teorema divergensi dan persamaan i maxwell

4
TEOREMA DIVERGENSI DAN PERSAMAAN I MAXWELL
Divergensi dari suatu medan vektor A disuatu titik, didefinisikan sebagai
 A.dS
Divergensi A = div A  lim s
V  0
V
V=xyz
Artinya:
Divergensi vektor kerapatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar
dari sebuah permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol.
Divergensi kerepatan medan D:

div D  lim
V 0
D.dS
V
jika volume diferensial koordinat kartesian (dxdydz), volume diferensial
dalam koordinat tabung (dddz) atau koordinat bola (r2sin.dd), maka
pernyataan disebut yang mengandung turunan parsial terhadap peubah dari
sistem yang bersangkutan akan diperoleh rumusan sbb:
div D 
D x D y D z


x
y
z
div D 
1 D
1 D  D z
(D  ) 

 
 
z
div D 
1 D 2
1 
1 D 
(
r
D
)

(sin

D
)

r

r sin  
r sin  
r 2 r
kartesian
tabung
bola
Divergensi merupakan operasi yang bekerja pada vektor dan hasilnya adalah
skalar atau perkalian dua vektor hasilnya adalah skalar.
Divergensi adalah menentukan besar fluks yang meninggalkan suatu volume
kecil dalam basis persatuan volume.
Konsep divergensi dapat digambarkan dengan mengambil contoh pada kuliah
sebelumnya D = e-xsin y ax – e-xcos y ay + 2 z az C/m2, maka diperoleh
11
D x D y D z


x
y
z
div D 
= -e-xsin y + e-xsin y + 2
= 2 C/m3
(jika stuan D adalah C/m2 maka satuan div D
adalah C/m3 karena kerapatan volume)
PERSAMAAN I MAXWEEL
Operasi divergensi dalam kaitannya dengan kerapatn fluks listrik telah
dirumuskan
div D  lim
V 0
div D 
 D.dS
s
V
D x D y D z


x
y
z
div D = v
Dari Hukum Gauss:
 D.dS  Q
s
 D.dS
s
V

Q
V
 D.dS
lim
V  0
s
V
Q
V  0 V
 lim
Ruas kiri adalah div D dan ruas kanan adalah kerapatan muatan volume
div D = v
Contoh
Dalam ruang r  b dalam koordinat bola terdapat kuat medan listrik
12
E
r
a r , hitung kedua ruas teorema divergensi pada medan tersebut.
3
 E.dS   (
b
a r ).(b 2 sin dda r ).
3
2 
b3
0 3 sin dd.


0
4b3

3
 (.E)d =
.E =
1  2 r

(r
)
2
r r
3

2 
b
  

0
0
4b
3

0
 2
r sin drdd

3
OPERATOR VEKTOR (OPERATOR DEL)
Operator del disimbolkan  sebagai operator vektor
 =



ax  ay  az
x
y
z
Misalnya
.D = (
=



a x  a y  a z ).(Dx ax + Dy ay + Dz az)
x
y
z
Dx Dy Dz


x
y
z
Jadi
div D = .D =
D x D x D x


x
y
z
div D = .D 
1 D
1 D  D z
(D  ) 

 
 
z
Kartesian
13
tabung
div D= .D 
1 D 2
1 
1 D 
(
r
D
)

(sin

D
)

r

r sin  
r sin  
r 2 r
bola
Dari integral tertutup Hk. Gauss:
 D.dS  Q
s
Q   vdv
vol
v = div D
div D = .D
didapatkan
 D.dS  Q   
s
v
dv 
vol
 .Ddv
vol
Rumusan pertama dan terakhir dinyatakan teorema divergensi
 D.dS   .Ddv
s
vol
yang dapat dinyatakan:
Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan
tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh
volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut.
Contoh:
Diketahui medan listrik dengan kerapatan D = 2 xy ax + x2 ay C/m dan kotak
yang dibentuk oleh bidang x = 0 dan 1, y = 0 dan 2, z = 0 dan 3. Hitung
dengan teorema divergensi.
Penyelesaian:
14
 D.dS
s
 (2ya

x
 a y ).(dsa x ) 
x 1
 (4xa

x
 (x a
 x 2a y ).(dsa y ) 
x
2
 x 2a y ).(dsa z ) 
z 3
z 0
x 1
 2
2
3
0
0
 ydydz  4 dz
0
= 12 C
Cara divergensi
 .Ddv
=
vol
.D 


(2xy )  x 2
x
y
= 2y
3
=
0
3
2
1
 
0
2 ydxdydz
0
2
=

0
0
y
).(dSa y )
 (2xya
 2yds  0  0  0  0
3
)
y0
 (2xya

x
x 0
y2

 0.(dSa
2 ydydz
3
=  4dz
0
= 12 C
15
x
 x 2a y ).(dsa z )
Contoh:
Suatu medan dengan kerapatan D = 30 e-rar – 2 z az dalam koodinat silinder
(tabung). Hitunglah kedua ruas
teorema divergensi untuk bagian yang
dilingkupi oleh r = 2, z = 0 dan z = 5.
Penyelesaian:
 D.dS   .Ddv
s
vol
Perhatikan Dz = 0 untk z = 0, maka D.dS = 0 untuk bagian permukaan z
5
2
 D.dS   30e
s
0
2
2
a r .2ddza r 
0
2
   2(5)a
0
z
0
= 60 e-2 (2)(5) – 10 (2)(2)
= 129,4 C
Untuk ruas kanan teorema divergensi
 .Ddv
Ingat: uv = u’v+uv’
=
vol
.D=
=
5
2 2
0
0
  
0
1

30e r
(30re r )  (2z) 
 30e r  2
r r
z
r
30e r
(
 30e r  2)rdrddz
r
= 129,4 C
16
.rdrda z