det (A) . det
advertisement
Pertemuan 2 Alin 2016 Bilqis Determinan, Cramer bilqis 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan : – – – pertemuan ini Mengerti tentang matrix Dapat menghitung determinan Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan determinan – bilqis 2 Determinan • Cara mencari determinan – 3 x 3 cara biasa –4x4 • Segitiga atas • Gauss • kofaktor bilqis 3 Invers • Cara mencari invers – Kofaktor – OBE – Pseudo-inverse • Kofaktor – Determinan – Invers bilqis 4 Sistem Persamaan Linier • Cara mencari nilai x,y,z dari SPL – Cara SMA – Gauss – Gauss-jourdan – Determinan – Invers bilqis 5 Fungsi Determinan contoh: A= B= 3 1 4 -2 Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10 1 2 3 1 2 3 -4 5 6 -4 5 6 7 -8 9 7 -8 9 Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240 Untuk matrik yang lebih besar dari 3 x 3 tidak menggunakan rumus di atas, bilqistapi harus menggunakna rumus6 lain. Menghitung determinan dengan OBE Cara : Ubah menjadi : - gauss (eselon baris) - matrik segitiga atas atau segitiga bawah OBE determinan = perkalian diagonal utama bilqis 7 Teorema 2.2.2.: Bila A(nxn) matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. Contoh: A = “Bukti”: det(A) = 2(-3) 6 = -36 2 7 -3 0 -3 7 0 0 6 2 7 -3 2 0 -3 7 0 -3 0 0 6 0 bilqis 7 0 8 • Perkalian OBE akan mempengaruhi nilai determinan => jika A' adalah matrik yang dihasilkan dari 1. Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 , maka det(A') = 1/k . det (A) 2. Menukar 2 baris pada matrik A, maka det (A')= - det (A) 3. Perkalian sebuah baris pada matrik A dengan k <> 0 kemudian tambahkan pada baris yang lain, maka det (A')= det (A) OBE 1 dan 2 determinan berubah 3 determinan tidak berubah paling sering digunakan bilqis 9 Contoh: A= 1 0 1 2 1 2 3 4 1 A1 = 4 0 1 8 1 2 12 4 1 A2 = A3 = 0 1 1 1 2 2 Det (A) = -2 4 3 1 1 2 3 -2 -3 -2 1 2 1 Det (A1) = -8 det (A1) = 4 det (A) det (A2) = - det (A) det (A3) = det (A) Det (A2) = 2 Det (A3) = -2 bilqis 10 bilqis 11 • Hitung det A dimana A = 0 3 2 1 6 6 5 9 1 dengan merubah matrix menjadi bentuk: 1. eselon gauss(baris) 2. segitiga atas bilqis 12 bilqis 13 bilqis 14 bilqis 15 bilqis 16 bilqis 17 bilqis 18 1. Cari determinan dengan merubah matrix menjadi Δ atas 2 1 A 0 0 1 3 1 0 1 1 2 1 0 1 2 3 Penilaian 1 matrix = 20 total ada 5 matrix Jika salah 1 angka, nilai = 10 Jika salah ≥ 2 angka nilai = 0 bilqis 19 Jawab : 2 1 3 1 det A 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 ↓ tukar dengan baris 2 dan 3 2 1 3 1 det A 0 2 1 0 20 1 0 1 1 0 1 2 3 2 1 2 1 0 1 1 2 0 1 2 3 * 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 bilqis 20 2 1 3 1 0 2 1 0 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 1 * 1 0 1 2 20 3 3 1 0 2 1 0 0 0 1 4 1 2 0 1 2 3 1 0 2 1 0 0 0 1 4 1 2 0 0 4 0 0 4 1 2 0 4 1 2 1 4 4 1 4 1 2 2 1 2 1 32 20 3 0 6 0 0 0 6 0 0 1 4 * 6 3 2 0 1 2 6 3 6 20 3 2 1 3 1 0 2 1 0 0 0 1 4 1 2 0 0 0 1 2 0 0 2 1 2 1 0 * 1 1 2 2 3 2 0 1 2 3 3 20 0 6 1 determinan - (2.2. - .6) 4 Det = 6 bilqis 21 Sifat-sifat fungsi determinan bilqis 22 bilqis 23 bilqis 24 bilqis 25 Teorema Jika A dan B matrik kuadrat yang ukurannya sama, Maka det (AB) = det (A) . det (b) Contoh : 3 1 A= 2 1 1 B= 5 det (A) = 1 det (B) = -23 2 17 AB = 3 14 det (B) = -23 3 8 det (A) det (B) = -23 det (AB) bilqis = -23 26 Teorema Sebuah matrik (A) n x n dapat dibalik jika det (A) <> 0 Det A-1 = 1 det( A) Contoh : A= A-1 = 2 4 3 1 1 10 3 10 Determinan A = 2 – 12 = -10 4 10 2 10 Determinan bilqis A-1 = 1 10 27 Kofaktor : Cij = (-1)i+j Mij Minor Det setelah baris ke - i & kolom ke - j dihapus A = a11 a12 a13 a a a 21 22 23 a31 a32 a33 bilqis 28 Kofaktor A = C11 = (-1)1+1 m11 + det Kofaktor A = C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 a22 a23 a32 a33 + m11 - m21 + m31 - m12 + m22 - m32 bilqis + m13 - m23 + m33 29 1 5 4 3 2 1 A= m11 = 5 6 4 8 -4 6 8 = 16 c11 = (-1)1+1m11 = + 16 m32 = 3 -4 2 6 = 26 c32 = (-1)3+2m32= - 26 bilqis 30 bilqis 31 bilqis 32 Catatan : det A = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 atau det A = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 