Kontrol Optimum

Kontrol Optimum
MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol
Toni Bakhtiar
Departemen Matematika IPB
April 2015
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
1 / 53
Outline
MKO berkendala
Kendala persamaan pada peubah kontrol
Kendala pertaksamaan pada peubah kontrol
Kontrol optimum linear
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
2 / 53
MKO Berkendala
Kendala pada masalah kontrol optimum sudah dibahas pada bagian
sebelumnya, yaitu berupa kendala di titik akhir x (T ) = xT atau
x (T ) b atau x (T ) bebas.
Syarat terpenuhinya kendala tersebut dinyatakan dalam bentuk syarat
transversalitas.
Di bagian berikut akan dibahas kendala pada MKO yang harus
dipenuhi di sepanjang waktu, [0, T ].
Karena MKO melibatkan peubah state dan peubah kontrol, maka
MKO berkendala dibedakan atas:
1
MKO dengan kendala pada peubah kontrol:
1
2
3
4
2
kendala
kendala
kendala
kendala
persamaan
pertaksamaan
isoperimetrik
pertaksamaan integral
MKO dengan kendala pada peubah state.
Pendekatan yang akan digunakan ialah metode pengganda Lagrange.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
3 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan
Bentuk umum MKO dengan kendala persamaan pada peubah kontrol dan
peubah state (mixed constraint) diberikan oleh:
RT
max J = 0 f (x, u1 , u2 , t ) dt
= g (x, u1 , u2 , t )
h (x, u1 , u2 , t ) = c.
s.t. ẋ
Masalah di atas merupakan bentuk sederhana dari MKO dengan m
peubah kontrol dan q kendala persamaan. Disyaratkan, q < m.
Dalam kasus di atas, m = 2 dan q = 1.
Fungsi hamilton:
H = f (x, u1 , u2 , t ) + p (t )g (x, u1 , u2 , t ).
Prinsip maksimum memproses maksimisasi H untuk setiap t 2 [0, T ].
Namun kali ini, proses tersebut diberi kendala h (x, u1 , u2 , t ) = c,
sehingga perlu dibentuk fungsi lagrange.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
4 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan
Fungsi lagrange:
L = H + λ(t )(c
h (x, u1 , u2 , t ))
= f + pg + λ(c
h)
Syarat perlu optimalitas:
1
2
3
4
Lui = fui + pgui λhui = 0, 8t 2 [0, T ] (i = 1, 2)
Lλ = c h = 0 , h (x, u1 , u2 , t ) = c (kendala pada peubah kontrol)
ẋ = Lp , ẋ = Hp , ẋ = g (x, u1 , u2 , t ) (kendala persamaan
diferensial)
ṗ = Lx , ṗ = Hx + λhx .
Syarat transversalitas.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
5 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan
Example
Partai berkuasa yang mengontrol pemerintahan selalu berusaha
mempertahankan kekuasaannya melalui penerapan kebijakan yang
mendapat dukungan mayoritas dari masyarakat. Dalam model ini,
perhatian difokuskan hanya pada kebijakan ekonomi yang melibatkan dua
indikator: tingkat pengangguran U dan tingkat in‡asi p. Reaksi
masyarakat terhadap kebijakan yang dipilih diasumsikan berbentuk
f = f (U, p ),
fU < 0, fp < 0,
dengan f dapat dipandang sebagai ukuran yang menggambarkan besarnya
dukungan. Hubungan antara U dan p dinyatakan sebagai berikut:
p = φ(U ) + aπ,
π̇ = b (p
[email protected] (IPB)
π ),
φ0 < 0, 0 < a
1,
b > 0,
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
6 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan
Example
dengan π menyatakan nilai harapan (expectation) dari tingkat in‡asi.
Karena π̇ = b (p π ) menggambarkan dinamika (equation of
motion) dari π, maka π merupakan peubah state.
