rank matriks atas ring komutatif

Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster)
Volume 02, No. 1 (2013), hal . 63 – 70.
RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
INTISARI
Rank dari matriks atas field merupakan banyaknya elemen basis pada ruang baris atau ruang kolom matriks
tersebut. Namun, definisi dari rank matriks atas field ini tidak selalu berlaku untuk matriks atas ring
komutatif, karena tidak semua ruang baris atau ruang kolom dari matriks atas ring komutatif memiliki basis.
Oleh karena itu, diperlukan pendefinisian baru untuk menentukan rank matriks atas ring komutatif. Rank
matriks atas ring komutatif adalahnilai maksimum sedemikian sehingga Annihilator dari ideal
yang
dibangun oleh minor berukuran
hanya memuat nol. Annihilator dari
merupakan himpunan yang
memuat semua
sedemikian sehingga jika
untuk setiap
. Jika matriks atas ring
komutatif ini diganti dengan sebarang matriks atas field maka definisi dari rank matriks atas ring komutatif
juga berlaku untuk matriks atas field.
Kata kunci: Modul, Rank Matriks atas Ring Komutatif, Rank Matriks atas Field
PENDAHULUAN
Salah satu masalah penting dalam matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linear.
Suatu sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika rank dari matriks koefisien sama dengan rank
matriks diperbesar. Namun, jika rank matriks koefisien lebih kecil dari rank matriks diperbesarnya,
maka sistem persamaan linear tersebut tidak konsisten. Definisi rank matriks klasik erat kaitannya
dengan matriks atas field yaitu matriks yang entri-entrinya elemen suatu field. Dalam menentukan rank
matriks atas field dapat digunakan metode eliminasi Gauss dengan menggunakan operasi baris atau
kolom elementer, sehingga diperoleh basis dari ruang kolom atau ruang baris matriks tersebut.
Banyaknya elemen pada basis ruang baris atau ruang kolom matriks tersebut disebut sebagai dimensi
ruang baris atau ruang kolom. Dimensi ruang baris atau ruang kolom inilah yang disebut dengan rank
matriks atas field, atau dinotasikan dengan
. Pada suatu matriks
, dengan
merupakan suatu field operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dan ruang kolom .
Selanjutnya, vektor-vektor baris tak nol yang berbentuk eselon dari matriks akan membangun basis
untuk ruang baris , dan vektor-vektor kolom tak nol yang berbentuk eselon dari matriks
akan
membangun basis untuk ruang kolom
[1]. Suatu himpunan yang tidak kosong yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian disebut ring, jika himpunan tersebut terhadap operasi
penjumlahan merupakan grup abelian, terhadap operasi perkalian semigrup, dan memenuhi sifat
distributif kiri dan kanan operasi penjumlahan terhadap perkalian [2]. Salah satu jenis ring adalah ring
komutatif yaitu ring yang bersifat komutatif terhadap operasi perkalian. Jadi, matriks atas ring
komutatif adalah matriks yang entri-entrinya elemen dari suatu ring komutatif. Himpunan
disebut
modul kiri atas ring jika
,
grup abelian dan memenuhi aksioma-aksioma berikut [3]:
M1.
(tertutup terhadap operasi pergandaan skalar)
M2.
M3.
M4.
M5.
, dengan
merupakan elemen satuan terhadap operasi perkalian.
Sebaliknya, himpunan
dan
grup abelian disebut modul kanan atas ring , jika
memenuhi aksioma M1 sampai M5 dengan syarat perkalian skalarnya dari kanan. Namun, jika
63
64
E WULAN RAMADHANI, N KUSUMASTUTI, E NOVIANI
merupakan ring komutatif, maka struktur modul kiri sama dengan struktur modul kanan atas ring
dan disebut sebagai modul atas . Untuk selanjutnya, jika diketahui modul atas , maka
yang
dimaksud adalah ring komutatif.
Struktur himpunan semua matriks atas ring komutatif adalah modul, dan tidak semua modul
memiliki basis. Akibatnya, tidak selalu dapat dicari dimensi dari ruang baris atau ruang
kolom pada matriks atas ring komutatif. Oleh karena itu, definisi rank matriks atas field
tidak selalu berlaku untuk matriks atas ring komutatif.
