja.
Setelah rangkaian ditransformasikan, kita mengharapkan dapat langsung
mencari persamaan rangkaian di kawasan s. Apakah hukum-hukum,
kaidah, teorema rangkaian serta metoda analisis yang telah kita pelajari
di kawasan t dapat kita terapkan? Hal tersebut kita bahas berikut ini.
2.5. Hukum Kirchhoff
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa untuk suatu simpul berlaku
n
∑ ik (t ) = 0
k =1
Jika kita lakukan transformasi, akan kita peroleh
n


 ik (t ) e − st dt =


 k =1
k =1 
∞ n
∫0 ∑
∞
∑ ∫0
n

ik (t )e − st dt  =
I k (s) = 0
 k =1
∑
(2.7)
Jadi hukum arus Kirchhoff (HAK) berlaku di kawasan s. Hal yang sama
terjadi juga pada hukum tegangan Kirchhoff. Untuk suatu loop
2-5
n
∑ vk (t ) = 0
k =1
⇒
n
n

 ∞

 vk (t ) e − st dt =
vk (t )e − st dt  =
Vk ( s ) = 0

0 
0

 k =1
k =1 
 k =1
∞ n
∫ ∑
∑∫
(2.8)
∑
2.6. Kaidah-Kaidah Rangkaian
Kaidah-kaidah rangkaian, seperti rangkaian ekivalen seri dan paralel,
pembagi arus, pembagi tegangan, sesungguhnya merupakan konsekuensi
hukum Kirchhoff. Karena hukum ini berlaku di kawasan s maka kaidahkaidah rangkaian juga harus berlaku di kawasan s. Dengan mudah kita
akan mendapatkan impedansi ekivalen maupun admitansi ekivalen
Z ekiv seri =
∑ Zk ;
Yekiv paralel =
∑ Yk
(2.9)
Demikian pula dengan pembagi arus dan pembagi tegangan.
I k ( s) =
Yk
Yekiv
Itotal ( s) ; Vk ( s ) =
paralel
Zk
Z ekiv
Vtotal ( s) (2.10)
seri
CO+TOH-2.2: Carilah VC (s) pada rangkaian impedansi seri RLC
berikut ini.
Vin (s)
+
−
s
3
2
s
+
VC (s)
−
Penyelesaian :
Kaidah pembagi tegangan pada rangkaian ini memberikan
VR ( s ) =
2/ s
2
3+ s +
s
Vin ( s) =
2
2
s + 3s + 2
Vin ( s) =
2
Vin ( s)
( s + 1)( s + 2)
Pemahaman :
Jika Vin(s) = 10/s maka
2-6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
VC ( s) =
k
20
k
k
= 1+ 2 + 3
s( s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2
20
20
= 10 ; k 2 =
= −20 ;
( s + 1)( s + 2) s = 0
s ( s + 2) s = −1
20
= 10
k3 =
s( s + 1) s = −2
→ k1 =
⇒ VC ( s) =
⇒
10 − 20
10
+
+
s
s +1 s + 2
vC (t ) = 10 − 20e −t + 10e − 2t
Inilah tanggapan rangkaian rangkaian RLC seri (dengan R = 3Ω , L =
1H, C = 0,5 F) dengan masukan sinyal anak tangga yang
amplitudonya 10 V.
2.7. Teorema Rangkaian
2.7.1. Prinsip Proporsionalitas
Prinsip proporsionalitas merupakan pernyataan langsung dari sifat
rangkaian linier. Di kawasan t, pada rangkaian dengan elemen-elemen
resistor, sifat ini dinyatakan oleh hubungan
y (t ) = Kx(t )
dengan y(t) dan x(t) adalah keluaran dan masukan dan K adalah suatu
konstanta yang ditentukan oleh nilai-nilai resistor yang terlibat.
Transformasi Laplace dari kedua ruas hubungan diatas akan memberikan
Y ( s ) = KX ( s )
dengan Y(s) dan X(s) adalah sinyal keluaran dan masukan di kawasan s.
Untuk rangkaian impedansi,
Y (s) = K s X (s)
(2.11)
Perbedaan antara prinsip proporsionalitas pada rangkaian-rangkaian
resistor dengan rangkaian impedansi terletak pada faktor Ks. Dalam
rangkaian impedansi nilai Ks, merupakan fungsi rasional dalam s.
Sebagai contoh kita lihat rangkaian seri RLC dengan masukan Vin(s). Jika
tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor VR (s), maka
2-7
VR ( s) =
R


