5.1. definisi 5.2. persamaan ellips

Bab III : Lingkaran|
70
5.1. DEFINISI
Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya.
F (titiknya tetap)
merupakan berkas garis
yang disebut direkstriks ,
c
disebut eksentrisitas (e).
a
F2(c,0)
F1(-c,0)
e=
c
1
a
AB = 2a
F1 + F2 P = 2c
AB = sumbu panjang (mayor)
CD = sumbu panjang (minor)
5.2. PERSAMAAN ELLIPS
Misalkan :
F1 F2
AB
CD
yang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 – c2 atau
 2c 

 2a 
 2b 
a2 = b2 +c2 dan p (x,y) terletak ada elips
F1P +F2P = 2a
F1P  ( x  (  c )) 2  ( y  0) 2

( x  c )) 2  y 2
F1P + F2P = 2a
( x  c )) 2  y 2 + ( x  c )) 2  y 2  2 a
( x  c )) 2  y 2  2 a 
 x  c 2  Y 2
(x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a
2
2
( x  c )) 2  y 2 + (x - c + y )
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a ( x  c )) 2  y 2 + x2 – 2cx + c2 + y2
4cx = 4a2 ( x  c ))2  y 2
cx  a 2  a ( x  c )) 2  y 2

2
c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2  x  0  y 2
By : Turmudi
E-mail : [email protected]

blog: www.toermoedy.wordpress.com
71 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2 x 2  2cx  c 2  y 2

c 2 x 2  2a 2 cx  a 4  a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  a 2 y 2
c 2 x 2  a 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2  0
a 2 x 2  c 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2
a
2


 x2 x2  a2 y2  a2 a2  c2
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2

: a 2b 2
x2 y 2

 1  Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0)
a2 b2
5.3. PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (α, β)
2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat
ellips adalah (  ,  ) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah (  ,  )
maka persamaan ellips tersebut adalah
(x   ) 2 ( y   )2

1
a2
b2
A a   ,  
Ba   ,  
F1
 , 
F2
C  x, b   
F1 b(a. ) 
F2 c (a. 
Direktris dan eksentrisitas
a2
f x
c
a2
gx
c
Bab III : Lingkaran|
p2 – q2 = (x + c)2 +y2 – (x – c)2 + y2
= x2 + 2cx + c2 + y2 – (x2 – 2cx +c2 + y2)
= x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2
p2 – q2 = 4cx
Ingat :
(p + q) (p – q) = 4cx
p + q = 2a
2a (p - q) = 4cx
p–q=
4cx
2a
p–q=
2cx
a
p  q  2a
2p = 2a +
2cx
a
p=
cx
a
a
p=
c
a2
(x  )
a
c
c
a2
q = (x 
)
a
c
q=
c
a2
 x 
a
c



h
 x=-
g
 x=
a2
c
a2
c
persamaan garis g1
 x=-
g2
By : Turmudi
a2
c
 x=
E-mail : [email protected]
a2
c
blog: www.toermoedy.wordpress.com
72
73 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Artinya :
 a2

a2
p :   x   p jarak dari titik P ke garis f  x  
c
 c

 a2

a2


q:
 x   p jarak dari titik P kegaris g g  x  
c
 c

Contoh 17 :
Jika eksentrisitas (e) suatu ellips
12
 c  a  jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips.
13
Penyelesaian :
e=
12
13
2c = 36
c = 18
e=
12
c 12
 
13
a 13
18 12

a 13
12a = 243
a
243
 19,5
12
b2  a2  c2
2
 243 
2

  18
 12 
= 380, 25  324
= 56,25
b = 7,5
x2 y2
x2
y2
persamaan ellips 2  2 

a
b
19,5 2 7,5 2
Bab III : Lingkaran|
5.4.
Hubungan Garis dengan Ellips..
Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga
kemungkinan :
5.5.
1.
Tidak memotong
2.
Memotong
3.
Menyinggung
: D 0
:D 0
:D=0
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada ellips (0,0)
Misalkan : persamaan garis  y  mx  n .......................................................... (i)
x2 y2
Persamaan ellips : 2  2  1 .......................................................... (ii)
a
b
2
2
2
2
2
Persamaan (ii) dirubah menjadi b x  a y  a b
2
Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii)
2
 b 2 x 2  a 2 mx  n   a 2 b 2

b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2mnx  n 2  a 2 b 2

b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2a 2 mnx  a 2 n 2  a 2 b 2  0
b
By : Turmudi
2

x 2  a 2 m 2 x 2  2a 2 mnx  a 2 n 2  a 2 b 2  0
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
74
75 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
D=0
b 2  4ac  0
2a mn
2
2



