Aljabar Linier Lanjut

Aljabar Linier Lanjut
Kuliah 1
Materi Kuliah (Review)





Multiset
Matriks
Polinomial
Relasi Ekivalensi
Kardinal Aritmatika
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
2
Multiset
Definisi
Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Suatu multiset 𝑀 pada himpunan 𝑆
adalah himpunan pasangan terurut
𝑀 = 𝑠𝑖 , 𝑛𝑖 𝑠𝑖 ∈ 𝑆, 𝑛𝑖 ∈ ℤ+ , 𝑠𝑖 ≠ 𝑠𝑗 untuk 𝑖 ≠ 𝑗
Bilangan 𝑛𝑖 dissebut sebagai multiplisitas dari unsur 𝑠𝑖 di 𝑀. Jika pada
himpunan dari suatu multiset adalah berhingga, dikatakan bahwa multiset
adalah berhingga. Ukuran dari multiset 𝑀 adalah jumlah dari multiplisitas
dari semua unsur-unsurnya.
Contoh
Misalkan 𝑀 = 𝑎, 2 , 𝑏, 3 , 𝑐, 1 adalah multiset pada himpunan 𝑆 =
𝑎, 𝑏, 𝑐 . Unsur 𝑎 mempunyai multiplisitas 2, 𝑏 mempunyai multiplisitas 3,
dan 𝑐 mempunyai multiplisitas 1.
Himpunan 𝑀 dapat juga ditulis dalam bentuk 𝑀 = 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
3
Matriks
Himpunan matriks 𝑚 × 𝑛 dengan entri-entri dalam lapangan 𝐹,
disimbolkan dengan ℳ𝑚,𝑛 (𝐹), yaitu:
ℳ𝑚,𝑛 𝐹 = 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … 𝑛; 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐹
Catatan:
• ℳ𝑚,𝑛 𝐹 dapat ditulis ℳ𝑚,𝑛 atau ℳ
• Jika 𝑚 = 𝑛 maka ditulis ℳ𝑛,𝑛 𝐹 atau ℳ𝑛 𝐹 atau ℳ𝑛
• Matriks identitas berukuran 𝑛 × 𝑛 disimbolkan dengan 𝐼𝑛
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
4
Definisi :
Misalkan 𝐴 ∈ ℳ𝑚,𝑛 (𝐹) .
Transpos dari matriks 𝐴, ditulis dengan 𝐴𝑇 adalah matriks berukuran
𝑛 × 𝑚 yang didefinisikan dengan
𝐴𝑇
= 𝑎𝑖𝑗
𝑇
= 𝑎𝑗𝑖 .
Jika 𝐴 = 𝐴𝑇 maka matriks 𝐴 dikatakan simetri.
Jika 𝐴𝑇 = −𝐴 maka matriks 𝐴 dikatakan skew-simetri.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
5
Teorema 0.1 (Sifat-sifat Transpos)
Misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑛 (𝐹), maka:
𝑇 𝑇
1. 𝐴
=𝐴
2. 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
3. 𝑟𝐴 𝑇 = 𝑟𝐴𝑇 untuk semua 𝑟 ∈ 𝐹
4. 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 ( 𝐴𝐵 perkalian matriks, ingat
definisinya!)
5. det 𝐴𝑇 = det(𝐴)
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
6
Partisi dan Perkalian Matriks
Misalkan 𝑀 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛.
Jika 𝐵 ⊆ 1,2, … , 𝑚 dan 𝐶 ⊆ 1,2, … , 𝑛 maka submatriks 𝑀 𝐵, 𝐶
adalah matriks yang diperoleh dari 𝑀 dengan baris-baris tetap dalam
indeks di 𝐵 dan kolom-kolom dengan indeks di 𝐶. Dengan demikian,
baris dan kolom untuk 𝑀 𝐵, 𝐶 mempunyai ukuran 𝐵 × 𝐶
Catatan:
Perkalian matriks dapat dilakukan dengan menggunakan partisi dari
suatu matriks (dengan asumsi ukuran partisi matriks dapat dilakukan
perkalian matriks)
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
7
Blok Matriks
Misalkan 𝑀 matriks.