Berdasarkan uraian tersebut, maka penelitian ini akan mengkaji tentang definisi rank
matriks atas ring komutatif, mengkaji sifat-sifat rank matriks atas ring komutatif serta
menyelidiki apakah definisi rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks atas
field. Dalam penelitian ini, matriks yang digunakan adalah matriks atas ring komutatif
berordo
. Untuk menentukan rank matriks atas ring komutatif,
diawali dengan
menentukan ideal dari
yang dibangun oleh setiap minor-minor matriks berordo
,
dinotasikan dengan
, dengan syarat
. Selanjutnya ditentukan himpunan
yang memuat suatu elemen di
sedemikian sehingga jika elemen tersebut dikalikan dengan
setiap elemen di
maka hasilnya sama dengan nol. Himpunan tersebut disebut sebagai
Annihilator dari
atau disingkat
. Setelah itu diperoleh rank dari matriks
yang merupakan maksimum dari
sedemikian sehingga
hanya memuat
elemen nol. Namun jika tidak terdapat
sedemikian sehingga
merupakan
himpunan yang hanya memuat nol, maka rank dari matriks tersebut sama dengan nol.
Rank Matriks atas Ring Komutatif
Seperti halnya matriks atas field, matriks atas ring komutatif juga dibangun oleh ruang baris dan ruang
kolom. Dimisalkan
, maka ruang kolom dari matriks merupakan submodul di
dan
ruang baris matriks
merupakan submodul di
, tetapi submodul-submodul ini belum tentu
mempunyai basis. Karena itu perlu dilakukan inovasi, sehingga dapat didefinisikan rank matriks atas
ring komutatif yang tidak bertentangan dengan definisi matriks atas field. Pada suatu ring dikenal
istilah ideal yaitu subring yang bersifat khusus. Diberikan yang merupakan ideal dari ring , maka
untuk setiap
berlaku
dan
.
Selain itu, di dalam ring juga terdapat istilah Annihilator. Annihilator dari suatu ideal didefinisikan
sebagai berikut:
yang disebut Annihilator dari ideal [3]. Ideal yang digunakan dalam menentukan rank matriks atas
ring komutatif adalah ideal yang menyerupai pendefinisian basis pada matriks atas field, sehingga
dapat digunakan untuk mencari rank matriks ring komutatif. Jika definisi matriks atas field dilihat dari
sisi adanya minor matriks yang tidak nol, maka pendefinisian rank matriks atas ring komutatif dapat
dilakukan melalui pengkajian ideal yang dibangun oleh semua minor
dari matriks atas ring .
Definisi 1 [4] Diberikan
. Himpunan
yang dibangun oleh minor berukuran
dari matriks
didefinisikan sebagai ideal di dalam ring
untuk setiap
.
Definisi 1 dapat dijelaskan sebagai berikut, dimisalkan
(
dan
. Minor-minor matriks yang berukuran
)
adalah
dengan
Dari minor-minor tersebut dapat dibentuk ideal yang dibangun oleh minor berukuran
matriks , dinotasikan
. Sedangkan minor-minor berukuran
dari matriks adalah:
|
| |
|
|
|
dari
(1)
Rank Matriks atas Ring Komutatif
65
Dari minor-minor (1) dapat dibentuk ideal yang dibangun oleh minor-minor berukuran
dari
matriks . Dengan cara yang sama, jika
, maka dari minor matriks yang
berukuran
dapat dibentuk ideal yang dibangun semua minor matriks yang berukuran
,
dinotasikan dengan
.
Diandaikan
adalah minor ukuran
dari matriks . Karena
maka
.
Akibatnya untuk setiap
berlaku
(2)
Jika diambil sebarang
, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
|
|
(
|
(
|
|
|
|
Terlihat bahwa
Akibatnya,
disimpulkan
|
|
|
|
|
|
|
)
|
)
|
ternyata juga dibangun oleh minor ukuran
. Karena untuk sebarang
berakibat
dari matriks .
, maka dapat
(3)
sehingga jika rantai ideal (3) diperluas, maka untuk setiap
berlaku
(4)
Telah diketahui bahwa
merupakan ring komutatif. Karena
merupakan ideal dalam , sehingga dalam kasus ini,
karena semua ideal berada di dalam , maka bias diambil
diperluas seperti berikut ini [2]:
ring komutatif, maka dan
, maka
. Sedangkan
. Akibatnya, Definisi 1 dapat
{
Dengan demikian rantai ideal (4) menjadi:
Kemudian, jika diambil sebarang
, untuk setiap
. Karena
maka untuk setiap
berakibat juga elemen
. Sehingga
.