 4 b 2  a 2 m 2 a 2 n 2  a 2b 2  0
4a 4 m 2 n 2  4a 4 m 2 n 2  4a 4 b 2 m 2  4a 4 b 2 n 2  4a 2 b 4  0
4a 4 b 2 m 2  4 a 2 b 2 n 2  4 a 2 b 2  0 : 4 a 2 b 2
a 2m 2  n2  b 2  0
n2  a 2m2  b2
n2   a2m2  b2
y  mx  n
y  mx  a 2 m 2  b 2  Persamaan garis singung ellips dengan gradien m
 x   2
Analog : untuk ellips 
a2
y

2

b2

2
1
Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat
 ,   .
  y     m x     a 2 m 2  b 2
Contoh 18 :
2
2
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips x  2 y  8 yang tegak lurus garis x  2 y  9
Penyelsaian :
x2  2y2  8 : 8
x2 y2

1
8
4
2
Berarti : a  8
b2  4
x  2y  9
m1 
a
b
Bab III : Lingkaran|

76
1
2
mS .m1  1
mS  2
y  mx  a 2 m 2  b 2
 2 x  8.4  4
 2x  6
Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips
Sb. Y
P  x1 , y1  pada
x2 y2

1
a2 b2
P(x1,y1)

Sb. X
Q(x2,y2)
(2) – (1) 
y
2
2
x
2
2
 
x2 y 2

 1 ...................... (1)
a2 b2
x2 , y 2  pada
x2 y2

1
a2 b2
2
x
y2
 22  22  1c ................... (2)
a
b

 x12
y 22  y12

0
a2
b2

 y12
x  x1 x2  x1 
=  2
2
a
b2
y 2  y1
b 2 x  x1
 2 2
x 2  x1
b y2  y2
Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)
y  y1 
y 2  y1
x  x1 
x 2  x1
Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
77 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
y  y1 
y 2  y1
x  x2 
x 2  x1
  Q mendekati P (berimpit)
y  y1 
b 2  x 2  x1 
x  x2 
a 2 y 2  y1
a 2  y 2  y1  y  y1   b2  x  x 2 2 x1
a 2 2 y1  y  y1   b2  x  x1 2 x1 

2



  b 2 x x  2 x 
a 2 2 y1 y  2 y1  b 2 2 x1 x  2 x12

 a 2 2 y1 y  2 y1
2
2
2
1
1
2
 2a 2 y1 y  2a 2 y1  2b 2 x1 x  2b 2 x1
2
2
2
 2a 2 y1 y  2b 2 x1 x  2b 2 x1  2ay1 : 1
2
2a 2 y1 y  2b 2 x1 x  2a 2 y1  2b 2 x1
2
b 2 x1 x  a 2 y1 y  b 2 x1  b 2 y1
2
2
b 2 x1 x  a 2 y1 y  a 2 b 2 : a 2 b 2
x1 x y1 y
x2 y2


1
persamaan
garis
singgung
di
titik
R

x
,
y

pada
ellips

1
1
1
a2
b2
a2 b2
Contoh 19 :
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 2 x  4 y  16 di 6,1
2
2
Penyelesaian :
2 x 2  4 y 2  16:16
x2 y2