Jika 𝐵𝑖,𝑗 adalah matriks dengan ukuran tertentu, maka blok matriks dari 𝑀
𝐵1,1 𝐵1,2 ⋯ 𝐵1,𝑛
⋮
⋮
⋮
𝑀= ⋮
𝐵𝑚,1 𝐵𝑚,2 ⋯ 𝐵𝑚,𝑛
𝑏𝑙𝑜𝑘
Adalah matriks yang mempunyai submatriks kiri bawah adalah 𝐵1,1 dan seterusnya. 𝐵𝑖,𝑗
adalah submatriks dari 𝑀 dan bukan entri.
Matriks bujursangkar berbentuk
𝐵1 0 ⋯ 0
0 ⋱ ⋱ ⋮
𝑀=
⋮
⋱ ⋱ 0
0 ⋯ 0 𝐵𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑘
Di mana setiap 𝐵𝑖 adalah bujur sangkar dan 0 adalah submatriks nol, dan dikatakan blok
matriks diagonal.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
8
Operasi Baris Elementer
1.
2.
3.
Baris ke-𝑖 ditukar dengan baris ke-𝑗
Baris ke-𝑖 dikalikan dengan suatu scalar yang tidak nol.
Baris ke-𝑖 ditukar dengan mengalikan dirinya dengan
suatu scalar dan ditambah dengan 𝑘 kali baris ke-𝑗.
Catatan:
Matriks Elementer adalah matriks yang diperoleh dari
matriks identitas yang dilakukan operasi baris elementer
yang tunggal.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
9
Definisi
Suatu matriks 𝑅 dikatakan bentuk eselon baris tereduksi jika:
1. Unsur pertama tak nol di setiap baris adalah 1 (yang
disebut leading/utama)
2. Untuk sebarang dua baris yang berurutan, unsur utama
untuk baris yang di bawahnya terletak di sebelah kanan.
3. Baris nol di 𝑅 - jika ada – adalah baris terakhir.
4. Sebarang kolom yang memuat unsur utama mempunyai
unsur 0 di posisi lainnya.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
10
Teorema 0.2
Misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑛 (𝐹). Matriks 𝐴 dikatakan ekivalen baris dengan
matriks 𝐵 jika matriks 𝐵 dapat diperoleh dari matriks 𝐴 dengan operasioperasi baris elementer. Ditulis 𝐴~𝐵.
1. Reduksi baris adalah relasi ekivalensi, yaitu
a. 𝐴~𝐴
b. Jika 𝐴~𝐵, maka 𝐵~𝐴
c. Jika 𝐴~𝐵 dan 𝐵~𝐶, maka 𝐴~𝐶
2. Sebarang matriks ekivalen ke hanya satu matriks 𝑅, yaitu dalam bentuk
eselon baris tereduksi. Matriks 𝑅 disebut bentuk eselon tereduksi dari
matriks 𝐴. Selanjutnya diperoleh
𝐴 = 𝐸1 𝐸2 … 𝐸𝑘 𝑅
di mana matriks 𝐸𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 matriks yang mereduksi 𝐴 ke bentuk
eselon baris tereduksi.
3. Matriks 𝐴 invertibel jika dan hanya jika 𝑅 matriks identitas.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
11
Matriks segitiga
Definisi
• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga
atas jika semua entri di bawah diagonal utama adalah
0.
• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga
bawah jika semua entri di atas diagonal utama adalah
0.
• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks diagonal
jika semua entri selain entri di diagonal utama adalah
0.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
12
Teorema 0.3
Misalkan 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (𝐹). Maka determinan dari 𝐴 (det(𝐴)) adalah unsur dari 𝐹.
1. Untuk sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛 𝐹 , det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det(𝐵)
2. Matriks 𝐴 nonsingular (invertibel) jika dan hanya jika det(𝐴) ≠ 0.
3. Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur
di diagonal utamanya.
4. Misalkan 𝐴(𝑖, 𝑗) adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-𝑖 dan
kolom ke-𝑗 dari matriks 𝐴. Adjoint dari 𝐴 (𝑎𝑑𝑗(𝐴)) didefinisikan sebagai berikut:
𝑎𝑑𝑗(𝐴) 𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 det(𝐴 𝑖, 𝑗 )
5. Jika 𝐴 invertibel, maka
1
−1
𝐴 =
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
det 𝐴
6. Jika 𝑀 matriks bujur sangkarnyang mempunyai bentuk blok diagonal
𝐵1 0 ⋯ 0
0 ⋱ ⋱ ⋮
𝑀=
⋮
⋱ ⋱ 0
0 ⋯ 0 𝐵𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑘
Maka det 𝑀 = det(𝐵𝑖 )
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
13
Polinomial
Jika 𝐹 adalah lapangan, maka 𝐹 𝑥 adalah himpunan semua polinomial
dalam varibabel 𝑥, dengan koefisien-koefisien berada dalam 𝐹.
