1 PERSAMAAN LINGKARAN A. Bentuk Dasar

www.plusindo.wordpress.com
PERSAMAAN LINGKARAN
A. Bentuk Dasar Persamaan Lingkaran
( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2
dengan (a, b) adalah koordinat titik pusat dan jari-jari r.
Contoh 1:
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (–2 , 3) dan berjari-jari 5 adalah ....
Jawab:
( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2
( x  (2)) 2  ( y  3) 2  5 2
( x  2) 2  ( y  3) 2  25
atau dapat dijabarkan lagi menjadi
x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  25  0
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0
Contoh 2:
Titik pusat dan jari-jari persamaan lingkaran x 2  y 2  9 adalah ....
Jawab:
x2  y2  9
Titik pusat = (0 , 0)
Jari-jari = 9  3
B. Bentuk Kompleks Persamaan Lingkaran
x 2  y 2  Ax  By  C  0
B 
 A
Titik pusat 
,

2 2
2
Jari-jari =
2
 A   B 

 
 C
2 2
Contoh:
Titik pusat dan jari-jari persamaan lingkaran x 2  y 2  10 x  4 y  3  0 adalah ....
Jawab:
x 2  y 2  Ax  By  C  0
x 2  y 2  10 x  4 y  3  0
4 
  10
Titik pusat 
,
  (5 ,  2)
 2 2
Jari-jari =
(5) 2  (2) 2  (3)  25  4  3  32  4 2
C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik
1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  r 2 di titik  x1 , y1 
x1 . x  y1 . y  r 2
2. Persamaan garis singgung lingkaran ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2 di titik  x1 , y1 
( x1  a )( x  a)  ( y1  b)( y  b)  r 2
1
Siap UN Matematika
www.plusindo.wordpress.com
Contoh 1:
Persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  8 di titik  2 , 2 adalah ....
Jawab:
x1 . x  y1 . y  r 2
 2x  2 y  8
x y4
Contoh 2:
Persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  6 x  10 y  24  0 di titik 4 ,  2 adalah ....
Jawab:
x 2  y 2  6 x  10 y  24  0
  6 10 
Titik pusat =   2 ,  2   (3 ,  5)
2
2
Jari-jari = (3)  (5)  24  9  25  24  10
Sehingga dapat diubah menjadi:
( x  3) 2  ( y  5) 2  10
Persamaan garis singgungnya:
(4  3)( x  3)  (2  5)( y  5)  10
1( x  3)  3( y  5)  10
x  3  3 y  15  10  0
x  3y  2  0
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Bergradien m
1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  r 2 yang bergradien m
2
y  m 2 x  r m2  1
2. Persamaan garis singgung lingkaran ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2 yang bergradien m
2
y  b  m2 ( x  a)  r m2  1
Jika sejajar garis lain, berarti
m2  m1
Jika tegak lurus garis lain, berarti
1
m2  
m1
Contoh 1:
Persamaan garis singgung lingkaran
 12 x  3 y  5  0 adalah ....
Jawab:
x 2  y 2  8 x  10 y  32  0
  8 10 
Titik pusat = 
,
 = (4 , – 5)
 2  2
Jari-jari =
=
=
x 2  y 2  8 x  10 y  32  0
yang
sejajar
garis
(4) 2  (5) 2  32
16  25  32
41  32 = 9 = 3
2
Siap UN Matematika
www.plusindo.wordpress.com
 12 x  3 y  5  0
(12)
m1  
 4
(3)
Sejajar berarti m2  m1  4
Persamaan garis singgung lingkaran:
2
y  b  m2 ( x  a)  r m2  1
y  (5)  4( x  4)  3 (4) 2  1
y  5  4 x  16  3 17
y  4 x  11  3 17
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah:
y  4 x  11  3 17 dan y  4 x  11  3 17
Contoh 2:
1
Persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  6 x  4 y  7  0 yang tegak lurus garis y   x  11
2
adalah ....
Jawab:
x2  y2  6x  4 y  7  0
 6  4
Titik pusat = 
,
 = (–3 , 2)
 2  2
Jari-jari =
(3) 2  (2) 2  (7)
= 20
= 2 5
1
y   x  11
2
1
2
 berarti m1 .m2  1 , sehingga m2  2
Persamaan garis singgung lingkaran:
Gradien (m1) = 
y  b  m2 ( x  a)  r m 2  1
y  2  2( x  (3))  2 5 (2) 2  1
y  2  2 x  6  2 5. 5
y  2 x  8  10
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah:
y  2 x  18 dan y  2 x  2
Pembahasan tipe soal UN:
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(– 2 , 3) dan berjari-jari 5 adalah ....
Pembahasan:
berpusat di titik P(a , b) = P(– 2 , 3) dan berjari-jari r = 5
( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2
( x  (2))2  ( y  3) 2  52
( x  2) 2  ( y  3) 2  25
3
Siap UN Matematika
www.plusindo.wordpress.com
x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  25
x 2  y 2  4 x  6 y  4  9  25  0
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0
2. Titik pusat dan jari-jari persamaan lingkaran x 2  y 2  10 x  2 y  10  0 adalah ....
Pembahasan:
x 2  y 2  Ax  By  C  0
x 2  y 2  10 x  2 y  10  0
 A B 
  10  2 
Titik pusat P (a , b) = P
,
,
  P
  P5 , 1
2  2
  2  2
Jari-jari = r  a 2  b 2  C  52  12  (10)  26  10  6
4
Siap UN Matematika