KALKULUS I Didin Astriani Prasetyowati, S.Si, M.Stat Prepared by : Rachmat Suryadi 1 I. PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilangan Real 1.2 Operasi Bilangan 1.3 Urutan 1.4. Pertidaksamaan 1.5 Nilai Mutlak 2 1.1 Sistem Bilangan Real • Bilangan Asli – N = {1, 2, 3, 4, …} • Bilangan Bulat – Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} • Bilangan Rasional a b – bilangan yang ditulis dengan ; dimana a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0. a • Q = { b | a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0} • Bilangan Irrasional – √3, √ 5, ³√ 7 , e dan π. 3 1.1 Sistem Bilangan Real a. Bilangan Asli : adalah bilangan bulat positif N = {1, 2, 3, 4, …………}. b. Bilangan Cacah : bilangan bulat positif digabung dengan nol C = {0, 1, 2, 3, 4, …………}. c. Bilangan Bulat : bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} d. Bilanga Prima: bilangan-bilangan sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu P = {2,3,5,7,11,13,17,…} e. Bilangan Rasional bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang ulang. Q = {-2, 2/7, 10/2, 2/11,…} f. Bilangan Irasional Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai: p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu decimal berulang. = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang) e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/ tidak berulang) 2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang g. Bilangan Real : gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional 1.1 Sistem Bilangan Real • Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. • Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan • N⊂Z⊂Q⊂R 5 1.2 Operasi Bilangan 1) Hukum komutatif : x+y = y+x dan xy=yx. 2) Hukum asosiatif: x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz)=(xy)z. 3) Hukum distributif: x(y+z) = xy + xz. 4) Identitas: – Penjumlahan: 0 ; sebab x + 0 = x. – Perkalian: 1 ; sebab x.1 = x. 5) Invers (kebalikan): – Setiap bilangan Real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x yang memenuhi x + (–x) = 0 – Setiap bilangan Real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1 yang memenuhi x. x−1 = 1. 6 1.3 Urutan Garis Bilangan Real Sifat-sifat urutan: • 1) Trikotomi: x < y atau x = y atau x > y. • 2) Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z. • 3) Penambahan: x < y ⇔ x + z < y + z • 4) Perkalian: – Jika z > 0 maka x < y ⇔ xz < yz – Jika z < 0 maka x < y ⇔ xz > yz • Sifat-sifat diatas ( x “<“ y) berlaku juga untuk ( x “≤“ y) 7 1.4. Pertidaksamaan 8 1.4. Pertidaksamaan 9 1.4. Pertidaksamaan 10 1.5 Nilai Mutlak Definisi: • Nilai mutlak bilangan real x, ditulis |x| didefinisikan dengan • Misal: | 5 | = 5 , | − 5 | = −(−5) = 5 , | 0 | = 0 • Sifat-sifat nilai mutlak 11 1.5 Nilai Mutlak • Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak – Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut. – Secara fisis | x | dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi | x | < a menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a. – Secara fisis |x − c| dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi |x − c| < a menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a. 12 1.5 Nilai Mutlak 13 Terima kasih 14