Karena U memengaruhi p dan kemudian memengaruhi π, maka U
merupakan peubah kontrol.
Masalah kontrol optimum:
RT
= 0 f (U, p )e rt dt, r < 0,
s.t. π̇ = b (p π )
p = φ(U ) + aπ
π (0) = π 0 , π (T ) free, π 0 , T given,
max
J
dengan r menyatakan the rate of decay of memory.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
7 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Substitusi)
Asumsikan:
f (U, p ) =
φ (U ) = j
U2
kU,
hp,
h > 0,
j, k > 0.
MKO:
RT
= 0 ( U 2 h(j kU + aπ ))e
s.t. π̇ = b (j kU + (a 1)π )
π (0) = π 0 , π (T ) free, π 0 , T given.
max
J
qt
dt,
q=
r,
Fungsi hamilton dan CVH:
= ( U 2 h(j kU + aπ ))e qt + λb (j kU + (a 1)π )
H =
U 2 h (j kU + aπ ) + mb (j kU + (a 1)π ), m = λe qt .
H
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
8 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Substitusi)
Prinsip maksimum Pontryagin:
HU = 0 , 2U + hk
ṁ mq = Hπ , ṁ
dengan Q := b (a 1)
mbk = 0 , U (t ) = 12 k (h
mq = ha mb (a
q, sehingga
ha
+ Ce
Q
m (t ) =
STV: m (T ) = 0 ,
m (t ) =
U (t ) =
[email protected] (IPB)
ha
Q
+ Ce
ha
( 1 e Q (T
Q
kh habk
(1
2
2Q
QT
t)
Qt
1) , ṁ + mQ = ha,
.
=0,C =
) , λ (t ) =
e Q (T
t)
m (t )b )
ha QT
,
Qe
ha qt
e (1
Q
sehingga
e Q (T
t)
).
).
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
9 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Substitusi)
Diperoleh:
dU
dt
=
U (0) =
U (T ) =
kb dm
=
2 dt
kh hab
(1
2
2Q
kh
> 0.
2
kbha Q (T
e
2
t)
<0
e QT )
dU
dt
< 0 menyatakan bahwa U merupakan fungsi turun terhadap t,
sehingga kebijakan ekonomi yang optimal ialah menetapkan tingkat
pengangguran cukup tinggi segera setelah menang pemilu di awal
periode (t = 0) dan kemudian membiarkannya turun dalam periode
[0, T ].
U (T ) =
kh
2
, Umin =
[email protected] (IPB)
kh
2 .
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
10 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Lagrange)
MKO:
RT
= 0 f (U, p )e rt dt
s.t. π̇ = b (p π )
p = φ(U ) + aπ
π (0) = π 0 , π (T ) free, π 0 , T given,
max
J
Fungsi lagrange:
L = f (U, p )e rt + λb (p
π ) + θ (φ(U ) + aπ
2
π ) + θ (j
= ( U
rt
hp )e + λb (p
p)
kU + aπ
p ).
Peubah kontrol: U dan p.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
11 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Lagrange)
Syarat perlu optimalitas:
1
2
3
4
5
LU = 0 , 2Ue rt θk = 0
Lp = 0 , he rt + λb θ = 0 , θ = he rt + λb
Lθ = 0 , j kU + aπ p = 0 , p = j kU + aπ
π̇ = Lλ , π̇ = b (p π )
λ̇ = Lπ , λ̇ = λb θa.
Syarat transversalitas.
Dari syarat (1) dan (2):
2Ue rt + hke rt
λbk = 0 ,
2U + hk
mbk = 0.
Dari syarat (3) dan (4):
π̇ = b (j
[email protected] (IPB)
kU + (a
MAT332 Kontrol Optimum
1) π ).