RCs
Vin ( s) = 
Vin ( s)
2
R + sL + (1 / sC )
 LCs + RCs + 1
Besaran yang berada dalam tanda kurung adalah faktor proporsionalitas.
Faktor ini, yang merupakan fungsi rasional dalam s, memberikan
hubungan antara masukan dan keluaran dan disebut fungsi jaringan.
2.7.2. Prinsip Superposisi
Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier besar
sinyal keluaran dapat dituliskan sebagai
yo (t ) = K1x1 (t ) + K 2 x2 (t ) + K3 x3 (t ) + ⋅ ⋅ ⋅
dengan x1, x2 , x3 … adalah sinyal masukan dan K1 , K2 , K3 … adalah
konstanta proporsionalitas yang besarnya tergantung dari nilai-nilai
elemen dalam rangkaian. Sifat linier dari transformasi Laplace menjamin
bahwa prinsip superposisi berlaku pula untuk rangkaian linier di kawasan
s dengan perbedaan bahwa konstanta proporsionalitas berubah menjadi
fungsi rasional dalam s dan sinyal-sinyal dinyatakan dalam kawasan s.
Yo ( s ) = K s1 X1 ( s ) + K s 2 X 2 ( s ) + K s3 X 3 ( s ) + ⋅ ⋅ ⋅
(2.12)
2.7.3. Teorema Thévenin dan +orton
Konsep mengenai teorema Thévenin dan Norton pada rangkaianrangkaian impedansi, sama dengan apa yang kita pelajari untuk
rangkaian dengan elemen-elemen resistor. Cara mencari rangkaian
ekivalen Thévenin dan Norton sama seperti dalam rangkaian resistor,
hanya di sini kita mempunyai impedansi ekivalen Thévenin, ZT , dan
admitansi ekivalen Norton, Y) , dengan hubungan sbb:
VT ( s) = Vht ( s) = I ) ( s) ZT ; I ) ( s) = I hs ( s) =
ZT =
VT ( s)
ZT
1
V ( s)
= T
Y) I ) ( s)
2-8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
(2.13)
CO+TOH-2.3: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian
impedansi berikut ini.
s
s 2 + ω2
+
−
R
1
sC
B
E
B
A
N
Penyelesaian :
VT ( s) = Vht ( s) =
s
s / RC
1 / sC
=
R + (1 / sC ) s 2 + ω2 ( s + 1 / RC )( s 2 + ω2 )
I ) ( s) = I hs ( s) =
s
1
2
R s + ω2
ZT = R || (1 / RC ) =
VT
+
−
R / sC
1
=
R + 1 / sC C ( s + 1 / RC )
ZT
B
E
B
A
N
2.8. Metoda-Metoda Analisis
Metoda-metoda analisi, baik metoda dasar (metoda reduksi rangkaian,
unit output, superposisi, rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton)
maupun metoda umum (metoda tegangan simpul, arus mesh) dapat kita
gunakan untuk analisis di kawasan s. Hal ini mudah dipahami mengingat
hukum-hukum, kaidah-kaidah maupun teorema rangkaian yang berlaku
di kawasan t berlaku pula di kawasan s. Berikut ini kita akan melihat
contoh-contoh penggunaan metoda analisis tersebut di kawasan s.
2.8.1. Metoda Unit Output
CO+TOH-2.4: Dengan menggunakan metoda unit output, carilah
V2(s) pada rangkaian impedansi di bawah ini.
2-9
IL (s) sL
+
1/sC V2(s)
−
R IC (s)
IR (s)
I1(s)
Penyelesaian :
Misalkan : V2 ( s ) = 1
→ VC ( s ) = V2 ( s ) = 1
→
→ I L ( s ) = I C ( s ) = sC
→
I C ( s) =
VL ( s ) = sL × sC = LCs 2
→ VR ( s) = VL ( s) + VC ( s) = LCs 2 + 1
⇒ I1* ( s) = I R ( s) + I L ( s) =
⇒ Ks =
1
I1* ( s)
=
1
= sC
1 / sC
→
I R (s) =
LCs 2 + 1
R
LCs 2 + 1
LCs 2 + RCs + 1
+ sC =
R
R
R
2
LCs + RCs + 1
⇒ V2 ( s) = K s I1 ( s) =
R
2
LCs + RCs + 1
I1 ( s)
2.8.2. Metoda Superposisi
CO+TOH-2.5: Dengan menggunakan metoda superposisi, carilah
tegangan
induktor vo (t)
+
R
pada rangkaian
+
R
Bsinβt
Au(t)
vo
L
berikut ini.
−
−
Penyelesaian :
Rangkaian kita transformasikan ke kawasan s menjadi
A
s
+
−
R
sL
+
Vo
−
R
Bβ
2
s + β2
Jika sumber arus dimatikan, maka rangkaian menjadi :
2-10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
+
−
A
s
+
Vo1
−
R
sL
R
RLs
R + sL
RLs
A
L
A/ 2
A=
⇒ Vo1 ( s ) = R + sL
=
RLs s R + 2sL
s + R / 2L
R+
R + sL
→ Z L // R =
Jika sumber tegangan dimatikan, rangkaian menjadi :
+
Vo2
−
R
sL
Bβ
R
2
s + β2
1 / sL
Bβ
×
1 1 1 s 2 + β2
+ +
R R sL
sRL
Bβ
RBβ
s
=
=
×
2sL + R s 2 + β 2
2 ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )
Vo2 ( s ) = sL × I L ( s ) = sL ×
⇒ Vo ( s) = Vo1 ( s ) + Vo2 ( s )
=
→ k1 =
→ k2 =
k1
k
k 
A/ 2
RBβ 
+
+ 2 + 3 

