BAB 4 FREE OBJECT DAN CONTOH

BAB 4
FREE OBJECT DAN CONTOH
Free object akan menjadi pokok bahasan utama pada bab terakhir ini,
penulis akan membahas beberapa contoh dari free object seperti free semigroup,
free group dan free inverse semigroup.
4.1 FREE OBJECT
Ide mengenai free object merupakan konsep dasar pada aljabar abstrak,
dan pembelajarannya merupakan bagian dari aljabar universal, yaitu aljabar yang
mempelajari sifat-sifat yang dimiliki oleh semua struktur aljabar. Secara informal
free object atas himpunan A dapat dipandang sebagai struktur aljabar yang
“Dibangun” oleh himpunan A, kemudian sifat dan ketentuan yang berlaku di
antara elemen-elemen dari free object ini bergantung terhadap aksioma-aksioma
yang didefinisikan pada struktur aljabar tersebut.
6
Misal C adalah suatu (class) struktur aljabar, A ∈ C, X himpunan tak
kosong dan ϕ adalah pemetaan X pada A. Pasangan (A, ϕ) (ditentukan oleh X )
adalah free C - algebra jika untuk setiap C di C dan setiap pemetaan 0 : X → C
terdapat homomorfisma yang unik 0’ : A → C sehingga diagram dibawah ini
komutatif (0‘∘ ϕ = 0 .
Diagram 3.1
6
Carlos Carvalho, ‘Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups’. p. 2
17
Bisa ditunjukkan melalui homomorfisma pada definisi tersebut, bahwa
jika struktur tersebut ada, maka struktur tersebut unik.
Contoh familiar dari free object pada himpunan tak kosong X, free
semigroup, yaitu himpunan
seluruh words tak kosong dengan letters di X
dibawah operasi menempelkan, kita lambangkan dengan FSx. Free group adalah
himpunan seluruh words yang telah tereduksi pada alphabet X ∪ X-1, dimana
himpunan X-1 = {x-1| x∈X } adalah himpunan yang terkorespondensi satu-satu
dengan X dan terpisah denganya, kita lambangkan free group ini dengan FGx.
Perlu diketahui bahwa yang penulis lakukan adalah membahas bentuk jadi
dari konstruksi free object yang sudah ada sebelumnya, penulis menyerahkan
sepenuhnya kepada pembaca untuk menemukan bukti pemetaan yang membuat
diagram 3.1 komutatif pada contoh konstruksi free object yang akan dibahas.
4.2 FREE SEMIGROUP
7
Misalkan X adalah suatu himpunan dan FSx terdiri dari semua barisan
hingga dari elemen-elemen di X. Jika (x1, … , xm) dan (y1, … , yn) adalah elemenelemen dari FSx (xi∈X, i = 1, 2, … , m ; yj∈X, j = 1, 2, … , n ). Maka kita
definisikan produk antara keduanya melalui juxtaposisi sederhana :
(x1, … , xm) (y1, … , yn) = (x1, … , xm, y1, … , yn)
FSx didefinisikan sebagai Free Semigroup di X , dan elemen dari FSx
adalah words tak kosong dengan letters pada alphabet X.
Contoh dari yaitu semigrup (N,+) dari bilangan asli (termasuk nol) dengan
operasi penjumlahan adalah free semigroup dengan pembangun unik yaitu 1.
Menambahkan identitas, 1, pada FSx , maka kita peroleh free monoid pada
X, kita lambangkan dengan FSx1. Secara umum nantinya kita akan lebih sering
bekerja dengan FSx1 ketimbang FSx. Elemen identitas yang ditambahkan, yaitu 1,
dapat dipandang sebagai “words kosong”.
7
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 40
18
4.3 FREE GROUP
Suatu grup G dikatakan free (Free Group) jika terdapat subhimpunan S
dari G sehingga setiap elemen dari G dapat dituliskan dalam satu dan hanya satu
cara sebagai produk dari sejumlah hingga elemen di S dan inversnya. Contoh,
grup (Z, +) dari bilangan bulat adalah free group, kita dapat mengambil S = {1}.
