Matematika Ekonomi dan Bisnis

Matematika Ekonomi
RELASI DAN FUNGSI
Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan
setiap elemen Domain dengan setiap elemenRange yang membentuk pasangan bilangan
berurut.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Relasi
dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai R: X → Y. Jika setiap
x  X dapat dipetakan ke setiap y  Y.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Fungsi
dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai F: X → Y. Jika dan
hanya jika (jikka) satu x  X dapat dipetakan ke satu y  Y.
RELASI :
y1
y2
y3
y4
x1
x2
x3
x4
XY
R: X  Y menghasilkan himpunan pasangan berurut :
A = {(x1,y1), (x1,y3), (x2,y2), (x3,y1), (x3,y3), (x4,y2), (x4,y4)}
FUNGSI :
x1
x2
x3
x4
X
F: X  Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
A = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)}
y1
y2
y3
y4
Y
Matematika Ekonomi
Dalam pembahasan matematika ekonomi, hubungan antara variabel-variabel ekonomi
dinyatakan sebagai suatu fungsi, misalnya hubungan antara jumlah permintaan sejenis
barang (Qd) dan harganya (P) → Qd = f(P), hubungan antara pengeluaran konsumsi (C) dan
pendapatan (Y) → C = f(Y), hubungan total cost (TC) dan jumlah produksi (Q) → TC = f(Q).
FUNGSI LINEAR
KONSTANTA DAN VARIABEL
 Dalam matematika murni (pure mathematics) maupun matematika terapan (applied
matematics) dikenal dua jenis besaran, yaitu konstanta dan variabel.
 Konstanta adalah besaran yang nilainya tetap.
Misalnya f(x) = 4 dengan grafiknya sebagai berikut :
f(x)
4
f(x) = 4
0
x
Konstanta terdiri dari konstanta mutlak yang nilainya tidak bisa berubah sama sekali
misalnya dalam f(x) = 4, dan konstanta parameter yang nilainya bisa berubah
tergantung kondisi misalnya dalam f(x) = c
 Variabel adalah besaran yang nilainya berubah-ubah, misalnya dalam f(x) = x + 4
dengan grafik sebagai berikut:
f(x)
f(x) = x + 4
4
0
x
 Berdasarkan nilainya, variabel terdiri dari variabel diskrit dan varibel kontinu.
Variabel diskrit (discrete variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil
menghitung (counting) dan hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat (integer).
Variabel kontinu (continue variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil
mengukur (measurement) dan dapat dinyatakan dengan bilangan bulat maupun bilangan
desimal.
Matematika Ekonomi
 Dalam persamaan garis lurus :(x/a) + (y/b) = 1
x dan y menunjukkan variabel, a dan b menunjukkan konstanta parameter, dan 1
menunjukkan konstanta mutlak.
 Dalam persamaan luas suatu lingkaran : A =  r2
 menunjukkan konstanta mutlak, sedangkan A dan r menunjukkan variabel.
 Dalam persamaan Total Revenue (TR) yang merupakan fungsi dari Quantity (Q) : TR =
150Q
TR dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 150 menunjukkan konstanta mutlak.
 Dalam persamaan Total Cost (TC) yang merupakan fungsi dari biaya tetap (fixed cost)
dan biaya variabel (variable cost) : TC =  +  Q
TC dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 
dan 
menunjukkan konstanta
parameter.
GRAFIK FUNGSI LINEAR
 Suatu fungsi linear dapat digambarkan grafiknya dalam kordinat kartesian yang memiliki
sumbu horisontal sebagai sb-x dan sumbu vertikal sebagai sb-y.
 Grafik fungsi linear akan berbentuk garis lurus yang memiliki kemiringan (slope) dan
intersep.
y
y = f(x)
0
x
 Intersep menunjukkan titik potong grafik garis lurus dengan sumbu vertikal, sedangkan
kemiringan (slope) garis lurus menunjukkan arah (direction) dari garis lurus tersebut.
 Secara implisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan Ax + By + C = 0
 Secara eksplisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan y = mx + c
dimana m adalah koefisien arah yang menunjukkan kemiringan grafik fungsi tersebut dan
c adalah konstanta yang menunjukkan intersepnya.
y
y = mx + c
y2
y1
c
B
A
C
Matematika Ekonomi
0 x1
x2
x
Karena AC = x2 - x1 dan BC = y2 - y1, maka kemiringan garis lurus tersebut merupakan
tangent sudut CAB, yaitu :
m
y 2  y1
x 2  x1
Jika m positif (m > 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menaik.
Sebaliknya jika m negatif (m < 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah
menurun.
MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
 Persamaan garis yang melalui dua titik, misalkan A (x1, y1) dan B(y1, y2) ada pada suatu
garis lurus, maka persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah :
y  y1 
y 2  y1
( x  x1) y = m(x - x1) + y1
x 2  x1
 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan (-5, 2) :
Jika (x1, y1) = (3, 4) dan (x2, y2)= (-5, 2) maka persamaan garis tersebut adalah :
y  y1 
y 2  y1
24
( x  x1)  y  4 
( x  3)
x 2  x1
53
4y - 16 = x - 3 → x - 4y + 13 = 0
atau y = (1/4)x + 13
 Persamaan garis melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah :
Jika (x1, y1) = (0, b) dan (x2, y2)= (a, 0) maka persamaan garis tersebut adalah :
y  y1 
y 2  y1
0b
( x  x1)  y  b 
( x  0)
x 2  x1
a0
(y/b) - 1 = - x/a → x/a) + (y/b) = 1
 Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (4, 0) adalah (x/4) + (y/6) = 1 atau 3x + 2y 12 = 0
 Persamaan garis melalui (x1, y1) dan memiliki kemiringan sebesar m adalah:
y - y1 = m(x - x1)
 Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 2) dan memiliki kemiringan m = -4.
y - 2 = -4(x + 1) → 4x + y + 2 = 0 atau
y = -4x – 2
SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0, 5) dan memiliki kemiringan m = 3,
kemudian gambarkan grafiknya.
2. Tentukan persamaan garis lurus melalui (-1, 3) dan memiliki kemiringan m = -1, kemudian
gambarkan grafiknya.
Matematika Ekonomi
3. Jika diketahui A(1, 5) dan B(3, 4), maka tentukan kemiringan dan persamaan garis AB.
4. Suatu perusahaan angkutan besi beton menentukan biaya angkut berdasarkan
persamaan linier
C = a + bQ dimana C adalah total biaya angkut (Rp) dan Q adalah
jumlah barang terangkut (ton). Jika untuk mengangkut 8 ton diperlukan biaya Rp 820.000,
- Sedangkan untuk 16 ton besi beton diperlukan biaya Rp 1.620.000,- maka tentukanlah
persamaan biaya angkut besi beton tersebut.
5. Perusahaan sepatu X menyewa sebuah toko Rp 750.000,- per bulan ditambah 3% dari
hasil penjualan per bulan di toko tersebut. Jika penjualan bulan September lalu sebesar
Rp 50.000.000,- maka tentukan persamaan biaya sewa dan jumlah sewa yang harus
dibayar perusahaan kepada pemilik toko untuk bulan September.
6. Diketahui harga obral sejenis barang elektronik adalah 60% dari harga asal ditambah
biaya pemeliharaan sebesar Rp 50.000,- . Jika harga obral diketahui sebesar Rp
950.000,- maka tentukanlah persamaan harga obral barang tersebut dan harga asalnya.
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS
 Diketahui dua persamaan linier y = m1 + c1 dan y = m2 + c2. Secara grafik, hubungan
kedua persamaan tersebut akan menunjukkan :
1. Berpotongan tegak lurus, jika m1. m2 = -1
2. Berpotongan sembarang, jika m1 m2 dan c1 c2
3. Sejajar, jika m1 = m2 dan c1 c2
4. Berimpit, jika m1 = m2 dan c1 = c2
JARAK DUA TITIK PADA BIDANG
 Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) membentuk garis AB sebagai berikut :
y
B
A
0
x
Maka jarak garis AB adalah AB  ( x 2  x1)2  ( y 2  y1)2
 Tentukanlah jarak garis AB, jika A(8, 5) dan B(3, -7).
AB  ( x 2  x1)2  ( y 2  y1)2 → AB  (3  8)2  ( 7  5)2 → AB = 13
SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Tentukan bentuk hubungan dua garis lurus dari :
Matematika Ekonomi
(a) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan -3x + y - 4 = 0
(b) Persamaan 2x + y + 4 = 0 dan 2x + 6y - 4 = 0
(c) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan 4x + 12y - 8 = 0
(d) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan x + 3y - 9 = 0
2. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 2x + y - 3 = 0 dengan sb-x dan tegak
lurus terhadap garis 3x + 4y + 6 = 0.
3. Tentukanlah koordinat titik potong dua persamaan berikut :
(a) y = -x + 3 dan y = 3x – 5
(b) 3x - 4y + 6 = 0 dan x - 2y - 3 = 0
(c) 2x - 3y + 3 = 0 dan 4x - 6y + 12 = 0
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x + y - 3 = 0 dengan x - y = 0 dan
sejajar dengan 3x + 4y + 6 = 0.
5. Panitia pertandingan bola basket antar universitas menetapkan harga karcis per orang
untuk mahasiswa dan umum masing-masing adalah Rp 1.000 dan Rp 2.500. Pada
pertandingan babak final terjual 860 lembar karcis dengan jumlah uang masuk Rp
1.340.000. Tentukanlah jumlah mahasiswa dan umum yang menonton pertandingan final
tersebut.
6. Tentukan nilai konstanta a dalam persamaan garis y = ax + 2 agar sejajar dengan garis
yang melewati (2, 4) dan (3, 1).
7. Umur seorang ayah pada dua tahun yang lalu adalah 6 kali umur anaknya. Setelah 18
tahun kemudian, umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Berapakah umur anak dan
ayah tersebut sekarang.
8. Hitunglah jarak antara titik asal dengan garis y + x = 2
9. Jika A(x, 4) dan B(5,7), maka tentukan nilai x sehingga jarak AB = 5.
Matematika Ekonomi