2  s + R / 2 L s + jβ s − jβ 
s + R / 2L
s
2
2
(s + β )
=−
s = − R / 2L
s
( s + R / 2 L)(s − jβ)
( R / 2 L)
( R / 2 L) 2 + β 2
=
s = − jβ
1
=
R / L − j 2β
1
2
( R / L) + 4β
e jθ ,
2
 + 2β 
θ = tan −1 

R/L
→ k3 =
1
2
( R / L) + 4β
e − jθ
2
2-11
R

− t
( R / 2 L)

L
2
e
−
R
A − 2 L t RBβ  ( R / 2 L) 2 + β 2
⇒ vo (t ) = e
+

2
2 
1
e − j (βt − θ) + e j (βt − θ)
+
2
2
( R / L) + 4β

(
R
A
R 2 Bβ  − 2 L t
+
⇒ vo (t ) =  −
e
2
 2 R + 4 Lβ 2 
RBβ
( R / L) 2 + 4β 2







)
cos(βt − θ)
2.8.3. Metoda Reduksi Rangkaian
CO+TOH-2.6: Dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian
selesaikanlah persoalan pada contoh 2.5.
Penyelesaian :
Rangkaian yang
ditransformasikan ke
kawasan s kita gambar
lagi seperti di samping
ini.
+
−
R
+
Vo
−
A
sL
s
R
Bβ
s 2 + β2
Jika sumber
tegangan
+
Bβ
ditransformasikan
A
R
Vo R
sL
2
menjadi sumber
sR
s + β2
−
arus, kita
mendapatkan
rangkaian dengan dua sumber arus dan dua resistor diparalel.
Rangkaian tersebut dapat
disederhanakan menjadi
rangkaian dengan satu
sumber arus, dan kemudian
menjadi rangkaian dengan
sumber tegangan.
sL
+ R/2
Vo
−
R/2
+
−
sL
+
Vo
−
R  Bβ
A 
+
2  s 2 + β2 sR 
2-12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Bβ
s 2 + β2
+
A
sR
Dari rangkaian terakhir ini kita diperoleh :
sL
R  Bβ
A 
× 
+
2
2

sL + R / 2 2  s + β
sR 
A/ 2
( RBβ / 2) s
Vo ( s ) =
+
s + R / 2 L ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )
Vo ( s) =
Hasil ini sama dengan apa yang telah kita peroleh dengan metoda
superposisi pada contoh 2.5. Selanjutnya transformasi balik ke kawasan t
dilakukan sebagaimana telah dilakukan pada contoh 2.5.
2.8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin
CO+TOH-2.7: Dengan menggunakan rangkaian ekivalen Thévenin
selesaikanlah persoalan
pada contoh 2.5.
R
+
Bβ
+ A
R
Vo
Penyelesaian :
sL
2
− s
s + β2
−
Kita akan menggunakan
gabungan metoda
superposisi dengan
rangkaian ekivalen
R
+
Bβ
+ A
R
Thévenin.
Vht
2
− s
s + β2
−
Tegangan hubungan
terbuka pada waktu
induktor dilepas, adalah jumlah tegangan yang diberikan oleh
sumber tegangan dan sumber arus secara terpisah, yaitu
R
A
Bβ
1
× + R× ×
R+R s
2 s 2 + β2
RBβ / 2
VT ( s) = Vht ( s) =
A/ 2
+
s
s 2 + β2
Dilihat dari terminal induktor,
impedansi ZT hanyalah berupa dua
resistor paralel, yaitu
=
ZT =
R
2
+
−
ZT
VT
sL
+
Vo
−
2-13
Dengan demikian maka tegangan induktor menjadi
Vo ( s ) =
=
 A / 2 RBβ / 2 
sL
sL


