kalkulus i - UIGM | Login Student

KALKULUS I
Didin Astriani Prasetyowati, S.Si, M.Stat
Prepared by : Rachmat Suryadi
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Sistem Bilangan Real
1.2 Operasi Bilangan
1.3 Urutan
1.4. Pertidaksamaan
1.5 Nilai Mutlak
2
1.1 Sistem Bilangan Real
• Bilangan Asli
– N = {1, 2, 3, 4, …}
• Bilangan Bulat
– Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
• Bilangan Rasional
a
b
– bilangan yang ditulis dengan ; dimana a dan b
keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0.
a
• Q = { b | a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}
• Bilangan Irrasional
– √3, √ 5, ³√ 7 , e dan π.
3
1.1 Sistem Bilangan Real
a. Bilangan Asli : adalah bilangan bulat positif
N = {1, 2, 3, 4, …………}.
b. Bilangan Cacah : bilangan bulat positif digabung dengan nol
C = {0, 1, 2, 3, 4, …………}.
c. Bilangan Bulat : bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan
positif
Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
d. Bilanga Prima: bilangan-bilangan sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya
sendiri dan satu
P = {2,3,5,7,11,13,17,…}
e. Bilangan Rasional
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0
atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang ulang.
Q = {-2, 2/7, 10/2, 2/11,…}
f. Bilangan Irasional
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai:
p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu decimal berulang.
 = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang)
e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/ tidak berulang)
2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang
g. Bilangan Real : gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional
1.1 Sistem Bilangan Real
• Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional
beserta negatifnya dan nol (bilangan nyata).
Himpunan semua bilangan real dinotasikan
dengan R.
• Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R
dapat dinyatakan dengan
• N⊂Z⊂Q⊂R
5
1.2 Operasi Bilangan
1) Hukum komutatif : x+y = y+x dan xy=yx.
2) Hukum asosiatif: x+(y+z) = (x+y)+z dan
x(yz)=(xy)z.
3) Hukum distributif: x(y+z) = xy + xz.
4) Identitas:
– Penjumlahan: 0 ; sebab x + 0 = x.
– Perkalian:
1 ; sebab x.1 = x.
5) Invers (kebalikan):
– Setiap bilangan Real x mempunyai invers aditif
(disebut juga negatif) –x yang memenuhi x + (–x) = 0
– Setiap bilangan Real x yang tidak nol mempunyai
invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1
yang memenuhi x. x−1 = 1.
6
1.3 Urutan Garis Bilangan Real
Sifat-sifat urutan:
• 1) Trikotomi: x < y atau x = y atau x > y.
• 2) Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z.
• 3) Penambahan: x < y ⇔ x + z < y + z
• 4) Perkalian:
– Jika z > 0 maka x < y ⇔ xz < yz
– Jika z < 0 maka x < y ⇔ xz > yz
• Sifat-sifat diatas ( x “<“ y) berlaku juga untuk
( x “≤“ y)
7
1.4. Pertidaksamaan
8
1.4. Pertidaksamaan
9
1.4. Pertidaksamaan
10
1.5 Nilai Mutlak
Definisi:
• Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x|
didefinisikan dengan
• Misal: | 5 | = 5 , | − 5 | = −(−5) = 5 , | 0 | = 0
• Sifat-sifat nilai mutlak
11
1.5 Nilai Mutlak
• Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak
– Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang
memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema
berikut.
– Secara fisis | x | dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang
memenuhi | x | < a menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a.
– Secara fisis |x − c| dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang
memenuhi |x − c| < a menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a.
12
1.5 Nilai Mutlak
13
Terima kasih
14