1
8
4
x1 x y1 y
 2 1
a2
b
a2  8
6x y
 1
8 4
2
b 4
5.6. Titik dan Garis Polar
Jika sebuah titik P  x1 , y1  diluar suatu ellips
Sb. Y
ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR)
Q(x2,y2)
maka garis penghubung antara kedua titik
P(x1,y1)
singungnya (garis PQ) disebut garis polar.
Sb. X
A
F1
F2
R(x3,y3)
Garis polar
Titik P disebut titik polar.
Bab III : Lingkaran|
Persamaan garis singgung di titik Q 
x2 x y 2 y
 2  1 ................ (1)
a2
b
Persamaan garis singgung di titik R 
x3 x y 3 y
 2  1 ................ (2)
a2
b
Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:
x1 x 2 y1 y 2
 2  1 ...................... (3)
a2
b
Karena titik P  x1 , y1  terletak pada persamaan (2) maka :
x1 x3 y1 y 3
 2  1 ..................... (4)
a2
b
Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak
x1 x y1 y
 2 1
a2
b
Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik P  x1 , y1  terhadap ellips
xx y y
x2 y2
 2  1 adalah : 12  12  1
2
a
b
a
b
5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips
Sb. Y
k1
k2
k3
k4
k5
k6
Sb. X
F1
By : Turmudi
O
T1
E-mail : [email protected]
F2
blog: www.toermoedy.wordpress.com
78
79 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar.
Misalkan : garis k  mx  n ....................................................................................... (1)
x2 y2
Persamaan ellips  2  2  1
a
b
b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 ......................................................... (2)
Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) :
2
b 2 x 2  a 2 mx  n   a 2 b 2


b 2 x 2  a 2 m 2 x 2  2mnx  n 2  a 2 b 2
2
b x  a m x  2m nx  a n 2  a 2 b 2  0
b
2
2
2
2
2
2
2

 a 2 m 2 x 2 2m 2 nx  a 2 n 2  a 2 b 2  0
 x1  x 2 y1  y 2 
,
2 
 2
T1 
x1  x 2  
b
2a
2
1
x1  x2    22 a mn2 2
2
2b a m

xT  

a 2 mn
................................................................................................ (3)
b2  a 2m2
yT  mxT  n
yT  
a 2m2n
 n ......................................................................................... (4)
b2  a 2m2
Melihat kembali xT  
a 2 mn
b2  a 2m2

2
2
2
maka :  a mn  xT b  a m
n

2


xT b 2  a 2 m 2
................................................................................. (5)
 a 2 mn
Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (4)
Bab III : Lingkaran|

 xT b 2  a 2 m 2
 a 2 mn

b2  a2m2
a2m
 b2
a 2m2
yT  mxT  2 xT  2 xT
a m
a m
yT  m
 mxT 


b2
xT  mxT
a2m
b2
xT
a2m
Secara umum, karena T berjalan :  y  
b2
x
a2m
Catatan :
1.
Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai
berikut :
-
Jika gradien garis 1 = m’ ; dan garien garis k
 m1  m k  m  m
 b2
m
a2m
 b2
 2
a

2.
Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan
sebaliknya.
3.
Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips
membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah
sekawan .
Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P  x1 , y1  , terletak pada ellips
2
2
2
2
2
2
maka : b x1  a y1  a b .............................................................. (5)
By : Turmudi
koefisien arah QS 
y1
sedangkan
x1
koefisien arah PR 
y1
sedangkan
x1
koefisien arah QS 
 b2
x1 y1
a2
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
80
81 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
 persamaan garis PQ menjadi y 

2
2
 b 2 x1
x
a 2 y1
2
2

2
4
Persamaan garis itu menghasilkan : a y1  b x1 x  a y1
2
2
x2 y
Dimana melalui titik P : a b x  a y1 atau 2  12
a
b
2
2
2
4
2
Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda  
dan  
Diperoleh x di titik S 
yS
y
 1
a
b
y S x1

a
b
Sehingga didapat
Titiknya  x1 , y1 
Untuk
yQ
a

yQ
a
y1
b
x1
b

Sehingga didapat titik Q dan S
Contoh 20 :
1.
Tentukan persaman, tali busur suatu ellips
tengah tali busur itu.
Penyelesaian :
2
Diketahui : a  32
b 2  24
T 2,3  xT  2, yT  3
Misalkan tali busur y = mx + n
y
 b2
x
a 2m
3
 24
.2
32m
x2 y2

 1 sehingga titik (2,3) merupakan titik
32 24
Bab III : Lingkaran|
96.m  48
m
n  xT
 b2  a 2m2
a 2m
 24  32 
 16
 16

8
2
 2.
1
2
1
4
n2
1
 Persamaan tali busur ellips tersebut adalah y   x  2
2
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
82