April 2015
12 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Persamaan (Metode Lagrange)
Dari syarat (2) dan (5):
λ̇ = λb + hae rt
= λbe rt + ha λbae rt
λ̇e qt = λbe qt + ha λbae qt
λ̇e qt + λqe qt = ha + e qt λ (b + q
ṁ = ha + m (b (1 a) + q )
ṁ = ha m (b (a 1) q )
ṁ + mQ = ha
λba , λ̇e
,
,
,
,
,
rt
ab )
Semua syarat yang diperoleh dengan menggunakan Metode
Lagrange ekuivalen dengan syarat yang diperoleh dengan
menggunakan Metode Substitusi, sehingga solusinya sama.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
13 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Pada MKO dengan kendala pertaksamaan, banyaknya peubah kontrol
tidak harus melebihi banyaknya kendala pertaksamaan seperti pada
kasus sebelumnya.
Kendala pertaksamaan memberikan lebih banyak keleluasaan daripada
kendala persamaan.
Bentuk umum dengan r peubah kontrol dan q kendala pertaksamaan:
RT
max J = 0 f (x, u, t ) dt
= g (x, u, t )
h (x, u, t )
0,
s.t. ẋ
dengan x 2 Rn , u 2 Rr , h 2 Rq dan 1 q r n.
Kendala pertaksamaan dapat diubah menjadi kendala persamaan:
h (x, u, t )
ξ 2 = 0,
dengan ξ merupakan vektor peubah dummy.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
14 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Theorem (Berkovitz, 1961)
Untuk MKO:
RT
= 0 f (x, u, t ) dt
s.t. ẋ = g (x, u, t )
h (x, u, t )
0,
opt
J
de…nisikan
= f + pg
H̄ = f + pg + λh = H + λh.
H
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
15 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Theorem (Berkovitz, 1961)
Syarat perlu optimalitas bagi u sehingga mengoptimumkan ialah:
1
2
3
4
5
p 6= 0
H̄u = 0 , Hu + λhu = 0
ṗ =
H̄x , ṗ =
(Hx + λhx )
ẋ = Hp , ẋ = g
λ
λ
0, h
0, h
0, λh = 0 (maksimisasi),
0, λh = 0 (minimisasi)
* Syarat (5) mirip dengan Kondisi Kuhn-Tucker (KKT).
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
16 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Jika kendala peubah kontrol berbentuk m u M (seperti misalnya
ju j 1), maka untuk masalah maksimisasi berlaku:
8
0 jika u = M
<
= 0 jika m < u < M .
Hu
:
0 jika u = m.
Ingat kembali
H
H
umin
[email protected] (IPB)
umax
u
umin
MAT332 Kontrol Optimum
umax
u
April 2015
17 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Kendala peubah kontrol berbentuk m
u
M ) , (u
m
(m
u ) dan (u
M dapat ditulis menjadi
0) dan (M
u
0) ,
sehingga dapat dide…nisikan
Untuk kasus ju j
h1 : = M
u,
h2 : = u
m.
1 dapat dide…nisikan
h1 : = 1
u,
h2 : = u + 1.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
18 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Example
Selesaikan MKO berikut:
= 12 [10x2 (10) x1 (10)] +
s.t. ẋ1 = x2
ẋ2 =
u
x1 ( 0 ) = 0
x2 (0) = 20
x1 (10) free, x2 (10) free.
min
J
R 10 1
0
2u
2
dt
Peubah kontrol u takberbatas,
Peubah kontrol u memenuhi 1
[email protected] (IPB)
u
3.
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
19 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Kasus 1
Peubah kontrol u tak berbatas
De…nisikan fungsi hamilton
H = 12 u 2 + p1 x2
p2 u.
Prinsip maksimum Pontryagin memberikan:
1
2
Hu = 0 , u
ṗ1 =
p2 = 0 , u = p2 .
Hx1 , ṗ1 = 0 , p1 = A.
Hx2 , ṗ2 =
p1 , p2 =
At + B.