Akibatnya
berakibat
(
). Karena untuk sebarang
maka terbukti
. Sehingga diperoleh
(
)
(
)
Selanjutnya akan dibahas mengenai salah satu sifat dari ideal dari
yang
dibangun oleh minor berukuran
dari matriks
.
66
Teorema
E WULAN RAMADHANI, N KUSUMASTUTI, E NOVIANI
2[4] Jika
berlaku:
matriks
dan
maka
untuk
setiap
Bukti: Untuk
, makaberlaku
,
, dan
, sehingga jelas
.
Sehingga berlaku
untuk
. Selanjutnya untuk
dalam
pembuktian teorema ini akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu sebagai berikut:
Kasus 1: Akan dibuktikan
. Matriks
dipartisi ke dalam vector kolom
[
], sehingga
[
]. Diberikan
sebagai minor ukuran
dari
matriks
dan merupakan pembangun
. Diandaikan nomor kolom dari
adalah
. Sehingga:
[ | |
]
dan
([
|
|
])
( [ | |
])
Dengan kata lain, dalam membuktikan
dapat diasumsikan dengan mengambil
.
Kemudian,
dengan
merupakan indeks baris
yang
dapat
dipilih
dari
.
Diandaikan
.
Kemudian
∑
, untuk setiap
∑
∑
([
])
∑
])
([
Dengan menggunakan fakta bahwa determinan adalah fungsi -linear pada baris, maka diperoleh:
∑
∑
Dari persamaan di atas diperoleh bahwa
. Akibatnya
Karena untuk sebarang
berakibat
∑
([
])
dibangun oleh determinan submatriks dari
dengan
.
, maka dapat disimpulkan bahwa
dengan
Kasus 2: Akan dibuktikan
.
Diambil sebarang
. Dengan menggunakan kasus 1 dan persamaan (2) diperoleh:
Karena dari kasus 1 dan kasus 2 terbukti bahwa
bahwa
.
Definisi 3[4] Diberikan matriks
sebagai berikut:
dan
. Rank dari matriks
maka terbukti
, dinotasikan
, adalah
Rank Matriks atas Ring Komutatif
67
Contoh 4
Diberikan sistem persamaan linear atas
:
Selidiki apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten atau tidak konsisten.
Jawab: SPL tersebut dapat diubah menjadi persamaan
[
, dengan
]
[ ] dan
[ ]. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelidiki apakah sistem persamaan linear tersebut
konsisten atau tidak konsisten.
I. Akan ditentukan rank matriks koefisien dari SPL tersebut.
Akan ditentukan masing-masing ideal
yang dibangun oleh minor berukuran
⟨{|
|}⟩
⟨{|
| |
⟨
⟩
⟨
⟨
| |
, dengan
⟩
| |
| |
| |
| |
| |
|}⟩
⟩
Kemudian diperoleh:
(
)
II.
(
)
(
)
Karena
dan
maka
(
)
(
)
Akan ditentukan rank matriks diperbesar dari SPL tersebut. Diandaikan matriks
diperbesar dari SPL, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
(
⟨{|
⟨
⟨
| |
⟩
⟩
| |
| [
| )
]}⟩
⟨
⟩
adalah matriks
68
E WULAN RAMADHANI, N KUSUMASTUTI, E NOVIANI
Kemudian diperoleh:
(
)
(
(
)
)
(
Karena
)
(
,
)
(
dan
)
maka :
Dari I dan II diperoleh
dan
, sehingga dapat disimpulkan
. Dengan kata lain SPL tersebut tidak konsisten.
Teorema 5 berikut ini memberikan beberapa sifat rank matriks atas ring komutatif
Teorema 5 [4] Diberikan
berlaku:
a.
b.
c.
(
)
Bukti:
a. Karena
dan
, sehingga jelas
berlaku
dan
(
)
.
b. Karena
sehingga jelas
(
)
Akibatnya
c. Dengan memperhatikan kembali rantai ideal-ideal
. Sedangkan untuk
. Oleh karena itu, pastilah
untuk setiap
.
yang berakibat:
(
Jika
(
maka
(
)
(
)
)
. Untuk
Selanjutnya
)
selalu berlaku
(
. Sebaliknya jika
(
)
akan berlaku
dan
untuk
, akan selalu berlaku
(
)
artinya
(
dan
)
)
maka
(
. Dengan kata lain,
. Dengan kata lain
. Untuk
)
juga akan
.
PadaTeorema 5, dibahas tentang sifat dari suatu matriks
. Berikut ini diberikan sifat dari
rank matriks atas ring komutatif, sedemikian sehingga matriks tersebut diperoleh dari hasil perkalian
dua matriks.