𝐹 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎𝑖 ∈ 𝐹
Jika 𝑝 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 adalah
polinomial dengan 𝑎𝑛 ≠ 0, maka 𝑎𝑛 disebut koefisien utama dari 𝑝(𝑥)
dan derajat 𝑝(𝑥) (ditulis deg(𝑝 𝑥 ) adalah 𝑛.
Jika koefisien utama dari 𝑝 𝑥 adalah 1, maka polinomial 𝑝(𝑥) disebut
monik.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
14
Fungsi
Definisi
Misalkan 𝑓 fungsi dari himpunan 𝑆 ke himpunan 𝑇, ditulis 𝑓: 𝑆 → 𝑇, maka:
1. Domain dari 𝑓 adalah 𝑆
2. Image atau range dari 𝑓, ditulis 𝐼𝑚(𝑓) adalah himpunan 𝐼𝑚 𝑓 =
𝑓(𝑠) 𝑠 ∈ 𝑆
3. Fungsi 𝑓 dikatakan injektif (satu-satu), jika 𝑥 ≠ 𝑦, maka 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦).
4. Fungsi 𝑓 dikatakan surjektif (onto atau pada), 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑇.
5. Fungsi 𝑓 dikatakan bijektif (korespondensi satu-satu) jika 𝑓 injektif dan
surjektif.
6. Asumsikan bahwa 0 ∈ 𝑇, support dari 𝑓 adalah
𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓 = 𝑠 ∈ 𝑆 𝑓(𝑠) ≠ 0
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
15
Relasi Ekivalensi
Definisi
Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Relasi biner ~ pada 𝑆 disebut relasi
ekivalensi pada 𝑆 jika memenuhi:
1. Refleksif; 𝑎~𝑎 untuk semua 𝑎 ∈ 𝑆.
2. Simetri; jika 𝑎~𝑏 maka 𝑏~𝑎 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆.
3. Transitif; jika 𝑎~𝑏 dan 𝑏~𝑐 maka 𝑎~𝑐 untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆.
Definisi
Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Untuk 𝑎 ∈ 𝑆, himpunan
𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆 𝑏~𝑎
Disebut kelas ekivalensi dari 𝑎.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
16
Teorema 0.8
Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Maka:
1. 𝑏 ∈ 𝑎 jika dan hanya jika 𝑎 ∈ 𝑎 jika
dan hanya jika 𝑎 = 𝑏 .
2. Untuk sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, diperoleh
𝑎 = 𝑏 atau 𝑎 ∩ 𝑏 ≠ ∅.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
17
Definisi
Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Suatu partisi
dari 𝑆 adalah koleksi himpunan bagian tak kosong
𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 dari 𝑆, yang disebut blok-blok, di
mana:
1. 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ untuk semua 𝑖 ≠ 𝑗.
𝑛
2. 𝑆 = 𝑖=1 𝐴𝑖
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
18
Teorema 0.9
1. Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Maka himpunan kelaskelas ekivalensi yang berbeda yang terkait dengan ~ adalah
blok-blok partisi dari 𝑆.
2. Sebaliknya, jika P suatu partisi dari 𝑆, relasi biner ~ yang
didefinisikan oleh
𝑎~𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 dan 𝑏 berada diblok yang sama dari P
adalahrelasi ekivalensi pada 𝑆, yang kelas-kelas
ekivalensinya adalah blok-blok dari 𝑃.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
19
Definisi
Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆.
• Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇, dimana 𝑇 sebarang himpunan, disebut invariant
dari ~ jika 𝑎~𝑏 maka 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 .
• Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇 disebut invariant komplit jika 𝑎~𝑏 jika dan hanya
jika 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 .
• Koleksi 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑘 yang invariant disebut sistem komplit invariant
dari invariant-invariant jika 𝑎~𝑏 jika dan hanya jika 𝑓𝑖 𝑎 = 𝑓𝑖 (𝑏)
untuk semua 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
20
Definisi
Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆 . Suatu
himpunan bagian 𝐶 ⊂ 𝑆 dikatakan himpunan
bentuk kanonik ( atau bentuk kanonik) untuk ~
jika untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, terdapat tepat satu 𝑐 ∈ 𝐶
sehingga 𝑐~𝑠. Dengan kata lain, setiap kelas
ekivalensi pada ~ memuat tepat satu anggota
dari 𝐶.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
21
Himpunan Terurut Parsial
Definisi
Himpunan terurut parsial (Partially Orderet Set = Poset) adalah
himpunan tak kosong 𝑃, bersama dengan suatu urutan parsial pada 𝑃.
