filsafat dan sejarah matematika

Oleh :
Dr. H. Heris Hendriana, M.Pd
STKIP SILIWANGI
The Innovation campus
Berkualitas Biaya Pas
Cermin diri
PENGAKUAN / KESEPAKATAN
STKIP SIliwangi
Senan tiasa tampil prima dalam menghadapi
Tantangan masa kini maupun masa depan
dibidang tri dharma perguruan tinggi dengan
Kemampuan dan kreativitas yang penuh
Imajinatif, Powerfull dan proaktif dengan
budaya Sillaturahim, Inovatif, berWawasan
masa depan, berperilaku Normatif, Gigih dalam
bekerja dan berkarya nyata.
A. Logisisme
B. Intusionisme
C. Formalisme
A. Formalisme
1. David Hilbert (1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak
lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini
disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda
linguistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggeris. Bilangan
dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2 atau II
2. Pada saat kita membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara
matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang
perluasan makna (Anglin, 1994).
3. (Ernest, 1991), Formalis memandang matematika sebagai suatu permainan
formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang
mengikuti aturan. Formalis memiliki dua tesis, yaitu
a. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat
ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui
teorema-teorema formal.
b. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan
terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Beberapa hal yang dianggap lemah dalam formalisme
1. Formalis dalam memahami obyek matematika seperti lingkaran,
sebagai sesuatu yang kongkrit, padahal tidak bergantung pada obyek
fisik;
2. Formalis tidak dapat menjamin permainan matematika itu konsisten.
Jawaban Formalisme
1. lingkaran dan yang lainnya adalah obyek yang bersifat material
2. Meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan kadangkadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994).
B. Intuisionisme
1. L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu
kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah
hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi
manusia memikirkannya.
2. Intuisionisme menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk
matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita,
sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran
pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas,
oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa
yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994).
3. Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran
matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara
mental) dari aksioma-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif
merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini
berdasarkan pengetahuan yang eksklusif pada keyakinan yang
subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan
intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif
semata (Ernest, 1991).
Kritik terhadap Intuisionisme
1. Intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek
matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4;
2. Matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan
menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan,
bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini.
Jawaban Intusionisme
1. Tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba
membayangkan suatu dunia tanpa manusia;
2. Lebih baik memiliki sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg
dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan
omong kosong (Anglin, 1994).
C. Logisisme
1. Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari
logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B.
Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931).
2. Pengakuan Bertrand Russell menerima logisime adalah yang paling
jelas dan dalam rumusan yang sangat ekspilisit. Pernyataan penting
yang dikemukakannya, yaitu
a. semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan
pada konsep logika;
b. semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma
dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata
(Ernest, 1991).
Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme
antara lain:
1. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan
sebelumnya,
dengan
demikian
kebenaran-kebenaran
aksioma
sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah.
Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran
matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
2. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif
tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika.
Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika
melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran
matematika.
3. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang
tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi
kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip
dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk
pengetahuan matematika.
Filsafat Matematika
1. Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi
dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis.
a. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut,
bahwa : mathematics is the one and perhaps the only realm of
certain, unquestionable and objective knowledge‟,
b. sedangkan menurut fallibilis mathematical truth is corrigible, and
can never regarded as being above revision and correction‟
(Ernest, 1991).
2. Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua
kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori
(empirical).
a. A priori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu
dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat
penggunaan logika deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara
tipikal dapat ditemukan dalam definisi.
b. A posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman,
yaitu berdasarkan observasi dunia.
3. Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis
asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi,
dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan
dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro)
asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran
matematika.
4. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah
pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan
kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Russel telah menunjukkan
bahwa sistem yang dipublikasikan Gottlob Frege tahun 1879 dan 1893 tidak
konsisten.
5. Kontradiksi lainnya muncul adalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan
ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika
matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi
kontradiksi di antara teorema-teorema itu?
6. Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu
negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis;
pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki
validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika
dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.
Objek-Objek dalam Matematika
1. Plato (427-349 SM) merupakan seorang realis, dia
mempercayai bahwa realitas itu ada dan tidak terikat
pikiran manusia. Suatu sistem dikatakan benar jika suatu
pernytaaan menjelaskan keadaan sesungguhnya dari
realitas yang terbebas dari pikiran. Pernyataan Plato
yang terkenal adalah “ Sesuatu adalah saya sebagaimana
hal itu terjadi pada saya, dan sesuatu itu adalah kamu
sebagaimana hal itu terjadi pada kamu.
2. Plato meyakini bahwa benda-benda di alam semesta
terbagi ke dalam dua kelas, yaitu yang berbentuk materi
dan non materi. Benda-benda seperti matahari, pohon,
binatang berbentuk materi, sementara kebaikan,
keburukan, jiwa seorang manusia termasuk kaategori non
materi. Suatu gambar empat persegi panjang termasuk
kategori materi, tetapi persegi panjang itu sendiri
termasuk ke dalam kategori non materi.
3. Aristoteles (384-322 SM) seorang murid dari Plato selama
duapuluh tahun, tetapi ia sendiri tidak setuju dengan Plato
mengenai hakekat matematika. Bagi dia kata “ dua” bukan suatu
kata benda untuk suatu obyek abstrak yang bebas dari obyek
fisik, tetapi suatu keterangan merumuskan suatu obyek fisik,
misal panjangnya dua meter (Anglin, 1994).
4. Aristoteles meletakkan ketakberhinggaan pada tempatnya begitu
kokoh, sehingga hampir setiap orang tidak bisa mengkritiknya
hingga abad ke IX. Pendekatan yang digunakan adalah pragmatik,
dengan menyatakan bahwa ketakhinggan pasti ada, sebab waktu
muncul tanpa awal dan tanpa akhir, demikian juga dengan bilangan.
Andaikata ada bilangan yang paling besar disebut dengan
„maximal‟ (max), kemudian bagaimana dengan max+1 atau max + 2
tetapi sebaliknya ketakhinggaan tidak ada di dunia nyata, andaika
ada, contohnya tubuh manusia juga tak berhingga, itu tak
terbatas pada sebuah tubuh
APA MATEMATIKA ITU ?
1. Whitehead (dalam Wilkins, 2004) menyatakan bahwa
matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan
semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya
bersifat deduktif.
2. Boole berpendapat bahwa ilmu matematika adalah ide-ide
tentang jumlah dan kuantitas.
3. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh
yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil
bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman.
4. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi
matematika terbaik berasal dari pengalaman.
5. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema,
maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah.
6. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah
bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru
ditemukan.
7. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah
konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan
matematika konsistensi ini.
8. Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan
yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada
vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam
matematika
dibuat
dengan
penyederhanaan
metode,
menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya
dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep
baru.
9. Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah
cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu
aritmatika, aljabar analisis, dapat didefinisikan dalam empat
konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat
disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.
9. (Bold, T., 2004) menyatakan bahwa komponen penting dari
matematika mencakup
a. konsep
angka
integer,
pecahan,
penambahan,
perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan
pembagian
terhubung
dengan
studi
proposisi
matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan
adalah elemen dari konsep-konsep matematika
b. Elemen
penting kedua untuk interpretasi konsep
matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak,
yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat
abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa
kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua
matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah
satu motif dari intuitionists untuk berpikir
matematika adalah produk satu-satunya pikiran dan
bahasa.
c.
Elemen ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak
terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan
demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi
konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang
merupakan karakter dari kemungkinan.
d. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya
berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu
yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama
sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan
sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend.
Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika,
bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan
p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi.
Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika
untuk dijelaskan dengan istilah matematika
Matematika adalah :
1. Cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan
terorganisisr secara sistematik
2. Pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya
3. Pengetahuan tentang penalaran logis dan
berhubungan dengan bilangan
4. Pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif
dan masalah tentang ruang dan bentuk
5. Pengetahuan tentang struktur-struktur yang
logis
6. Pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat
CERMIN DIRI