3
ṗ2 =
4
Syarat transversalitas p (10) = Sx (10 ) memberikan
1
2
p1 (10) = Sx1 (10 ) , A = 12
p2 (10) = Sx2 (10 ) , 5 + B = 5 , B = 0.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
20 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Diperoleh
p1 ( t ) =
p2 ( t ) =
u (t ) =
1
2,
1
2 t,
1
2 t.
Selanjutnya dari kendala persamaan diferensial dan syarat batas diperoleh:
x2 (t ) =
x1 (t ) =
[email protected] (IPB)
1 2
4 t + 20,
1 3
12 t + 20t.
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
21 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Kasus 2
Peubah kontrol u memenuhi 1
De…nisikan:
h1 = 3
u,
h2 = u
1,
H̄
= H + λh
= 12 u 2 + p1 x2
p2 u + λ 1 ( 3
u
3.
u ) + λ2 (u
1).
Syarat kedua Teorema Berkovitz memberikan
H̄u = 0 , u
p2
λ1 + λ2 = 0
, u = p2 + λ 1
λ2 .
Proses pengoptimuman dibagi menjadi dua kasus:
1
2
Interior optimization: 1 < u < 3
Boundaries optimization: u = umax dan u = umin .
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
22 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Interior optimization
Karena 1 < u < 3 maka
sehingga syarat kelima λ
h1 = 3
u>0
h2 = u
1 > 0,
0, h
0, λh = 0 (minimisasi) memberikan
λ1 = λ2 = 0.
Akibatnya,
u = p2 , 1 < p2 < 3.
Boundary optimization: u = umax , u = 3 :
h1 = 3
h2 = u
[email protected] (IPB)
u = 0 ) λ1
0
1 = 2 > 0 ) λ2 = 0.
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
23 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Diperoleh
u = p2 + λ 1
λ 2 , u = p2 + λ 1
, u
, 3
p2
(karena λ1
0)
p2 .
Boundary optimization: u = umin , u = 1 :
h1 = 3
h2 = u
u = 2 > 0 ) λ1 = 0
1 = 0 ) λ2
0.
Diperoleh
u = p2 + λ 1
λ 2 , u = p2
, u
, 1
[email protected] (IPB)
p2
λ2
(karena λ2
0)
p2 .
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
24 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Dengan demikian,
8
< 1 ; p2 1
p2 ; 1 < p2 < 3 ,
u =
:
3 ; p2 3
atau dengan menggunakan hasil Kasus 1, yaitu p2 (t ) = 12 t, diperoleh
8
< 1
; 21 t 1
1
t ; 1 < 12 t < 3
u (t ) =
: 2
3 ; 21 t 3
8
< 1 ; 0 t 2
1
t ; 2<t<6 .
=
: 2
3 ; 6 t 10
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
25 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Kontrol optimum:
u*
3
2
1
0
0
[email protected] (IPB)
1
2
3
4
5
6
MAT332 Kontrol Optimum
7
8
9
10
t
April 2015
26 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Pengganda lagrange:
(1 < u < 3) ) λ1 = λ2 = 0,
( u = 3 ) ) λ 1 = u p2 = 3
(u = 1) ) λ1 = 0, λ2 = p2
p2 , λ2 = 0,
u = p2
1,
atau
8
< 0
0
λ1 (t ) =
:
3
8 1
< 2t
0
λ2 (t ) =
:
0
[email protected] (IPB)
; 0 t 2
; 2<t<6 ,
1
t
; 6 t 10
2
1 ; 0 t 2
; 2<t<6 .
; 6 t 10
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
27 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Karena ẋ2 =
8
< 1
1
t
ẋ2 =
: 2
3
u dan x2 (0) = 20 maka
8
; 0 t 2
<
; 2 < t < 6 ) x2 =
:
; 6 t 10
Karena ẋ1 = x2 dan x1 (0) = 0 maka
8
; 0 t
< t + 20
1 2
t +B ; 2 < t
ẋ1 =
: 4
3t + C
; 6 t
8 1 2
;
< 2 t + 20t
1 3
t + Bt + D ;
x1 =
: 12
3 2
t
+ Ct + E ;
2
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
t + 20
; 0 t 2
1 2
.