VT ( s ) =
+
sL + ZT
sL + R / 2  s
s 2 + β2 
A/ 2
( RBβ / 2) s
+
s + R / 2 L ( s + R / 2 L)( s 2 + β 2 )
Persamaan ini telah kita peroleh sebelumnya, baik dengan metoda
superposisi maupun metoda reduksi rangkaian.
2.8.5. Metoda Tegangan Simpul
CO+TOH 2.8: Selesaikan persoalan pada contoh 2.5. dengan
menggunakan metoda
A
tegangan simpul.
R
+
Bβ
+ A
R
Penyelesaian :
Vo
sL
2
− s
s + β2
−
Dengan referensi
B
tegangan seperti terlihat
pada gambar di atas,
persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah:
Bβ
1  1 A
1 1
Vo ( s ) + +
− 2
=0
−
R
R
sL
R
s


s + β2
Dari persamaan tersebut di atas kita peroleh
Bβ
 2 Ls + R  A
+
Vo ( s)
=
2
 RLs  Rs s + β 2
Vo ( s) =
=
atau
RLs  A
Bβ 
+
2 Ls + R  Rs s 2 + β 2 
( RBβ / 2) s
A/ 2
+
s + R / 2 L ( s + R / 2 L)(s 2 + β 2 )
Hasil yang kita peroleh sama seperti sebelumnya.
Pemahaman :
Dalam analisis di kawasan s, metoda tegangan simpul untuk
rangkaian dengan beberapa sumber yang mempunyai frekuensi
2-14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
berbeda, dapat langsung digunakan. Hal ini sangat berbeda dari
analisis di kawasan fasor, dimana kita tidak dapat melakukan
superposisi fasor dari sumber-sumber yang mempunyai frekuensi
berbeda, karena pengertian fasor diturunkan dengan ketentuan bahwa frekuensi sama untuk seluruh system.
2.8.6. Metoda Arus Mesh
CO+TOH-2.9: Pada rangkaian berikut ini tidak terdapat simpanan
energi awal. Gunakan metoda arus mesh untuk menghitung i(t).
i(t)
10mH
10 u(t)
10kΩ
10kΩ
+
−
1µF
Penyelesaian :
Transformasi rangkaian ke kawasan s adalah seperti gambar berikut
ini. Kita
I(s)
0.01s
tetapkan
104
4
10
10
+
referensi
106
V1( s ) =
I
I
A
B
−
s
arus mesh
s
IA dan IB.
Persamaan
arus mesh dari kedua mesh adalah
(
)
10
+ I A ( s) 0.01s + 104 − I B ( s) × 104 = 0
s