Teorema 6 [4] Jika
dan
, maka
.
Bukti: Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa
. Dari rantai ideal berikut:
diperoleh:
(
(
Dimisalkan
)
)
(
, maka diperoleh
(
(
)
(
)
)
(
)
(
dan diperoleh
, untuk setiap
.
)
)
Rank Matriks atas Ring Komutatif
Karena
(
, maka
69
)
untuk setiap
. Oleh
karena itu, diperoleh bahwa
Selanjutnya akan ditunjukkan
. Dari rantai ideal berikut
diperoleh
Dimisalkan
(
, maka akan diperoleh
(
Karena
(
)
demikian, karena
)
dan juga diperoleh:
)
, untuk setiap
.
,
maka
untuk
setiap
. Oleh karena itu, diperoleh bahwa
dan
, maka diperoleh
.
berlaku
. Dengan
Diasumsikan
, maka
dapat dinyatakan sebagai jumlah maksimal
dari vektor-vektor baris (vektor-vektorkolom) matriks
yang bebas linear. Dengan kata lain
juga bisa dinyatakan sebagai maksimal
sedemikian sehingga
memiliki minor
berukuran
yang tidak sama dengan nol. Karena minor berukuran
tersebut tidak
sama dengan nol, sehingga diperoleh
. Akibatnya
.
(
)
Diperoleh:
Jadi, dapat disimpulkan bahwa definisi rank matriks atas ring komutatif juga berlaku untuk matriks
atas field.
Contoh 7
Diberikan
adalah himpunan yang memuat semua bilangan real
dengan
(
). Akan ditunjukkan bahwa definisi rank matriks atas ring
komutatif juga berlaku untuk matriks
Jawab:
i. Akan ditentukan
dengan menggunakan operasi baris elementer. Vektor-vektor baris
dari matriks adalah sebagai berikut:
Hasil operasi baris elementer matriks
sebagai berikut:
(
)
Dari hasil operasi baris elementer tersebut diperoleh basis dari ruang baris matriks
yaitu:
Karena elemen basis dari ruang baris
.
ii. Akan ditentukan rank matriks
terdiri dari tiga vektor, maka
dengan menggunakan Definisi 3.
70
E WULAN RAMADHANI, N KUSUMASTUTI, E NOVIANI
⟨{|
⟨{|
⟨
⟨
Untuk setiap
⟨
|}⟩
| |
| |
⟩
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|}⟩
⟩
⟩
,
, dan
(
, diperoleh:
)
(
)
(
)
Jadi
{
(
)
}
Berdasarkan i dan ii dapat disimpulkan
komutatif juga bisa digunakan untuk menentukan rank
. Jadi, definisi rank matriks atas ring
.
PENUTUP
Jika diberikan
, maka tahap-tahap dalam menentukan
adalah diawali dengan
menentukan ideal yang dibangun oleh minor berukuran
dari matriks
untuk setiap
, dinotasikan dengan
. Selanjutnya ditentukan Annihilator dari masing-masing
. Jika terdapat sedemikian sehingga Annihilator dari
hanya memuat nol, maka
diperoleh dari nilai maksimum sedemikian sehingga Annihilator
hanya memuat nol. Namun,
jika tidak terdapat yang demikian, maka
. Kemudian, dari definisi rank matriks atas ring
komutatif diperoleh sifat-sifat dari rank matriks atas ring komutatif yaitu sebagai berikut:
1.
2.
3.
(
)
4. Jika
dan
, maka
.
Dari pembahasan rank matriks atas field dan rank matriks atas ring komutatif, maka dapat disimpulkan
bahwa metode untuk menentukan rank dari matriks atas ring komutatif juga dapat digunakan untuk
menentukan rank dari matriks atas field.
DAFTAR PUSTAKA
[1] LarsonR, FalvoDC. Elementary Linear Algebra. Boston: Houghton Mifflin Harcourt Publishing
Company; 2009
[2] Hungerford TW. Abstract Algebra. New York: Springer Verlag; 2000
[3] Adkins WA, Weintraub SH. Algebra an Approach via Module Theory. New York : Springer
Verlag; 1992
[4] Brown WC. Matrices over Commutative Rings. New York : Marcel Dekker Inc;1992
Eka Wulan Ramadhani : FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, [email protected]
Nilamsari Kusumastuti : FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, [email protected]
Evi Noviani
: FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak, [email protected]