Cermin diri kita adalah citra diri kita, cermin diri kita terwujud
atau tertangkap dari penampilan diri.

Usaha yang harus kita lakukan adalah meningkatkan citra diri
melalui penampilan.

Penampilan adalah bentuk pernyataan diri. Penampilan yang
menarik menimbulkan tumbuhnya percaya diri.

Bagaimana kita memperlakukan diri kita akan tercermin ketika
orang lain menilai kita berpenampilan menarik atau tidak.
CITRA DIRI
Peningkatan citra diri melalui beberapa indikator sebagai
berikut :
1.
Kepribadian (The POWER look ;
Positive attitude, Other people, Words, Expanding,
Realize your goal).
2. Olah Pikir (Cerdas, kreatif , Kritis, inovatif, Terbuka).
3. Citra visual (Beauty, sikap, ekspresi muka, pandangan
dan kesehatan).
FATWA CITRA DIRI
1.
Pertahankan senyuman indah tetap ada dibibir kita.
Biarkan siapapun boleh melihat wajah kita yang penuh
cinta yang membuat keluarga, taman, saudara, krabat,
pegawai, mahasiswa dll senantiasa dekat dengan kita.
2.
Tersenyum manis akan menarik urat wajah lebih sedikit
dari pada cemberut. Senyum akan membuat awet muda
dan cemberut membuat tidak akrab dan cepat tua.
3.
Jangan memilih orang yang indah didunia, namun
pilihlah orang yang membuat dunia ini indah.
CERMIN DIRI KARENA ORANG TUA







Bila aku jadi orang dermawan, karena orang tuaku
yang mengajarkan.
Bila aku orang toleran, karena orang tuaku yang jadi
panutan.
Bila aku rendah hati, karena orang tua meng insfirasi.
Bila aku beriman, karena orang tua penuh teladan.
Bila aku jadi pengasih, karena orang tua memberi
tanpa pamrih
Bila alu sering sillaturahim, karena orang tua punya
rahim.
Bila aku ramah, karena orang tuaku Siti Rohimah.