106 
I B ( s)104 + 104 +
− I A ( s) × 104 = 0


s


−
Dari persamaan kedua kita peroleh:
→ I A ( s) =
(2s + 10 ) I
2
s
B (s)
Sehingga:
2-15
)(
(
)
10
2 s + 10 2
I B ( s ) − I B ( s ) × 10 4 = 0
+ 0.01s + 10 4
s
s
10
⇒ I ( s ) = I B ( s) =
0,02 s 2 + 2 × 10 4 s + s + 10 6 − 10 4 s
10
10
=
=
2
4
6
s
−
α
(
)(s − β)
0,02 s + 10 s + 10
⇒−
dengan α =
β=
− 10 4 − 108 − 8 × 10 4
≈ −500000
0,04
⇒ I (s) =
k1 =
− 10 4 + 108 − 8 × 10 4
≈ −100 ;
0,04
10
k1
k2
=
+
( s + 100)( s + 500000) s + 100 s + 50000
10
s + 500000
[
⇒ i(t ) = 0,02 e
= 2 × 10 −5 ; k2 =
s = −100
−100t
− 500000t
−e
] mA
10
s + 100
= −2 × 10 −5
s = −500000
2-16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
Soal-Soal
1. Sebuah resistor 2 kΩ dihubungkan seri dengan sebuah induktor 2 H;
kemudian pada rangkaian ini diterapkan sinyal tegangan v(t)=10u(t)
V. Bagaimanakah bentuk tegangan pada induktor dan pada resistor ?
Bagaimanakah tegangannya setelah keadaan mantap tercapai?
2. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t) = [20sin300t] u(t) V.
3. Ulangi soal 1 jika tegangan yang diterapkan v(t) = [20cos300t] u(t) V.
4. Rangkaian seri resistor dan induktor soal 1 diparalelkan kapasitor 0.5
µF. Jika kemudian pada rangkaian ini diterapkan tegangan
v(s)=10u(t) V bagaimanakah bentuk arus induktor ? Bagaimanakah
arus tersebut setelah keadaan mantap tercapai?
5. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t)=[20sin300t]u(t) V.
6. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v(t)=[20cos300t]u(t) V.
7. Sebuah kapasitor 2 pF diserikan dengan induktor 0,5 H dan pada
hubungan seri ini diparalelkan resistor 5 kΩ. Jika kemudian pada
hubungan seri-paralel ini diterapkan sinyal tegangan v(t)=10u(t) V,
bagaimanakah bentuk tegangan kapasitor ?
8. Ulangi soal 7 dengan tegangan masukan v(t) = [20sin300t] u(t) V.
9. Sebuah resistor 100 Ω diparalelkan dengan induktor 10 mH dan pada
hubungan paralel ini diserikan kapasitor 0,25 µF. Jika kemudian pada
hubungan seri-paralel ini diterapkan tegangan v(t) = 10u(t) V, carilah
bentuk tegangan kapasitor.
10. Ulangi soal 9 dengan tegangan masukan v(t) = [20sin300t] u(t) V.
11. Carilah tanggapan status nol (tidak ada simpanan energi awal pada
rangkaian) dari iL pada rangkaian berikut jika vs=10u(t) V.
+
−
1kΩ
vs 1kΩ
iL
0.1H
2-17
12. Carilah tanggapan status nol dari vC dan iL pada rangkaian berikut
jika vs=100u(t) V.
5kΩ
+ iL
vs
vC 50mH
0,05µF −
+
−
13. Carilah tanggapan status nol dari vC dan iL pada rangkaian berikut
jika vs=[10cos20000t]u(t) V.
500Ω
+ iL
vs
vC 50mH
0,05µF −
+
−
14. Carilah i pada rangkaian berikut, jika is=100u(t) mA dan tegangan
awal kapasitor adalah vC (0) = 10 V.
is
0,05µF i
5kΩ
5kΩ
15. Ulangi soal 14 untuk is=[100cos400t] u(t) mA.
16. Carilah vo pada rangkaian berikut, jika is=100u(t) mA dan arus awal
induktor adalah iL (0) = 10 mA.
5kΩ
is
0,1H
5kΩ
+
vo
−
17. Ulangi soal 16 untuk is = [100cos400t] u(t) mA.
18. Carilah tanggapan status nol dari vL pada rangkaian berikut, jika vs=
10u(t) V , is = [10sin400t]u(t) mA.
+
−
0,5kΩ +
vL
vs
− 0,1H 0,5kΩ
is
2-18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
19. Carilah tanggapan status nol dari v2 pada rangkaian berikut jika vs =
[10cos(900t+30o)] u(t) V.
10mH
+
−
v1
+
v2
−
10kΩ
1µF
10kΩ
20. Ulangi soal 17 jika tegangan awal kapasitor 5 V sedangkan arus awal
induktor nol.
21. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan
keluaran vo(t) jika tegangan masukan vs(t)=10u(t) mV.
10kΩ
vs
+
−
i
10kΩ
100i
1kΩ
0,1µF
+
vo
−
100kΩ
22. Pada rangkaian berikut carilah tanggapan status nol dari tegangan
keluaran vo(t) jika tegangan masukan vs(t)=10u(t) mV.
10kΩ
vs
+
−
i
2pF
+
vo
−
10kΩ
50i
20pF 1kΩ
23. Untuk rangkaian berikut, tentukanlah vo dinyatakan dalam vin.
C2
R2
R1
+
−
+
vin
C1
+
vo
2-19
10kΩ
10kΩ
+
vin
−
+
1µF
C1
R2
R1
+
vin
+
vo
C2
−
+
+
vo
R2
i2
i1
26. Untuk rangkaian
transformator linier
berikut ini tentukanlah i1
dan i2 .
M
+
−
50Ω
L1
L2
50u(t) V
80Ω
L1=0,75H L2=1H
M = 0,5H
27. Pada hubungan beban dengan
transformator berikut ini,
nyatakanlah impedansi masukan
Zin sebagai fungsi dari M.
M
L1
Zin
L2
50Ω
L1=20mH L2=2mH
28. Berapakah M agar Zin pada soal 27 menjadi
Z in =
0,02s(0,2s + 25000)
s + 25000
29. Jika tegangan masukan pada transformator soal 28 adalah
vin = 10 cos 300t V , tentukan arus pada beban 50 Ω.
2-20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)
2-21