Berikut ini akan diberikan contoh konstruksi free group (Z, +) :
(1) Pertama-tama kita mempunyai himpunan S = { 1 } dan S-1 = { -1 }.
(2) Kita buat himpunan baru yaitu T = S ∪ S-1 = {1, 1-1}.
(3) 111-111-11 adalah contoh dari word di S. Jika direduksi 111-111-11 → 11,
dan 11 adalah contoh dari word yang telah tereduksi di S.
(4) Free group FGS didefinisikan sebagai grup dari seluruh words yang telah
tereduksi di T , contoh: (ε , 11, 111, 1-1, 1-11-11-1). Operasi group di FGS
adalah menempelkan word (diikuti dengan reduksi apabila diperlukan).
(5) Anggota – anggota FGS memiliki bentuk 1m, ε, 1-n, m, n ∈ Ζ
(6) Identitas disini adalah word kosong ε.
(7) Dikenakan homomorfisma dari FGS ke bilangan bulat :
1n → n, 1-m → -m, ε → 0, 1m - n → m – n, dimana m, n ∈ Ζ.
(8) Kita dapatkan FGS dengan homomorfisma tersebut adalah free group (Ζ, +).
8
Dan berikut ini adalah contoh konstruksi FGX pada himpunan tak kosong X :
(1) Misalkan X ≠ φ, X ∩ X -1 = φ , | X -1|=| X |, dan x ↦ x -1 satu-satu,
(2) Misalkan Y = X ∪ X -1 , dan FSY 1adalah free semigroup dengan identitas di Y.
(3) Misalkan ρ adalah kongruen pada FSY 1 yang dibangun oleh
T = {(xx -1, 1 ) : x ∈ X} ∪ {(x -1x, 1) : x ∈ X}
(4) FSY 1/ ρ adalah free group pada X, kita lambangkan ini dengan FGX .
8
Clifford, ‘The Algebraic Theory of Semigroups’. p. 43
19
4.4 FREE INVERSE SEMIGROUP
Dalam pembelajaranya, penulis menemukan bahwa terdapat berbagai
macam cara dan alat yang dapat dipakai untuk mengkonstruksi free inverse
semigroup, melalui generator dan relasi, principal ideal dan semilattice, atau
dapat juga menggunakan seperangkat alat pada aljabar universal seperti kategori
dan morfisma.
Suatu konstruksi serupa pada free group dapat juga dilakukan pada
inverse semigroup 9:
(1) Misalkan X adalah himpunan tak kosong (X ≠ φ), kemudian kita bentuk
himpunan baru yaitu X
-1
= {x -1: x ∈ X} ,dimana pemetaan x ↦ x
-1
adalah
satu-satu, dan X adalah himpunan yang terpisah dengan X-1 ( X ∩ X -1 = φ).
(2) Kita bentuk himpunan Y yang anggota-anggotanya adalah elemen-elemen
dari X dan X -1 (Y = X ∪ X -1 ), dan kita bentuk FSY yaitu free semigroup di Y.
(3) Definisikan inverse bagi elemen elemen di FSY dengan aturan :
(x -1 ) -1 = x , x ∈ X
(y1y2 … yn)-1 = yn-1…y1-1 , y1y2 … yn ∈ Y
perhatikan bahwa untuk setiap w anggota dari FSY , (w -1)-1 = w .
(4) Misalkan τ adalah kongruen pada Y + yang dibangun oleh
T = {(ww -1w,w ) : w ∈ FSY} ∪ {ww -1zz -1, zz -1ww -1) : w,z ∈ FSY}
(5) Y +/ τ adalah free inverse semigroup, kita lambangkan dengan FISX .10
...
9
10
John Howie , ‘Fundamentals of semigroup Theory’, Claredon Press, Oxford, 1995. p. 201
Carlos Carvalho, ‘Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups’. p. 3-5
20