Urutan parsial adalah relasi biner yang disimbolkan dengan ≤ dan
dibaca dengan ‘kurang dari atau sama dengan’, dengan sifat-sifat
sebagai berikut:
1. Untuk semua 𝑎 ∈ 𝑃, 𝑎 ≤ 𝑎 (Refleksif).
2. Untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃 , jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏
(Antisimetris).
3. Untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃, jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑐 maka 𝑎 ≤ 𝑐.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
22
Definisi
Jika 𝑃 himpunan terurut parsial dan
• Jika 𝑚 ∈ 𝑃 mempunyai sifat 𝑚 ≤ 𝑝 mengakibatkan 𝑚 = 𝑝, maka 𝑚
disebut unsur maksimal di 𝑃.
• Jika 𝑛 ∈ 𝑃 mempunyai sifat bahwa tidak terdapat unsur lebih kecil di
𝑃, yaitu 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑝 ≤ 𝑛 maka 𝑝 = 𝑛, disebut 𝑛 unsur minimal
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
23
Definisi
Misalkan 𝑃 himpunan terurut parsial dan misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃.
1. Jika terdapat 𝑢 ∈ 𝑃 dengan sifat:
•𝑎 ≤ 𝑢 dan 𝑏 ≤ 𝑢
•Jika 𝑎 ≤ 𝑥 dan 𝑏 ≤ 𝑥, maka 𝑢 ≤ 𝑥
Maka dikatakan 𝑢 batas atas terkecil dari 𝑎 dan 𝑏, dan ditulis 𝑢 =
𝑙𝑢𝑏 𝑎, 𝑏 .
2. Jika terdapat 𝑙 ∈ 𝑃 dengan sifat:
• 𝑙 ≤ 𝑎 dan 𝑙 ≤ 𝑏
• Jika 𝑥 ≤ 𝑎 dan 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑥 ≤ 𝑙
Maka dikatakan 𝑙 batas bawah terbesar dari 𝑎 dan 𝑏, dan ditulis 𝑙 =
𝑔𝑙𝑏 𝑎, 𝑏
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
24
Catatan:
1. Dalam himpunan terurut parsial mungkin saja tidak semua unsur
dapat dibandingkan. Dengan kata lain, mungkin diperoleh 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃
dengan sifat 𝑥 ≰ 𝑦 dan 𝑦 ≰ 𝑥.
2. Dalam suatu himpunan terurut parsial dimana semua pasangan
unsur-unsurnya dapat dibandingkan disebut himpunan terurut
total atau himpunan terurut linier.
3. Sebarang himpunan bagian dari himpunan terurut total 𝑃 disebut
rantai di 𝑃.
4. Misalkan 𝑆 himpunan bagian dari himpunan terurut parsial 𝑃.
Dikatakan unsur 𝑢 ∈ 𝑃 batas atas untuk 𝑆 jika 𝑠 ≤ 𝑢 untuk semua
𝑠 ∈ 𝑆.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
25
Teorema 0.10 (Lemma Zorn)
Misalkan 𝑃 himpunan terurut parsial
dimana setiap rantainya mempunyai
batas atas. Maka 𝑃 mempunyai unsur
maksimal.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
26
Kardinalitas
Dua himpunan 𝑆 dan 𝑇 dikatakan mempunyai kardinalitas
yang sama dan ditulis 𝑆 = 𝑇 jika terdapat fungsi bijektif
antara himpunan 𝑆 dan 𝑇.
Jika 𝑆 berkorespondensi satu-satu dengan suatu himpunan
bagian dari 𝑇, ditulis 𝑆 ≤ 𝑇 .
Jika 𝑆 berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bagian
sejati dari 𝑇, dan jika 𝑆 ≠ 𝑇 , ditulis 𝑆 < 𝑇 .
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
27
Catatan:
• Kardinalitas dalam hal ini adalah merepresentasikan ‘ukuran’ dari suatu
himpunan.
• Lebih mudah membicarakan dua himpunan yang memiliki sama atau berbeda
ukuran (kardinalitas)-nya daripada menentukan secara ekplisit ukuran
(kardinalitas) dari himpunan yang diberikan.