Det A : 2 x 2 biasa 3 x 3 biasa ≥ 4 x 4 >> Gauss >> Rubah jadi : segitiga atas atau bawah >> kofaktor bilqis 33 Cofactor expansion • det(A) = a11C11+a12C12+a13C13, along 1st row = a11C11+a21C21+a31C31, along 1st column = a21C21+a22C22+a23C23, along 2nd row = a12C12+a22C22+a23C23, along 2nd column = a31C31+a32C32+a33C33, along 3rd row = a13C13+a23C23+a33C33, along 3rd column bilqis 34 Determinan • Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor baris pertama bilqis 35 Determinan • Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom pertama bilqis 36 Determinan • Cari determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor kolom kedua • Dilanjutkan perkalian kofaktor kolom kedua untuk matrix 3x3 bilqis 37 Teorema 2.4.3 - Aturan Cramer: Solusi untuk Sistem Persamaan Linier Ax = b A matriks koefisien; b vektor (nx1); x vektor yang dicari xi = det(Ai) i = 1, 2, 3, …, n det(A) di mana Ai adalah matriks A dengan menggantikan kolom-i dengan (vektor) b bilqis 38 ATURAN CRAMER : A.X=B det(A1) x1= det(A2) , x2= det(A) det(An) … det(A) , xn= det(A) Aj mengganti kolom ke j dengan matrix B bilqis 39 Contoh : x 2x 3x + + + y 4y 6y + - 2z 3z 5z = = = 1 1 2 x 2 4 -3 y 3 6 -5 z A Det (A) = . X 1 2 1 2 4 -3 3 6 -5 bilqis = 9 1 0 9 1 0 = B = -1 40 Det (A1) = Det (A2) = Det (A3) = 9 1 1 2 4 -3 0 6 -5 1 9 2 2 1 -3 3 0 -5 1 1 9 2 4 3 6 = -1 x= det(A1)/det(A) = -1/-1 =1 = -2 y= det(A2)/det(A) = -2/-1 =2 = -3 z= det(A3)/det(A) 1 = -3/-1 0 =3 bilqis 41 Contoh soal cramer Carilah nilai x, y dan z dengan menggunakan aturan cremer : • Carilah determinan A dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris pertama • Carilah determinan A(x) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk baris kedua • Carilah determinan A(y) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom pertama • Carilah determinan A(z) dengan menggunakan perkalian kofaktor untuk kolom ketiga -5 x + 7 z = -32 3 y – 6 z = 48 2 x + y + 4 z = -24 bilqis 42 bilqis 43 bilqis 44 bilqis 45 bilqis 46 Matriks-matriks dengan bentuk khusus Bab 1.7 bilqis 47 Matriks A(n n) bujur sangkar, artinya banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A. Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar a. l. : 1. Matriks diagonal D 2. Matriks segi-3 atas 3. Matriks segi-3 bawah 4. Matriks simetrik bilqis 48 1. Matriks diagonal D: aij = 0 untuk i j a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 ann d1 0 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 0 d3 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 dn bilqis 49 2. Matriks segi-3 atas: aij = 0 untuk i > j a11 a12 a13 a14 a15 ………… a1n 0 a22 a23 a24 a25 ………… a2n 0 0 a33 a34 a35 ..……..… a3n ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 0 0 0 0 bilqis 0 …………… ann 50 3. Matriks segi-3 bawah: aij = 0 untuk i < j a11 0 0 0 0 …………… 0 a21 a22 0 0 0 …………… 0 a31 a32 a33 0 0 …………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 an1 an2 an3 an4 bilqis an5 …………… ann 51 4. Matriks simetrik: aij = aji a11 a12 a13 ………………………. a21 a22 a23 …………………………..… a31 a32 a33 ………………..…………… a1n ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. an1 ………………………………………………… bilqis ann 52 Teorema: 1. Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah. 2. Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas. 3. Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol. 4. Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah. 5. Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bilqis 53 atas. Teorema: A dan B matriks simetrik, k adalah skalar 6. AT simetrik 7. A + B simetrik dan A – B simetrik 8. Matriks kA simetrik 9. Jika A invertibel, maka A–1 simetrik Teorema: 10.Jika A matriks invertibel, maka AAT dan ATA juga invertibel. bilqis 54 • Tugas Kelompok – Buat 1 contoh soal menghitung determinan matrix dengan merubah matrix menjadi segitiga atas, gauss dan kofaktor – Buat 1 contoh soal mencari nilai x, y, z dengan menggunakan aturan cramer – Di kirim ke elearning, terakhir • Minggu depan • Format subject – Alin-B-melati – Bentuk ppt informasi nama kelompok + anggota bilqis 55