4t + B ; 2 < t < 6
3t + C
; 6 t 10
2
<6
10
0 t 2
2<t<6 .
6 t 10
April 2015
28 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Parameter B, C , D, E dipilih sedemikian sehingga x1 dan x2 kontinu
(B = 19, C = 28, D = 23 , E = 52
3 ). Jadi,
x1 (t ) =
x2 (t ) =
[email protected] (IPB)
8
<
:
8
<
:
1 2
2 t + 20t
1 3
12 t + 19t
3 2
2 t + 28t
2
3
52
3
+
; 0 t 2
; 2<t<6 ,
; 6 t 10
t + 20
; 0 t 2
1 2
.
4 t + 19 ; 2 < t < 6
3t + 28 ; 6 t 10
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
29 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
x
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
-20
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
7
8
9
10
t
April 2015
30 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Solusi Numerik (Metode Runge-Kutta Orde-4)
Sistem persamaan diferensial:
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 =
x2 (0) = 20
u,
ṗ1 = 0,
ṗ2 =
x1 (0) = 0
1
2
p1 (10) =
p2 (10) = 5
p1 ,
u = p2 ,
1
u
3.
Baris terakhir dapat ditulis menjadi:
u = minf3, maxf1, p2 gg.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
31 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Solusi Numerik (Metode Runge-Kutta Orde-4)
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
32 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Solusi Numerik (Metode Runge-Kutta Orde-4)
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
33 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Problem
Selesaikan MKO berikut:
R2
= 0 ( 12 u 2 x ) dt
s.t. ẋ =
u
x (0) = 1, x (2) free.
min
J
Peubah kontrol u tak berbatas,
Peubah kontrol u memenuhi ju j
[email protected] (IPB)
1.
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
34 / 53
Kendala pada Peubah Kontrol
Kendala Pertaksamaan
Problem
Selesaikan MKO berikut:
R2
= 0 ( 12 u 2 x ) dt
s.t. ẋ =
u+x
x (0) = 1, x (2) free.
min
J
Peubah kontrol u tak berbatas,
Peubah kontrol u memenuhi 0
[email protected] (IPB)
u
1.
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
35 / 53
Kontrol Optimum Linear
Di beberapa kasus, fungsi hamilton memiliki bentuk linear terhadap
peubah kontrol u, sehingga dapat dituliskan sebagai:
H = ψ(x, p, t ) + σ(x, p, t )u.
Secara umum ekstremum dari MKO tidak ditemukan karena
Hu = 0 , σ(x, p, t ) = 0,
sehingga u tidak dapat ditentukan.
Namun jika peubah kontrol u berbatas, misalnya m u
H mencapai maksimum/minimum jika dan hanya jika
u =
M ; σ>0
,
m ; σ<0
u =
M, maka
m ; σ>0
.
M ; σ<0
u di atas disebut bang-bang control dan fungsi σ(x, p, t ) disebut
sebagai fungsi switching.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
36 / 53
Kontrol Optimum Linear
Misalkan:
1
u
3
H
H6
2
4
-1
2
-1
1
2
-2
1
2
3
u
-4
H = 1 + 2u
[email protected] (IPB)
3
u
H=1
MAT332 Kontrol Optimum
2u
April 2015
37 / 53
Kontrol Optimum Linear
Example
Diberikan masalah kontrol optimum berikut:
RT
= 0 dt
s.t. ẋ = x + u
x (0) = 5, x (T ) = 11, T bebas,
u 2 [ 1, 1]
min
J
Tentukan kontrol optimum u , trajektori optimum x , dan waktu T .