• Jadi, dikaitkan setiap himpunan 𝑆 suatu bilangan cardinal, ditulis dengan 𝑆 atau
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑆), yang dimaksudkan untuk mengukur ukuran dari suatu himpunan.
• Suatu himpunan 𝑆 disebut berhingga jika dapat dibuat korespondensi satu-satu
dengan himpunan yang berbentuk ℤ𝑛 = 0,1, … , 𝑛 − 1 untuk suatu bilangan
bulat positif 𝑛.
• Bilangan kardinal (kardinalitas) dari himpunan berhingga adalah jumlah unsurunsur dalam himpunan tersebut.
• Bilangan cardinal dari himpunan bilangan asli ℕ adalah ℵ0 (dibaca aleph
nought).
• Oleh karena itu ℕ = ℤ = ℚ = ℵ0 .
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
28
Catatan
• Sebarang himpunan dengan kardinalitas ℵ0 disebut himpunan tak
berhingga terhitung.
• Sebarang himpunan berhingga atau terhitung disebut himpunan terhitung.
• Jika 𝑆 dan 𝑇 himpunan berhingga, maka jika 𝑆 ≤ 𝑇 dan 𝑇 ≤ 𝑆 maka
𝑆 = 𝑇
• Ingat himpunan kuasa P(𝑆) dari himpunan 𝑆 adalah himpunan semua
himpunan bagian dari 𝑆. Jika 𝑆 berhingga, maka himpunan kuasa dari 𝑆
selalu lebih besar dari dirinya sendiri, yaitu:
• Jika 𝑆 = 𝑛 maka P(𝑆) = 2𝑛
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
29
Teorema 0.11 (Well-ordering principle)
Setiap himpunan tak kosong mempunyai suatu pengurutan yang baik.
Teorema 0.11
(Teorema Schroder-Berntein)
Untuk sebarang himpunan 𝑆 dan 𝑇, jika 𝑆 ≤ 𝑇 dan 𝑇 ≤ 𝑆 maka
𝑆 = 𝑇.
(Teorema Cantor’s)
• Jika P(𝑆) adalah himpunan kuasa dari himpunan 𝑆, maka 𝑆 <
P(𝑆) .
• Jika P0 (𝑆) adalah himpunan semua himpunan bagian dari 𝑆, dan 𝑆
himpunan tak berhingga, maka 𝑆 = P0 (𝑆) .
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
30
Definisi
Misalkan 𝜅 dan 𝜆 bilangan cardinal.
• Jumlah 𝜅 + 𝜆 adalah bilangan kardinal dari 𝑆 ∪ 𝑇, di mana 𝑆 dan 𝑇
adalah himpunan yang saling asing, dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆.
• Hasil kali 𝜅𝜆 adalah bilangan kardinal dari 𝑆 × 𝑇, dimana 𝑆 dan 𝑇
sebarang himpunan dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆, dan 𝑆 × 𝑇 (produk
kartesian) adalah himpunan pasangan-pasangan terurut
𝑆 × 𝑇 = 𝑠, 𝑡 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇
• 𝜅𝜆 adalah bilangan cardinal dari 𝑆𝑇 , di mana 𝑆 dan 𝑇 adalah
sebarang himpunan, dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆, dan 𝑆𝑇 adalah
himpunan semua fungsi dari 𝑇 ke 𝑆.
23/8/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
31
Teorema 0.13
Misalkan 𝜅, 𝜆 dan 𝜇 bilangan cardinal, maka berlaku sifat-sifat berikut
ini:
1. Assosiatif: 𝜅 + 𝜆 + 𝜇 = 𝜅 + 𝜆 + 𝜇 dan 𝜅 𝜆 𝜇 = (𝜅𝜆)𝜇.
2. Komutatif: 𝜅 + 𝜆 = 𝜆 + 𝜅 dan 𝜅𝜆 = 𝜆𝜅.
3. Distributif: 𝜅 𝜆 + 𝜇 = 𝜅𝜆 + 𝜅𝜇
4. Sifat eksponen:
• 𝜅𝜆+𝜇 = 𝜅𝜆 𝜅𝜇
•
𝜇
𝜆
𝜅
• 𝜅𝜆
23/8/2014
𝜇
= 𝜅𝜆𝜇
= 𝜅𝜇 𝜆𝜇
Yanita, FMIPA Matematika Unand
32