Solution
Diperoleh fungsi hamilton (linear terhadap u) berikut:
H = 1 + p (x + u ) = 1 + px + pu.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
38 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Karena H linear terhadap u dan u memenuhi 1 u 1 maka kontrol
optimum untuk masalah minimisasi diberikan oleh bang-bang control
berikut:
1 ; p (t ) > 0
u (t ) =
.
1
; p (t ) < 0
Prinsip maksimum Pontryagin memberikan:
ṗ =
Hx , ṗ =
p , p (t ) = Ae
t
.
Karena T bebas maka syarat transversalitas memberikan
H j t =T = 0 , 1 + p (T )x (T ) + p (T )u = 0
, 1 + 11Ae T + u Ae T = 0
, (11 + u )Ae T = 1.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
39 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Karena u = 1 atau u =
A=
1 maka 11 + u > 0, sehingga
1
(11 + u )e
T
=
eT
< 0.
11 + u
Karena A < 0 maka p (t ) = Ae t < 0, akibatnya u (t ) = 1.Selanjutnya
dari kendala persamaan diferensial diperoleh
ẋ = x + u , ẋ = x + 1 , x (t ) = Be t
1.
Dari syarat awal dan syarat batas:
x (0) = 5 , B
x (T ) = 11 , 6e
[email protected] (IPB)
T
1 = 5 , B = 6 ) x (t ) = 6e t
1 = 11 , e
T
MAT332 Kontrol Optimum
1,
= 2 , T = ln 2.
April 2015
40 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution (Alternatif)
Solusi bang-bang di atas dapat juga ditunjukkan sebagai berikut. MKO
dapat dipandang sebagai MKO dengan kendala pertaksamaan berikut:
RT
= 0 dt
s.t. ẋ = x + u
g1 (u )
0
g2 (u )
0
x (0) = 5, x (T ) = 11, T bebas,
min
dengan g1 (u ) := 1
J
u dan g2 (u ) = 1 + u. De…nisikan fungsi lagrange
H̄ = H + λ1 g1 + λ2 g2 = 1 + px + pu + λ1 (1
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
u ) + λ2 (1 + u ).
April 2015
41 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution (Alternatif)
Karena Hu = 0 berakibat p (t ) = 0, maka kontrol optimum u tidak dapat
ditentukan. Hal ini berarti interior optimization tidak memberikan solusi.
De…nisikan:
H̄u = 0 , p λ1 + λ2 = 0.
Boundary optimization dengan u =
1 memberikan
g1 (u ) = 2 > 0
g2 (u ) = 0,
sehingga syarat (λ1 0, g1 0, λ1 g1 = 0) dan
(λ2 0, g2 0, λ2 g2 = 0) memberikan λ1 = 0 dan λ2
p
[email protected] (IPB)
λ1 + λ2 = 0 , p + λ2 = 0 ) p
MAT332 Kontrol Optimum
0. Akibatnya
0.
April 2015
42 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution (Alternatif)
Jika u = 1 maka
g1 (u ) = 0
g2 (u ) = 2 > 0,
sehingga syarat (λ1 0, g1 0, λ1 g1 = 0) dan
(λ2 0, g2 0, λ2 g2 = 0) memberikan λ1 0 dan λ2 = 0. Akibatnya
p
λ1 + λ2 = 0 , p
λ1 = 0 ) p = λ1
0.
Diperoleh kontrol optimum yang sama:
u (t ) =
[email protected] (IPB)
1
1 ; p (t ) > 0
.
; p (t ) < 0
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
43 / 53
Kontrol Optimum Linear
Example
Selesaikan MKO berikut:
R1
= 0 (2x x 2 ) dt
s.t. ẋ = u
x (0) = 0, x (1) = 0,
1.
ju j
max
J
Solution
Diperoleh fungsi hamilton yang linear terhadap u:
H = 2x
x 2 + pu,
dengan p merupakan fungsi switching.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
44 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Kontrol optimum diberikan oleh:
1
u (t ) =
; p (t ) > 0
.
1 ; p (t ) < 0
Selanjutnya diperoleh syarat optimalitas berikut:
ṗ =
Hx , ṗ =
2 + 2x = 2(x
1).
Perhatikan bahwa:
ẋ = u
1,
dx
dt
1 , dx
dt , x
t.
Karena t 2 [0, 1] maka
x
1,x
[email protected] (IPB)
1
0 , 2(x
1)
MAT332 Kontrol Optimum
0 , ṗ
0.
April 2015
45 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Fakta ṗ 0 mengatakan bahwa p merupakan fungsi turun terhadap t.
Akan ditinjau tiga kasus p (t ) seperti diilustrasikan gambar berikut:
p (t ) > 0
p (t ) < 0
p (t ) berubah tanda
Kasus 1: Andaikan p (t ) > 0 untuk semua t 2 [0, 1]. Akibatnya,
u (t ) = 1 ) ẋ = 1 , x (t ) = t + A.
Syarat awal x (0) = 0 memberikan x (t ) = t sehingga x (1) = 1.
Kontradiksi dengan syarat batas x (1) = 0. Haruslah p (t ) 0.
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
46 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Kasus 2: Andaikan p (t ) < 0 untuk semua t 2 [0, 1]. Akibatnya,
u (t ) =
1 ) ẋ =
1 , x (t ) =
t + B.
Syarat awal x (0) = 0 memberikan x (t ) = t dan x (1) =
Kontradiksi dengan syarat batas x (1) = 0. Haruslah p (t )
1.
0.
Kasus 3: Dari dua pengandaian di atas, haruslah p (t ) berubah tanda
pada t 2 [0, 1], yaitu p (t ) > 0 pada t 2 [0, t ) dan p (t ) < 0 pada
t 2 (t , 1].
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
47 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Pada [0, t ) diketahui p (t ) > 0, sehingga
u (t ) = 1 ) ẋ = 1 , x (t ) = t + A.
Syarat awal x (0) = 0 memberikan x (t ) = t.
Pada (t , 1] diketahui p (t ) < 0, sehingga
u (t ) =
1 ) ẋ =
1 , x (t ) =
Syarat batas x (1) = 0 memberikan x (t ) =
t + B.
t + 1.
Agar x (t ) kontinu di t = t haruslah
t =
[email protected] (IPB)
t + 1 , t = 12 .
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
48 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Jadi,
u (t ) =
x (t ) =
[email protected] (IPB)
1
t
1
; 0 t < 21
,
1 ; 12 < t 1
; 0 t
t ; 12 < t
MAT332 Kontrol Optimum
1
2
1
.
April 2015
49 / 53
Kontrol Optimum Linear
u,x
1.0
0.5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
t
-0.5
-1.0
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
50 / 53
Kontrol Optimum Linear
Solution
Fungsi adjoin:
ṗ =
2 + 2x =
Jadi,
p (t ) =
t2
t2
1
2
2t 2 ; 0 t
2t
; 21 < t
2t + A ; 0 t
+B
; 12 < t
.
1
1
2
1
.
Parameter A dan B ditentukan dari
t
2
1
4
[email protected] (IPB)
= t 2 +B
1 + A = 0 = 14 + B
A = 43 dan B = 14 .
2t + A =
0
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
51 / 53
Kontrol Optimum Linear
p
0.6
0.4
0.2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-0.2
0.7
0.8
0.9
t
-0.4
-0.6
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
52 / 53
Kontrol Optimum Linear
Problem
Diberikan masalah kontrol optimum berikut:
R 10
max J = 0 4x dt
= x +u
x (0) = 5, x (10) bebas,
u 2 [0, 2]
s.t. ẋ
Tentukan u , x , dan p .
[email protected] (IPB)
MAT332 Kontrol Optimum
April 2015
53 / 53